AULA-03-MATEMÁTICA-E-ESTATÍSTICA

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MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá, 
Os conceitos básicos de probabilidade são fundamentais para compreender e 
quantificar a incerteza presente em muitos aspectos da vida e das ciências. A probabilidade 
é uma área da matemática que nos permite estudar e analisar eventos aleatórios e suas 
respectivas chances de ocorrer. Por meio desses conceitos, podemos avaliar e tomar 
decisões com base em informações incertas ou incompletas. 
Nesta unidade, exploraremos os conceitos fundamentais da probabilidade, como 
espaço amostral, evento, bem como as principais propriedades e aplicações desses 
conceitos. Ao compreender esses conceitos básicos, estaremos preparados para lidar com 
situações incertas e tomar decisões de forma mais informada e racional. 
 
Bons estudos! 
 
 
AULA 3 - CONCEITOS 
BÁSICOS DE 
PROBABILIDADE 
 
 
3 MODELOS MATEMÁTICOS 
Em primeiro lugar, é crucial fazer uma distinção clara entre o fenômeno em si 
e o modelo matemático que o descreve. É importante ressaltar que não temos controle 
sobre aquilo que observamos. No entanto, ao selecionar um modelo, podemos utilizar 
nosso discernimento crítico, nesta unidade abordaremos os conceitos básicos de 
probabilidade construídos por Paul Meyer, em sua obra intitulada por Probabilidade: 
Aplicações à Estatística. 
O Professor J. Neyman (1954), expressou de forma perspicaz a ideia que ao 
utilizar a Matemática para estudar fenômenos observáveis, é fundamental construir, 
primordialmente, um modelo matemático (seja determinístico ou probabilístico) para 
representar esses fenômenos. Necessariamente, o modelo precisa simplificar as 
questões, deixando de lado certos detalhes. O sucesso do modelo depende de quão 
insignificantes são os detalhes ignorados na explicação do fenômeno em estudo. 
A solução matemática pode estar correta, mas, ainda assim, apresentar uma 
discrepância significativa em relação aos dados observados, simplesmente porque as 
hipóteses básicas não são confirmadas. Geralmente, é extremamente difícil afirmar 
com certeza se um modelo matemático específico é adequado ou não, até que sejam 
obtidos alguns dados de observação. Para verificar a validade de um modelo, é 
necessário deduzir uma série de consequências a partir do modelo e, em seguida, 
comparar esses resultados previstos com as observações (NEYMAN, 1954). 
Conforme apresentado por Meyer (2010), devemos lembrar das ideias 
mencionadas anteriormente ao estudarmos certos fenômenos observáveis e os 
modelos apropriados para sua explicação. 
Vamos analisar, primeiramente, o que pode ser corretamente chamado de 
modelo determinístico. Com essa afirmação, estamos nos referindo a um modelo que 
estabelece que as condições nas quais um experimento é conduzido determinam o 
resultado desse experimento. 
Para ilustrar, quando inserimos uma bateria em um circuito simples, o modelo 
matemático que provavelmente descreveria o fluxo de corrente elétrica observável é 
representado pela Lei de Ohm, ou seja, 𝐼 = 𝐸/𝑅. O modelo prevê o valor de I quando 
os valores de E e R são fornecidos. Em outras palavras, se repetirmos o experimento 
várias vezes usando o mesmo circuito (mantendo E e R constantes), é esperado que 
 
