Métodos Quantitativos Matemáticos (UniFatecie)

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Métodos 
Quantitativos 
Matemáticos
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 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP 
 
S586m Silva, Arthur Ernandes Torres da 
 Métodos quantitativos matemáticos / Arthur Ernandes 
 Torres da Silva. Paranavaí: EduFatecie, 2022. 
 107 p. : il. Color. 
 
 
 
1. Matemática. 2. Análise Matemática. I. Centro Universitário 
 UniFatecie. II. Núcleo de Educação a Distância. II. Título. 
 
 CDD : 23 ed. 515 
 Catalogação na publicação: Zineide Pereira dos Santos – CRB 9/1577 
 
 
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livro foram obtidas a partir 
do site Shutterstock.
AUTOR
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva
● Bacharel em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM) 
● Licenciatura em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
● Mestre em Física pela Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
● Doutorando em Física - Universidade Estadual de Maringá (UEM)
● Professor Formador UniFatecie
● Professor de Física no Colégio Educacional Noroeste Paranavaí. 
Professor e pesquisador. Tem experiência na área de física da matéria con-
densada, impedância elétrica (teórica e experimental) e dinâmica de íons em células 
eletrolíticas. Possui experiência como docente no Ensino Médio e Ensino Superior. Nos 
cursos de Engenharia Civil, Engenharia de produção e Arquitetura, já foi professor das 
disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, Física Geral e Laboratório de Física Geral. 
CURRÍCULO LATTES: http://lattes.cnpq.br/4605782782813159
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
Seja muito bem-vindo(a)!
Prezado(a) aluno(a), se você se interessou pelo assunto desta disciplina, isso já é 
o início de uma grande jornada que vamos trilhar juntos a partir de agora. Neste material 
foram abordados diversos assuntos com muitos exemplos e comentários para facilitar os 
estudos do material de Métodos Quantitativos Matemáticos.
Proponho, junto a você, construir nosso conhecimento sobre diversos tópicos os 
quais serão essenciais para sua formação acadêmica. A proposta da ementa é trazer se-
gurança em diversos ramos da Matemática teórica para aqueles que optarem pela carreira 
acadêmica, assim como para aqueles que atuaram diretamente no mercado de trabalho.
Na Unidade I, começaremos a nossa jornada definindo o conjunto dos números 
que usaremos em nossa disciplina, a proporção direta e indireta entre grandezas, represen-
tação de funções e como analisar o domínio e imagem de uma função. 
Já na Unidade II, vamos tratar especificamente algumas funções, como as polino-
miais, tanto de primeiro como de segundo grau, as exponenciais e modulares. Junto com 
a análise algébrica de cada uma delas vamos analisar essas funções do ponto de vista 
gráfico também.
Depois, na Unidade III, vamos tratar especificamente de um novo formalismo mate-
mático, os de limites e derivadas. Iremos aprender a interpretar geometricamente a derivada 
de uma função bem como o valor que a mesma tende ao aproximar de um valor limite.
Por fim, na última unidade, vamos aprender introduzir o conceito de primitivas e 
integrais. Qual é a diferença entre uma integral definida e indefinida e a relevância desse 
conceito para diversas áreas da ciência.
Aproveito para reforçar o convite a você, para junto conosco percorrer esta jornada 
de conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos assuntos abordados em 
nosso material. Esperamos contribuir para seu crescimento pessoal e profissional. 
Muito obrigado e bom estudo!
SUMÁRIO
UNIDADE I ...................................................................................................... 3
Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
UNIDADE II ................................................................................................... 31
Funções Polinomiais, Exponencial e Modular
UNIDADE III .................................................................................................. 62
Limites e Derivadas
UNIDADE IV .................................................................................................. 86
Integrais
3
Plano de Estudo:
● Grandezas e proporções;
● Teoria dos conjuntos;
● Representação de funções;
● Domínio e imagem de funções.
Objetivos da Aprendizagem:
● Aprender relações de proporcionalidades;
● Conhecer os conjuntos numéricos;
● Compreender o Plano Cartesiano;
● Entender o domínio, contra domínio e imagem de uma função.
UNIDADE I
Matemática Básica e 
Conjuntos Numéricos
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva
4UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo à primeira unidade de nosso material. Esta unidade 
será dedicada ao estudo das grandezas diretamente proporcionais e inversamente propor-
cionais, bem como algumas regras de três que serão de grande utilidade para os exercícios. 
Na sequência, vamos entrar na teoria dos conjuntos, os quais descrevem os núme-
ros em algumas classes. Na terceira parte o estudo será direcionado a representação de 
funções e por fim, vamos aprender a calcular o domínio e imagem de uma função.
Aproveite ao máximo seus estudos. Vamos lá então!
5UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
1. GRANDEZAS E PROPORÇÕES 
Na natureza, tudo aquilo que pode ser medido e estudado é uma grandeza. A 
física divide as grandezas em duas grandes vertentes. A primeira refere-se as grandezas 
escalares, suponha que você esteja comprando uma determinada quantidade de carne no 
açougue. Como exemplo hipotético, você diz “por favor, gostaria de 1 Kg de alcatra”. Por 
outro lado, seria estranho se fosse dito “por favor, gostaria de 1 Kg de alcatra na horizontal 
para direita”. Note que, dizendo apenas a quantidade da grandeza já foi suficiente para 
deixar claro o que queria. Essas grandezas que são caracterizadas pelo seu módulo, ou se 
preferir, pelo valor da mesma, são batizadas de grandezas escalares. Outro exemplo é a 
temperatura, provavelmente nunca você presenciou a apresentadora da previsão do tempo 
falando “amanhã fará sol com uma temperatura de 35o C na vertical para cima”, basta dizer 
“amanhã fará sol com uma temperatura de 35O C”. Diversos outros exemplospodem ser 
usados, como por exemplo tempo, potência, energia e entre outros.
Contudo, quando você está trabalhando em uma estrutura e precisa especificar um 
eixo que sustenta o sistema de forma estável, será necessário um estudo da distribuição 
de forças. Toda vez que trabalhar com essa grandeza é necessário especificar além do seu 
módulo, sua direção (vertical ou horizontal) e sentido (direita, esquerda, sentido positivo, 
sentido negativo, leste, oeste). Dessa forma, a grandeza força é chamada de grandeza 
vetorial. De forma geral, sejam grandezas escalares ou vetoriais, elas podem se relacionar 
entre em, seguindo uma proporção direta ou indireta. 
6UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Proporção entre grandezas
Vamos iniciar nossos estudos de proporções com o seguinte exemplo: Júlio está 
dirigindo seu carro veloz pela rodovia, o qual executa um movimento uniforme (movimento 
este em que a velocidade é constante) durante todo o trajeto. Vamos ver uma tabela que 
mostra a relação entre tempo de viagem e distância percorrida:
TABELA 1 – PROPORÇÃO DIRETA
TEMPO (horas) DISTÂNCIA (Quilômetros)
½ h 50 km
1h 100 km
2h 200 km
3h 300 km
Fonte: O autor (2021).
Observe que quando a cada uma hora, a distância percorrida é de 100 km. A conta 
obvia que você deve ter feito foi, por exemplo, entre os tempos de 1h e 2h:
Simplificando as unidades no denominado e numerador de cada fração:
Portanto, a proporção é a mesma, ou seja, ao duplicar o tempo também é duplicado 
o espaço percorrido. Nesse caso em que as razões variam de acordo com as grandezas é 
dito que são diretamente proporcionais.
Entretanto, vamos ver outro exemplo: suponha que o destino de Júlio seja o mesmo 
que de seus dois outros amigos, Pedro e Fabio, cada um em seu carro. Vamos ver em uma 
tabela o tempo que cada um leva para se deslocar ao longo da rodovia.
TABELA 2 – PROPORÇÃO INVERSA
Condutor Velocidade (Km/h) Tempo (horas)
Júlio 50 Km/h 6h
Pedro 100 Km/h 3h
Fábio 150 Km/h ½ h
Fonte: O autor (2021).
7UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Veja que Júlio gasta seis horas para chegar ao destino, uma vez que sua velocidade 
é de 50 km/h. Já Pedro a 100 km/h leva metade do horário. Por consequência, Fábio que 
está a uma velocidade maior de 150 km/h executa o mesmo trajeto com meia hora. Vamos 
ver a relação de dois deles:
Simplificando as unidades no denominado e numerador de cada fração:
Nesse caso, quando duas grandezas variam uma na razão inversa da outra, é 
denominado inversamente proporcionais.
Vamos fazer alguns exemplos para compreendermos relações de proporção. Quan-
do a proporção for direta, vamos fazer uma regra de três simples. Já se forem inversamente 
proporcionais, utilizaremos a regra de três inversa. Para a resolução, iremos adotar um 
processo padrão:
1) Construir uma tabela com dados especificando cada coluna e a variável que 
queremos encontrar;
2) Identificar se é uma correlação diretamente ou inversamente proporcional entre 
as grandezas;
3) Escrever a proporção e resolver a equação.
Ex. 01
Anderson comprou 2 camisas para um final de semana na praia e pagou R$100,00. 
Quanto ele gastaria se comprasse 7 camisas da mesma marca e valor?
Resolução:
TABELA 3 – PROPORÇÃO ENTRE CAMISAS E PREÇO
Camisas Preço (R$)
2 100
7 x
Fonte: O autor (2021).
Reescrevendo em termos de uma razão:
8UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Multiplicando cruzado:
Logo:
Ex. 02
No parque de exposições de Paranavaí, um dos brinquedos do parque é o carros-
sel. Supondo que o brinquedo execute 40 voltas em 10 minutos. Quantas voltas ele irá fazer 
em 18 minutos?
Resolução:
TABELA 4 – PROPORÇÃO ENTRE VOLTAS E TEMPOS
Voltas Tempo 
40 10
x 18
Fonte: o autor (2021).
