Corrente Elétrica e Resistência - Eletromagnetismo - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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Cap´ıtulo 9
Corrente ele´trica e Resisteˆncia
9.1 Transporte de Carga e Densidade de Cor-
rente
As correntes ele´tricas sa˜o causadas pelo movimento de portadores de carga.
A corrente ele´trica num fio e´ a medida da quantidade de carga que passa por
um ponto do fio por unidade de tempo.
I =
dq
dt
[I] = A (Ampere)
9.1.1 Conceito De Densidade De Corrente
Consideremos uma a´rea a .
Perguntamos: Quantas part´ıculas carregadas passam por unidade de
tempo?
Consideremos inicialmente que cada part´ıcula possui carga q e velocidade
�u e temos n part´ıculas por m3.
121
122 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.1
Para o intervalo de tempo ∆t temos que a resposta sera´:
todas as part´ıculas dentro de um volume de prisma.
V olume = base× altura
V olume=�a · �u∆t = au∆t cos θ
Densidade de part´ıculas = n, enta˜o o nu´mero de part´ıculas,∆N , que
passa pela a´rea a no intervalo ∆t e´:
∆N = n�a · �u∆t
Considerando que cada part´ıcula possui carga q :
∆Q = nq�a · �u∆t
corrente =
∆Q
∆t
= nq�a · �u = I (a)
Caso geral:
9.1. TRANSPORTE DE CARGA E DENSIDADE DE CORRENTE 123
Consideremos que ha´ part´ıculas diferentes com cargas diferentes, veloci-
dades diferentes em nu´mero diferente. Enta˜o a corrente sera´ dada por:
I (a) = n1q1�a · �u1 + n2q2�a · �u2 + ...+ nNqN�a · �uN
I (a) =
N�
i=1
niqi�a · �ui =
I (a) = �a ·
N�
i=1
niqi�ui
Chamamos
N�
i=1
niqi�ui de densidade de corrente �J .
N�
i=1
niqi�ui = Densidade de corrente
�J =
N�
i=1
niqi�ui
�
�J
�
=
A
m2
I (a) = �a · �J
Examinemos agora a contribuic¸a˜o da densidade de corrente para o caso
de ele´trons que podem ter diferentes velocidades.
qi = −e
�J = −e
N�
i=1
ni�ui
A velocidade me´dia dos ele´trons e´ dada por:
124 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
��ue� =
1
Ne
�
i
ni�ui
Ne = Numero de eletrons por unidade de volume
�Je = −eNe ��ue�
A corrente de ele´trons que passara´ atrave´s da a´rea a dependera´ somente
da velocidade me´dia dos portadores (lembrando que esta de trata de
uma me´dia vetorial).
A corrente I que atravessa qualquer superf´ıcie S e´ exatamente igual a`
integral de superf´ıcie:
I =
�
S
�J · d�s
I e´ o ”fluxo”associado ao vetor �J
9.2 Equac¸a˜o da Continuidade da Carga ele´trica
Figura 9.2
Consideremos uma superf´ıcie fechada qualquer S, que delimita um volume
V.
Dentro do volume V temos uma quantidade de carga total igual a:
9.2. EQUAC¸A˜O DA CONTINUIDADE DA CARGA ELE´TRICA 125
�
V
ρdv
Como
�
S
�J · d�s e´ igual a` vaza˜o instantaˆnea de carga para fora do volume.
�
S
�J · d�s = −
d
dt
�
V
ρdv
Usando o Teorema de Gauss temos:
�
V
�∇ · �Jdv = −
d
dt
�
V
ρdv
Mas como ρ = ρ (x, y, z, t) e a superf´ıcie que limita o volume permanece
no mesmo lugar:
d
dt
�
ρdv =
�
∂ρ
∂t
dv
Enta˜o:
�
V
�∇ · �Jdv =
�
V
�
−
∂ρ
∂t
�
dv
Como a equac¸a˜o e´ va´lida para qualquer V :
�∇ · �J = −
∂ρ
∂t
Equac¸~ao da Continuidade da carga
Portanto, O Princ´ıpio da Conservac¸a˜o da Carga e´ traduzidos pelas
equac¸o˜es:
�
S
�J · d�s = −
d
dt
�
V
ρdv (9.1)
126 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
e
�∇ · �J = −
∂ρ
∂t
(9.2)
9.2.1 Caso De Corrente Estaciona´ria
Corrente na˜o varia com o tempo!!!
