3_Momento de Uma Força

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ENG 01156 – Mecânica - Aula 03
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π
Q
P
V=PxQ
θ
3. MOMENTO DE UMA FORÇA
Os problemas que foram abordados até aqui consideram que todas as forças são
concorrentes num ponto. Entretanto, esta condição não é muito comum nos problemas reais.
3.1 PRODUTO VETORIAL
A Fig. (3.1) ilustra o produto vetorial que tem como principais características:
• A linha de ação de V é perpendicular ao plano π, que é definido pelos vetores P e Q;
• O módulo de P e Q vezes o seno do menor ângulo formado entre os dois vetores fornece o
módulo de V ( o180≤θ );
• O sentido de V é dado pela regra da mão direita.
Figura 3.1 – Ilustração do produto vetorial.
Propriedades de interesse.
• ( ) 2121 QPQPQQP ×+×=+× ;
• ( ) ( )SQPSQP ××≠×× ;
• 0kk0jj0ii =×=×=× , , ;
• jik ikj kji =×=×=× , , ;
• ( ) ( ) ( )kji
kji
QPV xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx QPQPQPQPQPQP
QQQ
PPP −+−+−=










=×=
O produto vetorial pode ser facilmente calculado pela HP. Para tal basta fornecer dois
vetores conforme procedimento apresentado no exemplo 2.1. Depois basta pressionar as
teclas [MTH]+[A]+[C]. A tecla [C] corresponde a escolha da operação CROSS que está
indicada na parte inferior da tela.
Em algumas situações é útil fazer o produto vetorial em função dos vetores unitários,
para tal faz-se PP uP ⋅= e QQ uQ ⋅= , e escreve-se o produto vetorial como
QPQP uuQPV ×⋅⋅=×=
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3.2 MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO
O momento de uma força em relação a um ponto é definido como o produto vetorial
entre o vetor posição r, que localiza o ponto de aplicação da força, e o vetor força F. A figura
(3.2) ilustra o cálculo deste momento.
Figura 3.2 – Cálculo do momento de uma força.
Na figura acima r é o vetor posição, θ é o menor ângulo entre os vetores r e F, Mo é o vetor
momento e d é a distância ortogonal entre a reta suporte da força F (reta s) e o ponto em
relação ao qual se deseja calcular o momento (ponto O). A distância d é normalmente
chamada de braço de alavanca.
Características do momento de uma força:
• FrM ×=o , momento é uma grandeza vetorial;
• Módulo: dFFrMo ⋅=⋅⋅= θsen ;
• Direção: Ortogonal ao plano definido pelos vetores r e F;
• Sentido: Regra da mão direita;
• Ponto de aplicação: Ponto O;
• Unidade: força x distância ( Nm, Nmm, kgfcm);
• Para existir momento deve existir uma força e um braço de alavanca.
O momento Mo (também pode ser representado como oM
�
) mede a tendência de a
força F fazer o corpo rígido girar em torno de um eixo fixo dirigido segundo a direção de
oM
�
. Deve-se observar que o momento de uma força em relação a um ponto, embora dependa
do módulo, da linha de ação e do sentido da força, não depende da posição real do ponto de
aplicação desta ao longo de sua linha de ação.
sFr
d
θ
Mo
O
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Em problemas que envolvam sistemas de forças coplanares, Mo é representado por
uma seta que indica o sentido de rotação induzida por F. Momentos saindo do plano da página
são positivos e momentos entrando no plano da página são negativos. O momento no plano
sempre terá a direção k ou seja kM oo M= . A Fig. (3.3) ilustra os três casos possíveis quanto
ao cálculo do momento no plano.
Convenção:
Figura 3.3 – Três situações possíveis quanto ao cálculo do momento no plano.
Componentes cartesianas de um momento. Como o momento é um vetor, pode-se
expressá-lo em função das suas componentes ou seja kjiM ozoyoxo MMM ++= . O cálculo
do momento através do produto vetorial é feito pela equação (3.1).
( ) ( ) ( )kji
kji
FrM xyyxzxxzyzzy
zyx
zyxo FrFrFrFrFrFr
FFF
rrr −+−+−=