 
observemos o mesmo valor de I em todas as repetições. Quaisquer variações que 
possam ocorrer serão tão pequenas que, para a maioria das finalidades, a descrição 
acima (ou seja, o modelo) será adequada. O ponto importante é que a bateria, o fio e 
o amperômetro específicos utilizados para gerar e medir a corrente elétrica, 
juntamente com nossa habilidade de utilizar o instrumento de medição, determinam o 
resultado em cada repetição. Existem certos fatores que podem variar de uma 
repetição para outra, mas que não terão uma influência significativa no resultado. Por 
exemplo, a temperatura e a umidade no laboratório, assim como a altura da pessoa 
que lê o amperômetro, podem ser razoavelmente consideradas não tendo influência 
no resultado (MEYER, 2010). 
Na natureza, podemos encontrar diversos exemplos de "experimentos" nos 
quais os modelos determinísticos são apropriados. Um exemplo é a precisão com que 
as leis da gravitação descrevem o que acontece quando um objeto cai em condições 
específicas. As leis de Kepler nos fornecem informações sobre o comportamento dos 
planetas. Em cada uma dessas situações, o modelo estabelece que as condições nas 
quais um determinado fenômeno ocorre determinam o valor de certas variáveis 
observáveis, como a magnitude da velocidade ou a área percorrida durante um 
determinado período, entre outras. Esses valores numéricos são utilizados em muitas 
das fórmulas com as quais estamos familiarizados (MEYER, 2010). 
Tomemos como exemplo a conhecida equação que descreve a distância 
percorrida por um objeto (verticalmente, acima do solo) sob condições específicas: 
s = −16𝑡2 + 𝑣𝑜t , na qual 𝑣𝑜 é a velocidade inicial e t o tempo gasto na queda. O 
ponto central de nossa atenção não reside na forma específica dessa equação (que é 
quadrática), mas sim no fato de que existe uma relação claramente definida entre t e 
s. Essa relação permite determinar de forma única a quantidade do lado esquerdo da 
equação quando as quantidades do lado direito são fornecidas. 
Para a maioria das situações, o modelo matemático determinístico mencionado 
é anteriormente adequado. No entanto, há também muitos fenômenos que exigem 
uma abordagem matemática diferente para sua investigação. Esses são conhecidos 
como modelos não determinísticos ou probabilísticos. Outra expressão 
frequentemente utilizada é modelo estocástico (MEYER, 2010). 
Vamos supor que tenhamos um fragmento de material radioativo que emite 
partículas alfa. Utilizando um dispositivo de contagem, podemos registrar o número 
 
 
de partículas emitidas durante um intervalo de tempo específico. É evidente que não 
podemos prever com precisão o número exato de partículas emitidas, mesmo que 
conheçamos a forma, dimensão, composição química e massa do objeto em estudo. 
Assim, torna-se aparente a ausência de um modelo determinístico viável que possa 
fornecer o número exato de partículas emitidas, representado por "n", como uma 
função das diferentes características relevantes do material fonte. Nesse caso, é 
necessário recorrer a um modelo probabilístico (MEYER, 2010). 
Para ilustrar essa necessidade, podemos considerar outra situação, como a 
previsão meteorológica. Suponhamos que tenhamos o interesse em determinar a 
quantidade de chuva que ocorrerá como resultado de uma tempestade específica em 
uma localidade determinada. Nesse cenário, dispomos de instrumentos para registrar 
a precipitação. As observações meteorológicas podem fornecer informações 
consideráveis sobre a tempestade iminente, como a pressão barométrica em vários 
pontos, variações de pressão, velocidade do vento, origem e direção da tempestade, 
bem como leituras em altitudes elevadas. No entanto, por mais valiosas que essas 
informações sejam para prever a natureza geral da precipitação (por exemplo, fraca, 
moderada ou intensa), não nos permitem determinar a quantidade exata de chuva que 
irá cair. Mais uma vez, estamos lidando com um fenômeno que não se presta a um 
tratamento determinístico. Um modelo probabilístico explica a situação de maneira 
mais precisa (MEYER, 2010). 
Inicialmente, caso uma teoria específica (que ainda não foi desenvolvida) 
existisse, poderíamos potencialmente determinar a quantidade de chuva que caiu. No 
entanto, para o momento atual, utilizamos um modelo probabilístico para lidar com 
essa situação. Um exemplo claro em que um modelo probabilístico é necessário é o 
da desintegração radioativa. Em um modelo não determinístico, as condições 
experimentais apenas determinam o comportamento probabilístico, ou seja, a lei 
probabilística, do resultado observável.Em outras palavras, em um modelo determinístico, utilizamos "considerações 
físicas" para prever o resultado, enquanto em um modelo probabilístico, usamos o 
mesmo tipo de considerações para especificar uma distribuição de probabilidade 
(MEYER, 2010). 
 