Figura 9.3
Suponha que temos um fio por onde passa uma corrente estaciona´ria (na˜o
varia com o tempo). Se considerarmos o volume V, a quantidade de carga
∆Q que entra num intervalo de tempo ∆t deve ser igual a` que sai no mesmo
intervalo.
∆Q
∆t
dentro do volume = 0 ⇒ ∂ρ
∂t
= 0
�∇ · �J = 0
Esta equac¸a˜o nada mais e´ do que a 1a Lei de Kirchoff , tambe´m co-
nhecida como Lei dos No´s, da teoria de circuitos ele´tricos.
Figura 9.4
9.3. CONDUTIVIDADE ELE´TRICA E A LEI DE OHM 127
Figura 9.5
9.3 Condutividade Ele´trica e a Lei de Ohm
Consideremos que a corrente ele´trica e´ produzida pela presenc¸a de um campo
ele´trico.
�E produz uma forc¸a no portador de carga → se movimenta ⇒ corrente
ele´trica
Se ha´ corrente ele´trica ou na˜o, depende da natureza f´ısica do sistema em
que o campo atua, ou seja, o meio.
Uma das mais antigas descobertas experimentais sobre a corrente ele´trica
na mate´ria foi feita por G. S. Ohm, em um trabalho publicado em 1827
intitulado: ”Die Galvanische Ketle Mattematisch Bearbeitet”, e e´ expressa
atrave´s da Lei de Ohm:
V = RI
Observac¸a˜o 9.1. ( OBSERVAC¸A˜O IMPORTANTE )
Esta equac¸a˜o prove´m da observac¸a˜o experimental do comportamento de
muitas substaˆncias familiares, no´s na˜o a deduzimos das leis fundamentais do
eletromagnetismo.
9.3.1 Um Modelo Para a Conduc¸a˜o Ele´trica
⇒ Modelo De Drude = Modelo Cla´ssico
Linha do tempo:
128 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
1827 - Ohm 1897 - J.J. Thompson → descoberta do ele´tron.
Impacto imediato nas teorias da estrutura da mate´ria e sugeriu um me-
canismo para a conduc¸a˜o em metais.
1900 - Drude construiu sua teoria para a condutividade ele´trica utilizando
a teoria cine´tica dos gases para um metal, considerando um ga´s de ele´trons
livres.
(Annalen der Phynik 1, 566 (1900) e Annalen der Phynik 3, 369 (1900))
Suposic¸o˜es:
Figura 9.6
Cada a´tomo contribui com z ele´trons para a conduc¸a˜o → carga = -ez
Na auseˆncia de campo ele´trico os ele´trons se movem em todas as direc¸o˜es,
ao acaso, com velocidades que sa˜o determinadas pela temperatura.
O ele´tron devera´ se mover em linha reta ate´ que sofra uma colisa˜o.
As coliso˜es no modelo de Drude, como na teoria cine´tica, sa˜o eventos
instantaˆneos que alteram abruptamente a velocidade do ele´tron.
Na˜o ha´ relac¸a˜o (tanto em mo´dulo quanto em direc¸a˜o e sentido) entre a
velocidade �u do ele´tron em t = 0 e sua velocidade depois da passagem de um
certo intervalo de tempo.
Isto corresponde a dizer que apo´s um tempo t o vetor velocidade do
9.3. CONDUTIVIDADE ELE´TRICA E A LEI DE OHM 129
ele´tron podera´ ser encontrado apontando em qualquer direc¸a˜o independente
da direc¸a˜o que tinha em t = 0.
A probabilidade de um ele´tron sofrer uma colisa˜o em um intervalo de
tempo dt e´ dt
τ
, onde τ = tempo me´dio entre as coliso˜es.
Agora vamos aplicar um campo ele´trico uniforme �E ao sistema.
Com a presenc¸a de um campo ele´trico, o ele´tron ficara´ sujeito a uma forc¸a
ele´trica.
Figura 9.7
Seja:
�u = velocidade imediatamente apo´s a colisa˜o.