=×= (3.1)
Como calcular o momento no espaço. Para se calcular o momento que uma força
aplicada num ponto B causa num ponto A, ver Fig. (3.4), pode-se proceder de dois modos:
cálculo através de determinante ou cálculo direto.
+ -
d
O
F
Mo
Mo = - F.d
d
O
F
Mo
Mo = F.d
O
F
Mo = 0
X
Y
Z
A
rx
rz
ry
BFx
Fy
Fz
Figura 3.4 – Cálculo do momento
em 3D.
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No caso do cálculo por determinante, o vetor posição é definido como a diferença
entre o ponto de aplicação da força e o ponto em relação ao qual se deseja obter o momento
ou seja ( ) ( )zzyyxx ABABABAB −−−=−= ;;r . Para completar o cálculo basta substituir
este vetor na equação (3.1).
Para o cálculo direto devem ser observadas as seguintes regras:
• Calcular os momentos separadamente para cada um dos eixos (Mox, Moy, Moz);
• Forças paralelas ao eixo em relação ao qual se deseja calcular o momento, não causam
momento neste eixo;
• Forças concorrentes com um certo eixo, não provocam momento neste eixo.
Tomando-se como exemplo a força Fx, verifica-se que esta é paralela a X e portanto
não causa momento Mx. Por outro lado, Fx gera momento na direção Y, que vale zx rF ⋅ (este
momento é positivo porque a tendência de giro está na direção positiva do eixo Y), e
momento na direção Z, que vale yx rF ⋅− .
3.3 TEOREMA DE VARIGNON (MATEMÁTICO FRANCÊS 1654 – 1722)
A soma dos momentos de todas as forças de um sistema de forças concorrentes em
relação a um dado ponto, é igual ao momento criado pela resultante do sistema em relação ao
mesmo ponto. Vale a pena mencionar que este teorema foi proposto muito antes do
conhecimento da álgebra vetorial. A Fig. (3.5) e a equação (3.2) ilustram este teorema.
Figura 3.5 – Representação do teorema de Varignon.
2211 dFdFdR ⋅+⋅=⋅ (3.2)
Obs. Considerando-se que força é uma grandeza vetorial, este teorema é obtido diretamente
pela propriedade distributiva da álgebra vetorial.
Exemplo 3.1. Calcular o momento da força de 600 N em torno do ponto O na base do
poste ilustrado na Fig. (3.6).
N 38640sen600,N 46040cos600 −=⋅−==⋅= yx FF
O sinal negativo indica que a força Fy está orientada para baixo na direção vertical. Este sinal
é opcional já que pelo desenho está indicado o sentido da força. Logo, este sinal não tem
influência no sinal do momento que é obtido pela regra da mão direita.
Nm 2612ouNm 261238624604 kM −=−=⋅−⋅−= ooM
F2
F1
R
d
d2
d1
P
O
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Figura 3.6 – Ilustração do exemplo 3.1.
Exemplo 3.2. Calcular o momento no ponto A, causado pela força de 160 kN,
conforme ilustrado na Fig. (3.7).
Figura 3.7 – Ilustração do exemplo 3.2.
m 1330cos15,m 5,730sen15 =⋅==⋅= xy
N 6,13830cos160,N 8030sen160 −=⋅−==⋅= yx FF
( ) ( ) kNm 6,24842136,1385,75,480 −=−⋅−+⋅−=AM
3.4 MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM EIXO DADO
Em algumas situações pode ser necessário o calculo do momento de uma força em
relação a um eixo inclinado (que não seja os eixos X, Y e Z). Tomando-se como exemplo a
Fig. (3.8), deseja-se calcular o momento da força F em relação ao eixo OL. O primeiro passo
é calcular o momento de F em relação ao ponto O. Depois deve-se projetar o momento
resultante na direção do eixo OL, para tal deve-se definir um vetor unitário λ , que tem a
mesma direção do eixo OL, e fazer o produto escalar entre os vetores λ e oM . Esta operação
resulta na equação (3.3).
( )