Reescrevendo em termos de uma razão:
Multiplicando cruzado:
Logo:
Ex. 03
Durante uma vistoria de segurança em uma cozinha de restaurante, Cleiton verifica 
que uma torneira está pingando. O proprietário afirma que em 25 minutos, foi desperdiçado 
3 litros de água. Qual a quantidade de água desperdiçada em uma hora?
9UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Resolução:
TABELA 5 – PROPORÇÃO ENTRE TEMPO E QUANTIDADE DE ÁGUA
Tempo Quantidade de água 
25 min 3 Litros
60 min x
Fonte: O autor (2021).
Reescrevendo em termos de uma razão:
Multiplicando cruzado:
Logo:
Ex. 04
Fátima é uma costureira muito requisitada, em uma de suas encomendas teve que 
usar 4 metros de um determinado tecido que custa 82,00 R$. Qual o preço de 11,5 metros?
Resolução:
TABELA 6 – PROPORÇÃO ENTRE TAMANHO E VALOR
Tamanho Valor 
4 metros 82,00 R$.
11,5 metros x
Fonte: O autor (2021).
Reescrevendo em termos de uma razão:
Multiplicando cruzado:
10UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Logo:
Desse modo, vimos até aqui algumas relações de grandezas diretamente propor-
cionais. Contudo, como fica o caso de relações inversamente proporcionais? Para resolver 
esse problema é de forma muito parecida, mas quando reescrevemos a equação, devemos 
alterar a ordem de uma das frações, veja os exemplos:
Ex. 05
Um automóvel está em movimento à uma velocidade média de 60Km/h e realiza 
um determinado percurso em 2 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a 
velocidade utilizada fosse de 100km/h? Resolução:
TABELA 7 – PROPORÇÃO ENTRE VELOCIDADE E TEMPO
Velocidade Tempo 
60 Km/h 2h
100 Km/h x
Fonte: o autor (2021).
Reescrevendo em termos de uma razão:
Multiplicando cruzado:
Logo:
Ex. 06
Para encher um reservatório de água, uma torneira demora 4 horas. Porém, e 
se fossem utilizadas 5 torneiras, quanto tempo levaria para preencher o reservatório no 
mesmo nível de antes?
11UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Resolução:
TABELA 8 - PROPORÇÃO ENTRE NÚMERO DE TORNEIRAS E TEMPO
Nº de torneiras Tempo 
1 4
5 x
Fonte: O autor (2021).
Reescrevendo em termos de uma razão:
Multiplicando cruzado:
Logo:
Para finalizar nossa análise das relações de proporção, vamos estudar uma situa-
ção em que existam três grandezas ou mais e relacioná-las entre sim. Para isso, vamos 
fazer uso da regra de três composta. Veja alguns exemplos:
Ex. 07
Um armazém para o estoque de soja é construído em 10 dias com 15 operários, 
os quais trabalham 4 horas por dia. O mestre de obras decide na próxima obra contratar 
20 operários e que eles trabalhem 8 horas por dia. Logo, em quantos dias a obra ficaria 
concluída? Assumindo que o armazém seja o mesmo.
Resolução:
TABELA 9 – PROPORÇÃO ENTRE NÚMERO DE OPERÁRIOS, DIAS E HORAS POR DIA
Nº de operários Dias Horas por dia
15 10 6
20 x 4
Fonte: O autor (2021).
12UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Para resolver esse problema vamos considerar a grandeza incógnita como refe-
rência e as demais constante. Veja que aumentando o número de funcionários, então a 
quantidade de dias deve diminuir, logo o número de operários e dias são inversamente 
proporcionais. Por outro lado, diminuído as horas por dia e pensando em número de dias, 
é intuitivo concluir que menor a quantidade de horas por dia, logo mais dias necessários. 
Assim, horas por dia e dias também são inversamente proporcionais. 
Matematicamente para resolver o problema, deixamos a coluna da incógnita isolada 
e escrevemos a proporção das demais como produto de frações.
Observe que as frações da esquerda, foram invertidas, por serem inversamente 
proporcionais. Fazendo as multiplicações:
Ex. 08
João Carlos trabalha em sua fazenda colhendo laranjas. Sozinho ele colhe 1000 
laranjas em 6 horas. Devido à grande quantidade de trabalho, ele pretende aumentar a 
produção e contrata mais 2 funcionários que iriam trabalhar com ele por 8 horas. Quanto 
de laranja o grupo vai colher?
Resolução:
TABELA 10 – PROPORÇÃO ENTRE NÚMERO DE PESSOAS, NÚMERO DE LARANJAS E HORAS
Nº de pessoass Nº de laranjas Horas por dia
1 1000 6
3 x 8
Fonte: O autor (2021).
Note que aumentando as pessoas, tende a aumentar a colheita de laranjas e, aumen-
tandoo tempo de trabalho, também aumenta o número de frutos colhidos. Logo, todas são 
grandezas proporcionais e podemos organizar a relação da matemática da seguinte forma:
13UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Note que sempre isolamos de um lado a fração da incógnita.
14UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
2. TEORIA DOS CONJUNTOS 
Caro leitor, essa primeira unidade será dedicada para o estudo de conjuntos nu-
méricos. Não pretendo apresentar todo o assunto de forma morosamente ou ser leviano, 
mas para entendermos o rigor matemático das próximas unidades, é justo que revisemos 
o básico antes.
 
2.1 Conjunto dos números
Vamos iniciar definindo o conjunto dos números naturais N:
 = {0,1,2,3,4,…}
Ou se preferir, os naturais podem ser definidos a partir do número um.
 *= {0,1,2,3,4,…}
A representação dos números naturais junto ao (*) indica que estamos “excluindo” 
o número zero, ou seja, naturais não nulos.
Veja que a adição de números naturais resulta em outro número natural, ou seja: 
0+3=3
2+8=10
Bem como a multiplicação dos números naturais resulta em outro natural:
0 .2=0
6 .4=24
15UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Contudo, a subtração de qualquer natural com outro resulta em um número natural?
5-3=2
3-9=-6
0-2=-2
Observe que podem haver uma infinidade de operações de subtração que nos 
computam um número negativo e, como você viu recentemente, o conjunto dos naturais 
não englobam os números negativos, e agora? Surge então a necessidade de um novo 
conjunto numérico, os inteiros :
 = {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
Note que esse novo conjunto engloba o conjunto dos números naturais N:
Portanto, podemos escrever que o conjunto dos números naturais está contido no 
conjunto dos números inteiros:
Ademais, podemos classificar o conjunto dos inteiros de diversas formas:
*= {…,-3,-2,-1,1,2,3,…}→ Inteiros não nulos 
+= {0,-1,1,2,3,…}→ Inteiros não negativos 
+
*= {1,2,3,…}→ Inteiros positivos
__ = {…,-3,-2,-1,0}→ Inteiros não positivos 
__* = {…,-3,-2,-1}→ Inteiros negativos 
Vamos fazer alguns exemplos para classificar os números entre e .
Ex. 01
Marque verdadeiro ou falso nas sentenças abaixo e justifique a resposta
Resolução:
O primeiro item é verdadeiro, pois 
 = {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
Ou seja, o elemento zero pertence ao conjunto dos números inteiros 0 .
16UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
II) 
A segunda alternativa está falsa, na verdade é ao contrário. Pois como estudamos, 
é o conjunto dos naturais que estão contido no conjunto dos números inteiros:
III) Verdadeira. A união de é o mesmo que “juntar” 
 = {0,1,2,3,4,…}
Com
 __={…,-3,-2,-1,0}
Isso resulta em um conjunto de números: {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} que é o conjunto 
dos inteiros .
IV) (-2)2 ∈ *
Isso significa que o número (-2)2 = 4 pertence aos inteiros negativos? Não! A alter-
nativa está errada.
V) (12-16) ∈ *
Dessa vez, a operação 12-16 resulta em -4, um número negativo e este pertence 
aos inteiros negativos? Sim! Portanto, a alternativa está correta.
Vamos retomar nossos estudos sobre o conjunto dos números. Observe que a adi-
ção, subtração e multiplicação de números inteiros pertencem aos números inteiros. Ou seja:
-5+2=-3
-1-4=-5
2.(-8)=-16
Contudo, e se a operação for uma subtração?
Nos dois primeiros exemplos o resultado foi um número inteiro, mas o terceiro resulta 
em um número inteiro? Não, veja que é um número não inteiro. Portanto, isso exige um novo 
conjunto que englobe as divisões, a esse conjunto foi dado o nome de racionais .
A definição desse novo conjunto é dada por:
17UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Ou seja, temos um numerador que pode assumir qualquer valor numérico contido 
no conjunto dos números inteiros. Entretanto, o denominador não pode ser igual a zero, 
pois não existe divisão por zero. Sendo assim, b deve pertencer aos inteiros, mas exceto o 
valor de zero, então b *. Vamos à alguns exemplos dos números racionais:
Note que 
Pois um número sozinho é o mesmo que estar sendo dividido por 1! Ou seja:
Dentro do conjunto dos racionais, podemos ter dois tipos de divisões:
1) Decimal Exato: Isso significa que o resultado da divisão é um número exato, ou seja:
2) Decimal Periódico: Nesse caso o resultado da divisão é uma sequência repetitiva 
de números, denominada dízima periódica:
Outro conjunto muito importante são dos números irracionais , que são valores 
decimais não exatos que possuem uma representação infinita e não periódica:
√2 = 1,4142135…
√3 = 1,7320508…
π = 3,14159265
Por fim, mas não menos importante, a união do conjunto dos números racionais 
com o conjunto dos irracionais , gera o conjunto dos números reais . A definição deste 
último conjunto pode ser escrita como:
18UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
FIGURA 1 – CONJUNTO DE NÚMEROS
Fonte: O Autor (2021).
