Zeros de Funções Reais

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Zeros de Funções Reais
1 Zeros de Funções Reais
1.1 Introdução
O cálculo de ráızes de funções encontra uso na obtenção da solução de uma ampla gama de problemas
de Ciência e Engenharia. Usualmente, a forma anaĺıtica de problemas matemáticos y = f(x) requer
o conhecimento dos valores da variável independente x para os quais f(x) = 0.
Por exemplo, considere a função f(x) = ax2 + bx + c, que é um polinômio de 2o grau com
coeficientes a, b e c e que possui duas ráızes. Essas ráızes podem ser determinadas analiticamente
pela fórmula de Baskhara.
Equações algébricas de 1o e 2o graus, certas classes deste tipo de equações, de 3o e 4o graus, e
algumas equações transcendentes podem ter suas ráızes computadas exatamente através de métodos
anaĺıticos, mas para polinômios de grau superior a quatro e para a grande maioria das equações
transcendentes o problema só pode ser resolvido por métodos que encontram soluções aproximadas,
que é do que se ocupa o Cálculo Numérico.
Funções algébricas: são aquelas funções que são redut́ıveis a uma fração entre polinômios. Por
exemplo:
f(x) =
(x+ 4)(x+ 2)(x+ 1)
x
− 8 (1)
Funções transcendentes: são funções que não podem ser expressas na forma descrita acima
(funções trigonométricas, exponenciais, logaŕıtmicas, ou a combinação entre elas). Por exemplo:
f(x) = −ex · senx (2)
Dado que boa parte das equações algébricas e a maior parte das equações transcendentes não
possuem soluções anaĺıticas, iremos empregar métodos numéricos para obter soluções aproximadas
destas equações. Em um primeiro momento, para identificar os intervalos onde estão contidas as
ráızes das equações, iremos empregar métodos gráficos. A seguir, iremos abordar métodos numéricos
que nos fornecem, com precisão desejada, os valores das ráızes das equações.
Neste caṕıtulo trataremos de métodos para o cálculo de ráızes reais (embora os métodos numéricos
possam também ser empregados na obtenção de ráızes complexas).
1.2 Ráızes ou Zeros de uma Função Real
Seja f(x) uma função definida para o conjunto dos números reais.
Definição 1.1. Dizemos que r é raiz ou zero da equação f(x) = 0 se f(r) = 0.
Exemplo 1.2. Seja a função f(x) = x2 − 3x+ 2
Cálculo Numérico 1
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• 2 é raiz ou “zero” de f(x) = 0, pois f(2) = 22 − 3 · 2 + 2 = 0.
• 5 não é raiz ou “zero” de f(x) = 0, pois f(5) = 52 − 3 · 5 + 2 = 12 ̸= 0.
Na análise gráfica de f(x), o zero ou raiz de
f(x) = 0 equivale à abscissa onde a função f(x)
corta ou tangencia o eixo horizontal.
No gráfico ao lado os pontos de abscissas iguais
a −3 e 0 (eixo horizontal) são ráızes ou zeros da
função f(x) = x3 + 3x2 = 0.
Esta função corresponde a um tipo particular de
função de 3o grau que possui solução anaĺıtica
(tente resolver a equação x3 + 3x2 = 0).
Para outras funções de ordem 3 e 4 (ou superior)
apenas métodos numéricos poderão fornecer os
valores das ráızes da equação f(x) = 0.
Figura 1: Gráfico da função f(x) = x3 + 3x2
1.3 Determinação das Ráızes
A determinação de ráızes de equações pode ser obtida analiticamente para boa parte das equações
algébricas e transcendentes. No caso das equações algébricas as ráızes podem ser determinadas por
meio de equações polinomiais e transformações algébricas; e para as equações transcendentes, por
meio de séries de potências. Entretanto, iremos nos deter aqui nos métodos numéricos, os quais
permitem determinar, por aproximações, as ráızes reais de uma equação.
Todo procedimento para determinação das ráızes é constitúıdo de duas fases:
1a fase: Localização ou isolamento das ráızes. Nesta fase procura-se obter um intervalo [a, b], o
menor posśıvel, que contenha uma e somente uma raiz da equação f(x) = 0.
2a fase: Refinamento. Nesta fase busca-se melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até
o grau de exatidão requerido.
1.4 Isolamento das Ráızes
Um importante teorema da Álgebra permite localizar os intervalos que contém as ráızes.
Theorem 1.3. Se uma função cont́ınua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos
do intervalo [a, b], isto é, f(a) · f(b) 0 não é garantida a não existência de ráızes no intervalo [a, b].
