Livro - Fundamentos de Calculo

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FUNDAMENTOS 
DE CÁLCULO
Autor – Dr. Alessandro Ferreira Alves
Universidade Anhembi Morumbi
Janes Fidelis Tomelin
Diretor de EaD
Fabiano Prado Marques
Diretor Acadêmico – Escola de 
Engenharia e Tecnologia
Francisco Carlos Damante
Revisor Técnico
Universidade Potiguar
Barney Vilela
Coordenador Geral do Núcleo de 
Coordenação a Distância
Catarina de Sena Pinheiro
Diretora da Escola de Engenharia e 
Ciências Exatas
Raimundo Cícero Araújo Montenegro
Revisor Técnico
Universidade Salvador
Adriano Lima Barbosa Miranda
Diretor de Educação Corporativa e 
Novos Projetos
Rafael Gonçalves Bezerra de Araújo
Diretor da Escola de Engenharia e TI
Alex Soares Caldas
Revisor Técnico
Rede Laureate Internacional de 
Universidades
Daniella Loureiro Koncz
Coordenadora de Novos Negócios
André Torres Gregório
Designer Instrucional
FabriCO
Projeto educacional
Projeto gráfico
Autoria do conteúdo
Revisão ortográfica e gramatical
SUMÁRIO
CARTA AO ALUNO ............................................................................................................... 6
AULA 1 - CÁLCULOS ALGÉBRICOS ........................................................................................ 7
Introdução .............................................................................................................. 7
Objetivos ................................................................................................................ 8
1.1 Conjuntos numéricos ................................................................................... 8
1.2 Razão ........................................................................................................ 10
1.3 Proporção .................................................................................................. 11
1.4 Propriedades básicas da Álgebra .............................................................. 15
1.5 Potenciação com expoentes inteiros ........................................................ 17
1.6 Notação científica ..................................................................................... 19
1.7 Radiciação ................................................................................................. 20
1.8 Racionalização de denominadores ........................................................... 22
1.9 Potência de expoente racional ................................................................. 23
1.10 Técnicas de fatoração e polinômios ....................................................... 24
1.11 Fatoração ................................................................................................ 24
1.12 Simplificação de expressões fracionárias ............................................... 26
1.13 Regras operacionais ................................................................................ 27
1.14 Equações ................................................................................................. 29
1.15 Equações do segundo grau ..................................................................... 32
1.16.1 Inequação do primeiro grau, ou inequação linear em x ..................... 36
Conclusão ............................................................................................................. 37
AULA 2 - INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES ............................................................... 39
INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 39
Objetivos .............................................................................................................. 40
2.1 Noção intuitiva de função ......................................................................... 40
2.2 Teoria dos conjuntos ................................................................................. 41
2.3 Intervalos: subconjuntos especiais do conjunto dos números reais ........ 49
2.4 Funções ..................................................................................................... 49
2.4.1 Par ordenado ......................................................................................... 50
2.5 Domínio, contradomínio e conjunto imagem ........................................... 62
Conclusão ............................................................................................................. 72
AULA 3 - FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES ................................................... 73
Introdução ............................................................................................................ 73
OBJETIVOS ............................................................................................................. 74
3.1 Função polinomial ..................................................................................... 74
3.2 Função identidade .................................................................................... 75
3.3 Função linear ............................................................................................ 76
3.4 Função afim .............................................................................................. 76
3.5 Como resolver um sistema de duas equações lineares ........................... 80
3.6 Coeficientes da função afim e equação fundamental da reta ................. 85
3.7 Equação fundamental da reta ................................................................... 87
3.8 Crescimento e decrescimento ................................................................... 89
Conclusão ............................................................................................................. 93
AULA 4 - FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES ................................................... 95
Introdução ............................................................................................................ 95
OBJETIVOS ............................................................................................................. 96
4.1 História envolvendo a função quadrática ................................................. 96
4.2 Função quadrática ..................................................................................... 98
4.3 Função quadrática – aplicações ................................................................ 98
4.4 Discriminante da função quadrática – fórmula de Bhaskara .................... 99
4.5 Valor da função quadrática em um ponto .............................................. 100
4.6 Zeros da função quadrática .................................................................... 101
4.7 Forma canônica da função quadrática .................................................... 104
4.8 Gráfico da função quadrática .................................................................. 107
4.9 Propriedade relevante da parábola ........................................................ 113
4.10 Outras aplicações envolvendo as funções quadráticas ........................ 115
4.11 Inequação do segundo grau ................................................................. 117
Conclusão ........................................................................................................... 120
AULA 5 - COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR ......................... 121
INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 121
OBJETIVOS ........................................................................................................... 122
5.1 Paridade de funções ............................................................................... 122
5.2 Álgebra das funções ............................................................................... 126
5.3 Função composta .................................................................................... 128
5.4 A função inversa de f(x)......................................................................... 133
5.5 Como reconhecer a tipologia de funções através de gráficos ............... 141
5.6 A função modular ................................................................................... 143
5.7 Propriedades envolvendo o valor absoluto ........................................... 146
5.8 Equações modulares .............................................................................. 146
5.9 Inequações modulares ........................................................................... 147
CONCLUSÃO ........................................................................................................ 149
AULA 6 - FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA .. 151
INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 151
OBJETIVOS ........................................................................................................... 152
6.1 Equações exponenciais ........................................................................... 152
6.2 A função exponencial ............................................................................. 155
6.3 Inequações exponenciais ....................................................................... 161
6.4 Definição formal de logaritmo e propriedades imediatas ..................... 163
6.5 Função logarítmica ................................................................................. 168
6.6. Equações logarítmicas............................................................................ 173
6.7 Inequações logarítmicas ......................................................................... 174
CONCLUSÃO ........................................................................................................ 175
AULA 7 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E APLICAÇÕES .................................................... 177
INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 177
OBJETIVOS ........................................................................................................... 178
7.1 Aspectos introdutórios da trigonometria ................................................ 178
7.2 O ciclo trigonométrico e o quadrante geométrico ................................. 178
7.3 As funções trigonométricas seno, cosseno e tangente .......................... 180
7.3.2 A função cosseno de x ........................................................................ 181
7.3.3 A função tangente de x ....................................................................... 183
7.4 Funções trigonométricas inversas .......................................................... 186
AULA 8 - ÁREAS E VOLUMES ........................................................................................... 197
INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 197
OBJETIVOS ........................................................................................................... 198
8.1 Noções, Proposições Primitivas e Conceitos Fundamentais ................... 198
8.2 Triângulos ................................................................................................ 200
8.3 Polígonos ................................................................................................ 204
8.4 Quadriláteros Notáveis ........................................................................... 207
8.5 Cálculo de Áreas – Polígonos Regulares ................................................. 209
8.6 Poliedros e Volumes ............................................................................... 215
8.6.3 Cilindros ............................................................................................... 218
8.6.4 Cones.................................................................................................... 219
CONCLUSÃO ........................................................................................................ 221
Atividades de fixação .................................................................................... 221
Atividades de avaliação ................................................................................ 224
CONCLUSÃO DA DISCIPLINA ............................................................................................ 225
REFERÊNCIAS .................................................................................................................. 227
6
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
6
CARTA AO ALUNO
Prof.ª Esp. Ana Karolina Rodrigues Aires
Seja bem-vindo!
A partir de agora, vamos estudar uma das disciplinas que compõem o seu curso de graduação 
em Engenharia: Fundamentos de Cálculo. Podemos pensá-la como um aparato teórico sobre 
pontos da Matemática Elementar, área do conhecimento indispensável para um futuro engenheiro. 
Algumas perguntas costumam surgir com relação ao aprendizado desta matéria, questionando, 
principalmente, a utilidade prática do conteúdo estudado (entre elas, as recorrentes “para que 
servem tantas fórmulas, regras e expressões complicadas? Tenho mesmo de aprender tudo isso?”)
Primeiro, podemos responder que a matemática é produto da cultura humana e faz parte do nosso 
cotidiano. É uma ciência exata, cuja produção envolve o pensar crítico e criativo. Atualmente, 
ela está presente em todas as áreas do conhecimento, participando de forma significativa no 
desenvolvimento de novas teorias e resolvendo diversas situações, principalmente no contexto da 
Engenharia. Em outras palavras, um engenheiro com sólida formação deve dominar os conceitos 
e as técnicas da Matemática. Como disse Platão, “os números governam o mundo”, e citando 
Laisant, “zero, esse nada que é tudo”. 
Falando um pouco mais de forma específica sobre a disciplina, vamos trabalhar desde a parte 
relacionada aos conjuntos numéricos, às funções, às funções do primeiro e segundo graus até a 
Geometria Plana e Espacial. 
Vale destacar, porém, que é de fundamental importância que você acesse, busque e pesquise os 
livros apresentados nas referências bibliográficas de cada aula, para complementar seus estudos.
A verdade é que ninguém aprende Matemática ouvindo e/ou assistindo ao professor em sala de 
aula (virtual ou presencial), por mais organizadas e claras que sejam as suas explicações teóricas, 
por mais que se entenda tudo o que ele explica. Isso é muito importante, no entanto, é necessário 
estudar por conta própria, logo após as aulas, os conteúdos disponibilizados. Portanto, você, aluno, 
não vai aprender Matemática somente porque assiste às aulas e lê o material apresentado, mas 
porque estuda e resolve mais exercícios relacionados. 
Mãos à obra e bom estudo! 
AULA 1
Cálculos algébricos
Dr. Alessandro Ferreira Alves
INTRODUÇÃO
Sabemos que a necessidade de apresentar modelos que permitam explicar e compreender o mundo 
físico tem sido uma das grandes motivações para o desenvolvimento da Matemática. Podemos dizer que 
números foram criados para contar e medir, ao passo que desigualdades foram introduzidas para comparar 
grandezas e as funções matemáticas foram inventadas para expressar dependência ou relação entre coisas.