A representação da junção dos conjuntos é essa, dessa forma, podemos mensurar 
o domínio de cada um dos conjuntos.
19UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
3. REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES
Para definir uma função matemática, vamos inicialmente entender com clareza 
todas as ferramentas que serão utilizadas, começamos pelo plano gráfico no qual vamos 
usar a partir desse momento.
3.1 Plano Cartesiano
Chama-se de Sistema de Coordenadas no plano cartesiano, um esquema 
usado para especificar pontos no plano. Ele é formado por dois eixos perpendiculares, um 
horizontal, chamado abscissa, é representado por x, e outro vertical, chamado de ordena-
da, e representado por y. Os eixos são enumerados e orientados conforme o conjunto dos 
números reais com o encontro dos eixos sendo o zero, chamado de origem do sistema. A 
seguir temos uma figura que representa esse plano cartesiano. Esse sistema recebe esse 
nome por ter sido criado por René Descartes. 
20UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
FIGURA 2 – PLANO CARTESIANO
Fonte: GEOGEBRA. Disponível em: https://www.geogebra.org/calculator. Acesso em: 12 nov. 2021.
A indicação de uma localização, as chamadas coordenadas cartesianas, é da forma 
( x, y). Assim, se queremos o ponto P(a , b), primeiramente observamos o valor a no eixo x, 
fazemos uma linha r paralela à y, passando por a, e, em seguida, observamos o valor b no 
eixo y, traçamos outra linha t paralela à x, passando por b. O encontro de r e t é o ponto P. 
Por exemplo, vamos localizar o ponto P(2,1).
FIGURA 3 - LOCALIZAÇÃO DE P
 
Fonte: GEOGEBRA. Disponível em: https://www.geogebra.org/calculator. Acesso em: 12 nov. 2021.
21UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Ex. 01
Indique no plano cartesiano os seguintes pontos:
A(2,3), B(–2,1), C(–4,3), D(–1,–2), E(4,0) e F(0,–3) 
Resolução:
Prosseguindo de forma equivalente ao exemplo do ponto P indicado anteriormente temos: 
FIGURA 4 – PONTOS NO PLANO CARTESIANO
Fonte: GEOGEBRA. Disponível em: https://www.geogebra.org/calculator. Acesso em: 12 nov. 2021.
3.2 Conjuntos
Agora, você, estudante, terá contato com a definição de função. Um conceito 
matemático importante para várias ciências, tais como Engenharia, Física, Economia, 
Biologia entre outras.
Exemplos: o crescimento de bactérias se dá através de uma função que associa 
o tempo com o número de bactérias, a compra de um item no supermercado também é 
uma função do dinheiro que você leva para tal fim, o consumo de gás em sua cozinha 
dentre outros casos.
Mas o que é uma função? Sejam dois conjuntos não vazios A e B, chamamos de 
Função de A em B toda relação que associa cada elemento de A, a um único elemento em 
B. x1, x2 , x3 , x4 , y1 , y2 , y3 , y4.
22UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
FIGURA 5 – CORRESPONDÊNCIA DO CONJUNTO A E B
Fonte: O Autor (2021).
Todo elemento de uma função é da forma (x , y), por efeito de notação usamos:
( x,f (x)).
Ex. 02 
Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3} e B = { x ∈ N / 2x – 9 < 7}. Considere a função f: A 
→ B definida por y = f(x) = 2x + 1. Calcule f(0), f(1), f(2) e f(3). Faça um diagrama de flechas 
indicando a função. 
Resolução: 
Vemos que 2x – 9 < 7, então 2x < 7 + 9. Assim 2x < 16 implica em x < 8. Logo B = 
{0,1,2,3,4,5,6,7}. Desta forma:
f(0) = 2.0 + 1 = 0 + 1 = 1
f(1) = 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3
f(2) = 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5
f(3) = 2.3 + 1 = 6 + 1 = 7
FIGURA 6 – RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS A E B
Fonte: O Autor (2021).
23UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
4. DOMÍNIO E IMAGEM DE FUNÇÕES
Em várias áreas das ciências, como matemática, física, engenharias, química, 
biologia, economia e outras, as funções estão presentes. O objetivo de uma função é ca-
racterizar um termo que pode ser escrito em função de outro. Por exemplo:
A área de um quadrado é dada por lado vezes lado. Isso escrito como função é:
A( l ) = l 2
O que isso significa? A função é a área A, os parênteses na frente incluem a variá-
vel da função, que neste caso é o lado do quadrado l. Dessa forma a função é como uma 
máquina que quando embutimos nela uma moeda e giramos a alavanca, ela nos fornece 
um resultado. Para cada valor de l, teremos um resultado diferente para a área, veja:
A (l) = l2
A(1) = (1)2 =1
A(4) =(4)2 =16
A(-3) = (-3)2 =9
Veja no último caso que podemos ter um resultado positivo mesmo que o valor 
assumido pela variável é negativo. Contudo, quando as funções são aplicadas em sistemas 
reais, alguns resultados não tem sentido, nesse caso, não temos um lado negativo de um 
quadrado.
24UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
4.1 Domínio e Imagem de uma Função
Quando se trata de funções, existem algumas características fundamentais. O 
primeiro será chamado de domínio. Basicamente domínio de uma função são todos os pos-
síveis valores que podemos atribuir as variáveis da função para que forneça um resultado 
bem definido. Vejas alguns exemplos:
Ex. 01
Encontre o domínio da função f (x) = 5 x
Resolução:
Veja que podemos atribuir qualquer valor para x, seja ele negativo, nulo, positivo, 
uma fração ou mesmo uma dízima. Portanto, dizemos que o x pertence ao conjunto dos 
números reais:
D = {x ∈ }
Ex. 02
Dada a função abaixo, encontre seu domínio
Resolução:
Inicialmente, vamos fazer uma experiência. Nesse exato momento, pegue uma 
calculadora, seja ela científica, comum, do celular ou do computador, e faça a divisão de 5 
por zero. O que acontece? 
Muito provável que alguma resposta como: “não é possível dividir por zero” ou 
“erro” apareceram em seu visor da calculadora. Isso significa que não podemos dividir um 
número por zero. Logo, x = 0 não faz parte do domínio da função, pois fazendo:
Logo, dizemos que:
Lendo essa última expressão: O domínio da função é x que pertence ao conjunto 
de todos os reais, tal que x deve ser diferente de zero. Ou seja, qualquer calor de x está no 
domínio da função, menos quando x=0.
25UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Ex. 03
Encontre o domínio da função
Resolução:
Nesse caso, vamos analisar outro fator, a raiz quadrada. Sabemos que dentro do 
conjunto dos números reais, não existe raiz de números negativos. Logo:
Assim, qualquer valor da incógnita que seja nulo ou maior do que zero, está dentro 
do domínio da função.
Agora que compreendemos o que significa o domínio de uma função, vamos en-
tender outro conceito simples, a Imagem de uma função. Basicamente a imagem de uma 
função é o valor assumido pela função quando encolhemos um valor para a incógnita. Veja:
Ex. 04
Determine a imagem da função quando x = 6.
f(x) = 3x-8
Resolução:
f (6) = 3.(6)-8
f (6) = 18-8
f (6) = 10
Logo Im =10.
Ex. 05
Determine a imagem da função quando z = -4.
g(z) = 4z
Resolução:
g(-4) = 4.(-4)
g(-4)= -16
 Portanto Im = -16.
Para que uma relação binária seja função, cada x do domínio deve estar associado 
com um único y no contradomínio. Assim, podemos identificar se um gráfico cartesiano re-
presenta uma função traçando retas paralelas ao eixo y. Então você pode notar que se todas 
essas retas verticais interceptam o gráfico em apenas um ponto, então, temos uma função.
Observe as figuras a seguir:
26UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
FIGURA 7 – GRÁFICO QUE NÃO REPRESENTA UMA FUNÇÃO
Fonte: STEWART, 2016. 
Nessas figuras note que a lei de formação de ambas tem domínio o intervalo D = 
[x1 , x2]. Mas a Figura 7 não representa função pelo fato existir um x D com mais de uma 
imagem, enquanto a Figura 8 representa uma função.
FIGURA 8 – GRÁFICO QUE REPRESENTA UMA FUNÇÃO
Fonte: STEWART, 2016. 
4.2 Crescimento e Decrescimento de Função 
Suponha que F seja uma função real pertencente ao domínio do conjunto D. Se R 
é um subconjunto de D, logo é possível classificar as funções em crescente, decrescente e 
constante mediante o gráfico. 
27UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
● CRESCENTE: f é crescente em R, para quaisquer valores x_1 e x_2 
 pertencentes a R, sendo x 1 < x 2, temos f (x_1) < f (x_2).
● DECRESCENTE: f é decrescente em R, para quaisquer valores x_1 e x_2 
 pertencentes a R, sendo x1 < x 2, temos f (x1) > f (x2).
● CONSTANTE: f é constante em R, para quaisquer valores x 1 e x 2 
 pertencentes a R, sendo x 1 ≠ x 2 , temos f (x1) = f (x2).
É válido ressaltar que uma função real de variável real diz respeito a uma função 
que apresenta números reais tanto nos elementos do conjunto de partida ou domínio, como 
no conjunto imagem. Desse modo, em razão dos números pertencerem ao conjunto R, a 
função é dada por f: R → R.
Como exemplos de funções reais de variáveis reais, veja as sentenças a seguir: 
f(x) = 5x + 7, f(x) = x3 + 2x + 4, f(x) = -12x + ¾. Note que, quando resolvermos as funções, 
chegaremos em um número real, isso se trocarmos o x por um valor real. 
O conjunto constituído pelos números reais que possuem imagem denomina-se 
domínio real. Ademais, uma função real de variável real normalmente é dada por f: A → R, 
onde A é um subconjunto dos números reais. Porém, é importante destacar que nem todos 
os números reais tenham imagem pela função. De modo a se chegar ao domínio real, é 
necessário refletir acerca da condição de existência da lei de formação da função. 
28UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
REFLITA
Pitágoras dizia que o “Universo deve ser visto como um todo harmonioso, onde tudo 
emite um som ou vibração e obedece a uma ordem criada pelos números”. Os números 
estão muito enraizados em nosso dia a dia que nem pensamos mais sobre eles, mas 
o que eles representam? São formas apenas de medir ou quantificar o que existe ao 
nosso redor?
Fonte: Pereira (2013).
SAIBA MAIS
Quando o tronco de uma árvore é cortado, é fácil notar que existem círculos escuros.
Cada círculo desse é chamado de anel de crescimento. Cada anel corresponde a um 
ano de vida. Nas espécies de regiões tropicais, como é o caso do Brasil, os anéis são 
difíceis de definir. Os anéis são contados de dentro para fora, a partir da medula. Nas ár-
vores que vivem em regiões de clima temperado esses anéis são bem fáceis de contar. 
Podemos associar essa contagem a uma função do primeiro grau.
Fonte: Santos (2020).
29UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Pronto! Você chegou ao final da Unidade I de nosso material, foi possível estudar 
e abordar uma série de tópicos da matemática envolvendo proporção entre grandezas, as 
quais variam de forma direta ou inversa entre si. Na sequência adentramos nos conjuntos 
numéricos e classificamos os números em naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
Iniciamos nossos estudos sobre funções, a representação de conjuntos, como 
calcular o domínio e imagem de uma função.
Espero que você tenha aproveitado ao máximo esse material e que ele sirva como 
referência para futuras consultas. 
30UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
MATERIALCOMPLEMENTAR
FILME/VÍDEO
Título: Donald No País Da Matemágica
Ano: 1959.
Sinopse: É uma aventura voltada para o mundo infantil, mas tam-
bém é muito interessante para adultos. Espécie de documentário, 
com 27 minutos, no qual Disney usa a animação para explicar 
como a matemática pode ser fácil de entender e como ela está 
aplicada em coisas muitos simples do cotidiano.
LIVRO
Título: Matemática Básica Para Cursos Superiores
Autor: Sebastião Medeiros da Silva.
Editora: Atlas.
Sinopse: Esta obra tem como principal objetivo oferecer uma revi-
são dos conhecimentos de Matemática para os alunos ingressan-
tes no Ensino Superior, apresentando as ferramentas necessárias 
para o desenvolvimento de seu raciocínio lógico. Ele apresenta 
exercícios e incentivos para o uso de recursos eletrônicos, como 
calculadoras programáveis e tabelas em Excel. Livro-texto para 
a disciplina Matemática do ciclo básico de cursos nas áreas de 
Ciências Humanas e Ciências Sociais Aplicadas.
31
Plano de Estudo:
● Funções do primeiro grau;
● Funções de segundo grau;
● Funções modulares;
● Funções exponenciais.
Objetivos da Aprendizagem:
● Estudar as funções polinomiais de primeiro e segundo grau;
● Aprender a calcular e aplicar funções exponenciais;
● Compreender funções modulares.
UNIDADE II
Funções Polinomiais,
Exponencial e Modular
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva
32UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 32UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
INTRODUÇÃO
Olá, caro(a) aluno(a), nesta segunda unidade, vamos ver em específico algumas 
funções que compõe uma vasta aplicação nas ciências exatas, principalmente nas enge-
nharias. Vamos começar estudando as funções de primeiro e segundo grau, assim como 
suas representações gráficas.
Na sequência, vamos entrar em duas funções características, as exponenciais 
e as modulares, as quais são vagamente aplicadas em outros ramos como em ciências 
biológicas e economia. 
Esperamos que essa unidade tenha grande proveito para você.
33UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 33UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
INTRODUÇÃO
Olá, caro(a) aluno(a), nesta segunda unidade, vamos ver em específico algumas 
funções que compõe uma vasta aplicação nas ciências exatas, principalmente nas enge-
nharias. Vamos começar estudando as funções de primeiro e segundo grau, assim como 
suas representações gráficas.
Na sequência, vamos entrar em duas funções características, as exponenciais 
e as modulares, as quais são vagamente aplicadas em outros ramos como em ciências 
biológicas e economia. 
Esperamos que essa unidade tenha grande proveito para você.
34UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 34UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
1. FUNÇÕES DE PRIMEIRO GRAU
Quando um sistema pode ser descrito por uma igualdade em que temos números 
e uma variável a se determinar, temos uma equação. O objeto desconhecido na literatura 
pode ser chamado de incógnita, parâmetro ou variável. Em termos básicos, o problema 
de uma equação simples de primeiro grau é encontrar o valor da variável que satisfaça a 
equação. Veja um exemplo:
12x - 36 = 12
Para encontrar o valor da variável x que satisfaça essa equação, devemos isolá-lo 
na expressão. Portanto, primeiro passamos para a direita , que se torna positivo:
12x = 12 + 36
12x = 48
Agora, para finalizar, o número 12 está multiplicando a incógnita. Logo, passamos o 
12 dividindo para o lado direito da igualdade. Assim encontramos o valor da variável.
Contudo, uma equação deve ser classificada quanto a ordem da sua variável:
ax + b = 0
Note que a variável x está elevado ao expoente 1 (por isso não está especifica-
do). Já os termos a e b são constantes que pertencem ao conjunto dos números reais (o 
conjunto que engloba praticamente todos os números, como negativos, zero, positivos, 
frações, raízes e dízimas).
35UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 35UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Caso a variável x estivesse elevado ao expoente dois, a equação seria de segundo 
grau. Se estivesse elevado ao expoente 7, seria de sétimo grau, e assim por diante. Nesse 
capítulo, vamos dar ênfase a equação de primeiro grau. Vamos à alguns exemplos.
Ex. 01
Resolva a equação
3x + 3 = 12
Resolução:
Começamos fazendo algumas operações algébricas. Primeiro, o que está soman-
do (ou subtraindo) vai para o outro lado da igualdade. Como se tivéssemos que deixar 
variáveis de um lado da igualdade e números do outro.
3x = 12-3
3x = 9
Passando o termo que está multiplicando a incógnita:
Ex. 02
Resolva a equação
9y - 2y = 12 + 4y
Resolução:
Separando a variável de um lado da igualdade:
9y - 2y - 4y = 12
3y = 12
Portanto:
y = 4
Ex. 03
Resolva a equação
Resolução:
Separando a variável de um lado da igualdade:
Nesse caso, para somar uma fração om um número (ou uma fração com outra 
fração), é necessário que o denominador seja o mesmo. Existem algumas maneiras de 
resolver essa soma, a mais conhecida é o MMC (mínimo múltiplo comum). Contudo, nesse 
caso, vou apresentar uma forma diferente. 
36UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 36UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Multiplicando o segundo termo por é o mesmo que multiplicar por 1. Uma vez 
que e a unidade vezes um termo é ele mesmo. Assim, não estamos alterando em nada 
o segundo termo, mas conseguimos deixa-lo com o mesmo denominador que o primeiro:
Isolando a variável, ou seja, passando o 2 multiplicando e o 9 subtraindo:
Ex. 04
Resolva a equação
Resolução:
Devemos começar isolando variáveis e números na equação:
Nesse momento caro leitor(a), fique à vontade para fazer a soma de frações como 
achar mais fácil e prático.
37UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 37UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Ex. 05
Encontre o valor da variável que satisfaça a equação
Resolução:
Isolando os termos:
Veja que ambos os lados da igualdade temos o sinal negativo. Assim, podemos 
simplificar. Ficando apenas:
Passando o número 4 que está multiplicando na esquerda da igualdade, para a 
direita dividindo junto ao 3:
1.1 Gráfico da equação do primeiro grau
A função do primeiro grau tem sua forma genérica dada por:
f (x) = ax + b
Aprendemos que é o coeficiente angular e o coeficiente linear. Contudo, grafica-
mente, qual o significado desses parâmetros?
O coeficiente angular mede a inclinação da reta, em outras palavras, quanto maior 
o coeficiente angular de uma função, mais inclinada é a curva. Caso o coeficiente angular 
seja igual a zero (a = 0), então, a curva não possui inclinação e, se o coeficiente de inclina-
ção for negativo (a < 0), então a curva é orientada para baixo. Tome como exemplo o gráfico 
da função afim (função de primeiro grau):
38UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 38UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
FIGURA 1 – FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU COM DIFERENTES
 VALORES PARA O COEFICIENTE ANGULAR
Fonte: PHET. Inclinação e Intersecção no Eixo Y. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/graphin-
g-slope-intercept/latest/graphing-slope-intercept_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.
O ponto destacado em rosa indica onde a curva toca o eixo das coordenadas. 
Portanto, o ponto em que a bolinha está mostrando no gráfico é o coeficiente linear b, nesse 
exemplo, é no ponto y =2. 
Como mencionado, no primeiro caso f (x) = y = 2x+2, ou seja, o coeficiente angular 
é positivo. No segundo gráfico f(x) = y =-2x+2, logo a inclinação é negativa e a reta aponta 
para baixo. No terceiro caso, não há inclinação f (x) = y =0.x+2 → f (x) = y = 2. 
39UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 39UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
2. FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Toda a equação que tem o formato x2+bx+c = 0 , em que a, b e c são números 
reais é dita equação do segundo grau e o motivo para essa nomeação é devidoao fato da 
variável da função apresentar o maior expoente igual a 2. 
A solução de uma equação do é obtida através de um método desenvolvido por 
Bhaskara, matematicamente escrito como:
Em que:
Analisando o valor de delta podemos tirar três conclusões:
Δ > 0 → têm-se duas raízes reais e diferentes
Δ = 0 → têm-se duas raízes reais e iguais.
