AP1_Algebra_Linear_EAD01074_2024_2_GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Álgebra Linear – 2/2024 – 21/09/2024
Código da disciplina EAD01074
GABARITO
Para responder as questões 1, 2 e 3, considere as seguintes matrizes:
A =
 3 4 1
2 1 0
1 0 0
, B =
 1 0 0
2 1 0
3 4 1
 e C =
 0 0 1
0 1 −2
1 −4 5
 .
Questão 1 [1,0 pt] Calcule (AT + 3B)T .
Solução:
(AT + 3B)T =
(
AT
)T
+ (3B)T = A + 3BT
BT =
 1 2 3
0 1 4
0 0 1
,
3BT =
 3 × 1 3 × 2 3 × 3
3 × 0 3 × 1 3 × 4
3 × 0 3 × 0 3 × 1
 =
 3 6 9
0 3 12
0 0 3
,
(AT + 3B)T = A + 3BT =
 3 4 1
2 1 0
1 0 0
+
 3 6 9
0 3 12
0 0 3
 =
 6 10 10
2 4 12
1 0 3

Questão 2 [1,0 pt] As matrizes A e C são inversas uma da outra? Justifique.
Solução:
AC =
 3 4 1
2 1 0
1 0 0

 0 0 1
0 1 −2
1 −4 5
 =
 0 + 0 + 1 0 + 4 − 4 3 − 8 + 5
0 + 0 + 0 0 + 1 + 0 2 − 2 + 0
0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 1 + 0 + 0
 =
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Como AC = I3, A e C são inversas uma da outra.
Questão 3 [1,0 pt] As matrizes B e C são inversas uma da outra? Justifique.
Solução:
BC =
 1 0 0
2 1 0
3 4 1

 0 0 1
0 1 −2
1 −4 5
 =
 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 1 + 0 + 0
0 + 0 + 0 0 + 1 + 0 2 − 2 + 0
0 + 0 + 1 0 + 4 − 4 3 − 8 + 5
 =
 0 0 1
0 1 0
1 0 0
.
Como BC ̸= I3, B e C não são inversas uma da outra.
Álgebra Linear – EAD01074 AP1 – GABARITO 2
Questão 4 [1,0 pt] Sejam as matrizes A =
[
2 1
5 3
]
e B =
[
3 x
−5 y
]
, calcule x e y para
que a matriz A seja a inversa da matriz B.
Solução:
Para que a matriz A seja inversa da B, deve-se ter que AB = BA = I2, assim:
AB = I2 ⇒
[
2 1
5 3
] [
3 x
−5 y
]
=
[
1 0
0 1
]
⇒
[
1 2x + y
0 5x + 3y
]
=
[
1 0
0 1
]
⇒
{
2x + y = 0
5x + 3y = 1
Multiplicando a primeira equação do sistema resultante por 3 e subtraindo do resultado a segunda
equação, se obtém x = −1. Substituindo este valor na primeira das equações, se tem que y = 2.
Questão 5 [1,0 pt] Dado o seguinte sistema linear:

x + y + 4z = 1
y + 3z = 0
−x + y + z = 0
, utilize a noção de
determinante para mostrar que o sistema é compat́ıvel e determinado e resolva-o, indicando cada
operação realizada.
Solução:
Toma-se o determinante da matriz dos coeficientes:∣∣∣∣∣∣∣
1 1 4
0 1 3
−1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (1)
∣∣∣∣∣ 1 3
1 1
∣∣∣∣∣− (1)
∣∣∣∣∣ 0 3
−1 1
∣∣∣∣∣+ (4)
∣∣∣∣∣ 0 1
−1 1
∣∣∣∣∣ = (1 − 3) − (0 + 3) + 4(0 + 1) = −1
Como o determinante é não nulo, o sistema é compat́ıvel e determinado.
Para resolver o sistema, utilizam-se operações elementares na matriz aumentada: 1 1 4 1
0 1 3 0
−1 1 1 0
L3←L1+L3
=⇒
 1 1 4 1
0 1 3 0
0 2 5 1
L3←2L2−L3
=⇒
 1 1 4 1
0 1 3 0
0 0 1 −1
 ,
O que leva ao seguinte sistema equivalente:
x + y + 4z = 1
y + 3z = 0
z = −1
.
Resolvendo por substituições regressivas, se encontra z = −1, y = 3 e x = 2, logo o conjunto
solução é {(2, 3, −1)}
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Álgebra Linear – EAD01074 AP1 – GABARITO 3
Para responder as questões 6 e 7, considere o seguinte subconjunto do R3:
A = {(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, −2, −1)} ,
e S o subespaço gerado pelos vetores de A.
Questão 6 [1,0 pt] Determine o subespaço S gerado pelos vetores de A.
Solução:
O vetor v = (x, y, z) pertence ao subespaço gerado por V se:
v = (x, y, z) = a(0, 1, 1) + b(2, 0, 1) + c(2, −2, −1) = (0, a, a) + (2b, 0, b) + (2c, −2c, −c)
= (2b + 2c, a − 2c, a + b − c)
Temos então que resolver o seguinte sistema:

