Lista 1 - Eletromag (incompleta)

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BC0209 – Fenômenos Eletromagnéticos
Terceiro quadrimestre de 2010
Lista de Exerćıcios 1
Lei de Coulomb, campo elétrico, lei de Gauss
1. Na teoria de Bohr do átomo de hidrogênio, um
elétron descreve uma órbita circular ao redor de
um próton, sendo o raio da órbita de 5, 29× 10−11
m.
(a) Encontre a força elétrica entre os dois.
(b) Se esta força causa a aceleração centŕıpeta do
elétron, qual é a velocidade do elétron?
2. Considere um sistema formado por três cargas pon-
tuais. A carga de 5, 00 nC se encontra na ori-
gem de um sistema de coordenadas, a de 6, 00 nC
está em ~rA = (0, 300 m) ı̂ e a de −3, 00 nC em
~rB = (−0, 100 m) ̂.
(a) Encontre o vetor campo elétrico na origem,
devido às cargas de 6, 00 nC e −3, 00 nC.
(b) Encontre a força vetorial na carga que está na
origem.
3. Considere o dipolo elétrico com uma carga q na
posição x = a e uma carga −q na posição x = −a.
(a) Esboce as linhas do campo elétrico.
(b) Mostre que em um ponto distante ao longo do
eixo x a componente x do campo elétrico é
dada por
Ex ≈
4keaq
x3
.
4. Uma haste isolante uniformemente carregada de
comprimento 14, 0 cm tem a forma de um se-
mićırculo. A haste tem uma carga total de −7, 50
µC. Encontre a magnitude, direção e sentido do
campo elétrico em O, o centro do semićırculo.
5. Uma haste fina de comprimento ` e carga uniforme
por unidade de comprimento λ encontra-se ao longo
do eixo x, como mostrado na figura abaixo.
(a) Mostre que o campo elétrico em P , a uma
distância y da haste, sobre a mediatriz, é dado
por
~E =
2ke sen θ0λ
y
̂ .
(b) Use o resultado do item (a) para determinar
o campo elétrico em P para uma haste muito
longa (`� y)
Dica: faça a mudança de variável x = y tg θ e in-
tegre em θ.
6. Uma pequena esfera carregada positivamente tem
massa de 1, 00 g e cai do repouso no vácuo de uma
altura de de 5, 00 m em um campo elétrico verti-
cal uniforme com magnitude de 1, 00× 104 N/C. A
esfera atinge o solo a uma velocidade de 21, 0 m/s.
Determine o sentido do campo elétrico (para cima
ou para baixo) e a carga na esfera.
7. Considere uma distribuição de carga em um longo
cilindro de raio R, com densidade de carga ρ uni-
forme. Encontre o vetor campo elétrico a uma
distância r qualquer do eixo.
8. Uma placa quadrada de cobre com lados de 50, 0
cm sem carga ĺıquida é colocada em uma região de
campo elétrico uniforme de 80, 0 kN/C orientado
perpendicularmente à placa.
2
(a) Descreva qualitativamente o que ocorre com o
sistema quando a placa é colocada na região
com o campo elétrico.
(b) Encontre a carga total em cada face da placa.
9. Uma esfera isolante sólida de raio a tem densidade
de carga uniforme ρ e carga total Q. Uma esfera
oca não carregada condutora, cujos raios interno e
externo são b e c, como mostra a figura abaixo, é
concêntrica a essa esfera.
(a) Encontre a magnitude do campo elétrico nas
regiões r c.
(b) Determine a carga induzida por unidade de
área nas superf́ıcies interna e externa da esfera
oca.
10. Uma esfera de raio 2a é feita de material não con-
dutor que tem carga por unidade de volume ρ uni-
forme. (Suponha que o material não afeta o campo
elétrico.) Remove-se agora uma cavidade esférica
de raio a da esfera, como mostra a figura abaixo.
Mostre que o campo elétrico dentro da cavidade é
uniforme e é dado por
~E =
ρa
3ε0
̂.
Dica: o campo dentro da cavidade é a superposição
do campo devido à esfera original mais o campo
devido a uma esfera do tamanho da cavidade com
uma densidade uniforme de carga negativa −ρ.
11. Uma esfera isolante de raio R tem uma densidade
de carga não-uniforme ρ(r) = Ar2, para r ≤ R,
onde r é medida a partir do centro da esfera.
(a) Mostre que o campo elétrico fora da esfera é
~E =
AR5
5ε0r2
r̂ .
(b) Mostre que o campo elétrico dentro da esfera
é
~E =
Ar3
5ε0
r̂ .
Respostas
1. (a) 8.22× 10−8 N; (b) 2.19× 106 m/s
2. (a) −(5.99 × 102) N/Cî − (2.70 × 103) N/Cĵ; (b)
(−3.0̂i− 13.5ĵ) µN
3. demonstração
4. (−2.16× 107î) N/C
5. (a) demonstração; (b) Ey = 2keλ/y
6. (a) para baixo; (b) 3.43µC
7. para r R,
E = (ρR2)/(2ε0r). Em ambas as regiões o campo
elétrico aponta radialmente para fora do eixo do
ciĺındro.
8. (a) σ = 708 nC/m
2
; (b) Q = 177 nC
9. (a) para r