É evidente que muitos problemas importantes e significativos da Engenharia, por mais complexos que 
sejam e formulados em termos matemáticos, exigem quase sempre procedimentos e cálculos que passam 
por operações e propriedades básicas. De outra forma, frequentemente desejamos descrever ou modelar 
o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. Estes são apenas alguns 
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
8
exemplos de situações envolvendo um modelo matemático que, certamente, aparecerão na sua 
vida acadêmica e/ou profissional em Engenharia.
Nossa primeira aula temcomo objetivo apresentar alguns conceitos, regras e resultados básicos 
da Matemática elementar, desde a explicação simples sobre razões e proporções até a resolução 
de equações e inequações do primeiro grau. Sem dúvida, estes aspectos teóricos contribuirão para 
a sua sólida formação como Engenheiro, podendo ser aplicados, por exemplo, nos problemas da 
Física.
OBJETIVOS
Os objetivos de aprendizagem desta aula são:
 » Conhecer os principais produtos notáveis.
 » Entender problemas simulados envolvendo as equações do primeiro grau.
 » Entender problemas simulados envolvendo as equações do segundo grau.
 » Compreender os principais métodos para fatoração envolvendo polinômios.
 » Compreender e aplicar os conceitos e as propriedades envolvendo razões e proporções.
 » Interpretar e resolver sistemas de equações do primeiro grau.
 » Entender problemas simulados envolvendo as inequações do primeiro grau.
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os conjuntos numéricos são muito importantes para os nossos propósitos e possuem uma denotação 
universalmente aceita. Qualquer número que resulte de uma contagem de unidades é chamado de 
número natural. Indicamos por IN o conjunto dos números naturais. Veja a seguir:
IN = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Como a operação da subtração nem sempre é possível em IN, foi criado o conjunto dos números 
inteiros. Neste conjunto, a diferença 3 - 5 é representada por -2. Além disso, denotamos por Z o 
conjunto dos números inteiros e por Z* o conjunto dos inteiros não nulos. Acompanhe:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}
Saiba que, de outro modo, a divisão nem sempre é possível em Z. Por exemplo, não existe número 
inteiro que represente o quociente -3 ÷ 2. Desta forma, nasceu o conjunto dos números racionais. 
Aqui o quociente é indicado 3
2
− ou -1,5. Denota-se o conjunto dos números racionais por Q e por 
Q* o conjunto dos racionais não nulos.
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
9
1.1.1 Conjunto dos números racionais
Chamamos de número racional todo número que pode ser escrito na forma 
q
p em que p e q são 
números inteiros, com q ≠ 0, ou seja, Q = {x / x = 
q
p ; p ∈ Z, q ∈ Z e q ≠ 0} (PAIVA, 1999).
Segundo Paiva (1999), um número racional é aquele que você pode escrever na forma de fração. 
Nessa definição, encaixam-se todos os números naturais, inteiros, decimais e também as dízimas 
periódicas.
Exemplos de números racionais:
1) 0,7222222222...
2) 
3
1 = 0,3333333...
3) 0,584444444...
1.1.2 Dízima periódica
Paiva (1999, p. 1) afirma que “dízimas periódicas são números racionais cuja representação 
decimal é infinita. São originadas da divisão entre 2 números inteiros, sendo que a fração que 
a caracteriza é a fração geratriz.” Entre os números decimais existem as dízimas não periódicas, 
que são números com infinitas casas decimais e não periódicos. Esses números são chamados de 
irracionais, e o conjunto formado por eles é representado por I. Os dois números irracionais mais 
importantes são π = 3,14... e e = 2,71... (constante de Euler). Por fim, qualquer número racional 
ou irracional é chamado de número real. Indica-se por ℜ o conjunto dos reais. Desta maneira, 
temos a relação de inclusão entre os conjuntos numéricos citados. Veja na figura a seguir.
IN IRZ Q
Figura 1 - Relação de inclusão entre os principais conjuntos numéricos.
Fonte: PAIVA, 1999.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
10
Note que todo número natural é um número inteiro, que, por sua vez, 
é um número racional. Observe que não temos um número que seja 
racional e irracional ao mesmo tempo. Quando unimos o conjunto dos 
racionais com o conjunto dos irracionais encontramos o conjunto dos 
números reais.
1.2 RAZÃO
Para que você entenda inicialmente o conceito de razão entre dois números, vamos considerar a 
seguinte situação: imagine que o preço de determinado produto tivesse um aumento de R$ 1,00. 
Esse aumento foi baixo ou elevado? Qual é a sua interpretação?
Para responder, precisamos de mais informações. Um dado importante é o preço do produto antes 
do referido aumento, mas como relacionar o aumento e o preço inicial? Uma forma possível é 
dividir um pelo outro. Vamos admitir, como exemplo, duas possibilidades.
1a possibilidade: o preço inicial era de R$ 20,00. Assim, temos:
1 1
20 20
aumento real
preço reais
= =
2a possibilidade: o preço inicial era de R$ 2,00. Assim, temos:
1 1
2 2
aumento real
preço reais
= =
Perceba que responder se o aumento foi baixo ou elevado é uma 
questão que envolve subjetividade, porém podemos afirmar que na 1a 
possibilidade houve um aumento relativo menor do que na 2a possibi-
lidade, pois podemos escrever:
1 1
20 2
<
Essa forma de relacionar números é o que chamamos de razão.
Então, o que é razão?
Chamamos de razão de um número a para um número b, com b ≠ 0, ao quociente de a para b, ao 
qual indicamos por a
b
.
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
11
Veja alguns exemplos:
1) Em uma competição esportiva participam 500 atletas, dos quais há 100 moças e 400 rapazes. 
Assim:
a) A razão do número de moças para o número de rapazes é 100 1
400 4
=
 = 0,25.
b) A razão do número de rapazes para o número de moças é 400 4
100 1
=
 = 0,25.
2) A razão do número 1
2
 para o número 5
6
 é:
1
1 5 1 6 32
5 2 6 2 5 5
6
= ÷ = × =
Observe que aqui usamos a regra básica que diz: na divisão entre duas frações conservamos a 
primeira (no caso 1
2
) e multiplicamos pelo inverso da segunda (no caso 6
5
).
1.2.1 Razão entre duas grandezas
A razão de duas grandezas, dadas em certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza 
e a medida da segunda.
Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. 
Neste caso, a razão é um número puro. Contrariamente, se as grandezas não são da mesma 
espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais 
se determina a razão.
Exemplo:
Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto 
no percurso é:
160 160
2 2
km km
h h
=
 = 80 km/h
1.3 PROPORÇÃO
O conceito de proporção tem uma importância muito grande, não apenas na matemática, como 
também no nosso cotidiano. Empregamos proporções no dia a dia, embora sem utilizar símbolos 
matemáticos. Por exemplo, quando falamos que uma estátua tem a cabeça muito grande, não 
estamos nos referindo à medida absoluta da cabeça. Em uma estátua, a cabeça pode ser muito 
grande mesmo que meça a metade, um quarto ou um décimo da cabeça verdadeira. Ou seja, ela 
é muito grande proporcionalmente ao conjunto da própria estátua.
Dados quatro números (15, 3, 20 e 4), como a razão entre os dois primeiros números (15 e 3) é 
igual à razão entre os dois números (20 e 4), isto é:
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
12
15 5
3
=
 e 20 5
4
=
,
dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, formam uma proporção, que expressamos 
mediante a igualdade das duas razões:
15 20
3 4
=
Então, o que é proporção?
Em geral, dados em certa ordem quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, falamos que eles 
formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois 
últimos (c e d). Ou seja, uma proporção nada mais é que a igualdade entre duas razões.
Simbolicamente, representamos uma proporção por:
a c
b d
=
Em que:
a, b, c e d: termos da proporção
a e c: antecedentes
b e d: consequentes
a e d: extremos
b e c: meios
Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos 
meios. Esta é uma propriedade fundamental das proporções.
1.3.1 Grandezas proporcionais
É interessante ressaltar que a maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia a dia ligam 
duas grandezas relacionadas de tal forma que quandouma delas varia, como consequência, varia 
também a outra.
Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros 
percorridos. O tempo gasto numa construção depende do número de operários empregados.
A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de uma delas em 
relação à outra. Segundo esta lei, as grandezas relacionadas podem ser direta ou indiretamente 
proporcionais.
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
13
Diretamente
Proporcionais
Indiretamente
Proporcionais
Grandezas
Figura 2 - Tipos de grandezas.
Fonte: FERREIRA, 2013.
1.3.2 Grandezas diretamente proporcionais
Veja o seguinte exemplo: uma barra de alumínio de 100 cm3 de volume pesa 270 g. Nas mesmas 
condições, uma barra de 200 cm3 pesará 450 g e uma de 300 cm3, 810 g. Podemos então escrever 
o quadro 1 da seguinte forma:
VOLUME (CM3) 100 200 300 500
MASSA (G) 270 540 810 1.350
Quadro 1 - Grandezas diretamente proporcionais.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Ao examinar este quadro, podemos perceber claramente que a grandeza massa depende da 
grandeza volume, pois aumentando uma (volume) a outra (massa) também aumenta. Além disso, 
notamos que:
270 540 810 1350
100 200 300 500
= = =
 = 2,7
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
14
Curiosidade! O valor 2,7 corresponde à massa específica do Alumínio, 
expressa em g/cm3.
Chamando de x a grandeza volume e y a grandeza massa, temos:
y
x
 = 2,7
Ou
y = 2,7 · x
Dizemos, neste caso, que as sequências de números 100, 200, 300, 500 e 270, 540, 810, 1350 
são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são diretamente proporcionais 
e 2,7 é a razão ou o coeficiente de proporcionalidade.
1.3.3 Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando os valores correspondentes x e 
y são expressos por uma lei do tipo y = k · x, em que k é um número real constante, diferente de 
zero.
Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre dois 
valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspon-
dentes da outra.