Apo´s um determinado t, o ele´tron sofre um incremento de momento igual
a:
�pt = −e �Et
Momento original logo apo´s a colisa˜o era:
�po = me�u
me = massa do ele´tron
Enta˜o, momento total apo´s um determinado tempo t deve ser:
130 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
�p = me�u− e �Et
Com isso, o momento total do sistema sera´:
�
�p =
�
i
me�ui +
�
i
�
−e �E
�
ti
O momento me´dio de todos os ele´trons:
��p� =
1
Ne
�
�p
��p� =
1
Ne
�
i
�
me�ui − e �Eti
�
��p� = me
�
1
Ne
�
i
�ui
�
− e �E
�
1
Ne
�
i
ti
�
Mas:
1
Ne
�
i
�ui = velocidade me´dia dos ele´trons imediatamente apo´s a colisa˜o
→ deve ser igual a zero, pois �ui tem as direc¸o˜es distribu´ıdas totalmente ao
acaso e, portanto, tem contribuic¸a˜o nula para a me´dia.
1
Ne
�
i
ti = tempo me´dio entre as coliso˜es = τ
��p� = −e �Eτ
��u� = − eτ
me
�E = velocidade me´dia = velocidade de drift ou de ”arrasto”.
Ja´ vimos que a densidade de corrente pode ser escrita como:
�J = −Nee ��u�
�J =
Nee
2τ
me
�E
Seja:
9.3. CONDUTIVIDADE ELE´TRICA E A LEI DE OHM 131
σ =
e2Neτ
me
Enta˜o: Lei de Ohm
�J = σ �E
onde σ = condutividadeele´trica.
Vejamos que escrever �J = σ �E e´ equivalente a escrever V = RI.
Consideremos um fio de secc¸a˜o transversal A:
Figura 9.8
V = El
e
I = JA
J = σE = σ
V
l
I
A
= σ
V
l
⇒ V =
l
σA����
R
I
Enta˜o:
132 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
V = Ri
Definimos resistividade como sendo o inverso da condutividade:
ρ =
1
σ
Temos:
R =
ρl
A
⇒ De fato a resisteˆncia deve ser diretamente proporcional a l e inversa-
mente proporcional a A.
R =
comprimento× resistividade
areadasecaotransversal
Na realidade a resistividade de um material varia com a temperatura T.
ρ = ρo [1 + α (T − To)]
α = coeficiente de temperatura da resistividade
α > 0 para metais
α < 0 para semicondutores
Figura 9.9
9.4. ASSOCIAC¸A˜O DE RESISTORES 133
9.4 Associac¸a˜o de Resistores
9.4.1 Associac¸a˜o em Paralelo
Figura 9.10
V = ReqIeq
Req =
V
I1 + I2 + I3
1
Req
=
I1
V
+
I2
V
+
I3
V
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
1
Req
=
N�
i=1
1
Ri
9.4.2 Associac¸a˜o em Se´rie
V = V1 + V2 = R1I +R2I
V = (R1 +R2) I
Req = (R1 +R2)
134 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.11
Req =
N�
i=1
Ri
Exerc´ıcio 9.1. Um material condutor possui condutividade dada por:
σ(x) = σa +
(σb − σa)
l
x
onde σa e σb sa˜o constantes.
O condutor possui comprimento l e a´rea de secc¸a˜o transversal constante.
Determine a resisteˆncia entre as faces A e B do condutor.
Figura 9.12
R =
ρl
A
⇒ R(x) =
l
σ(x)A
9.4. ASSOCIAC¸A˜O DE RESISTORES 135
Figura 9.13
Req =
n
Σ
i=1
Ri ⇒ R =
l�
0
dx
σ(x)A
=
1
A
l�
0
dx
σa +
�
σb−σa
l
�
x
⇒
R =
l
A(σb − σa)
ln
�
σb
σa
�
Exerc´ıcio 9.2. Um material condutor e´ moldado na forma de um tronco de
cone. O raio da base menor e´ a e o raio da base maior e´ b. O comprimento
e´ l e a resistividade e´ uniforme. Determine a resisteˆncia entre as bases.