Δ < 0 → têm-se duas raízes imaginárias.
Além disso, veja com muita atenção que quando o coeficiente que multiplica o 
termo quadrático for igual a zero, ou seja a = 0, então não será uma equação de segundo 
grau, mas sim de primeiro. Pois o que restará será apenas bx + c = 0, que é a expressão 
genérica de uma equação de segundo grau. Vamos resolver alguns exemplos para que 
você compreenda o método de Bhaskara.
40UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 40UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Ex. 01
Resolva a equação
4x 2 - 5x - 6 = 0
Resolução:
Primeiro, identifique o termo a, b e c:
4x 2 - 5x - 6 = 0
ax2 + bx + c = 0
Portanto:
Veja que o sinal negativo deve ser levado em conta também. Vamos calcular o valor 
de delta agora:
Atente-se aos sinais no cálculo do valor de delta. Outro ponto importante é que o 
ideal é que o resultado de delta seja um valor que tenha raiz quadrática exata. Nesse caso, 
a raiz quadrada de 121 é 11, o que é um bom sinal que sua resolução está caminhando 
para o resultado certo.
Vamos calcular as raízes da equação. Da expressão genérica temos:
O sinal positivo para a raiz quadrada de delta é para uma das raízes, por outro lado, 
o sinal negativo diz respeito a segunda raiz. Vamos calculá-las separadamente:
Já a segunda raiz:
Portanto, as raízes da equação são x1 = 2 e .
41UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 41UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Ex. 02
Resolva a equação
x2 -12x + 36 = 0
Resolução:
Primeiro, identifique o termo a, b e c:
Observe que quando não tem “nada” multiplicando uma variável, não importa o seu 
expoente, é o mesmo que o número 1 multiplicando o termo. Portanto, x2 = 1. x 2 → a = 1.
Esse caso é muito importante! Quando delta for nulo, as raízes são idênticas, pois 
o que faz x1 ser diferente de x2 é ±√Δ na equação genérica da raiz. Dessa forma:
Como √0=0, resta apenas
Ex. 03
Resolva a equação
x2 - 9x =0
Resolução:
Nesse caso não precisamos fazer o processo de Bhaskara. Basta isolar a variável:
x2 - 9x
Podemos simplificar em ambos os lados, deixando da forma:
x = 9
Essa portanto é a solução da equação.
42UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 42UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Ex. 04
Encontre as raízes da equação:
Resolução:
Comparando a expressão de segundo grau com a equação genérica, temos os 
coeficientes dados por:
Assim:
Observe que elevar uma raiz quadrada ao quadrado é o mesmo que simplificar a 
raiz, restando apenas o número.
Já a segunda raiz:
Portanto, as raízes da equação são x1 = 1,3 e x2 = -2,7.
43UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 43UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Ex. 05
Calcule as raízes da equação
(2x -3)2 = (4x-3)2
Resolução:
Primeiro, para deixar essa equação com a forma de uma equação de segundo 
grau, fazemos uma expansão dos termos:
Soma pela diferença: (a-b)2 = a2 - 2ab + b2. No nosso caso
4x2-12x+9 =16x2-24x+9
Passando todos os termos da esquerda para a direita:
0 = 16x2-26x + 9 - 4x2+12x-9
0 = 12x2 -12x
Agora retornando o -24x para a esquerda:
12x = 12x2
Como temos em ambos os lados da equação:
12x = 12x 
Isolando a incógnita, ou seja, passando o 12 dividindo:
Para verificar se o resultado está certo, basta substituir na expressão original e 
verificar se a igualdade é satisfeita:
Lembrando que qualquer número ou incógnita elevado à um expoente par fica 
positivo. Assim, temos:
1=1
O que comprova a validade do nosso resultado.
2.1 Vértice de uma Parábola
Observando que o gráfico da função quadrática é uma parábola com concavidade 
voltada para cima ou para baixo, então temos um ponto máximo ou mínimo dependendo 
do sinal do coeficiente a. Esse ponto é chamado de vértice da parábola y = ax2 + bx + c. É 
no vértice que o gráfico muda de crescente para decrescente ou vice-versa. O vértice da 
função é dado pelo ponto V (xV , yV), cujas coordenadas são:
44UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 44UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
O gráfico da função f: R→ R quadrática é simétrica em relação à reta R vertical que 
passa pela abscissa do vértice. 
Quando o valor do coeficiente a é maior que zero, a ordenada do vértice da parábola 
é também chamado de valor mínimo. Se o valor do coeficiente a é menor que zero, então 
dizemos que a ordenado do vértice é o valor máximo.
Ex. 06
Considere a função f: R→ R definida por f (x) = x2 – 5x + 6. Obter o vértice do gráfico de f.
Resolução:
Para obtermos o vértice dessa parábola iremos usar a fórmula 
Então:
Logo temos 
FIGURA 2 – VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA
Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/
graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.
45UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 45UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
2.2 Análise gráfica da equação de segundo grau
Para finalizar nossos estudos sobre equações do segundo grau, vamos examinar 
cara parâmetro do ponto de vista gráfico. A equação do segundo grau é dada por:
ax2 + bx+c = 0
1) Termo quadrático a:
Esse número está multiplicando x 2, isso significa que se a > 0 então o gráfico da 
equação de segundo grau tem concavidade voltada para cima. Mas se a < 0, então a con-
cavidade é para baixo.
Tome como exemplo a equação x2 + x -2 = 0 e - x2 + x + 2 = 0 :
FIGURA 3 – PARÁBOLA VARIANDO O COEFICIENTE a
Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/
graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.
2) Coeficiente b:
Esse coeficiente multiplica o termo que multiplica x e é responsável por deslocar a 
parábola no sentido positivo ou negativo do eido das abcissas. Observe a equação x2+0x-2 
= 0, ou seja, com coeficiente b = 0.
FIGURA 4 – PARÁBOLA CENTRADA
Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/
graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.
46UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 46UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Note que a concavidade está centralizada. Agora vamos aumentar o termo b gra-
dativamente:
FIGURA 5 – PARÁBOLA DECENTRALIZADA PARA A ESQUERDA
Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/
graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.
Agora reduzindo gradativamente o termo :
FIGURA 6 – PARÁBOLA DECENTRALIZADA PARA A DIREITA
Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/
graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.
Deixando claro que o termo é responsável por deslocar o gráfico, fazendo com que 
o vértice ora se situe em um quadrante, ora no seu simétrico.
47UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 47UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
3) Coeficiente c: 
Esse termo é um número real e basicamente sua função é mostrar em que ponto 
do eixo das coordenadas a parábola intercepta. Vamos analisar alguns exemplos, dada a 
equação de segundo grau do tipo x2 + 5x + 1
FIGURA 7 – PARÁBOLA INTERCEPTANDO O EIXO DAS COORDENADAS EM y = 1
Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/
graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.
Observe no marcador que a parábola passa pelo ponto y = 1. Vamos ver mais 
algumas funções:
FIGURA 8 –PARÁBOLA INTERCEPTANDO O EIXO DAS COORDENADAS EM y = -4
Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadrati-
cs/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.
48UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 48UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
FIGURA 9 – PARÁBOLA INTERCEPTANDO O EIXO DAS COORDENADAS EM y = 3
Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/
graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.
FIGURA 10 – PARÁBOLA INTERCEPTANDO O EIXO DAS COORDENADAS EM y = -2
Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/
graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.
https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html
49UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 49UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
3. FUNÇÕES MODULARES 
Suponha que você está em uma nova cidade e pergunta a alguém onde fica o 
shopping. É provável que a pessoa responda que o shopping está a uma quantidade de 
quilômetros de distância. Esse valor é positivo, dado que as medidas vinculadas à distância 
apresentam um valor positivo. 
Note, portanto, que a distância é conceituada como a medida da separação de 
dois pontos. Ao tratarmos da distância entre dois pontos, discorremos sobre o mínimo 
comprimento entre os prováveis trajetos, saindo de um ponto A e alcançando um ponto B. 
Percebe-se assim que a distância é sempre uma medida positiva. Além disso, a distância 
de um ponto A até um ponto B é a mesma distância do ponto B até o ponto A. 
Com base nessas reflexões, faz-se agora uma análise do conceito de módulo ou 
valor absoluto de um número real x, o qual relaciona-se à distância de um ponto da reta à 
origem. É válido ressaltar que, para a definição do módulo ou valor absoluto de um número 
real, a exemplo de |x|, são utilizadas essas duas barras | | a fim de representar o módulo de 
x. Outrossim, mostra-se a distância de x a zero na reta real ao trabalhar com o módulo de x. 
Matematicamente o módulo é compreendido como: 
50UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 50UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
A partir disso, pode-se constatar que o módulo (ou valor absoluto) de um número 
real positivo é o próprio número, e o módulo (ou valor absoluto) de um número real negativo 
é o oposto do número simetricamente em relação ao eixo das coordenadas.
Ex. 01
a) |+6| = 6 e |–6| = –(–6) = 6 
b) |8| = 8 e |–8| = –(–8) = 8 
3.1 Equações Modulares
As equações modulares são aquelas em que a incógnita se encontra dentro do mó-
dulo. De modo a solucionar as equações modulares, é necessário levar em consideração 
as condições do módulo de um número. 
Observe alguns exemplos de equações modulares abaixo.
Ex. 02
Solucione a equação |x + 3| = 6.
Resposta:
Aplicando as regras da função módulo |x + 3| = 6 ou x + 3 = - 6, vamos resolvê-las 
individualmente.
x+3 = 6→ x = 6-3→ x =3
x+3 =-6→ x =-6-3→x =-9
Assim, a equação modular tem solução S = {-9 ; 3}
Findado o exemplo, agora, iniciaremos a explicação sobre a função modular, a 
qual refere-se à função disposta dentro de um módulo. Isto posto, sua lei de formação 
apresenta pelo menos uma variável no interior do módulo, de modo que o seu formato 
seja retratado por y = | f (x)| . Vale ressaltar que sua aplicabilidade no cotidiano se dá, por 
exemplo, na comparação das temperaturas entre duas ou mais cidades. Portanto, é uma 
função bastante importante. 