1.3.4 Grandezas inversamente proporcionais
Vejamos este exemplo: uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião a uma 
velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma 
velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos então escrever o quadro 2 da seguinte maneira:
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
15
VELOCIDADE (KM/H) 100 200 300 400
TEMPO (H) 12 6 4 3
Quadro 2 - Grandezas inversamente proporcionais.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Perceba que a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que, aumentando a velocidade, 
o tempo diminui. Porém, agora temos:
12 × 100 = 6 × 200 = 4 × 300 = 3 × 400 = 1.200
Ou:
12 6 4 3
1 1 1 1
100 200 300 400
= = = = 1.200
Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos:
y · x = 1.200
Ou
y = 1.200 · 1
x
Dizemos, neste caso, que as sequências de números (100, 200, 300, 400) e (12, 6, 4, 3) são 
inversamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são inversamente proporcionais e 
1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade.
Então, o que são grandezas inversamente proporcionais?
Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais quando os valores correspondentes x e y 
são expressos por uma lei do tipo y = k · 1
x
, em que k é um número real constante, diferente de zero.
Pergunta:
O comprimento de uma barra de ferro e seu preço são grandezas diretamente proporcionais? Por 
quê?
Resposta:
Sim, porque, se multiplicarmos o comprimento da barra por um número diferente de zero, o preço 
fica multiplicado por esse número.
1.4 PROPRIEDADES BÁSICAS DA ÁLGEBRA
Sabemos que a Álgebra é a parte da matemática que envolve o uso de letras e outros símbolos 
para representar números reais. Segundo Demana e Kennedy (2009, p. 7), uma variável é uma 
letra ou um símbolo (por exemplo, x, y, z, t, φ, θ) que representa um número real não específico. 
Além disso, uma constante é uma letra ou um símbolo (por exemplo, -2, 0, 3 , π) que representa 
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
16
um número específico, e uma expressão algébrica é a combinação de variáveis e constantes 
envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão, potências e raízes.
Álgebra
Constante
VariávelExpressão
Algébrica
Figura 3 - Tipos de grandezas.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Antes de trabalhar com potenciação e radiciação, vamos fazer uma breve revisão com relação a 
algumas das propriedades das operações aritméticas básicas: adição, subtração, multiplicação e 
divisão, representadas pelos símbolos +, -, × (ou ·) e (÷ ou /), respectivamente.
Adição Subtração
Multiplicação Divisão
Figura 4 - Operações aritméticas fundamentais.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Desta forma, definimos:
 » a - b = a + (-b), em que (-b) é o inverso aditivo de b.
 » 
b
a = a · 
b
1 , b ≠ 0, 
b
1 é o inverso multiplicativo de b.
Assim, temos as seguintes propriedades associadas:
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
17
P1) Propriedade comutativa:
Adição: u + v = v + u (a ordem dos fatores não altera a soma)
Multiplicação: u · v = v · u (a ordem dos fatores não altera o produto)
P2) Propriedade associativa:
Adição: (u + v) + w = u + (v + w)
Multiplicação: (u · v) · w = u · (v · w)
P3) Propriedade do elemento neutro:
Adição: u + 0 = u
Multiplicação: u · 1 = u
P4) Propriedade do elemento inverso:
Adição: u + (-u) = 0
Multiplicação: u · 
u
1 = 1, com u ≠ 0
P5) Propriedade distributiva:
Multiplicação com relação à adição: 

+=+
+=+
wvwuwvu
wuvuwvu
..).(
..).(
Multiplicação com relação à subtração: 


−=−
−=−
wvwuwvu
wuvuwvu
..).(
..).(
Veja a seguir alguns exemplos que ilustram a aplicação destas propriedades:
a) 2 + 3 = 3 + 2 = 5
b) 4 · 5 = 5 · 4 = 20
c) (4 + 3) + 2 = 4 + (3 + 2) = 9
d) (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24
e) 8 + 0 = 8 = 0 + 8
f) 3 · 1 = 1 · 3 = 3
g) 2 · 
2
1 = 1
1.5 POTENCIAÇÃO COM EXPOENTES INTEIROS
Em diversas situações envolvendo cálculos algébricos, percebemos a repetição de alguns fatores. 
Assim, a notação com expoentes é muito útil para diminuir a escrita destes. Por exemplo, se 
considerarmos:
(-4) · (-4) · (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = (-4)6
e
(3 · x - 5) · (3 · x - 5) · (3 · x - 5) = (3 · x - 5)3
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
18
1.5.1 Enésima potência de a
Considere a um número real, uma variável ou uma expressão algébrica e n um inteiro positivo. 
Então:
an = 
vezesn
aaaaaa .......
Em que n é o expoente, a é a base e an é a enésima potência de a (lemos: “a elevado a n”) 
(DEMANA; KENNEDY, 2009, p. 9).
Veja estes exemplos.
1) (-5)4, a base é -5.
2) -74, a base é 7, já que -74 = (-1) · 74.
3) 32, a base é 3 e o expoente é 2.
1.5.2 Propriedades da potenciação
Sendo a e b números reais, m e n inteiros, temos:
P1) am · an = am+n
P2) m
n
a
a
 = am-n
P3) a0 = 1
P4) a-n = 1
na
P5) (a · b)m = am · bm
P6) (am)n = am · n
P7) 
m m
m
a a
b b
 
=  
Exemplos
1) 83 · 84 = 83 + 4 = 87
2) 10
4
x
x
 = x10 - 4 = x6
3) 50 = 1 (qualquer número não nulo elevado a zero é igual a 1)
4) y-3 = 
3
1
y
5) (2 · x)5 = 25 · x5 = 32 · x5
6) (x2)3 = x2 · 3 = x6
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
19
7) 
7 7
7
x x
y y
 
=  
.
8) 2 2
1 3
2 .3
2 .3
−
−
 = 2 1
2 3
2 .2
3 .3
 = 3
5
2
3
 = 8
243
1.6 NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Em diversas situações do cotidiano do engenheiro, aparecem números muito grandes ou demasiado 
pequenos. Desta maneira, a notação científica auxilia na escrita destes números por meio do uso 
de potências de 10. Saiba que todo número A, não nulo, pode ser representado em uma das 
seguintes formas:
A= c · 10m ou A = -c · 10m
com 1 ≤ c < 10 e m um inteiro, conforme A seja positivo ou negativo. Essa forma de escrever um 
número é chamada de notação científica.
Exemplo: a distância entre a Terra e o Sol é de, aproximadamente, 149.597.870,691 quilômetros. 
Em notação científica, esta distância pode ser escrita como 149.597.870,691 km ≅ 1,5 · 108 km.
Para escrever um número em notação científica, devemos observar as seguintes regras:
R1) Multiplicar um número por 10p, p > 0, é o mesmo que deslocar a vírgula para a direita de p 
”casas” decimais. Se p é negativo, desloca-se para a esquerda.
0,00037 · 104 = 3,7
2.500 · 10-3 = 2,5
R2) O valor de um número não se altera ao ser multiplicado por 10p · 10-p.
Notação
cientí�ca
Padronização de
escrita de
números
Reescrever
números muito
grandes
Potências de 10
Reescrever
números muito
pequenos
Figura 5 - A importância da notação científica.
Fonte: FERREIRA, 2013.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
20
Exercício
Vamos simplificar a seguinte expressão:
.
Solução: Neste caso, temos:
 = = =
9,25 × 1010 = 92.500.000.000
1.7 RADICIAÇÃO
Considere o seguinte problema: qual é a medida do lado de um quadrado com 5 cm2 de área? 
Para resolver, vamos supor que a medida do lado do quadrado seja x (x > 0).
x
x
Figura 6 - O quadrado de lado x e área 5 cm2.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Sabemos que a área deste quadrado é dada por x2, e pelo enunciado devemos ter:
x2 = 5
Nessas condições, o problema estará resolvido somente quando determinarmos o valor positivo 
de x que torne verdadeira a sentença x2 = 5. O número x, não negativo, cujo quadrado é igual a 5, 
será indicado por 2 5 , que devemos ler “raiz quadrada de cinco”. Portanto, o lado do quadrado 
mede x = 2 5 cm.
1.7.1 Raiz enésima de a
Vamos supor a sentença xn = a, em que n é um natural não nulo e a ≥ 0. O valor não negativo 
que satisfaz esta igualdade será indicado por n a , e devemos ler “raiz enésima de a”. As 
nomenclaturas utilizadas para esta simbologia são dadas por:
n a : radical
n: índice do radical
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
21
a: radicando
Veja no quadro a seguir algumas nomenclaturas da raiz enésima.
LEITURA RADICAL ÍNDICE RADICANDO
5 4 Raiz quinta de 4 5 4 5 4
3 8 Raiz cúbica de 8 3 8 3 8
2 9 Raiz quadrada de 9 2 9 2 9
Quadro 3 - Algumas nomenclaturas da raiz enésima.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Devido à raiz quadrada de um número não negativo a, isto é, 2 a ser 
muito utilizada, padronizou-se escrever apenas a .
Exercício
Vamos calcular a medida da aresta de um cubo de volume 64 cm3, sendo x a medida da aresta do 
cubo, conforme figura a seguir:
Figura 7 - O cubo de aresta x.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Então, sabemos que o volume de um cubo de aresta x é dado por:
x3 = 64 e x > 0
Pela definição de raiz, temos que:
x = 3 64
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
22
x = 4, pois 43 = 64 e 4 ≥ 0.
Solução: a aresta do cubo mede 4 cm.
Existem dois valores de x que tornam verdadeira a sentença x2 = 25: 5 
ou -5. O valor positivo 5 é indicado por 25 , e o valor negativo -5 é 
indicado por - 25 . Assim:
x2 = 25 ⇒ x = ± 5
1.7.2 Propriedades dos radicais
Sendo a e b números reais não negativos, e os índices números naturais não nulos, temos:
P1) . .n n na b a b=
P2) n
n
n
a a
bb
=
P3) 
np mp n ma a=
P4) ( )m n mn a a=
P5) n m nma a=
Exemplos
1) 
1
3 3 3 32. 5 2.5 10
P
= =
2) 
2
5
55
5
8 8 2
44 P
= =
3) 
3
27 9 27 9 9 9 35 5
P
a÷ ÷= =
4) 
4 3
3 3 312 12 12 3 43( 2) 2 2 2
P P
÷ ÷
= = =
5) 
5
3 3.44 122 2 2
P
= =
1.8 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Em alguns casos, podemos evitar a divisão por números irracionais, minimizando os possíveis erros 
propagados pelos cálculos em questão. Segundo Demana e Kennedy (2009), racionalização é o 
processo de reescrever frações contendo radicais, de modo que o denominador fique sem esses 
radicais.