 
3.1 Introdução aos conjuntos 
Para apresentar os conceitos básicos do modelo probabilístico que desejamos 
desenvolver, será útil ter um conhecimento prévio de algumas ideias e conceitos da 
teoria matemática dos conjuntos. Esse é um assunto bastante amplo, e muito já foi 
escrito sobre ele. No entanto, precisaremos apenas de algumas noções fundamentais. 
Essas noções são estabelecidas no quadro 1, por Meyer (2010): 
Quadro 1 - Noções fundamentais 
Um conjunto é um agrupamento de objetos. Geralmente, conjuntos são 
representados por letras maiúsculas como A, B, etc. Existem três formas de 
descrever quais objetos estão contidos no conjunto A: 
• Podemos listar os elementos de A. Por exemplo, A = {1, 2, 3, 4} descreve o 
conjunto composto pelos números inteiros positivos 1, 2, 3, 4. 
• Podemos descrever o conjunto A por meio de palavras. Por exemplo, podemos 
dizer que A é formado por todos os números reais entre 0 e 1, inclusive. 
• Para descrever o conjunto mencionado acima, podemos simplesmente 
escrever A = {x | 0 ≤ x ≤ 1}, ou seja, A é o conjunto de todos os valores de x, 
onde x é um número real entre 0 e 1, inclusive. 
Os objetos que compõem individualmente a coleção ou conjunto A são chamados 
de membros ou elementos de A. Quando "a" é um elemento de A, escrevemos a ∈ 
A, e quando "a" não é um elemento de A, escrevemos a ∉ A. 
Fonte: MEYER, 2010. 
Existem dois conjuntos especiais que frequentemente nos interessam. Em 
muitos problemas, dedicamo-nos ao estudo de um conjunto específico de objetos, 
excluindo outros. Por exemplo, podemos nos interessar por todos os números reais, 
por todas as peças que saem de uma linha de produção durante um período de 24 
horas, etc. Chamaremos esse conjunto de conjunto universal, representado 
geralmente pela letra U. O conjunto universal é definido como o conjunto que contém 
todos os objetos sendo estudados (MEYER, 2010). 
O outro conjunto que deve ser destacado pode ser definido da seguinte 
 
 
maneira: suponhamos que o conjunto A seja descrito como o conjunto de todos os 
números reais x que satisfazem a equação 𝑋2 + 1 = 0. É evidente que não existem 
tais números, ou seja, o conjunto A não possui nenhum elemento. Essa situação 
ocorre com frequência suficiente para justificar a introdução de um nome especial para 
esse conjunto. Portanto, definiremos o conjunto vazio ou nulo como o conjunto que 
não contém nenhum elemento. Geralmente, esse conjunto é representado por ∅. 
Pode ocorrer que, ao considerarmos dois conjuntos A e B, ser um elemento de 
A implique ser um elemento de B. Nesse caso, diremos que A é um subconjunto de B 
e escreveremos A ⊂ B. Uma interpretação semelhante é aplicada para B ⊂ A. Diremos 
que dois conjuntos são iguais, A = B, se e somente se A ⊂ B e B ⊂ A. Dessa forma, 
dois conjuntos serão iguais se e somente se eles possuírem exatamente os mesmos 
elementos. 
Conforme Meyer (2010), existem duas propriedades imediatas do conjunto vazio 
e do conjunto fundamental: 
• Para qualquer conjunto A, temos que ∅ está contido em A. 
• Se o conjunto fundamental for definido, então para qualquer conjunto A 
pertencente à composição de U, temos A está contido em U. 
 
Exemplo 1: Suponha que U seja o conjunto de todos os números reais, A seja definido 
como {x | x² + 2x - 3 = 0}, B seja definido como {x | (x - 2).(x² + 2x - 3) = 0}, e C seja 
definido como {x | x = -3, 1, 2}. Nesse caso, temos A está contido em B e B é igual a 
C. 
Agora, vamos estudar a importante ideia de combinar conjuntos dados para 
formar um novo conjunto. Existem duas operações fundamentais que se assemelham, 
em certos aspectos, às operações de adição e multiplicação de números. Sejam A e 
B dois conjuntos. 
Definimos C como a união de A e B (também chamada de soma de A e B), da 
seguinte maneira: 
C = {x | x pertence a A ou x pertence a B (ou ambos)}. 
Representamos a união de A e B como C = A ∪ B. Portanto, C é formado por 
todos os elementos que estão em A, em B ou em ambos. 
 