O gráfico de uma função modular pode ser formado a partir da substituição dessa 
função por outras duas funções análogas. 
É importante destacar ainda que todas as funções modulares podem ser expressas 
por mais de uma sentença. Veja abaixo alguns exemplos de funções modulares.
51UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 51UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Ex. 04
Elaborar o gráfico da função real f(x)= |x|.
Resposta:
Com base na definição de módulo, tem-se que:
Quando x ≥ 0 tem-se a bissetriz do 1º quadrante e, quando x < 0, a bissetriz do 
2º quadrante. 
Indo um pouco além, pode-se também considerar que g (x) = x é uma reta que 
passa pela origem. 
Assim sendo, elabore o gráfico e estabeleça a projeção da parte negativa para positiva.
FIGURA 11 - GRÁFICO DE f(x) = |x|
Fonte: GEOGEBRA. Disponível em: https://www.geogebra.org/calculator. Acesso em: 09 dez. 2021.
Ex. 05 
Se a função f: R → R é definida por f (x) = |x2 – 4|, construa o gráfico dessa função.
Resposta:
A partir da definição de módulo, tem-se que:
Assim sendo, é possível elaborar o gráfico da função e estabelecer a projeção da 
parte negativa para a positiva. 
https://www.geogebra.org/calculator
52UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 52UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
FIGURA 12 - GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x) = |x2 – 4|
Fonte: GEOGEBRA. Disponível em: https://www.geogebra.org/calculator. Acesso em: 09 dez. 2021.
53UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 53UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
4. FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Quando estudamos crescimento de bactérias, ou mesmo de preço de ações na 
bolsa de valores, até em física quando fazemos um estudo de um movimento em queda 
livre e precisamos determinar a velocidade limite de queda, nos deparamos nesses casos 
com a função exponencial.
Vamos definir a função exponencial:
Seja um número real a (a>0 e a ≠1), denomina-se função exponencial de base e 
que essa base seja necessariamente positiva.
f (x) = ax
 Abaixo está o gráfico da função exponencial para diferentes valores do expoente.
FIGURA 13 - FUNÇÃO EXPONENCIAL COM TERMO a = 2 E a = 0,5
Fonte: STEWART, 2016.
54UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 54UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Não é possível que a base seja um número negativo, igual a zero ou igual a 1. 
Por isso o domínio da função vai dos reais para os reais positivos .
Vamos à alguns exemplos:
Ex. 01
Classifique se as funções abaixo são exponenciais.
Resolução:
I. f (a) = 2a, como a base é maior do que , então é uma função exponencial.
II. f (x) = 4x, veja que 4 >1, então a função é exponencial.
III. , dessa vez temos o número 1/2 que se localiza entre 0 < a < 1, logo, 
 também é uma função exponencial.
IV. f (x) = (-1)x , nesse caso a base é negativa, isso significa que não é uma 
função exponencial.
V. f (x) = (1)x , como a base é igual a 1, isso não é uma função exponencial.
VI. f (x) = (x)4, observe que a base é a variável, isso caracteriza uma função polinomial.
A função exponencial a variável vai no expoente. Logo f (x) = (x)4 não é exponencial.
Agora no próximo exemplo, vamos trabalhar com as regras de potencialização e 
 de base dez visto no capítulo anterior.
Ex. 02
Dada a função exponencial f (x) = 3x, calcule:
I) f (3);
II) f (-2);
III) f (0,5).
55UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 55UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Resolução:
Vamos calcular o valor da incógnita em funções exponenciais.
Ex. 03
Determine o valor da variável na equação
3x+1 = 81
Resolução:
Para calcular o valor da variável, primeiro devemos deixar o lado direito da igualda-
de na mesma base que o lado esquerdo, ou seja
3x+1 = 34
Uma vez que 34 = 3.3.3.3=81. Agora, podemos simplificar as bases e sobra apenas:
Ex. 04
Resolva a equação
Resolução:
Vamos transformar o termo de dentro da raiz na base 2:
Note que ainda as bases não são iguais. Mas vamos verificar a seguinte propriedade:
Portanto:
Simplificando as bases:
56UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 56UNIDADE II Funções Polinomiais,Exponencial e Modular 
Ex. 05
Resolva a equação exponencial
7x
2
- 4 = 1
Resolução:
Observe que as bases não são iguais e não tem como modificar isso. Contudo, 
lembre-se que qualquer coisa elevada a zero é igual a 1. Ou seja, podemos trocar o lado 
direita da igualdade por:
7x
2
- 4 = 70
Assim a base é a mesma, podemos simplificar, ficando da seguinte forma
x2-4 = 0
x2 = 4
∴x = ±2
Ex. 06
Determine o valor da incógnita 
Resolução:
Vamos colocar todos os termos na mesma base, podemos ver que 36 e 216 são 
múltiplos de 6, assim:
Do lado direito da igualdade, invertemos a ordem, com isso o expoente fica negativo.
Ademais, o lado esquerdo podemos usar a propriedade de multiplicação , ficando 
da seguinte forma:
Como a base é a mesma, podemos fazer:
57UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 57UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Ex. 07
Determine o valor da variável na igualdade abaixo
Resolução:
Primeiramente 0,75 = 75/100. Então:
Simplificando o lado esquerdo da igualdade por 25:
Comparando os dois lados
x = 2
Ex. 08
Resolva a equação
Resolução:
Como a base é a mesma:
Multiplicando cruzado:
58UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 58UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
4.2 Crescimento e Decrescimento 
Nas construções que fizemos, você deve ter notado que a função f (x) = 2x é cres-
cente e a função é decrescente. Em uma função exponencial, não existe a 
necessidade da construção do gráfico para constatarmos isso. A função pode ser crescente 
ou decrescente conforme o valor de sua base. Se ela for maior que 1, a função é crescente; 
se a base for um número real entre 1 e 0, temos uma função decrescente.
Indiferente da função exponencial f (x) = a x ser crescente ou decrescente, seu 
gráfico sempre cruza o eixo das ordenadas, eixo y, no ponto (0, 1). Outro fator a ser notado 
é que, pelo fato de termos , o seu gráfico não toca o eixo x.
4.3 Inequações exponenciais
Como existem equações com incógnitas no expoente, também existem inequa-
ções. Contudo, os processos de resolução são muito parecidos. Você deve sempre buscar 
determinar uma desigualdade com elementos de mesma base. 
Definimos como inequação exponencial toda desigualdade que possui variável no 
expoente. Como por exemplo, 3 x-1 > 81.
Toda inequação tem como referência funções, adotamos as mesmas condições 
para as funções exponenciais. Para resolvermos uma inequação exponencial devemos nos 
preocupar com as seguintes propriedades: 
● Se a >1 temos ax2 > ax1 gerando x2 > x1 (conserva o sentido da desigualdade).
● Se 0 < a < 1 temos ax2 > ax1 gerando x2 < x1 (inverte o sinal da desigualdade).
Os processos de resoluções de inequações exponenciais necessitam e muito que 
você tenha consolidado os conceitos de potenciação para expressões de mesma base. 
Também é importante ter um suporte de outras inequações, em especial as do primeiro e 
segundo graus.
Ex. 09
Determine o conjunto solução da inequação 2x-1 > 128.
Resolução:
Na fatoração de 128 temos 27, assim
2x-1 > 27 => x – 1 > 7= > x > 8.
Logo, a solução da inequação é o conjunto S = {x ∈ R/ x > 8}.
59UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 59UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
Ex. 08
Obter o conjunto solução da inequação .
Resolução:
Note que podemos escrever 27 = 33 ou ainda . Então temos:
Assim, temos x > –3. Verifique que mudamos o sentido da desigualdade pelo fato da 
base ser entre 0 e 1. Concluímos que a solução da inequação é o conjunto S = {x ∈ R / x > –3}.
REFLITA
Como dizia Ketely Almela “O conhecimento científico é uma ciência que permite-nos 
ampliar a semântica e o aprendizado que temos em relação ao mundo em que somos 
compostos”. Os assuntos abordados nessa unidade, permite que possamos descrever 
diversos fenômenos da natureza, caracterizado por funções. Você é capaz de pensar 
em algum? 
 
Fonte: Ketely Almela (2013). 
SAIBA MAIS
Quando o tronco de uma árvore é cortado, é fácil notar que existem círculos escuros. 
Cada círculo desse é chamado de anel de crescimento. Cada anel corresponde a um 
ano de vida. Nas espécies de regiões tropicais, como é o caso do Brasil, os anéis são 
difíceis de definir. Os anéis são contados de dentro para fora, a partir da medula. Nas ár-
vores que vivem em regiões de clima temperado esses anéis são bem fáceis de contar. 
Podemos associar essa contagem a uma função do primeiro grau.
Fonte: Santos (2020).
60UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 60UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Olá, caro(a) aluno(a), nessa segunda unidade vimos em detalhes alguns casos 
e os mais corriqueiros de funções polinomiais, especificamente falando, da função de 
primeiro grau e de segundo grau. Ademais, analisamos como essas funções são repre-
sentadas graficamente.
Junto a essas funções polinomiais, adentramos nas exponenciais, as quais pos-
suem grande aplicabilidade em qualquer área das ciências exatas e as funções modulares.
Esperamos que essa unidade tenha sido de grande proveito para sua formação 
acadêmica. Aguardamos você na próxima unidade.
61UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 61UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular 
MATERIAL COMPLEMENTAR
FILME / VÍDEO
Título: Cruzada
Ano: 2005
Sinopse: Ainda em luto pela repentina morte de sua esposa, o 
ferreiro Balian junta-se ao seu distante pai, Baron Godfrey, nas 
cruzadas a caminho de Jerusalém. Após uma jornada muito difícil 
até à cidade santa, o jovem valente entra no séquito do rei leproso 
Balduíno IV, que deseja lutar contra os muçulmanos para seu 
próprio ganho político e pessoal. O filme mostra os rudimentos de 
um sistema de coordenadas perpendiculares e suas vantagens. 
No filme, é retratada a retomada de Jerusalém pelos muçulmanos, 
em 1187; mesmo em menor número, o jovem francês Balian cria 
um sistema de coordenadas para defender Jerusalém, o que lhe 
permite obter maior precisão e otimização de seus recursos bélicos 
LIVRO
Título: Guias de estudo de Matemática: Relações e Funções
Editora: Ciência Moderna
Autores: Estela Kaufman Fainguelernt e Franca Cohen Gottlieb
Sinopse: O livro apresenta conceitos referentes à relação e função, 
fazendo uma sequência didática com maestria. O objetivo principal 
deste livro é conduzir o aluno na construção do significado dos 
conceitos de relação e função, bem como na compreensão de sua 
utilidade como instrumento de trabalho nos diferentes contextos 
em que são utilizados. Ele inicia abordando o conceito de relações 
e conforme vai avançando a leitura ele constrói os conceitos de 
funções e apresenta alguns casos particulares.
62
Plano de Estudo:
● Conceito de limite;
● Função contínua;
● Derivada e interpretação geométrica;
● Regras de derivada.
Objetivos da Aprendizagem:
● Compreender os tipos de limites e suas propriedades;
● Estabelecer a importância do limite para compreender 
o comportamento de uma função contínua;
● Aprender a interpretação geométrica da derivada de uma função;
● Estudar as regras de derivada.
UNIDADE III
Limites e Derivadas
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva
63UNIDADE III Limites e Derivadas
INTRODUÇÃO
Na segunda unidade, ao trabalharmos funções, fomos preparados para estudar o 
conceito de limite de funções de uma variável. Agora neste módulo vamos aprofundar os 
conhecimentos sobre limites. 
Iremos estudar os conceitos de limites com essa bagagem será apresentado a 
você algumas propriedades de limites, que visam facilitar a resolução de exercícios. 
Será preciso entender o que acontece com uma determinada função quando a 
variável tende a um valor real e está compreensão, para ser aplicada derivadas e integrais, 
é fornecida pelo conceito de limite. 
No terceiro capítulo compreenderemos graficamente o que é a derivada e como 
derivar funções polinomiais.Na sequência, iremos aprender as regras de derivadas trigo-
nométricas, exponenciais e a mais utilizada, a regra da potência.
Desejamos uma boa leitura e seja bem-vindo ao conhecimento de uma matemática, 
já não considerada básica.
64UNIDADE III Limites e Derivadas
1. CONCEITO DE LIMITE
Suponha que uma pedra seja solta do alto de um prédio. Através da cinemática, 
podemos calcular a função horária das posições pela seguinte equação:
Assumindo que o ponto de referência inicial S0=0 e que a velocidade inicial é nula v0 
, então a função horária se resume em:
Contudo, o valor da aceleração da gravidade é de aproximadamente g = 10 m/s2. 
Desse modo: 
Com essa expressão matemática podemos determinar a velocidade da partícula. 
Entretanto, se não soubermos o tempo total de queda, a expressão fica mais complicada de 
se resolver. Assim, podemos calcular a posição em um tempo ligeiramente maior, pratica-
mente uma fração de segundos, ou seja, a posição no tempo de S(t) e em S (t+0,1) , vamos 
usar como exemplo 6 segundos. A velocidade média é dada por:
65UNIDADE III Limites e Derivadas
À medida que diminuímos os períodos em que estamos calculando, a velocidade 
se aproxima de um valor limite. Veja mais alguns exemplos:
Para ∆t=0,05
Para ∆t=0,01
Para ∆t=0,001
TABELA 1 – VELOCIDADE INSTANTÂNEA
∆t=0,1 Vm = 60,5 m/s
∆t=0,05 Vm = 60,25 m/s
∆t=0,01 Vm = 60,05 m/s
∆t=0,001 Vm = 60,005 m/s
Fonte: o autor (2021).
66UNIDADE III Limites e Derivadas
Note que à medida que o intervalo de tempo tende a um valor cada vez menor a 
velocidade tende a um valor limite de 60 m/s 2 . Graficamente podemos pensar na inclinação 
da reta tangente que indica a velocidade do corpo e que à medida que o intervalo de tempo 
se restringe em um valor cada vez menor, a velocidade aproxima de um valor limite.
FIGURA 1 – LIMITE DA INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE
Fonte: STEWART, 2016.
Vamos analisar o comportamento da função f (x) = x2 - x+2 definida por para valores de 
x próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de para valores de próximos de 2, mas 
não iguais a 2.
FIGURA 2 – LIMITES DA FUNÇÃO QUANDO 
Fonte: STEWART, 2016.
Note que à medida que aproximamos o valor da variável por vindo de ambos os 
lados, o resultado tende ao mesmo valor, ou seja y = f (x) = 2, matematicamente isso é 
escrito como:
67UNIDADE III Limites e Derivadas
Por definição, temos: 
Suponha que f(x) seja definido quando está próximo ao número a. (Isso significa 
que f(x) é definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente no 
próprio a.) Então escrevemos
é dito que “o limite de f (x), quando x tende a a , é igual a L”. se pudermos tornar os 
valores de arbitrariamente próximos de (tão próximos de L quanto quisermos), tornando x 
suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a .
1.1 Limites Laterais
No exemplo dado anteriormente na função 
Temos que o quando x tende a x = 2 pela esquerda e pela direta resulta no mesmo 
valor. Sendo assim, para especificar por onde nos aproximamos do valor limite, devemos 
usar a seguinte notação:
Ex. 01
Determine o limite abaixo:
Resolução:
Ex. 02
Calcule o valor do limite
Resolução:
68UNIDADE III Limites e Derivadas
Ex. 03
Calcule
Resolução:
Note que, substituindo y = 0 na expressão, vai resultar em , esse resul-
tado é inconclusivo, pois não existem divisão por zero e nem zero por zero, então vamos 
expandir o denominador:
Aplicando os limites:
Ex. 04
Determine o limite de 
Resolução:
Fazendo x → 0 resulta em , que é um resultado inconclusivo. Sendo assim, 
vamos reescrever o numerador da seguinte forma:
69UNIDADE III Limites e Derivadas
2. FUNÇÃO CONTÍNUA
O limite de uma função quando x tende a a pode muitas vezes ser encontrado 
simplesmente calculando o valor da função em a. Funções com essa propriedade são 
chamadas de contínuas em a. Veremos que a definição matemática de continuidade tem 
correspondência bem próxima ao significado da palavra continuidade no uso comum.
Mas afinal de contas, o que vem a ser uma função contínua? De maneira simples, 
podemos dizer que uma função contínua é aquela na qual quando desenhamos o gráfico, a 
função não possui saltos ou quebras em seu domínio, ou ainda, função contínua é quando 
conseguimos desenhar o gráfico completo sem precisar interromper a linha desenhada. 
Uma função f (x) é contínua em x = a se satisfazer as três condições a seguir:
a) f (a) está definida existir
b) existir
c) 
Quando pelo menos uma destas condições não for satisfeita, a função f (x) é 
descontínua em x = a.
70UNIDADE III Limites e Derivadas
FIGURA 3 – FUNÇÃO CONTÍNUA
Fonte: STEWART, 2016.
Ex. 01:
Verifique a continuidade da função f(x) em x= 1
Está função possui valor quando x = 1 , pois f (1) = 1. Então, a primeira condição de 
continuidade foi satisfeita, pois é definida no ponto. Precisamos agora determinar o limite 
para quando x →1.
Encontramos uma das situações na qual o limite é indeterminado. Precisamos 
usar alguma das técnicas para conseguir calcular o limite. Neste caso, vamos escrever o 
numerador de outra maneira e encontrar o limite:
Portanto, o limite de , isto é, existe limite, satisfazendo a segunda condição. 
Por fim, precisamos verificar a terceira e última condição .
No exemplo, 
71UNIDADE III Limites e Derivadas
Como a última condição de continuidade não é satisfeita, podemos concluir que 
a função f (x) é descontinua em x =1. Uma maneira conforme foi dito no início do tópico é 
desenhar o gráfico da função. Ao fazê-lo, ficará evidente que no ponto onde x =1, a função 
possui uma descontinuidade. A Figura 4 ilustra esse fato.
FIGURA 4 - GRÁFICO DA FUNÇÃO USADA NO EXEMPLO DE LIMITES LATERAIS
Fonte: Adaptado de: Guidorizzi (2001).
Ex. 02:
Verifique a continuidade da função f (x) em x = -1.
A primeira condição é que a função deve estar definida no ponto analisado. Aqui, 
quando x = -1, temos:
Assim, a função satisfaz a primeira condição de continuidade. Para verificar a se-
gunda condição, vamos analisar os limites laterais. Pela esquerda:
Pela direita:
Note que os limites laterais existem e resultam no mesmo valor, isto quer dizer que:
72UNIDADE III Limites e Derivadas
E para finalizar, verificamos a terceira condição. Temos:
Portanto, a função analisada é sim uma função contínua em x = -1. Para ficar mais 
evidente, temos o gráfico da função a seguir (Figura 5).
FIGURA 5 - GRÁFICO DA FUNÇÃO USADA NO EXEMPLO DE LIMITES LATERAIS
Fonte: Adaptado de: Guidorizzi (2001).
Contudo, quando uma função não é contínua? Para verificar isso é muito simples, 
basta você desenhar a curva do gráfico sem tirar a ponta do lápis do papel. Entretanto, 
quando isso não é possível, é dito que a função é descontínua. 