Exemplos:
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
23
1) 
3
6
3
3.
3
2
3
2
3
2
===
2) 
x
x
x
x
x
x
xx
4 3
4 4
4 3
4 3
4 3
44
.11 === (| x | é o módulo de x que aprenderemos mais adiante).
3) 
y
yx
y
yx
y
y
y
x
y
x
y
x 5 22
5 5
5 22
5 2
5 2
5 3
5 2
5 3
5 2
5
3
2 ..
. ====
1.9 POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL
Já sabemos calcular potências do tipo 2 6 25 ,8 , 4− , isto é, potências que envolvem expoentes 
inteiros. Mas como podemos trabalhar com expoentes racionais (frações), ou seja, como interpretar, 
por exemplo, a potência
3
57 ?
Bem, vamos chamar a potência de x, logo:
x = 
3
57
Elevando à quinta potência ambos os membros da igualdade, temos que:
3
5 55(7 )x =
Daí,
5 37x =
E pela definição de raiz, segue que:
x = 5 37
Isso nos sugere a definição relacionada à potenciação envolvendo números racionais ou fracionários, 
como segue.
1.9.1 Expoentes racionais
Considere um número real a > 0, m e n inteiros com n > 0. Neste caso, definimos 
m
n mna a= . 
Note que para a = 0 deve ter m > 0.
Exemplos
1) 
2
3 235 5=
2) 
1
0,5 29 9 9= =
3) 
1
0,1 10 1106 6 6
−
− −
= =
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
24
1.10 TÉCNICAS DE FATORAÇÃO E POLINÔMIOS
Quando trabalhamos com cálculos algébricos, percebemos que o desenvolvimento de um produto 
requer apenas mão de obra e, portanto, não nos cria grandes dificuldades. O que pode causar 
problemas é a passagem no sentido contrário. Como fatorar? Isto é, como passar da forma 
desenvolvida para a forma fatorada? Neste sentido, vamos trabalhar com algumas identidades 
fundamentais (produtos notáveis) que são ferramentas indispensáveis para as técnicas de 
fatoração associadas aos polinômios.
Polinômios
Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma:
an · x
n + an-1 · x
n-1 + an-2 · x
n-2 + ... + a1 · x + a0
em que n é um inteiro não negativo e an ≠ 0. Os números an-1, ..., a1, a0 são todos reais 
conhecidos como coeficientes. De outro modo, o grau do polinômio é n e o coeficiente principal 
é o número an.
Veja que polinômios com um, dois e três termos são ditos monômios, binômios e trinômios, 
respectivamente. Um polinômio escrito com as potências de x na ordem decrescente está na 
forma padrão.
Além disso, para somarmos ou subtrairmos polinômios, nós somamos ou subtraímos termos 
semelhantes usando a propriedade da distributiva (DEMANA; KENNEDY, 2009).
1.10.1 Adição e subtração de polinômios
Veja alguns exemplos:
1) (3x + 4) + (7x - 10) = (3x + 7x) + (4 - 10) = 10x - 6
2) (2x + 5) - (3x - 1) = (2x - 3x) + (5 - (-1)) = -x + 6
3) (2x3 - 3) + (5x3 + x2 + x - 2) = (2x3 + 5x3) + x2 + x + (-3 - 2) = 7x3 + x2 + x - 5
1.10.2 Produtos notáveis
Segundo Demana e Kennedy (2009), os polinômios que aparecem frequentemente e com certa 
regularidade nos cálculos algébricos são chamados de produtos notáveis.
1.11 FATORAÇÃO
Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la numa outra equivalente que esteja na forma de 
produto.
Por exemplo:
2
2
6 8 2 .(3 4)
9 ( 3).( 3)
fatorando
fatorando
x x x x
x x x
+ → +
− → + −
Primeiro caso de fatoração: fator comum em evidência
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
25
Quando existe um fator que é comum a todas as parcelas, então este fator comum deve ser 
colocado em evidência.
Exemplo:
1) 4 6 2.(2 3)x x+ = +
2) 28 4 4 .(2 1)x x x x− = −
Segundo caso de fatoração: agrupamento
É uma aplicação repetida do primeiro caso.
Exemplos:
1) 
3 2 2 22 2 4 .( 2) 2.( 2) ( 2).( 2)x x x x x x x x+ + + = + + + = + +
2) 1 1 .( 1) 1.(1 ) .( 1) 1.( 1) ( 1).( 1)xy x y xy x y x y y x y y y x+ − − = − + − = − + − = − − − = − −
Terceiro caso de fatoração: diferença de dois quadrados
2 2 ( ).( )a b a b a b− = − +
Exemplos:
1)2 2 24. 9 (2 ) 3x x− = − (As bases são 2x e 3).
24. 9 (2 3).(2 3)x x x− = + −
2) 
2 2 21 1x x− = − (As bases são x e 1).
2 1 ( 1)( 1)x x x− = − +
Quarto caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito
2 2 22 ( )a ab b a b+ + = +
Exemplos:
1) 
2 22 1 ( 1)x x x+ + = +
2) 
2 26 9 ( 3)x x x− + = −
Quinto caso de fatoração: soma de cubos
3 3 2 2( ).( )a b a b a ab b+ = + − +
Exemplos:
1) 
3 3 38 2x x+ = + (as bases são x e 2).
3 28 ( 2).( 2 4)x x x x+ = + − +
2) 
3 3 31 1x x+ = + (as bases são x e 1).
3 21 ( 1).( 1)x x x x+ = + − +
Sexto caso de fatoração: diferença de cubos
3 3 2 2( ).( )a b a b a ab b− = − + +
Exemplos:
1) 
3 3 364 4x x− = − (as bases são x e 4).
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
26
3 264 ( 4).( 4 16)x x x x− = − + +
2) 
3 3 31 1x x− = − (as bases são x e 1).
3 21 ( 1).( 1)x x x x− = − + +
Sétimo caso de fatoração: cubo perfeito
3 2 2 3 3
3 2 2 3 3
3. . 3. . ( )
3. . 3. . ( )
a a b a b b a b
a a b a b b a b
+ + + = +
− + − = −
Exemplos:
1) 
3 2 38 36 54 27 (2 3)a a a a+ + + = +
2) 
3 2 33. 3 1 ( 1)x x x x− + + = −
1.12 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS
Neste ponto, vamos trabalhar com a simplificação envolvendo as expressões fracionárias e nos 
familiarizar com as expressões racionais.
1.12.1 Expressão fracionária
Denominamos expressão fracionária um quociente envolvendo duas expressões algébricas 
(DEMANA; KENNEDY, 2009).
Exemplos:
1) 
x
x 1+
2) 
1
12
2
2
+
++
x
xx
3) 
x
yx
+2
. 2
4) 
32
2
+
−
x
x
1.12.2 Expressão racional
Denominamos expressão racional um quociente envolvendo dois polinômios (DEMANA; KENNEDY, 
2009).
Exemplos:
1) 
32
27
+
−
x
x
2) 
4+x
x
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
27
3) 
32
13
2 +−
+
xx
x
4) 
45
12
3
2
+−
++
xx
xx
5) 
35
12
2
23
−−
+−
xx
xx
Figura 8 - Expressão fracionária e expressão racional.
Fonte: FERREIRA, 2013
1.13 REGRAS OPERACIONAIS
A seguir, listamos as principais regras operacionais envolvendo frações. Para isso, considere u, v, 
w e z como números reais quaisquer, variáveis ou expressões algébricas. Todos os denominadores 
são considerados como não nulos, isto é, diferentes de zero. Veja a seguir:
R1) v
w
v
u
+
 = v
wu +
R2) 
z
w
v
u
+ = zv
wvzu
.
.. +
R3) z
w
v
u . = zv
wu
.
.
R4) z
w
v
u
÷ = 
z
w
v
u
 = w
z
v
u . (conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da 
segunda)
R5) Para subtração, substituímos “+” por “-” em (1) e (2).
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
28
1.13.1 Multiplicação e divisão de expressões racionais
1) = 
)1(
)4(.
)4).(4(
)1).(1(
+
+
−+
−+
x
x
xx
xx = 
)1(
)4(.
)4).(4(
)1).(1(
+
+
−+
−+
x
x
xx
xx = 
4
1
−
−
x
x , 
sendo que devemos ter x ≠ -4, x ≠ -1 e x ≠ 4.
2) = 
)2(
)5).(5(.
)5(
)2).(2(
−
−+
+
−+
x
xx
x
xx = 
5
2
−
+
x
x , sendo que 
devemos ter x ≠ -5 e x ≠ 2 .
3) = 
)7).(2(
)42).(2(.
)42.(
)7).(32( 2
2 +−
++−
++
+−
xx
xxx
xxx
xx = 
x
x 32 −
, sendo que devemos ter x ≠ 2, x ≠ -7 e x ≠ 0.
4) 
2
21
xx
÷ = 
2
2
1
x
x
 = 
2
.1
2x
x
 = 
2
x , sendo que devemos ter x ≠ 0.
5) 
4
3 2
)1( x
x
x
x +
÷
+
 = 
4
3
2
1
x
x
x
x
+
+ = )2(
.
)1(
43
x
x
x
x
++ = )2).(1(
7
xx
x
++ , sendo que nesta situação 
devemos ter x ≠ -1 e x ≠ -2.
