Equações de Maxwell - Eletromagnetismo - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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Cap´ıtulo 12
Equac¸o˜es de Maxwell
12.1 Introduc¸a˜o
Ate´ Faraday, o campo ele´trico e o campo magne´tico eram tratados indepen-
dentemente. Com a Lei da induc¸a˜o de Faraday, vimos que a variac¸a˜o do
campo magne´tico com o tempo gera campo ele´trico.
�
Γ
�E · d�l = − d
dt
�
S
�B · d�s
O campo ele´trico e magne´tico na˜o sa˜o mais tratados independentemente,
sendo assim chamado de campo eletromagne´tico. Em aproximadamente 1860
J.C. Maxwell constatou uma inconsisteˆncia entre as equac¸o˜es ate´ enta˜o e na
equac¸a˜o da continuidade.
As equac¸o˜es que conhecemos ate´ agora, na forma diferencial, sa˜o:
231
232 CAPI´TULO 12. EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL
�∇× �E = −∂
�B
∂t
�∇× �B = µ0 �J
�∇ · �E = ρ
ε0
�∇ · �B = 0
E a equac¸a˜o da continuidade (Equac¸a˜o 9.2):
�∇ · �J + ∂ρ
∂t
= 0
Se aplicarmos o divergente na lei de Ampe`re, temos:
�∇ · (�∇× �B) = µ0�∇ · �J
�∇ · �J = 0
Ou seja, a lei de Ampe`re, na forma atual, na˜o e´ sempre va´lida, mas
somente para corrente estaciona´ria.
E´ poss´ıvel tambe´m verificar a inconsisteˆncia a partir da forma integral da
lei de Ampe`re.
12.2. MODIFICAC¸A˜O NA LEI DE AMPE`RE 233
Considere o carregamento do capacitor na figura.Vamos aplicar a Lei de
Ampe`re, mas vamos considerar duas superf´ıcies abertas e distintas, ambas
delimitadas pela mesma curva γ:
(a)
�
�B · d�l = µ0�I (b)
�
�B · d�l = 0
Figura 12.1: Duas superf´ıcies poss´ıveis para aplicar a lei de Ampe`re.
As duas integrais deveriam ter o mesmo valor, pois tem o mesmo bordo!
Assim, ha´ uma inconsisteˆncia na lei de Ampe`re, que requer uma modificac¸a˜o
feita por Maxwell.
12.2 Modificac¸a˜o na lei de Ampe`re
Podemos encontrar essa modificac¸a˜o de duas formas.
Primeira Forma
Retomando o exemplo anterior, vimos que:
�
S1
�J · d�s1 −
�
S2
�J · d�s2 �= 0
Enta˜o, considerando o sentido de d�S1 e d�S2 e que S1 e S2 juntas formam
uma superf´ıcie fechada, utilizando a equac¸a˜o da continuidade:
234 CAPI´TULO 12. EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL
(a)
�
�B · d�l = µ0�I (b)
�
�B · d�l = 0
Figura 12.2: Duas superf´ıcies poss´ıveis para aplicar a lei de Ampe`re.
�
S
�J · d�s = − d
dt
�
ρdv �= 0
A corrente de transporte, ou de conduc¸a˜o, na˜o se anula, pois a carga esta´
se acumulando no capacitor, ou seja ∂ρ
∂t
�= 0.
A lei de Ampe`re original implica em∇· �J = 0, mas nesse caso,∇· �J = −∂ρ
∂t
.
Enta˜o algo dever ser adicionado a` lei de Ampe`re para torna´-la consistente
com a conservac¸a˜o da carga neste caso.
Podemos calcular ρ da lei de Gauss:
12.2. MODIFICAC¸A˜O NA LEI DE AMPE`RE 235
�∇ · �E = ρ
ε0
⇒ ρ = ε0�∇ · �E
�∇ · �J = −ε0 ∂
∂t
�∇ · �E = �∇ ·
�
−ε0∂
�E
∂t
�
�∇ ·
�
�J + ε0
∂ �E
∂t
�
= 0
Maxwell enta˜o substituiu �J da Lei de Ampe`re por �J � = �J + ε0
∂ �E
∂t
. Enta˜o,
chegamos na lei de Ampe`re-Maxwell:
�∇× �B = µ0 �J + µ0ε0∂
�E
∂t
(12.1)
Ou, na forma integral:
�
�B · d�l = µ0I + µ0ε0 ∂
∂t
�
�E · d�s (12.2)
Enta˜o:
�
�B · d�l = µ0I + µ0ε0dφE
dt
O termo adicional µ0ε0
dφE
dt
, Maxwell chamou de corrente de desloca-
mento, apesar dela na˜o significar corrente no sentido que conhecemos.