FIGURA 6 – EXEMPLOS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS
Fonte: STEWART, 2016.
Em cada um desses casos, a função revela um caso de continuidade. Na primeira e 
na segunda figura, é descontinua por um ponto da curva, na segunda figura a função tende 
a infinito e no quarto gráfico é uma descontinuidade em saltos.
73UNIDADE III Limites e Derivadas
3. DERIVADA E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
Suponha que uma dada função seja expressada graficamente da seguinte forma:
FIGURA 7 – FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO
Fonte: STEWART, 2016.
Observe que a função faz um movimento de altos e baixos, porém existem pontos 
específicos dessa curva, aquelas em que ela inverte seu movimento. Estudamos no capítulo 
de funções qualquer curva tem uma taxa de inclinação, descrita pelo coeficiente angular da 
função. Quanto maior o coeficiente angular de uma função, mais inclinada é a curva, caso o 
coeficiente angular seja igual a zero, então a curva não possui inclinação e, se o coeficiente 
de inclinação for negativo, então a curva é orientada para baixo. Tome como exemplo o 
gráfico da função afim (função de primeiro grau):
74UNIDADE III Limites e DerivadasFIGURA 8 – DIFERENTES INCLINAÇÕES DE UMA RETA
Fonte: PHET. Inclinação e Intersecção. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-slope-in-
tercept/latest/graphing-slope-intercept_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.
O ponto destacado em rosa indica onde a curva toca o eixo das coordenadas, no 
exemplo é no ponto y= 2. Como mencionado, no primeiro caso f(x)= y =2x+2, ou seja, o coe-
ficiente angular é positivo. No segundo gráfico f (x) = y = -2x+2, logo a inclinação é negativa 
e a reta aponta para baixo. No terceiro caso, não há inclinação f(x) = y= 0.x+2→f(x)= y =2. 
Entretanto, como uma curva que possui vários altos e baixos pode ser descrita 
como crescente ou decrescente?? Vamos ver um exemplo:
FIGURA 9 – RETAS TANGENTES SEM INCLINAÇÃO NOS MÁXIMOS E MÍNIMOS
Fonte: STEWART, 2016.
Ao longo da curva da figura anterior, em alguns pontos, foram traçadas retas tan-
gentes, que nada mais são do que retas que tocam em um único ponto. Logo, uma reta 
tangente foi traçada no ponto A, em B, no ponto C e em P. Note que nos três primeiros 
casos a inclinação da reta tangente é igual a zero e no ponto P a inclinação é positiva, pois 
é direcionada para cima. Sendo assim, ao traçar uma reta tangente em um ponto, calcu-
lando a inclinação da reta tangente, podemos dizer que a função localmente é crescente, 
decrescente ou é um ponto de máximo e mínimo.
75UNIDADE III Limites e Derivadas
Porém, o que é um ponto de máximo e mínimo? O ponto de B é um ponto de má-
ximo e o ponto A e C são de mínimo, já o ponto P não é nenhum dos dois casos. Outro fato 
importante, é que na maioria dos casos, os pontos de máximos e mínimos são de reversão.
Assim, vamos definir a derivada de um ponto em uma função como a variação ins-
tantânea da função em relação a x nesse ponto. Sendo assim, a derivada mede a inclinação 
da curva em um dado ponto. Em nosso exemplo, a derivada nos pontos A, B e C é nula, por 
outro lado, no ponto P ela é positiva.
Em que ponto uma função não é diferenciável? Quando a reta tangente possui tal 
inclinação que fica posicionada na vertical.
FIGURA 10 – PONTO EM QUE A FUNÇÃO É NÃO DIFERENCIÁVEL
Fonte: STEWART, 2016.
Outro cenário é se a função é descontínua em um ponto. Logo, nesse valor, a 
derivada não é bem definida.
FIGURA 11 – FUNÇÃO DESCONTÍNUA
Fonte: STEWART, 2016.
76UNIDADE III Limites e Derivadas
Matematicamente como é escrita a derivada de uma função?
A notação de derivada é essa e o termo não é um valor d dividido por d vezes x. 
É um operador e o x em baixo indica a variável em que estamos derivando. Ou seja, é 
a derivada da função em relação a a derivada da função em relação a z e assim pode 
ser feito para qualquer função em relação a qualquer variável.
Contudo, existem casos particulares, um deles é quando derivamos um número em 
relação a uma variável ou uma função que depende de outra variável. Nesse caso é dito 
que estamos derivando uma constante!
Nesse caso, todas as derivadas são nulas pois os termos a serem derivadas são 
constantes em relação as variáveis em questão.
Outro caso bem definido é quando temos a variável derivada em relação a ela 
mesma, ou seja:
Vamos agora aprender a primeira regra de derivada.
77UNIDADE III Limites e Derivadas
4. REGRAS DE DERIVADA
Nessa última parte vamos aprender algumas regras da derivada. Em todo cálculo 
diferencial e integral, uma das mais clássicas são a regra da potência, exponenciais e as 
derivadas trigonométricas. Sendo assim, em nosso curso, que serve como base introdutória 
para o cálculo, vamos aprender essas três.
4.1 Regra da potência
Essa regra é atribuída para funções do tipo polinomiais. Considere n um número 
inteiro positivo, então:
No ditado popular, essa regra é conhecida como regra do tombo, pois seu princípio 
é baseado em tombar o número do expoente para frente da base, passando a multiplicá-la 
e quando ele “cai”, o número do expoente perde uma unidade. Vamos entender isso com 
alguns exemplos:
78UNIDADE III Limites e Derivadas
Ex. 01
Calcule a derivada f (x) = x 4.
Resolução:
Ex. 02
Determine a derivada de .
Resolução:
Quando há um termo elevado ao expoente 1 é o mesmo que não o escrever.
Em alguns casos, ao invés representarmos a derivada em sua forma por exemplo, 
podemos apenas escrever . Vamos para mais alguns exemplos:
Ex. 03
Calcule a derivada da função:
Resolução:
Nesse exemplo, o terceiro termo é nulo pois estamos derivando um valor que 
depende de x em relação a r , ou seja, é mesmo que derivar uma constante em relação a 
variável, e isso vale zero.
Ex. 04
Determine a derivada da função:
Resolução:
79UNIDADE III Limites e Derivadas
Observe que o segundo e o terceiro termo estão elevados à um expoente negativo, 
isso significa que quando o expoente tombar, então ela ficará mais negativo ainda -3 -1 = 
-4 e -2 -1 = -3. Ademais, atente-se ao jogo de sinais quando o expoente é negativo e passa 
multiplicar a base. O segundo termo ficou positivo pois (-3) multiplicou - x -4.
Ex. 05
Calcule a derivada da função:
Resolução:
Primeiro, nesse caso, é preciso carregar a variável que está no denominado no 
segundo caso para o numerador. Porém, lembre-se de que ao fazer esse procedimento o 
sinal do expoente se altera. Assim:
Agora vamos derivar a função:
4.2 Derivadas trigonométricas
Na trigonometria existem algumas funções bem definidas como sen(x), cos(x), tg(x), 
cotg(x), sec(x), cossec(x), entre outras. As derivadas base são as do seno e cosseno, as 
quais são calculadas usando os conceitos de limites. Entretanto, não vamos entrar nessas 
deduções matemáticas, uma vez que será de grande aplicabilidade para você saber lidar 
com as derivadas e não como deduzi-las.
Deste modo, existe uma tabela das derivadas trigonométricas:
TABELA 2 – TABELA DE DERIVADAS
Fonte: STEWART, 2016.
80UNIDADE III Limites e Derivadas
Outro detalhe importante é a periodicidade das derivadas trigonométricas. Veja que 
quando f(x) = sen(x), então:
Consequentemente 
A terceira derivada é:
Logo, se uma função for trigonométrica, a sua segunda derivada é igual ao mesmo 
valor da função a menos de um sinal, bem como para retornar à função primária sem alterar 
o sinal é precisar derivar pela quarta vez. Veja alguns exemplos:
Ex. 01
Calcule a derivada da função
Resolução:
Ex. 02
Calcule a derivada de
Resolução:
Veja que não é tão complicado trabalhar com derivadas trigonométricas, mas faça 
dessa tabela como seu principal apoio na resolução de exercícios.
81UNIDADE III Limites e Derivadas
4.3 Derivada da função exponencial 
A função exponencial natural é escrita na forma f (x) = ex 
FIGURA 12 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E A INCLINAÇÃO DA 
RETA TANGENTE EM ALGUNS PONTOS
Fonte: STEWART, 2016.
E a sua derivada é dada por:
Note então que a derivada da função exponencial é ela mesma. Vamos fazer alguns 
exemplos:
Ex. 03
Calcule a derivada da função
f (x)= ex - x2
Resolução:
f (x) = e x - 2x
A derivada do primeiro termo é ele mesmo, pois é uma função exponencial e a do 
segundo termo usamos a regra do expoente.
Ex. 04
Determine a derivada da função
Resolução:
82UNIDADE III Limites e Derivadas
SAIBA MAIS
Uma das aplicações mais básicas do cálculo diferencial em física é como calcular a ex-
pressão da velocidade de um corpo e aceleração, partindo da função horária das posições.
No movimento retilíneo uniformemente variado, aprendemos que a função do espaço é 
dada por:
Ao derivar a função do espaço, obtemos a função da derivada, esse é o significado da 
derivada na cinemática! Ou seja
Logo:
Ou seja:
Que é exatamente a expressão da velocidade em função do tempo. Caso você derive 
mais uma vez esse resultado, encontrará o valor da aceleração, uma vez que a derivada 
da função da velocidade resulta na aceleração do sistema:
Assim:
O que nos leva ao valor da aceleração instantânea do movimento.
Fonte: O Autor (2021).
83UNIDADE III Limites