1.13.2 Simplificação de frações compostas
Segundo Demana e Kennedy (2009), uma fração composta ou fração complexa é uma fração na 
qual os numeradores e denominadores podem eles mesmos conter frações. Vamos simplificar as 
frações compostas a seguir?
a)
x
x
x
1
12
+
−
 = 
x
x
x
x
1
12
+
+
 = 
x
x 12 + · 
1+x
x = 
1
12
+
+
x
x , com x ≠ -1.
b) 
3
11
2
73
−
−
+
−
x
x = 
3
1)3(
2
7)2.(3
−
−−
+
−+
x
x
x
x
 = 
3
4
2
13
−
−
+
−
x
x
x
x
 = , em que devemos ter x ≠ 3, x ≠ -2 
e x ≠ 4.
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
29
c) 
ba
ba
11
11
22
−
−
 = 
ba
ab
ba
ab
.
. 22
22
−
−
 = 
22
22
.ba
ab −
 · )(
.
ab
ba
− = 
2).(
)).((
ba
abab +−
 · )(
.
ab
ba
− = ba
ab
.
+
, em 
que devemos ter a ≠ 0, b ≠ 0 e a ≠ b.
1.14 EQUAÇÕES
Agora vamos estudar as equações de 1o grau e de 2o grau com uma variável e as equações que 
se reduzem a elas. Comumente chamamos as variáveis de incógnitas e os valores que satisfazem 
as equações de raízes. Além disso, resolver uma equação significa determinar o seu conjunto 
verdade, isto é, o conjunto de suas raízes. Segundo Demana e Kennedy (2009), quando queremos 
encontrar uma solução de uma equação em x queremos encontrar todos os valores de x para 
os quais a equação é verdadeira ou, ainda, todas as soluções da equação. O nosso ambiente de 
estudo para a resolução das equações será o conjunto dos números reais. Cabe ressaltar que a 
resolução de equações é um aparato amplamente utilizado para a interpretação de modelagens 
dentro da Engenharia.
1.14.1 Equações do primeiro grau ou equação linear em x
Segundo Demana e Kennedy (2009), uma equação linear em x pode ser escrita na forma:
ax + b = 0
com a e b números reais e a ≠ 0.
Exemplos:
1) x + 2 = 0
2) 3x - 4 = 0
3) 7x - 
3
4
= 0
4) 2z - 6 = 0 (equação linear na variável z)
Uma equação linear em uma variável tem exatamente uma solução. 
Por exemplo, 2x - 8 = 0 tem como solução x = 4, ou seja, o seu con-
junto solução é S = {4}.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
30
1.14.1.1 Equações equivalentes
Duas ou mais equações são ditas equivalentes quando elas apresentam o mesmo conjunto solução, 
isto é, se têm as mesmas soluções.
Para obter equações equivalentes, devemos utilizar algumas operações que podem:
 » combinar termos semelhantes;
 » simplificar frações;
 » remover símbolos por meio de agrupamento;
 » aplicar a mesma operação em ambos os lados da equação.
Exercícios
1) Vamos resolver a equação:
3x - 2 = 4x + 9
Solução: Neste caso, temos:
3x - 2 = 4x + 9
3x - 4x = 9 + 2
-x = 11
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade anterior, vem:
x = -11
portanto, a solução da equação linear anterior é x = -11 ou o seu conjunto solução é S = {-11}.
2) Vamos resolver a equação:
2 · (3x - 3) + 3 · (x - 1) = 5x + 3
Solução: Neste caso, temos:
2 · (3x - 3) + 3 · (x - 1) = 5x + 3
6x - 6 + 3x - 3 = 5x + 3
9x - 9 = 5x + 3
9x - 5x = 3 + 9
4x = 12
x = 3
Portanto, a solução da equação linear anterior é x = 3 ou, ainda, o seu conjunto solução é S = {3}. 
Você pode averiguar se os cálculos estão corretos substituindo o valor x = 3 e encontrando uma 
identidade, como segue:
2 · (3(3) - 3) + 3 · ((3) - 1) = 5(3) + 3
2 · (9 - 3) + 3 · (3 - 1) = 15 + 3
2 · (6) + 3 · (2) = 18
12 + 6 = 18
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
31
18 = 18 (Verdadeiro)
Agora este:
5 2 2
8 4
x x−
= +
.
Solução: Quando estivermos diante de equações lineares com frações, devemos tomar um cuidado 
maior com os cálculos, já que são comuns alguns enganos, principalmente na caracterização do 
mínimo múltiplo comum envolvendo os denominadores. Inicialmente, note que os denominadores 
são 8, 1 e 4 e o mínimo múltiplo comum é 8.
5 2 2
8 4
x x−
= +
Assim, vamos multiplicar os membros da igualdade anterior por 8, resultando em:
5 28. 8. 2
8 4
x x−   
= +      
Ou seja,
5 28. 8.2 8.
8 4
x x−
= +
Ou
5x - 2 = 16 + 2x
5x - 2x = 16 + 2
3x = 18
x = 6
Portanto, x = 6 é a solução da equação lineardo exemplo ou S = {6}.
Sejam a e b dois números reais, se a.b = 0 então a = 0 ou b = 0.
4) Se uma empresa comercializa um produto em que a cada venda sobram R$ 2,50, quantos 
produtos deverá vender para juntar uma sobra de R$ 6.250,00?
Solução: Neste caso, podemos escrever:
2,5 · x = 6.250
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
32
Ou seja
x = 
5,2
6250
x = 2500
A empresa deverá vender 2.500 unidades do referido produto.
5) Uma empresa é composta por três departamentos: o primeiro faturou R$ 80.000,00 e o segundo 
faturou três quintos do primeiro. Quanto deverá faturar o terceiro, se o faturamento total precisa 
ser o dobro dos dois primeiros departamentos?
Solução: Vamos denotar o faturamento do terceiro departamento de x, assim, de acordo com o 
enunciado, podemos escrever:
totalofaturament
 x + .(80000)
5
3 + 80000 = 2 · (80000 + 
5
3 · 80000)
80.000 + 48.000 + x = 160.000 + 96.000
x = 256.000 - 12.8000
x = 128.000
Portanto, o investimento do terceiro departamento deve ser igual a 128.000.
1.15 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Já vimos as equações do primeiro grau, não é mesmo? Então podemos dar um passo mais adiante, 
trabalhando agora com as equações do segundo grau, ou equações quadráticas, nas quais aparece 
o quadrado da incógnita, como, por exemplo, 22. 5 2 0x x− + = . As raízes dessas equações nem 
sempre são obtidas de maneira tão cômoda quanto nas equações do 1o grau.
Chamamos de equação do segundo grau aquela que pode ser escrita na forma:
2a . 0x bx c+ + =
Em que a, b e c são números reais com a ≠ 0. Os números a, b e c são os coeficientes.
Exercício
Qual a soma dos coeficientes da equação 25 2 5 0x x+ − = ?
Solução: Neste caso, temos a = 5, b = 2 e c = -5, logo a soma a + b + c é dada por 5 + 2 + (-5) = 2.
1.15.2 Raiz de uma equação do 2o grau
Um número r será chamado de raiz, ou solução da equação 2a . 0x bx c+ + = , se, e somente se, 
a igualdade 2a .r 0br c+ + = for uma sentença verdadeira.
Exercício: Verifique se o número r = 2 é uma raiz da equação quadrática 22 5 2 0x x− + = ?
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
33
Solução: Substituindo x por 2, temos: 22.(2) 5.(2) 2 8 10 2 0− + = − + = .
1.15.3 Conjunto solução de uma equação do 2o grau 
Resolver a equação do 2o grau 
2a . 0x bx c+ + = no conjunto universo dos números reais 
significa obter o conjunto de todas as raízes reais dessa equação. O conjunto das raízes é chamado 
de conjunto solução, ou conjunto verdade da equação quadrática em questão.
Exemplo: Considerando o conjunto universo como o conjunto dos números reais, o conjunto solução 
da equação 
2 4x = é S = {2, -2}.
O matemático indiano Bhaskara (séc. XII) foi um dos primeiros que 
estudou a equação do 2o grau de modo geral, isto é, incluindo casos 
em que as raízes são números irracionais. Já os gregos e babilônios, ao 
contrário, não consideravam a existência desse tipo de números.
Fórmula resolutiva (Fórmula de Bhaskara): Tendo como universo o conjunto ℜ dos números 
reais, podemos provar que a equação 2a . 0x bx c+ + = (a ≠ 0) com 2 4. . 0b a c− ≥ possui duas 
raízes, que indicaremos por 1x e 2x . Estas podem ser obtidas pelas fórmulas:
1x = 
a
b
.2
∆+− e 2x = 
2.
b
a
− − ∆
A expressão 2 4. .b a c− , normalmente indicada pela letra grega ∆ (delta maiúscula), é chamada 
de discriminante da equação. Importante: além disso, com relação ao discriminante ∆ podemos 
ter três situações distintas, que são:
1) Delta maior que zero ( ∆ > 0): duas raízes reais e distintas ( 1x ≠ 2x ).
2) Delta igual a zero ( ∆ = 0): duas raízes reais e iguais ( 1x = 2x ).
3) Delta menor que zero ( ∆ < 0): não existem raízes reais.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
34
Figura 9 - Quadro-resumo para as situações envolvendo o discriminante de uma equação do segundo grau.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Tendo como universo o conjunto ℜ dos números reais, podemos pro-
var que a equação 2a . 0x bx c+ + = (a ≠ 0) com 2 4. . 0b a c− ≥ 
possui duas raízes, que indicaremos por 1x e 2x .