 
 
Definimos D como a interseção de A e B (também chamada de produto de A e 
B), da seguinte maneira: 
𝐷 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵 }. 
Escreveremos a interseção de A e B, assim: D = A ∩ B. Portanto, D será 
formado de todos os elementos que estão em A e em B. 
Finalmente, introduziremos a noção de complemento de um conjunto 𝐴, na 
forma seguinte: O conjunto denotado por �̅�, constituído por todos os elementos que 
não estejam em �̅� (mas que estejam no conjunto fundamental U) é denominado 
complemento de 𝐴. Isto é, �̅� = {𝑥|𝑥 ∉ 𝐴}. 
Um recurso gráfico, conhecido como Diagrama de Venn, poderá ser 
vantajosamente empregado quando estivermos combinando conjuntos, na maneira 
indicada acima. Em cada diagrama na Figura 1, a região sombreada representa o 
conjunto sob exame (MEYER, 2010). 
 
Figura 1 – Representação de Conjunto e Subconjunto 
 
Fonte: MEYER, 2010. 
Exemplo 2: Considerando U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 
5, 6}, podemos observar que �̅� = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e A ∩ B 
= {3, 4}. É importante notar que, ao descrever um conjunto, cada elemento é 
relacionado apenas uma vez. 
As operações de união e interseção definidas anteriormente para dois 
conjuntos podem ser intuitivamente estendidas para um número finito de conjuntos. 
Portanto, definimos A ∪ B ∪ C como A ∪ (B ∪ C) ou (A ∪ B) ∪ C, o que é equivalente 
e pode ser facilmente verificado. Da mesma forma, definimos A ∩ B ∩ C como A ∩ (B 
∩ C) ou (A ∩ B) ∩ C, que também são equivalentes. Podemos continuar essas 
composições de conjuntos para qualquer número finito de conjuntos dados. 
 
 
Afirmamos que alguns conjuntos são equivalentes, por exemplo, A ∩ (B ∩ C) e 
(A ∩ B) ∩ C. Podemos concluir que existe um número específico de conjuntos 
equivalentes, alguns dos quais são apresentados abaixo. Ao lembrarmos que dois 
conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos, fica fácil verificar a 
veracidade dessas afirmações, com a ajuda de Diagramas de Venn. 
(1.1) 
Denominaremos (a) e (b) leis comutativas, e (c) e (d) leis associativas. 
Há outras identidades de conjuntos encerrando união, interseção e 
complementação. As mais importantes delas estão enumeradas a seguir. A validade 
de cada uma delas poderá ser verificada com a ajuda de um Diagrama de Venn. 
 (1.2) 
Observe que (g) e (h) mostram que ∅ se comporta entre os conjuntos 
(relativamente às operações ∪ e ∩) da maneira que o número zero (com relação às 
operações de adição e multiplicação) o faz entre os números. 
Outra maneira de formar conjuntos, quando forem dados dois (ou mais) 
conjuntos, será necessária a seguir. 
Sejam dois conjuntos A e B. Denominaremos produto cartesiano de A e B, 
denotando-o por A × B, o conjunto {(a, b), a ∈ A, b ∈ B}, isto é, o conjunto de todos os 
pares ordenados nos quais o primeiro elemento é tirado de A e o segundo, de B. 
Exemplo 3.3. Suponha que A = {1, 2, 3}; B = {1, 2, 3, 4}. Então, A × B = {(1, 1), 
(1, 2),..., (1, 4), (2, 1),..., (2, 4), (3, 1),..., (3, 4)}. 
Observação. Em geral, A × B ≠ B × A. 
A noção citada pode ser estendida da seguinte maneira: Se A1,..., An forem 
conjuntos, então, A1 × A2 × ... × An = {(a1, a2,..., an), ai ∈ Ai}, ou seja, o conjunto de 
todas as ênuplas ordenadas. 
 