Figura 9.14
R =
�
dR⇒dR = ρdx
πr2(x)
⇒ r (x) = a+ b−a
l
x
R =
ρ
π
l�
0
dx�
a+
�
b−a
l
�
x
�2 ⇒ R = ρπ
�
l
b− a
��
−
1
b
+
1
a
�
⇒
R =
ρl
πab
se a = b ⇒ R =
ρl
πa2
136 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Exerc´ıcio 9.3. Um material e´ moldado na forma de uma cunha, como ilus-
tra a figura abaixo. O material possui uma resistividade ρR. Determine a
resisteˆncia entre as faces A e B
Figura 9.15
R =
�
dR dR =
ρdx�
a+ (b−a)
l
x
�
w
R =
ρ
w
l�
0
dx
a+
�
b−a
l
�
x
⇒ R =
ρ
w
l
(b− a)
ln
�
b
a
�
se b→ a, (b− a)→ 0⇒ ln
�
b
a
�
= ln
�
b−a
a
+ 1
�
≈ b−a
a
⇒ R =
ρl
w (b− a)
(b− a)
a
=
ρl
aw
9.5 Forc¸a Eletromotriz
E´ necessa´rio se gastar energia ele´trica para manter uma corrente constante
em um circuito fechado. A fonte de energia e´ chamada de fonte de forc¸a
eletromotriz (fem - s´ımbolo ε ).
Exemplos: baterias, ce´lulas solares, etc
Matematicamente: ε ≡ dw
dq
Ou seja, o trabalho para mover uma unidade de carga na direc¸a˜o do
potencial mais alto.
9.5. FORC¸A ELETROMOTRIZ 137
[ε] = V (volt)
Considere o circuito:
Figura 9.16
Assumindo que a bateria na˜o possui resisteˆncia interna, enta˜o a diferenc¸a
de potencial VA − VB = V = ε
Corrente: I = ε
R
No entanto, uma bateria real sempre possui um resisteˆncia interna r.
Neste caso, a diferenc¸a de potencial nos terminais da bateria e´:
Vc − Va = ∆V = ε− rI
Figura 9.17
No circuito todo:
ε− rI −RI = 0⇒ I =
ε
r +R
138 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.18
. Voltagem cai ao passar por cada resistor.
. Nos fios e´ constante.
9.5.1 Poteˆncia
A poteˆncia e´ dada por:
dW
dt
= V
dq
dt
Taxa de Transfereˆncia de Energia
Como P = V I e´ sempre va´lido:
Usando a Lei de Ohm:
→ P = I2R
A poteˆncia gasta pela bateria:
P = Iε = I (IR + Ir) = I2R + I2r
Poteˆncia da fonte e´ igual a Poteˆncia dissipada em R + Poteˆncia
dissipada em r.
9.5.2 Poteˆncia Ma´xima Transmitida
P = RI2
9.6. LEIS DE KIRCHOFF 139
Figura 9.19
I =
ε
R + r
P =
Rε2
(R + r)2
dP
dR
= 0→
dP
dR
=
ε2
(R + r)2
−
2Rε2
(R + r)3
= 0
⇒ R + r = 2R
R = r
9.6 Leis de Kirchoff
As leis de Kirchoff:
1- Dos no´s: ΣIentram = ΣIsaem
2- Das malhas: Σ
circuito
fechado
∆V = 0
Nos circuitos temos:
Va > Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = −RI
140 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.20
Figura 9.21
Va < Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = +ε
Exerc´ıcio 9.4. Qual o valor de I1, I2 e I3?
Figura 9.22
Consideremos que o sentido das correntes sa˜o como mostrados na figura.
Pela lei das malhas:
Comec¸ando em A:
V1 −R1I1 −R3I1 +R3I2 = 0
Comec¸ando em B:
−R3I2 +R3I1 −R2I2 + V2 = 0
9.7. CIRCUITO R-C 141
Temos duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas, I1 e I2
I3 = I1 − I2
Se I1 der negativo, enta˜o o sentido da corrente e´ oposto ao que supomos
inicialmente, o mesmo para I2.
9.7 Circuito R-C
9.7.1 Carregando um capacitor
Considere o circuito abaixo:
Figura 9.23
Bateria com uma fem ε constante e resisteˆncia interna nula.
Inicialmente o capacitor esta´ completamente descarregado q( t=0 ) = 0
e a chave passa para a posic¸a˜o (1).