O gráfico, a seguir, ilustra o teorema enunciado acima:
Figura 2: Função transcendente f(x) = A · e−bx cos(ωx+ δ)
Observando o gráfico acima temos:
1. Intervalo [a, x1], f(a) > 0 e f(x1) 0 e f(x4) > 0 ⇒ f(x3) · f(x4) > 0: apesar de o produto entre as
funções ser positivo, existem duas ráızes no intervalo, r4 e r4.
4. Intervalo [x2, x3], f(x2) > 0 e f(x3) > 0 ⇒ f(x2) · f(x3) > 0: neste caso, no intervalo
considerado, não existem ráızes de f(x).
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A raiz r de uma função real será definida e única dentro de um intervalo, se a derivada f ′(x)
existir e preservar o sinal neste intervalo, isto é, se f ′(x) > 0 (Fig. 3 (à esquerda)) ou f ′(x) 0 (à esquerda) e f ′(x) 0, teremos f ′(x) > 0 (função crescente) para x 0, 554 e
f ′(x)estiver usando o Excel, você pode inserir as duas colunas e
completar a tabela). Inserindo dos valores acima na tabela, teremos:
Figura 6: Tabela constrúıda no Excel para a função f(x) = 50x3 − 65x2 + 26x− 3.
Da nova tabela pode-se concluir que existe uma raiz em cada um dos intervalos [0; 0, 31], [0, 31; 0, 554]
e [0, 554; 1].
Caso 2: Construir o gráfico da função:
Este processo permite localizar mais rapidamente os intervalos que contém as ráızes.
Cálculo Numérico 5
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A construção manual do gráfico de uma função
exige um conhecimento anaĺıtico da mesma
(domı́nio da função, pontos de descontinui-
dade, intervalos de crescimento e decrescimento,
asśıntotas, pontos de máximo absoluto, mı́nimo
absoluto e pontos de inflexão). O uso de um soft-
ware é recomendável para a construção e análise
de gráficos.
Para a função f(x) = 50x3 − 65x2 + 26x− 3 = 0
teremos o gráfico ao lado (Fig.7), constrúıdo com
o GeoGebra.
Neste gráfico, para o intervalo [0, 1] temos três
valores de x onde a função corta o eixo horizontal.
Portanto, no intervalo [0, 1] existem três ráızes
reais.
Figura 7: Gráfico da funçãof(x) = 50x3− 65x2+
26x− 3.
Caso 3: Modificação da função
Outra maneira de se resolver o problema é substituir f(x) = 0 por uma equação g(x)− h(x) = 0
equivalente, ou seja, uma equação que tem as mesmas ráızes de f(x) = 0.
Em consequência, teremos g(x) = h(x). Construindo os gráficos de g(x) e h(x) em um mesmo
sistema de eixos, as intersecções dos dois gráficos irão fornecer as ráızes de f(x).
Exemplo 1.6. f(x) = x2 − 6x− ln(2x+ 8)
Fazendo g(x) = x2−6x e h(x) = ln(2x+8), teremos o gráfico da Fig. 8 que mostra que as curvas
se interceptam nos intervalos [−1, 0] e [6, 7].
Assim, conclúımos que a função f(x) = x2 − 6x − ln(2x + 8) tem uma única raiz real em cada
um dos intervalos mencionados.
−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
x
 
 
g(x)
h(x)
Figura 8: Gráfico das funções g(x) = x2 − 6x e h(x) = ln(2x+ 8).
Cálculo Numérico 6
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1.5 Refinamento (grau de exatidão da raiz)
Existem vários métodos de refinamento de ráızes onde se torna posśıvel determinar um valor apro-
ximado para a ou as ráızes de uma equação. Em todos eles instruções são executadas passo a passo
tendo como base o resultado anterior (processos iterativos). O processo deve ser continuado até que
se atinja um resultado próximo ao esperado ou cujo erro seja inferior a um valor conhecido.
Seja uma função f(x) com uma raiz r no intervalo [a, b]. Uma raiz r′ é dita aproximada com a
precisão ε, se:
1. |r′ − r| = K10; ”continua”;D10). Esta coluna indicará até onde deve
ser dado continuidade ao processo. O primeiro número após o texto “continua” será a raiz
com erro menor ou igual à precisão solicitada, que no caso é 0, 001.
• J10: Digite: =ABS(ABS(C10)-ABS(D10)). Nesta coluna você irá obter a amplitude do
intervalo. Como estamos usando o ponto médio do intervalo o erro máximo cometido será
a metade da amplitude do intervalo [xi, xi+1].
• K10: Digite o valor da precisão indicada no enunciado. No caso, digite 0, 001.
• C11: Digite: = SE(F10 ∗G10Cengage Learning, 2008.
[2] FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo numérico. 1 ed.. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
[3] RUGGIERO, Márcia A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos
teóricos e computacionais . 2 ed.. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1997.
[4] COELHO, Sandro, 2014. Material de Aula, Cálculo Numérico.
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