Exercício (Fórmula de Bhaskara):
Vamos resolver as seguintes equações do segundo grau, considerando o conjunto universo ℜ .
a) x2 + 3x + 2 = 0
b) -x2 + 6x - 9 = 0
c) x2 + 4x + 9 = 0
Solução: Neste caso, temos:
a) Aqui, a = 1, b = 3 e c = 2, desta forma:
∆ = b2 - 4 · a · c
∆ = 32 - 4 · (1) · (2)
∆ = 9 - 8
∆ = 1
Logo, as raízes são:
1x = 
a
b
.2
∆+− = 
)1.(2
13 +− = 
2
2− = -1
2x = 
a
b
.2
∆−− = 
)1.(2
13−− = 
2
4− = -2
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
35
Note que se substituirmos os valores de x encontrados, obviamente a equação nos levará a 0 = 0.
b) Aqui, temos a = -1, b = 6 e c = -9, desta forma:
∆ = b2 - 4 · a · c
∆ = 62 - 4 · (-1) · (-9)
∆ = 36 - 36
∆ = 0
Logo, as raízes são:
1x = 
a
b
.2
∆+− = 
)1.(2
06
−
+− = 
2
6
−
− = 3
2x = 
a
b
.2
∆−− = 
)1.(2
06
−
+− = 
2
6
−
− = 3
c) Aqui, temos a = 1, b = 4 e c = 9, desta forma:
∆ = b2 - 4 · a · c
∆ = 42 - 4 · (1) · (9)
∆ = 16 - 36 ∆ = -20
Logo, como não podemos extrair a raiz de -20, ou seja, não existem raízes reais, isso significa que 
não existe um único número real que substituindo x na equação a torne igual a zero.
Nas aulas subsequentes sobre funções, vamos discutir mais uma vez 
aspectos teóricos relacionados às equações de 1o e 2o graus.
 
1.16 INEQUAÇÕES
Bem, já trabalhamos com as equações, que, como vimos, tratam-se da igualdade entre expressões. 
Agora vamos estudar as inequações, que representam desigualdades entre expressões matemáticas. 
Elas também são do 1o grau e do 2o grau. Preste atenção aos sinais a seguir, pois eles separam dois 
membros de uma inequação:
> Maior
≥ Maior ou Igual
< Menor
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
36
≤ Menor ou Igual
Diferentemente do que ocorre com as equações, quando queremos 
resolver uma determinada inequação não estamos buscando um valor 
que a satisfaça, mas um conjunto de valores ou intervalo que a atenda.
1.16.1 INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU, OU INEQUAÇÃO LINEAR EM X
É uma inequação que pode ser escrita na forma:
ax + b < 0 ou ax + b > 0 ou ax + b ≥ 0 ou ax + b ≤ 0
com a e b números reais e a ≠ 0.
Exercício:
Vamos resolver a inequação do 1o grau:
2x + 4 > 0.
Solução: Precisamos isolar x, como fizemos com as equações. Para tal:
2x + 4 > 0
2x > -4
x > 
2
4−
Portanto, temos:
x > -2
Se tomarmos qualquer valor real maior que -2 e o colocarmos no lugar de x, encontraremos um 
resultado maior que 0.
Ao resolvemos inequações, é importante tomar cuidado quando o 
coeficiente que multiplica x for negativo. Neste caso, devemos multi-
plicar os dois membros por -1, o que nos obriga a inverter o sinal de 
desigualdade.
Exemplo
-x ≥ 4
Multiplicando por (-1), segue que:
-x · (-1) ≥ 4 · (-1)
AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS
37
Ou seja,
x ≤ -4
Exercício
Numa indústria de tênis, cada funcionário produz em média 200 tênis por dia. Considerando que 
há 5.000 tênis prontos em estoque, quantos funcionários deverão trabalhar para que, ao final de 
10 dias, possam ser entregues mais de 20.000 tênis?
Solução: Note que, de acordo com o enunciado, podemos escrever:
Produção média por funcionário/dia = 200
Estoque Atual = 5.000
Dias disponíveis = 10
Meta a ser atingida > 20.000
Ou, ainda, podemos visualizar a situação da seguinte forma:
Ou seja, em símbolos, temos:
10.200 · x + 5.000 > 20.000
2.000x + 5.000 > 20.000
2.000x > 20.000 - 5.000 
x > 15.000 ÷ 2.000
x > 7,5
Portanto, é necessário pelo menos oito funcionários trabalhando para que ao final de 10 dias haja 
mais de 20.000 tênis em estoque.
CONCLUSÃO
Nesta primeira aula trabalhamos com a descrição dos conjuntos numéricos e visualizamos como 
conjunto universo, para os nossos propósitos,o conjunto dos números reais. Na sequência, vimos os 
aspectos relacionados às proporções, grandezas proporcionais, potenciação e radiciação, fatoração, 
polinômios e produtos notáveis, assim como a parte relacionada às equações e inequações.
Na próxima aula vamos estudar toda a teoria acerca das funções, tais como domínio, contradomínio, 
conjunto imagem, crescimento e decrescimento.
AULA 2
Introdução à teoria das funções
Dr. Alessandro Ferreira Alves
INTRODUÇÃO
A noção de função surge quando procuramos entender fenômenos e fatos do nosso mundo nos mais 
diversos campos do conhecimento. Quantas vezes criamos ou procuramos relacionar as coisas entre si? Por 
exemplo, ao estudar a relação do lucro com a quantidade vendida de determinado produto, indiretamente 
estamos utilizando a noção de função de uma variável real, que será a base do nosso estudo nesta aula.
Segundo Demana e Kenneddy (2009), ao observarmos fenômenos da nossa realidade, podemos caracterizar 
dois conjuntos e alguma lei que associa os elementos de um dos conjuntos aos elementos do outro. Uma 
análise destas três coisas – os dois conjuntos e a lei – podem esclarecer detalhes sobre a interdependência 
dos elementos destes conjuntos e descrever o fenômeno em observação.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
40
Neste sentido, nossa segunda aula tem como objetivos apresentar alguns conceitos, regras e 
resultados básicos da Teoria dos Conjuntos e definir e aplicar o conceito formal de função – além, 
é claro, de discutir as principais propriedades associadas. Saiba, ainda, que este conceito de função 
é um dos mais importantes da matemática aplicável no contexto da Engenharia. Por isso, antes 
de começar a estudar todo o aparato teórico sobre funções, vamos fazer uma breve revisão sobre 
conjuntos.
OBJETIVOS
Os objetivos de aprendizagem desta aula são:
 » Compreender as propriedades e operações básicas envolvendo os conjuntos imagem e 
numéricos.
 » Compreender as principais formas de representação de conjuntos.
 » Diferenciar relação de função.
 » Entender e aplicar os conceitos básicos de funções em problemas simulados.
 » Compreender a importância do estudo de funções no contexto da engenharia.
 » Caracterizar algebricamente o domínio, contradomínio e conjunto imagem de funções.
 » Caracterizar geometricamente o domínio, contradomínio e conjunto imagem de funções.
 » Representar geometricamente funções elementares.
2.1 NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO
Conjuntos
Funções
Lei
Figura 10 - Teoria de conjuntos é a base para o estudo das funções.
Fonte: FERREIRA, 2013.
AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES
41
Vamos considerar a seguinte situação: seja T um conjunto de pessoas num dado instante e seja 
IN o conjunto dos números naturais. Ao associarmos a cada elemento de T a sua idade (que é 
um número natural), fica estabelecida uma função de T em IN. Repare que é possível, talvez até 
muito provável, que haja em T várias pessoas com a mesma idade, mas existem, pelo menos, dois 
aspectos matemáticos importantes, que são:
 » a todo elemento de T corresponde um elemento de IN, já que toda pessoa tem uma idade;
 » nenhuma pessoa tem duas ou mais idades.
Resumindo, para cada elemento x de T, corresponde um único elemento y de IN.
2.2 TEORIA DOS CONJUNTOS
Agora vamos revisar as principais noções da teoria dos conjuntos, fundamentais para a criação de 
toda teoria envolvendo as funções.
“Conjunto é uma estrutura que agrupa objetos e constitui uma base para a construção de estruturas 
mais complexas” (IEZZI; MURAKAMI, 1993, p. 18).
2.2.1 Conjuntos e elementos de um conjunto
Segundo Iezzi e Murakami (1993), o ponto de partida deste tópico é construído pelas seguintes 
noções não definidas, aceitas como conceitos primitivos: de igualdade, conjunto, elemento e a 
de elemento de um conjunto. De uma forma geral, para indicar que x é um elemento do conjunto 
A, escrevemos x∈A, em que lemos “x pertence a A”. Contrariamente, se y não for elemento de 
A, escrevemos y∉B. Veja na figura a seguir.
A
y
x
Figura 11 - Diagrama de Venn.
Fonte: FERREIRA, 2013.
2.2.2 Representações de conjuntos
Um conjunto pode ser representado por três formas distintas, como você pode ver a seguir.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
42
1) Por representação gráfica, chamada de Diagrama de Venn (conforme figura anterior).
2) Por enumeração de seus elementos.
 » {a, e, i, o, u} conjunto das vogais.
 » {0, 1, 2, 3, 4, ..., 1989, ...} conjunto dos números naturais (IN).
 » {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} conjunto dos inteiros (Z).
3) Ao descrever os elementos do conjunto por uma propriedade exclusiva: IN = {x | x é um número 
natural}.
Os Diagramas de Venn, criados pelo matemático inglês John Venn 
(1834–1923), são conhecidos no mundo inteiro e largamente usados 
nos estudos da Teoria dos Conjuntos. Eles usam figuras geométricas, 
em geral representadas no plano, para expressar as estruturas da 
Teoria dos Conjuntos.
2.2.3 Conjunto universo
Ao escrever, por exemplo, A = {x∈Z | x > -1}, consideramos Z como o conjunto universo, isto é, os 
elementos a considerar devem ser pertencentes a Z. Observamos, então, que 1
2
 não é elemento 
do conjunto A = {x∈Z | x > -1}, pois não é um número inteiro. Geralmente, representamos o 
conjunto universo por U.
U
B
A .3
.4
.5
.7
.9
Figura 12 - Representação geométrica do conjunto universo.
Fonte: Ferreira, 2013.
AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES
43
2.2.4 Conjunto vazio
Uma ferramenta teórica que se revelará muito útil no decorrer da disciplina é o conceito do 
conjunto sem elementos. Este conjunto é chamado de vazio e é representado por ∅ ou { }.
Exemplos:
1) {x∈Z | 2x - 1 = 6}, pois não existe x inteiro tal que 2x - 1 = 6.