 
Um caso especial importante surge quando consideramos o produto cartesiano 
de um conjunto por ele próprio, isto é, 𝐴 × 𝐴 𝑜𝑢 𝐴 × 𝐴 × 𝐴. Exemplos disso surgem 
quando tratamos do plano euclidiano, R × R, no qual R é o conjunto de todos os 
números reais, e do espaço euclidiano tridimensional, representado por R × R × R. 
O número de elementos em um conjunto é de grande importânciapara nós. Se 
houver um número finito de elementos no conjunto A, representados como 𝑎1 𝑎2,..., 
an, diremos que A é finito. Se houver um número infinito de elementos em A, que 
possam ser colocados em uma correspondência biunívoca com os números inteiros 
positivos, diremos que A é numerável ou infinito numerável. (Por exemplo, pode-se 
mostrar que o conjunto de todos os números racionais é numerável.) Por fim, devemos 
considerar o caso de um conjunto infinito não numerável; esse tipo de conjunto possui 
um número infinito de elementos que não podem ser enumerados. Por exemplo, pode-
se mostrar que para quaisquer dois números reais b > a, o conjunto 𝐴 = {𝑥 | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤
 𝑏} contém um número não numerável de elementos. Já que poderemos associar um 
ponto da reta dos números reais a cada número real, o que dissemos acima afirma 
que qualquer intervalo (não degenerado) contém mais do que um número contável de 
pontos (MEYER, 2010). 
Os conceitos apresentados acima, embora representem apenas uma breve 
exploração da teoria dos conjuntos, são suficientes para alcançar nossos objetivos: 
expor, com razoável rigor e precisão, as ideias fundamentais da teoria da 
probabilidade. 
3.2 Exemplos de experimentos não determinísticos 
Agora temos a oportunidade de examinar o que entendemos por um 
experimento "aleatório" ou "não determinístico". Mais especificamente, forneceremos 
exemplos de fenômenos nos quais modelos não determinísticos são apropriados. É 
importante que o leitor faça essa distinção. Portanto, frequentemente nos referiremos 
a experimentos não determinísticos ou aleatórios, quando, na verdade estamos 
falando de um modelo não determinístico para um experimento. Não faremos um 
esforço para dar uma definição precisa desse conceito. Em vez disso, citaremos 
numerosos exemplos: 
 
 
 
• E1: Lance um dado e observe o número exibido na face superior. 
• E2: Realize quatro lançamentos de uma moeda e observe a quantidade de vezes 
em que saiu cara. 
• E3: Realize quatro lançamentos de uma moeda e observe a sequência obtida 
entre caras e coroas. 
• E4: Na linha de produção, produza peças em grande quantidade e conte o 
número de peças defeituosas fabricadas em um intervalo de 24 horas. 
• E5: Uma asa de avião é fixada por um grande número de rebites. Conte a 
quantidade de rebites com defeito. 
• E6: Fabrica-se uma lâmpada e, em seguida, realiza-se um teste para verificar 
sua vida útil, inserindo-a em um soquete e registrando o tempo decorrido (em 
horas) até queimar. 
• E7: Um lote de 10 peças contém três peças defeituosas. As peças são retiradas 
uma a uma (sem repor a peça retirada) até que a última peça defeituosa seja 
encontrada. Registra-se o número total de peças retiradas do lote. 
• E8: Continua-se a fabricar peças até que sejam produzidas 10 peças perfeitas. 
Contabiliza-se o número total de peças fabricadas. 
• E9: Lança-se um míssil e, em um momento específico, observam-se suas três 
velocidades componentes: 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 𝑒 𝑣𝑧. 
• E10: Observa-se um míssil recém-lançado nos instantes 𝑡1, 𝑡2, . . . , 𝑡𝑛. Em cada um 
desses instantes, registra-se a altura do míssil em relação ao solo. 
• E11: Mede-se a resistência à tração de uma barra metálica. 
• E12: Retira-se uma bola de uma urna que contém apenas bolas pretas e verifica-
se sua cor. 
• E13: Um termógrafo registra continuamente a temperatura em um período de 24 
horas. Em uma localidade específica e em uma data determinada, faz-se a leitura 
desse termógrafo. 
• E14: Na situação descrita em E13, são registradas as temperaturas mínimas (x) e 
máxima (y) durante o período de 24 horas considerado. 
Quais são as características comuns aos experimentos mencionados acima? 
Os seguintes aspectos são relevantes para a nossa caracterização de um 
experimento aleatório: 
 