Significado: A variac¸a˜o de campo ele´trico, mesmo na auseˆncia de cor-
rente, gera campo magne´tico
Segunda Forma
Novamente considerando S1 e S2, no caso de um capacitor de placas paralelas.
236 CAPI´TULO 12. EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL
C =
Q
V
= ε0
A
d
⇒ ε0A = Q dV ⇒ ε0E = QA
dQ
dt
= ε0A
dE
dt
�JD =
1
A
dQ
dt
= ε0
dE
dt
Enquanto o capacitor esta´ carregando o campo ele´trico varia no tempo.
O fluxo de �E por S2 varia no tempo:
12.3. EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL 237
�∇× �B = µ0( �J+?)⇒ �∇× �B = µ0( �J + �JD)
�∇× �B = µ0 �J + µ0ε0∂
�E
∂t
Desta forma, Maxwell construiu uma teoria unificada e consistente. Ao
conjunto formado pela Lei de Ampe`re modificada e as outras 3 ja´ conhecidas,
da´-se o nome de Equac¸o˜es de Maxwell.
12.3 Equac¸o˜es de Maxwell
As equac¸o˜es de Maxwell no va´cuo sa˜o:
12.3.1 Forma diferencial
�∇ · �E = ρ
ε0
�∇ · �B = 0
�∇× �E = −∂
�B
∂t
�∇× �B = µ0 �J + µ0ε0∂
�E
∂t
238 CAPI´TULO 12. EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL
12.3.2 Forma integral
�
�E · d�s = Qint
ε0�
�B · d�s = 0�
�E · d�l = − d
dt
�
S
�B · d�s
�
�B · d�l = µ0I + µ0ε0 ∂
∂t
�
�E · d�s
Estas equac¸o˜es formam a base de todos os fenoˆmenos eletromagne´ticos
e em conjunto com a equac¸a˜o da forc¸a de Lorentz e a 2a lei de Newton
descrevem de forma completa a dinaˆmica cla´ssica da interac¸a˜o de part´ıculas
carregadas e seus campos eletromagne´ticos.
12.4 Equac¸o˜es de Onda
As equac¸o˜es de Maxwell, para ρ = 0 e �J = �0 sa˜o:
�∇ · �E = 0 (I)
�∇ · �B = 0 (II)
�∇× �E = −∂
�B
∂t
(III)
�∇× �B = µ0ε0∂
�E
∂t
(IV)
Aplicando o rotacional em III, temos:
12.4. EQUAC¸O˜ES DE ONDA 239
�∇× �∇× �E = − ∂
∂t
�∇× �B
�∇× �∇× �E = �∇ · (�∇ · �E)− �∇2 �E ⇒ −�∇2 �E = − ∂
∂t
�
µ0ε0
∂ �E
∂t
�
�∇2 �E − ∂
∂t
�
µ0ε0
∂ �E
∂t
�
= 0
Que e´ a equac¸a˜o de onda para o campo ele´trico:
v =
1√
µ0ε0
= c
�∇2 �E − 1
c2
∂2 �E
∂t2
= 0
�∇2 �E − 1
c2
∂2 �E
∂t2
= 0 (12.3)
O campo eletromagne´tico no va´cuo se propaga a` velocidade da luz, o
que foi uma das principais evideˆncias para se concluir que a luz e´ uma onda
eletromagne´tica.
Para �B, basta aplicar o rotacional em IV:
�∇× �∇× �B = �∇ · �∇ · �B − �∇2 �B
−�∇2 �B = µ0ε0 ∂
∂t
�∇× �E
�∇2 �B − µ0ε0∂
2 �B
∂t2
= 0
240 CAPI´TULO 12. EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL
�∇2 �B − 1
c2
∂2 �B
∂t2
= 0 (12.4)
O campo magne´tico se propaga no va´cuo com velocidade c.
Isso mostra que a luz e´ uma onda eletromagne´tica, caracterizando assim
a natureza ondulato´ria da luz. Maxwell fez a unificac¸a˜o de dois campos da
f´ısica ate´ enta˜o distintos, o Eletromagnetismo e na O´ptica. Sem Maxwell na˜o
entender´ıamos radiac¸a˜o eletromagne´tica. A relatividade restrita originou-se
dos Equac¸o˜es de Maxwell.