2) {x∈ IN | x ≠ x}, pois não existe natural que seja diferente dele mesmo.
2.2.5 Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são ditos iguais se ambos tiverem os mesmos elementos ou forem conjuntos 
vazios.
Exemplo:
Os conjuntos {1, 2} = {2, 1} = {1, 2, 2, 2, 1, 1, 2} são iguais, já que possuem os mesmos elementos, 
que neste caso são os números 1 e 2.
2.2.6 Subconjuntos de um conjunto
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 3, 5, 7}. Observe que, se x é um elemento 
qualquer de B, então x é um elemento de A, isto é, todo elemento de B é também um elemento 
de A.
“Dizemos que B é um subconjunto de A e indicamos isso por B ⊂ A, somente se todo elemento de 
B for também elemento de A. Esta relação entre conjuntos é conhecida como relação de inclusão.” 
(IEZZI; MURAKAMI, 1993, p. 25).
Assim:
1) O conjunto A = {1, 2} é um subconjunto de B = {0, 1, 2, 3, 4}, já que todo elemento de A é um 
elemento de B.
2) O conjunto dos naturais IN é um subconjunto dos inteiros Z.
3) O conjunto dos inteiros Z é um subconjunto dos racionais Q.
O conjunto vazio é considerado um subconjunto de qualquer conjunto, já que não possui elementos.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
44
Ao invés de falar que B é um subconjunto de A, é comum dizer que B 
está contido em A, o que não deve ser confundido com a expressão 
“pertence a A”.
Podemos afirmar que B ⊄ A (B não está contido) se, e somente se, 
existir pelo menos um elemento de B que não seja elemento de A, em 
resumo: B ⊄ A ⇔ existe x, x∈B e x∉ . Quando tratamos da relação 
entre conjuntos, temos a Relação de Inclusão. De outra forma, quan-
do falamos da relação entre elemento e conjunto, temos a Relação de 
Pertinência. Em outras palavras, é importante não confundirmos o uso 
dos símbolos ∈ ou ⊂ . O primeiro serve para indicar que um objeto 
é elemento de um conjunto. O segundo serve para indicar que um 
conjunto está contido em outro conjunto.
Figura 13 - Relação pertinência e inclusão.
Fonte: FERREIRA, 2013.
2.2.7 Conjunto das partes de um conjunto
Consideremos um conjunto A. O conjunto das partes de A, ou conjunto potência de A, denotadopor:
P(A) ou 2A
É definido da seguinte forma, segundo Iezzi e Murakami (1993, p. 26):
P(A) = {X | X ⊆ A}
Exemplo: sejam A = {a}, B = {a, b} e C = {a, b, c}. Então:
P(∅ ) = ∅
P(A) = {∅ , {a}}
P(B) = {∅ , {a}, {b}, {c}, {a,b}}
AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES
45
P(C) = {∅ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
2.2.8 Operações com conjuntos
Sendo A e B conjuntos quaisquer, definimos as seguintes operações com A e B, que frequentemente 
retratam situações tanto na teoria quanto na prática:
 » intersecção;
 » união;
 » diferença;
 » complementar de um conjunto.
Dados os conjuntos A e B, chamamos de interseção de A e B ao conjunto A ∩ B formado pelos 
elementos que são comuns aos dois conjuntos. Em símbolos, podemos escrever:
A ∩ B = {x | x∈A e x∈B}
A B
Figura 14 - Interseção entre conjuntos.
Fonte: IEZZI; MURAKAMI, 1993.
Exemplos
1) Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, neste caso temos que A ∩ B = {3, 4}.
2) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6}, os elementos comuns a A e B são 2 e 4, ou seja, temos 
que o conjunto intersecção de A e B é dado por A ∩ B = {2, 4}.
3) Conjuntos disjuntos: suponha os conjuntos A = {x∈ IN | x > 2} e B = {x∈ IN | x2 = x}. Então, 
A ∩ B = ∅ . Desta maneira, falamos que os conjuntos A e B são conjuntos disjuntos quando 
a interseção entre eles resultar no conjunto vazio.
2.2.9 União de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, chamamos de união de A e B ao conjunto A ∪ B formado pelos 
elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Em símbolos, podemos escrever:
A ∪ B = {x | x∈A ou x∈B}
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
46
A B
Figura 15 - União entre conjuntos.
Fonte: IEZZI; MURAKAMI, 1993.
Exemplos:
1) Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, neste caso temos que A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
2) Considerando A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6}, o conjunto união de A com B é dado por A ∪ B 
= {1, 2, 3, 4, 6}.
3) Sejam A = {x∈ IN | x > 2} e B = {x∈ IN | x2 = x}. Então, A ∪ B = {0, 1, 3, 4, 5, 6, ...}.
2.2.10 Diferença de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, chamamos de diferença A - B ao conjunto dos elementos que pertencem 
a A (ao primeiro) e não pertencem a B (ao segundo) (IEZZI; MURAKAMI, 1993).
Em símbolos, podemos escrever:
A - B = {x | x∈A e x∉B}
Exemplos:
1) Consideremos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 5}, então A - B = {1, 3, 4}.
2) Consideremos agora os conjuntos A = {x∈ IN | x > 2} e B = {x∈ IN | x2 = x}. Então:
A - B = {3, 4, 5, 6, ...} e B - A = {0, 1}.
3) Consideremos os conjuntos ℜ (reais), Q (racionais) e I (irracionais). Então:
ℜ - Q = I
ℜ - I = Q
Q - I = Q
2.2.11 Complemento de um conjunto
Consideremos o conjunto universo U. O complemento de um conjunto A ⊆ U, denotado por A’ ou 
~A é o conjunto dos elementos que estão em U e não pertencem a A (IEZZI; MURAKAMI, 1993).
Ou seja, em símbolos escrevemos:
~A = {x∈U | x∉A}
AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES
47
Exemplos:
1) Suponhamos o conjunto universo IN. Seja A = {0, 1, 2}. Então:
~A = {x∈ IN | x > 2}
2) Para qualquer conjunto universo U, são válidas as seguintes relações:
~ ∅ = U
~U = ∅
3) Suponhamos o conjunto ℜ (reais) como conjunto universo. Então:
~Q = I
~I = Q
4) Complemento, união e intersecção: suponhamos que U seja o conjunto universo. Então, para 
qualquer conjunto A ⊆ U, são válidas:
A ∪ ~A = U
A ∩ ~A = ∅
Exercícios
1) De uma prova constituída por dois problemas, 300 alunos acertaram somente um dos 
problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. 
Quantos alunos fizeram a prova?
Solução: Vamos resolver o exercício utilizando o Diagrama de Venn. Então, considere os conjuntos:
A = {alunos que acertaram o primeiro problema}
B = {alunos que acertaram o segundo problema}
Sempre devemos começar pela interseção entre os conjuntos envolvi-
dos na questão.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
48
Figura 16 - Diagrama de Venn do exemplo.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Desta forma, temos:
Primeiro passo: colocar o valor 100 (A ∩ B).
Segundo passo: colocar o valor 160 (260 - 100).
Terceiro passo: colocar o valor 210 (210 = número de alunos que erraram o primeiro problema).
Quarto passo: colocar o valor 140 (140 = 300 - 160).
Portanto, o total de alunos que fizeram a prova é:
140 + 100 + 160 + 50 = 450 alunos
2) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes afirmações:
a) 
9
4 ∈Q (Verdadeiro)
b) 
3
2 ∈ I (Falso)
c) 
7
2 ∉Q (Falso)
d) 
3
2 ∈ ℜ (Verdadeiro)
e) 
7
2 ∉ ℜ (Falso)
f) e∈ ℜ (Verdadeiro)
g) π∈ ℜ (Verdadeiro)
AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES
49
h) 
7
2 ∉ ℜ (Falso)
i) 
7
2 ∉ ℜ (Falso)
j) 0∉ ℜ (Falso)
k) 0∉ I (Verdadeiro)
l) 1∉ I (Verdadeiro)
2.3 INTERVALOS: SUBCONJUNTOS ESPECIAIS DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Acabamos de ver que o conjunto dos números irracionais é, portanto, o complementar do conjunto 
Q (dos números racionais) em relação ao conjunto ℜ dos números reais. Desta maneira, definimos 
alguns subconjuntos dos números reais que são muito importantes, entre eles os intervalos. 
Todavia, antes de definir os intervalos, definimos:
−
ℜ = {x ℜ∈ | x ≤ 0}
*
−
ℜ = {x ℜ∈ | x < 0}
+ℜ = {x ℜ∈ | x ≥ 0}
*
+ℜ = {x ℜ∈ | x > 0}
Similarmente, podemos definir os associados a IN, Z e Q. Além disso, se considerarmos a e b dois 
números reais, com a < b, consideraremos, na nossa disciplina e ao longo do curso, os seguintes 
subconjuntos de ℜ chamados de intervalos, definidos como segue:
[a, b] = {x ℜ∈ | a ≤ x ≤ b} (intervalo fechado com extremos a e b)
]a, b[ = {x ℜ∈ | a < x < b} (intervalo aberto com extremos a e b)
[a, b[ = {x ℜ∈ | a ≤ x < b}
]a, b] = {x ℜ∈ | a < x ≤ b}
[a, ∞ [ = {x ℜ∈ | x ≥ a}
]a, ∞ [ = {x ℜ∈ | x > a}
]- ∞ , a] = {x ℜ∈ | x ≤ a}
]- ∞ , a[ = {x ℜ∈ | x < a}
2.4 FUNÇÕES
Agora você conhecerá os conceitos referentes às funções, mas para isso terá de aprender alguns 
conceitos preliminares, tais como: par ordenado, produto cartesiano e relação entre conjuntos.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
50
2.4.1 PAR ORDENADO
Vimos que dois conjuntos não vazios são iguais se somente tiverem os mesmos elementos. Desta 
forma, temos em particular, que:
{x, y} = {y, x}
Porém, muitas vezes teremos de considerar também a ordem de disposição dos elementos. 