 
• Cada experimento pode ser repetido indefinidamente, mantendo-se as 
condições essencialmente inalteradas. 
• Embora não possamos prever um resultado específico, podemos descrever o 
conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. 
• Quando o experimento é repetido várias vezes, os resultados individuais 
parecem ocorrer de forma aleatória. No entanto, quando o experimento é 
repetido um grande número de vezes, uma configuração definida ou 
regularidade emerge. É essa regularidade que possibilita a construção de um 
modelo matemático preciso para analisar o experimento. Mais adiante, teremos 
muito a dizer sobre a natureza e a importância dessa regularidade. Por enquanto, 
é suficiente para o leitor considerar as repetidas jogadas de uma moeda 
imparcial. Embora as ocorrências de caras e coroas pareçam ocorrer quase 
arbitrariamente, é um fato empírico bem conhecido que, após um grande número 
de jogadas, a proporção de caras e coroas será aproximadamente igual. 
É importante destacar que todos os experimentos descritos acima satisfazem 
essas características gerais. (Obviamente, a última característica mencionada só 
pode ser comprovada por meio de experimentação; deixaremos para a intuição do 
leitor acreditar que, se o experimento fosse repetido um grande número de vezes, a 
regularidade mencionada seria evidente. Por exemplo, se um grande número de 
lâmpadas do mesmo fabricante fosse testado, presumivelmente o número de 
lâmpadas que se queimariam após 100 horas poderia ser previsto com considerável 
precisão.) É importante observar que o experimento E12 apresenta a característica 
peculiar de ter apenas um resultado possível. Em geral, tais experimentos não nos 
interessam, pois, na realidade, é a incerteza quanto ao resultado específico que torna 
um experimento interessante para nós (MEYER, 2010). 
3.3 O espaço amostral 
De acordo com Oliveira (2017), o espaço amostral refere-se ao conjunto que 
contém todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, sendo esses 
resultados de natureza quantitativa ou qualitativa. 
Para cada experimento ε do tipo que estamos considerando, definiremos o 
espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de ε. Geralmente 
 
 
representaremos esse conjunto por S. (Neste contexto, S representa o conjunto 
fundamental, explicado anteriormente.) 
Vamos considerar cada um dos experimentos acima e descrever um espaço 
amostral para cada um deles. O espaço amostral Si se referirá ao experimento 𝐸1. 
• S1: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
• S2: {0, 1, 2, 3, 4}. 
• S3: {todas as possíveis sequências de a1, a2, a3, a4}, em que cada ai = H ou T, 
conforme a ocorrência de cara ou coroa no i-ésimo lançamento. 
• S4: {0, 1, 2,..., N }, em que N é o número máximo que pode ser produzido em 24 
horas. 
• S5: {0, 1, 2,..., M}, em que M é o número de rebites utilizados. 
• S6: {𝑡|𝑡 ≥ 0} 
• S7: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. 
• S8: {10, 11, 12,...}. 
• S9: {υx, υy, υz| υx, υy, υz são números reais}. 
• S10: {ℎ𝐼 , … , ℎ𝑛|ℎ𝑖, ≥ 0, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛}. 
• S11: {𝑇 | 𝑇 ≥ 0}. 
• S12: {𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎}. 
• S13: Este espaço amostral é o mais complexo de todos os considerados aqui. 
Podemos realisticamente admitir que a temperatura em uma determinada 
localidade nunca pode estar acima ou abaixo de certos valores M e m. Além 
dessa restrição, podemos aceitar a possibilidade de que qualquer gráfico 
apareça com certas limitações. Presumivelmente, o gráfico não apresentará 
saltos (ou seja, representará uma função contínua). Além disso, o gráfico terá 
certas características de regularidade, que podem ser resumidas 
matematicamente ao afirmarmos que o gráfico representa uma função derivável. 
Dessa forma, podemos afirmar que o espaço amostral será: 
• {f | f é uma função derivável, que satisfaz 𝑚 ≤ 𝑓(𝑡) ≤ 𝑀, para todo t}. 
• S14: {(𝑥, 𝑦) | 𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑀}. Em outras palavras, S14 é formado por todos os 
pontos dentro e sobre um triângulo no plano bidimensional (x, y). 
Para descrever um espaço amostral associado a um experimento, é necessário 
ter uma compreensão clarado que estamos medindo ou observando. Portanto, 
 