2b + 2c = x
a − 2c = y
a + b − c = z
.
Para resolver o sistema, utilizam-se operações elementares na matriz ampliada: 0 2 2 x
1 0 −2 y
1 1 −1 z
 L1↔L2
L3←L3−L2
=⇒
 1 0 −2 y
0 2 2 x
0 1 1 z − y
L3←L2−2L3
=⇒
 1 0 −2 y
0 2 2 x
0 0 0 x + 2y − 2z

Com a última linha da matriz acima, nota-se que para que o sistema seja posśıvel, deve-se ter que
x = −2y + 2z, sendo o espaço gerado pelos vetores dados o plano de equação x + 2y − 2z = 0.
Assim:
S =
{
(−2y + 2z, y, z) ∈ R3 |y ∈ R e z ∈ R
}
.
Questão 7 [1,0 pt] Encontre uma base para o subespaço S e dê a dimensão de S.
Solução:
Um vetor v ∈ S pode ser escrito como v = (−2y + 2z, y, z) = y(−2, 1, 0) + z(2, 0, 1). Assim, o
conjunto B = {(−2, 1, 0), (2, 0, 1)} é uma base de S. Como B possui dois elementos, a dimensão
de S é 2.
Observação: Uma base pode ser formada com qualquer par de vetores de S que forme um conjunto
LI. Assim, a solução desta questão não é única.
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Álgebra Linear – EAD01074 AP1 – GABARITO 4
Para responder as questões 8 e 9, considere os seguintes vetores no R3:
u = (2
√
3, 1, −
√
3) e v = (6, 3
√
3, −1).
Questão 8 [1,0 pt] Calcule o produto interno usual ⟨u, v⟩ e determine o ângulo entre os vetores
u e v.
Solução:
⟨u, v⟩ =
〈
(2
√
3, 1, −
√
3), (6, 3
√
3, −1)
〉
= 12
√
3 + 3
√
3 +
√
3 = 16
√
3
∥u∥ =
√(
2
√
3
)2
+ (1)2 +
(
−
√
3
)2
=
√
12 + 1 + 3 =
√
16 = 4,
∥v∥ =
√
(6)2 +
(
3
√
3
)2
+ (−1)2 =
√
36 + 27 + 1 =
√
64 = 8,
cos θ = ⟨u, v⟩
∥u∥∥v∥
= 16
√
3
4 × 8 = 16
√
3
32 =
√
3
2 ⇒ θ = cos−1
(√
3
2
)
⇒ θ = 30◦
Questão 9 [1,0 pt] Encontre o valor de a para o qual o vetor w = (2a, −3
√
3, a) ∈ R3 seja
ortogonal ao vetor u.
Solução:
⟨u, w⟩ = 0 ⇒
〈
(2
√
3, 1, −
√
3), (2a, −3
√
3, a)
〉
= 0 ⇒ 4
√
3a−3
√
3−
√
3a = 0 ⇒ 3
√
3a = 3
√
3 ⇒
a = 1.
Questão 10 [1,0 pt] Considere o subespaço V = {(a, b, c) ∈ R3 |a − 2b + c = 0}. Determine o
complemento ortogonal V ⊥ de V .
Solução:
a − 2b + c = 0 ⇒ c = −a + 2b. Assim, um vetor v ∈ V é da forma v = (a, b, −a + 2b), e pode
ser escrito como v = a(1, 0, −1) + b(0, 1, 2). Deste modo, o conjunto BV = {(1, 0, −1), (0, 1, 2)} é
uma base de V .
Um vetor v = (x, y, z) ∈ V ⊥ se ⟨(x, y, z), (1, 0, −1)⟩ = ⟨(x, y, z), (0, 1, 2)⟩ = 0. Assim:
⟨(x, y, z), (1, 0, −1)⟩ = 0 ⇒ x − z = 0,
⟨(x, y, z), (0, 1, 2)⟩ = 0 ⇒ y + 2z = 0,
o que leva ao seguinte sistema:
{
x − z = 0
y + 2z = 0 ,
É fácil perceber que a solução deste sistema é dada por
{
y = −2x
z = x
, assim, pode-se escrever
V ⊥ da seguinte forma:
V ⊥ = {(x, −2x, x) | x ∈ R}.
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