=ו=•=
zyx
zyx
zyx
oOL
FFF
rrrM
λλλ
λ FrMλ (3.3)
A
O
4m
2m
600 N
40o
4,
5 
m
2m
4m
30o 160 kN
A
15 
m
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ua
O A
O'
r
F
r'
Mo Ma
Figura 3.8 – Cálculo do momento de uma força em relação a um eixo.
Na equação (3.3), λx, λy, e λz são os cossenos diretores do eixo OL e MOL é a projeção do
momento Mo sobre o eixo OL. A operação representada por esta equação é chamada de
produto misto.
O momento MOL mede a tendência da força F transmitir ao corpo um movimento de
rotação em relação ao eixo OL. O momento MOL é facilmente escrito na notação vetorial
fazendo-se λM ⋅= OLOL M .
A operação indicada em (3.3) pode ser executada na HP em duas etapas: primeirofaz-
se o produto vetorial entre r e F, e depois faz-se o produto escalar entre λλλλ e o vetor resultante
do produto vetorial. O produto escalar entre dois vetores é feito através das seguintes teclas:
[MTH]+[A]+[B]. A tecla [B] corresponde à opção DOT que está apresentada na parte inferior
da tela da calculadora.
Pode-se demonstrar que o vetor r pode ser traçado a partir de um ponto qualquer do
eixo OL até o ponto de aplicação da força. Considerando-se a Fig. (3.9) tem-se
Figura 3.9 – Ilustração da independência do ponto de escolha para o cálculo do
momento em relação a um eixo.
L
F
r A
O
λλλλ
Mo
MOL
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Z
X
Y
A
B
C
E
D
840 N
3m
2m
3m
3m
2m
5m
6m
X
Y
Z
A
C
4m
1m
3m
3m
2m
B
60 N
( )Fru ו= aaM e ( )Fru ו= '' aaM em que ( ) rr +−= '' OO . Com estas considerações
pode-se escrever
( )[ ] ( ) ( ) aaaaa MOOM =ו=ו+×−•= FruFruFu ''
O termo ( )[ ]Fu ×−• 'OOa se anula porque o produto vetorial gera um vetor que é
ortogonal ao vetor ( )'OO − , e como este vetor é paralelo a ua , esta expressão termina se
anulando.
3.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3.1) O poste AB é sustentado por 3 cabos. Determine o momento em relação a C da força
exercida pelo cabo BE no ponto B, sabendo que a força no cabo BE é de 840 N.
Solução:
( ) FFrM ×−=×= CBC
( ) ( )3,4,3 −=− CB
λBEBE F=F
( )
7
2,6,3λ −==
BE
BE
( ) ( ) N 240,720,3602,6,3
7
840 −=−=BEF










−
−=
240720360
343
kji
MC
( ) Nm 3600,1800,1200 −−−=CM ou ( ) Nm 86,0,43,0,29,04200 −−−−=CM
3.2) A barra Ab é submetida a uma força de 60 N orientada de C para B. Determine o
momento criado por F em relação a A.
Solução:
FrFrM ×=×= CBA
( ) ( )0,4,3,2,3,1 == CB rr
( )
CB
CBFBCBC −
−=→= λF λ
( ) ( )2,1,2 −−=− CB
( ) N 40,20,40 −−=BCF










−−
=×=
402040
231
kji
FrM BA
( ) Nm 100,120,160 −=AM ou ( ) Nm 45,0,54,0,72,06,223 −=AM
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Z
X
Y
A
CB
30o
400 N
2m
2,
5 
m
Fazendo-se FrM ×= CA deve-se obter a mesma resposta.
3.3) Determine o momento de F em relação ao eixo BC.
Solução: Uma solução possível é trabalhar apenas com a notação vetorial.
Inicialmente vamos definir o vetor unitário que indica a direção do eixo
BC.
( )
( ) ju =−
−=
BC
BC
BC
 Pode-se observar pela ilustração que o vetor unitário
uBC é o próprio vetor j.
As componentes de F são obtidas fazendo-se
N 20030sen400,N 41,34630cos400 =⋅==⋅= yx FF
( ) Nm 866
020041,346
5,200
010
−=










−=×= • FruM BABCBC
Nm 866 juM −=⋅= BCBCBC M
Uma outra solução possível é fazer
Nm 8665,230cos400 −=⋅⋅−=BCM
O sinal negativo é obtido aplicando-se a regra da mão direita.
3.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3.1) Determine o momento da força de 100 N, aplicada em A, em relação ao eixo que passa
por OC.
Resposta: ( ) Nm 30300 ;;=OCM
�
 ou MOC = 42,43 Nm
Z
X
Y
A
C
B
1
1O
100 N 3
4
5