 
devemos falar de "um" espaço amostral associado a um experimento, e não de "o" 
espaço amostral. É importante observar a diferença entre S2 e S3 nesse contexto. 
Saliente-se, também, que o resultado de um experimento não é 
necessariamente, um número. Por exemplo, em E3, cada resultado é uma sequência 
de caras (H) e coroas (T). Em E9 e E10 cada resultado é formado por um vetor, 
enquanto em E13, cada resultado constitui uma função. 
Será também importante estudar o número de resultados em um espaço 
amostral. Surgem três possibilidades: O espaço amostral pode ser finito, infinito 
numerável ou infinito não numerável. Relativamente aos exemplos acima, 
observamos que 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑆5, 𝑆7, 𝑒 𝑆12, são finitos, S8 é infinito numerável, e 
𝑆6, 𝑆9, 𝑆10, 𝑆11, 𝑆13 𝑒 𝑆14 são infinitos não numeráveis. 
Neste ponto, é válido abordar a distinção entre um espaço amostral "idealizado" 
matematicamente e um espaço realizável experimentalmente. Para ilustrar essa 
diferença, vamos considerar o experimento E6 e o espaço amostral associado S6. É 
evidente que, ao registrar o tempo total t em que uma lâmpada está funcionando, 
estaremos sujeitos à precisão do nosso instrumento de medição. Suponhamos que 
possuímos um instrumento capaz de registrar o tempo com duas casas decimais, por 
exemplo, 16,43 horas. Com essa restrição, nosso espaço amostral se torna 
infinitamente contável: {0,00, 0,01, 0,02, . . . } . Além disso, é razoável assumir que 
nenhuma lâmpada pode durar mais do que H horas, onde H pode ser um valor muito 
grande (MEYER, 2010). 
Consequentemente, parece que, ao sermos totalmente realistas na descrição 
desse espaço amostral, estamos lidando com um espaço amostral 
finito: {0,00, 0,01, 0,02, . . . , 𝐻}. O número total de resultados seria (H/0,01) + 1, o que 
pode ser muito grande mesmo se H for moderadamente grande, por exemplo, H = 
100. Portanto, é mais simples e matematicamente conveniente admitir que todos os 
valores de t ≥ 0 sejam resultados possíveis e, dessa forma, tratamos o espaço 
amostral S6 conforme originalmente definido. Diante desses comentários, alguns dos 
espaços amostrais descritos são idealizados. Em todas as situações subsequentes, o 
espaço amostral considerado será aquele que for matematicamente mais 
conveniente. Na maioria dos problemas, pouca dúvida surge quanto à escolha 
adequada do espaço amostral. 
 
 
3.4 Eventos 
Outra noção fundamental é o conceito de evento. Um evento A (relativo a um 
particular espaço amostral S, associado a um experimento ε) é simplesmente um 
conjunto de resultados possíveis. Na terminologia dos conjuntos, um evento é um 
subconjunto de um espaço amostral S. Considerando nossa exposição anterior, isto 
significa que o próprio S constitui um evento, bem como o é o conjunto vazio ∅. 
Qualquer resultado individual pode também ser tomado como um evento (MEYER, 
2010). Oliveira (p. 106, 2017) define evento como “qualquer subconjunto do espaço 
amostral, isto é, qualquer resultado ou conjunto de resultados do espaço amostral”. 
3.5 Frequência relativa 
A fim de motivar a maneira de tratar o assunto, considere-se o seguinte 
procedimento: suponha que repetimos n vezes o experimento ℰ, e sejam A e B dois 
eventos associados a ℰ. Admitamos que sejam, respectivamente, 𝑛𝐴 e 𝑛𝐵 o número 
de vezes que o evento A e o evento B ocorram nas n repetições. 
Definição: 𝑓𝐴 = 𝑛𝐴/𝑛 é denominada frequência relativa do evento A nas n 
repetições de ℰ. A frequência relativa 𝑓𝐴 apresenta as seguintes propriedades, de fácil 
verificação, veja o Quadro 2: 
Quadro 2 - Definição 
(1) 0 ≤ 𝑓𝐴 ≤ 1. 
(2) 𝑓𝐴 = 1 se, e somente se, A ocorrer em todas as n repetições. 
(3) 𝑓𝐴 = 0 se, e somente se, A nunca ocorrer nas n repetições. 
(4) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, e se 𝑓A ∪ B for a 
frequência relativa associada ao evento A ∪ B, então, 𝑓A ∪ B = 𝑓𝐴 + 𝑓𝐵. 
(5) 𝑓𝐴, com base em n repetições do experimento e considerada como uma 
função de n, “converge” em certo sentido probabilístico para P(A), quando n → ∞. 
Fonte: MEYER, 2010. 
Podemos afirmar apenas que a Propriedade (5) envolve a noção intuitiva de 
que a frequência relativa, baseada em um número crescente de observações, tende 
a se "estabilizar" próximo de algum valor definido. Esse conceito não é o mesmo que 
 