Surge, assim, o conceito de par ordenado.
Segundo Iezzi e Murakami (1993), a cada par de elementos x e y podemos associar o par ordenado 
(x; y), de tal modo que:
(x1, y1) = (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2.
Abscissa (primeira 
coordenada do par)
Ordenada (segunda 
coordenada do par)
Par Ordenado
Figura 17 - Interpretação das coordenadas do par ordenado.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Se x ℜ∈ e y ℜ∈ , representamos o par ordenado (x; y) pelo ponto P do plano cartesiano que 
possui abscissa x e a ordenada y. Além disso, o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas e 
o eixo vertical é denominado de eixo das ordenadas.
AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES
51
Figura 18 - Plano cartesiano xOy.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Exercício
Localize os pontos a seguir no plano cartesiano xOy.
a) (2, 0)
b) (0, -3)
c) (2, 5)
d) (-3, 4)
e) (-7, -3)
f) (4, -5)
g) (
2
5 , 
2
9− )
h) (
2
5− , 
2
9− )
Solução: A seguir, veja a representação de cada um destes pontos no plano cartesiano. Note que 
cada “pequeno quadrado” da figura a seguir representa uma unidade de comprimento.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
52
Figura 19 - Representação dos pares ordenados do exemplo em questão.
Fonte: FERREIRA, 2013.
2.4.2 Produto cartesiano
Sejam A e B dois conjuntos não vazios, denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto 
A × B cujos elementos são todos pares ordenados (x; y), em que o primeiro elemento pertence a 
A e o segundo pertence a B (IEZZI;MURAKAMI, 1993).
A × B = {(x; y) | x∈A e y∈B}
1) Em geral, A × B é diferente de B × A.
2) A × B = ∅ se e somente se A = ∅ ou B = ∅ .
Exercício
Sendo A = {1, 2} e B = {3, 4, 5}, determine A × B e B × A.
Solução
Neste caso, de acordo com a definição de produto cartesiano, temos:
A × B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}
e
AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES
53
B × A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}
Claramente percebemos que A × B é diferente de B × A, já que não possuem os mesmos elementos 
ou pares ordenados.
Exemplo:
Vamos considerar os seguintes conjuntos:
A = {1, 2, 3}
e
B = {1, 2}
Temos:
A × B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}
e
B × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}
Cujas representações no plano cartesiano são mostradas na figura a seguir.
Figura 20 - Representações no plano cartesiano de A × B e B × A.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Exemplo:
Considere agora A = {x ℜ∈ | 1 ≤ x < 3} e B = {2}, então temos:
A × B = {(x, 2) | x∈A}
A representação gráfica de A × B dá como resultado o conjunto de pontos do segmento paralelo 
ao eixo dos x da figura a seguir.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
54
Figura 21 - Representação de A × B.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Note que neste caso A × B é o conjunto dos pares ordenados (x, 2), pois x pertence ao conjunto 
A, ou seja, está no intervalo {x ℜ∈ | 1 ≤ x < 3}.
O produto cartesiano não possui a propriedade comutativa, isto é, 
nem sempre os produtos A × B e B × A são iguais.
2.4.3 Relação de A em B
Dados os conjuntos A e B, chamamos de relação de A em B a qualquer subconjunto do produto 
cartesiano A × B. Em outras palavras, uma relação de A em B é qualquer conjunto de pares 
ordenados (x; y), com x∈A e y∈B ou o conjunto vazio. Às vezes a relação de A em B é também 
denominada de relação binária de A em B (IEZZI; MURAKAMI, 1993).
AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES
55
Produto Cartesiano
Relação
Figura 22 - Relação é qualquer subconjunto do produto cartesiano.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Exemplo:
Considere os conjuntos A = ℜ e B = ℜ . Temos que o conjunto {(x; y) ∈ A × B | y = x2} é uma 
relação de A em B, como podemos visualizar na figura a seguir.
Figura 23 - Representação gráfica da relação R do exemplo.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Exercício
Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elementos da relação binária R de A em 
A definida da seguinte forma?
x R y ⇔ y = x + 2
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
56
Solução: Perceba que fazem parte da relação todos os pares ordenados (x, y), tais que x∈A, y∈B 
e y = x + 2. Veja a representação gráfica da relação R do exemplo na figura a seguir.
Figura 24 - Representação gráfica da relação R do exemplo.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Exercício:
Considere o conjunto A = {-1, 0, 1, 2}. Quais são os elementos da relação R = {(x, y)∈A × A | x2 
= y2}?
Solução: Notamos, neste caso, que:
R = {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, -1), (-1, 1), (2, 2)}
A representação gráfica da relação R do exemplo está na figura a seguir.
Figura 25 - Representação gráfica da relação R do exemplo.
Fonte: FERREIRA, 2013.
2.4.4 Função de A em B
Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função somente se, nesta 
relação, para cada x, x∈A, tivermos um único y, y∈B. Genericamente, esta definição pode ser 
vista na figura a seguir.
AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES
57
A B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 26 - Representação gráfica da definição de função.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Note que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma 
função. Na função, um elemento x do conjunto partida só pode se 
associar a um único elemento y do conjunto chegada.
 
Função
Relação
Figura 27 - Toda função é uma relação.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Exemplos:
1) Sejam A o conjunto dos alunos de um colégio e Z o conjunto dos números inteiros: se 
associarmos a cada aluno a sua idade, estabeleceremos uma função de A em Z, pois desta 
maneira relacionamos a cada elemento de A um único elemento de Z.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
58
2) Considere os conjuntos A = { / 1 2x Z x∈ − ≤ ≤ } e B = { / 0 4y Z y∈ ≤ ≤ }. Associando a 
cada elemento de A o seu quadrado em B, estabelecemos uma função de A em B. Indicando 
genericamente um elemento de A por x e o seu quadrado em B por y, temos então y = x2 é 
uma função de A em B.
 1
 0 
1 
0
4
3
Figura 28 - Exemplo da função y = x2.
Fonte: FERREIRA, 2013.
2.4.5 Outra notação de função
Consideremos a função f definida de ℜ em ℜ , tal que y = 2 · x +3. Assim temos, por exemplo, x 
= 2 ⇒ y = 7. Dizemos que 7 é a imagem de 2 pela função f e escrevemos f(2) = 7.
Analogamente, temos f(0) = 3, f(-1) = 1, e assim por diante. Inicialmente, em vez de escrevermos 
y = 2 · x + 3, podemos escrever f(x) = 2 · x + 3; e, para indicar que a função foi definida de ℜ em 
ℜ ,escrevemos f: ℜ→ℜ .
Função
y = f(x)
Também chamada
de aplicação 
f(x) = 2.x + 3
f(2) = 7
Figura 29 - Diretrizes diversas sobre função.
Fonte: FERREIRA, 2013.
AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES
59
2.4.6 Gráfico de uma função
Agora vamos conhecer a definição formal de gráfico de uma função e interpretar geometricamente 
funções através deste gráfico. Muitas vezes, ao longo da Engenharia, encontraremos funções 
que envolvem apenas números reais, e na maioria destes casos será vantajoso usarmos uma 
representação gráfica da uma função em estudo.
Gráfico de uma função
Sejam A e B dois subconjuntos não vazios de ℜ , e considerando f uma função definida de A em B, 
isto é, f: A → B, chamamos de gráfico da função f ao conjunto de todos os pontos P(x; y) do plano 
cartesiano, tal que x∈A, y∈B e y = f(x) (IEZZI; MURAKAMI, 1993).
Exemplo:
1) Considere a função f: ℜ → ℜ | f(x) = x. O gráfico desta função é apresentado na figura a 
seguir. Vale destacar que o gráfico característico da função f(x) = x, que é uma reta, recebe o 
nome de bissetriz dos quadrantes ímpares.
Figura 30 - Representação da função f: ℜ → ℜ | f(x) = x.
Fonte: FERREIRA, 2013.
2) Considere a função f: ℜ → ℜ | f(x) = x2 + 1. Veja o gráfico desta função na figura a seguir. Note 
que o seu gráfico característico é uma parábola, como veremos com mais detalhes ao estudarmos 
as funções quadráticas.
Figura 31 - Representação da função f: ℜ → ℜ | f(x) = x2 + 1.
Fonte: FERREIRA, 2013.
FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
60
Exercícios
1) Sendo f(x) = 
1
1.2
2 +
−
x
x , pede-se:
a) f(7)
b) f(2) + f(5)
Solução: Neste caso, devemos encontrar a imagem de cada um dos valores solicitados, via lei de 
formação da função f(x) = 
1
1.2
2 +
−
x
x ou, ainda, substituindo o valor de x por cada valor pedido. 
Logo:
a) f(7) = = = 
b) Aqui, devemos encontrar f(2) e f(5) e depois efetuar a soma entre esses dois valores, logo:
f(2) = = 
14
14
+
− = 
5
3
f(5) = = = 
E, portanto,
f(2) + f(5) = 
5
3 + = 
130
123
2) Obtenha o valor de m, sabendo que f(x) = x2 + x + m e f(-3) = 0.
Solução: Neste caso, na lei de formação da função f(x), vamos substituir x por (-3) e f(x) por 0 
(zero), ou seja:
f(-3) = 0
(-3)2 + (-3) + m = 0
9 - 3 + m = 0
Ou seja,
m = -6
3) Considere a função f: ℜ→ℜ , f(x) = 2 · x + 3, cujo gráfico é representado a seguir.
AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES
61
Figura 32 - Gráfico da função f(x) = 2 · x + 3.
Fonte: FERREIRA, 2013.
Agora, obtenha:
a) f(0) + f(1) + f(2)
b) f(0 + 1 + 2)
c) x tal que f(x) = 0
Solução: Neste caso:
a) Devemos encontrar os valores de f(0), f(1) e f(2) e depois somá-los. Daí:
f(0) = 2 · (0) + 3 = 0 + 3 = 3
f(1) = 2 · (1) + 3 = 2 + 3 = 5
f(2) = 2 · (2) + 3