A corrente comec¸a a circular: I (0) = ε
R
A medida que o tempo passa ( t ¿ 0 ), o capacitor vai carregando ate´
atingir a carga ma´xima ( t = tf ) Q = Cε
Analisemos o que ocorre entre os dois instantes ( 0 ¡ t ¡ tf ).
Pela Lei da Malhas: ε− I (t)R− q(t)
C
= 0
Podemos resolver a equac¸a˜o em termos da corrente ou da carga.
Escolhendo a carga:
142 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.24
ε−RI (t)−
q (t)
C
= 0
I (t) =
dq (t)
dt
⇒ ε−R
dq
dt
−
q
C
= 0
⇒
dq
dt
=
1
R
�
ε−
q
C
�
⇒
dq
εC − q
=
dt
RC
Integrando ambos os lados, temos:
q�
0
dq
q − εC
= −
1
RC
t�
0
dt⇒ ln
�
q − εC
−εC
�
= −
t
RC
q − εC = −εC e−(
t
RC ) ⇒ q (t) = εC
�
1− e−(
t
RC )
�
q (t) = Q
�
1− e−
t
RC
�
Onde Q e´ a carga ma´xima armazenada no capacitor.
I (t) =
dq
dt
q (t) = Q
�
1− e
−t
RC
�
I (t) =
Q
RC
e
−t
RC =
εC
RC
e
−t
RC
9.7. CIRCUITO R-C 143
Figura 9.25
I (t) =
ε
R
e
−t
RC
Figura 9.26
τ = RC e´ uma medida do tempo de decaimento da func¸a˜o exponencial.
Depois de t = τ a corrente cai de um fator de 1
e
= 0, 368.
Tensa˜o no Capacitor
Vc (t) =
q (t)
C
=
Q
C
�
1− e−
t
RC
�
= ε
�
1− e−
t
RC
�
t→∞⇒


q (t→∞) = Cε = Q
Vc (t→∞) = ε
I (t→∞) = 0
144 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.27
Depois de um tempo t = τ a diferenc¸a de potencial entre os capacitores
aumenta de um valor igual a (1− e−1) = 0, 632 do seu valor final.
Vc (τ) = 0, 632ε
9.7.2 Descarregando um capacitor
Considerando que a chave permaneceu por um longo tempo na posic¸a˜o (1),
vamos mudar a chave para a posic¸a˜o (2).
Figura 9.28
Podemos prever que a corrente tera´ o mesmo comportamento que o pro-
cesso anterior, com a diferenc¸a que mudara´ de sentido.
Idescarga (t) = −Icarga (t) = −
ε
R
e−
t
RC
Montando a equac¸a˜o:
9.7. CIRCUITO R-C 145
q (t)
C
−RI (t) = 0
I (t) = −
dq
dt
q (t)
C
−R
dq (t)
dt
= 0
dq (t)
dt
= −
q (t)
RC
⇒
dq
q
= −
dt
RC
⇒
q�
Q
dq
q
= −
t�
0
dt
RC
ln
�
q
Q
�
= −
t
RC
⇒
q (t) = Qe−
t
RC
Vc (t) =
q (t)
C
=
Q
C
e−
t
RC = εe−
t
RC
I (t) = −
dq
dt
=
ε
R
e−
t
RC
Figura9.29
146 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.30
Figura 9.31
Figura 9.32
t < 0⇒ Req = R1 +R2
9.7. CIRCUITO R-C 147
τ = ReqC = (R1 +R2)C
q (t) = εC
�
1− e−(
t
τ )
�
Figura 9.33
Figura 9.34
τ � = R2C
q� (t) = εCe−
t
τ �
Corrente entre A e B como func¸a˜o do tempo depois que o circuito e´
fechado.
148 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
ε = R1I1 ⇒ I1 =
ε
R1
q (t)
C
−R2I2 (t) = 0
q (t)
C
+R2
dq2 (t)
dt
= 0
Figura 9.35
dq2(t)
q2
= −
dt
R2C
⇒ q2 (t) = εCe
−
t
R2C
I2 (t) = −
ε
R2
e
−
t
R2C
I = I1 + I2 =
ε
R1
+
ε
R2
e
−
t
R2C