 
a convergência usual encontrada em algumas áreas da Matemática. Na verdade, 
como afirmamos aqui, essa não é de forma alguma uma conclusão matemática, mas 
sim um fato empírico (MEYER, 2010). 
A maioria de nós tem uma intuição sobre esse fenômeno de estabilização, 
embora nunca o tenhamos verificado. Fazê-lo requer um tempo considerável e 
paciência, pois envolve um grande número de repetições de um experimento. No 
entanto, às vezes podemos ser observadores ingênuos desse fenômeno, como 
ilustrado no exemplo a seguir: 
Exemplo 2: Vamos considerar a situação em que estamos na calçada e direcionamos 
nossa atenção para dois blocos de meio-fio adjacentes. Suponhamos que comece a 
chover de tal maneira que consigamos distinguir pingos individuais de chuva e 
registrar em qual meio-fio eles caem. Ficamos observando os pingos e anotando o 
local de impacto de cada um. 
Se denotarmos o i-ésimo pingo como 𝑋𝑖, em que 𝑋𝑖 = 1 se o pingo cair no 
primeiro meio-fio e 𝑋𝑖 = 0 se cair no outro, poderemos observar uma sequência 
como, por exemplo, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1. É claro que não seremos capazes de 
prever onde um pingo em particular irá cair. (Nosso experimento envolve alguma 
situação meteorológica que resulta na queda dos pingos de chuva.) 
Se calculamos a frequência relativa do evento A = {o pingo cai no meio-fio 1}, 
então, a sequência de resultados acima produzirá as seguintes frequências relativas 
(com base na observação de 1, 2, 3, . . . 𝑝𝑖𝑛𝑔𝑜𝑠): 1, 1, 2/3, 3/4, 3/5, 3/6, 3/7, 4/8, 4/9, 4/
10, 5/11, ... Esses números indicam um alto grau de variabilidade, especialmente no 
início. Intuitivamente, é evidente que se o experimento continuar indefinidamente, 
essas frequências relativas irão se estabilizar próximo ao valor de 1/2. Portanto, 
teríamos motivos para acreditar que, após um certo tempo, os dois meio-fios estariam 
igualmente molhados. 
No momento, a estabilidade da frequência relativa é uma noção puramente 
intuitiva, mas mais adiante poderemos torná-la matematicamente precisa. A essência 
dessa propriedade é que, ao executar um experimento um grande número de vezes, 
a frequência relativa da ocorrência de um evento A tende a variar cada vez menos à 
medida que o número de repetições aumenta. Essa característica é comumente 
conhecida como regularidade estatística (MEYER, 2010). 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
MEYER, Paul L. Probabilidade: Aplicações à Estatística. Rio de Janeiro: Grupo 
GEN, 2010. 
 
NEYMAN, J. University of California Publications in Statistics. University of California 
Press, Vol. I, 1954. 
 
OLIVEIRA, Francisco Estevam Martins de. Estatística e Probabilidade - Exercícios 
Resolvidos e Propostos, 3ª edição. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2017.