APOSTILA DE ESTATÍSTICA 1

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ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL JOSÉ FEIJÓ 
APOSTILA DE 
ESTATÍSTICA I 
Curso Técnico em Contabilidade 
 
 
Profº Sandro Viégas 
20/07/2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E-mail: profviegas@gmail.com Blog: http://professorviegas.blogspot.com.br/ 
 
 
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ÍNDICE 
 
1. CONCEITOS BÁSICOS........................................................................................................ 4 
1.1. População..............................................................................................................4 
1.2. Amostra.................................................................................................................4 
1.3. Dado Estatístico.....................................................................................................4 
1.4. Divisão da Estatística.............................................................................................5 
1.5. Variáveis................................................................................................................5 
 
2. ARREDONDAMENTO DE DADOS...................................................................................6 
 
3. APRESENTAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS....................................................................7 
3.1. Apresentação Tabular............................................................................................7 
3.2. Séries Estatísticas...................................................................................................9 
 
4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
(D.F.)...........................................................................................................................15 
4.1. Distribuição de Frequência COM intervalos de classe..........................................15 
4.2. Distribuição de Frequência SEM intervalos de classe...........................................20 
 
5. TIPOS DE FREQUÊNCIA................................................................................................21 
5.1. Frequência Absoluta.............................................................................................21 
5.2. Frequência Relativa...............................................................................................21 
5.3. Frequência Acumulada..........................................................................................21 
5.4. Frequência Relativa Acumulada.............................................................................21 
5.5. Frequência Relativa em porcentagem...................................................................22 
5.6. Frequência Relativa Acumulada em porcentagem................................................22 
 
6. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA D.F......................................................................23 
6.1. Histograma...........................................................................................................24 
6.2. Polígono de Frequência........................................................................................24 
6.3. Polígono de Frequência Acumulada (Ogiva).........................................................25 
6.4. Gráficos em Segmentos de Reta...........................................................................26 
 
 
 
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1. CONCEITOS BÁSICOS 
1.1. População - é o conjunto de elementos (pessoas, coisas, objetos) que têm em 
comum uma característica em estudo. A população pode ser: 
 
1.1.1. Finita: quando apresenta um número limitado de indivíduos. 
Ex1: a população constituída por todos os parafusos produzidos em uma fábrica em um dia. 
Ex2: nascimento de crianças em um dia em Novo Hamburgo. 
 
1.1.2. Infinita: quando o número de observações for infinito. 
Ex. a população constituída de todos os resultados (cara e coroa) em sucessivos lances de uma 
moeda. 
 
1.2. Amostra - é o conjunto de elementos retirados da população, suficientemente 
representativos dessa população. Através da análise dessa amostra estaremos aptos 
para analisar os resultados da mesma forma que se estudássemos toda a população. 
 
1.3. Dado Estatístico - é sempre um número real. 
 
1.3.1. Primitivo ou Bruto: é aquele que não sofreu nenhuma transformação matemática. 
Número direto. 
1.3.2. Elaborado ou secundário: é aquele que sofreu transformação matemática. Ex. 
porcentagem, média, etc. 
 
 
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1.4. Divisão da Estatística 
Podemos dividir a Estatística em duas áreas: 
 
1.4.1. Estatística Descritiva – é à parte da Estatística que tem por objetivo descrever os 
dados observados e na sua função dos dados, tem as seguintes atribuições. 
 
a) A obtenção ou coleta de dados – é normalmente feita através de um questionário ou de 
observação direta de uma população ou amostra. 
b) A organização dos dados – consiste na ordenação e crítica quanto à correção dos 
valores observados, falhas humanas, omissões, abandono de dados duvidosos. 
c) A representação dos dados – os dados estatísticos podem ser mais facilmente 
compreendidos quando apresentados através de tabelas e gráficos, que permite uma 
visualização instantânea de todos os dados. 
 
1.4.2. Estatística Inferencial – é à parte da Estatística que tem por objetivo obter e 
generalizar conclusões para a população a partir de uma amostra, através do cálculo 
de probabilidade. A tais conclusões estão sempre associados a um grau de incerteza 
e consequentemente, a uma probabilidade de erro. 
 
1.5. Variáveis 
Uma variável é qualquer característica de um elemento observado (pessoa, objeto ou 
animal). 
 
 
 
 
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Quadro resumo dos tipos de variáveis 
 
 
2. ARREDONDAMENTO DE DADOS 
De acordo com a resolução 886/66 da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da 
seguinte maneira: 
 
• Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o 
último algarismo a permanecer. 
Exemplo: 53,224 passa a 53,22 
 
• Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de 
uma unidade o algarismo a permanecer. 
Exemplos: 
42,878 passa a 42,88 
25,008 passa a 25,01 
53,999 passa a 54,00 
 
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• Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem os zeros, o último alagrismo 
a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 
 
Exemplos: 
24,775 passa a 24,78 
24,565 passa a 24,56 
24,46500 passa a 24,46 
 
3. APRESENTAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS 
3.1. Apresentação Tabular 
A apresentação de dados estatísticos na forma tabular consiste na reunião ou 
grupamento dos dados em tabelas ou quadros com a finalidade de apresenta-los de modo 
ordenado, simples e de fácil percepção e com economia de espaço. 
a) Componentes Básicos 
Em termos genéricos, uma tabela se compõe dos seguintes elementos básicos: 
 Título 
Cabeçalho 
 
Indicadora 
 
de 
 
Coluna 
 C 
 o 
Casa l Linha 
 u 
 n 
 a 
 
 Rodapé 
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Exemplo: 
 Brasil - Estimativa de População 1970 – 76 
Ano População 
(1000 habitantes) 
1970 
1971 
1972 
1973 
1974 
1975 
1976 
93.139 
95.993 
98.690 
101.433 
104.243 
107.145 
110.124 
 Fonte: Anuário Estatístico do Brasil 
 
b) Principais Elementos de uma Tabela 
 
Título: Conjunto de informações, as mais completas possíveis, localizado no 
topo da tabela, respondendo às perguntas: O quê? Onde? Quando? 
Cabeçalho: Parte superior da tabelaque especifica o conteúdo das colunas. 
Coluna Indicadora: Parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas. 
 
 Linhas: Retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de 
dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas. 
 
Casa ou Célula: Espaço destinado a um só número. 
 
Rodapé: são mencionadas a fonte se a série é extraída de alguma publicação e também 
as notas ou chamadas que são esclarecimentos gerais ou particulares relativos aos dados. 
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3.2. Séries Estatísticas 
3.2.1. Tabelas 
É toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função de 
três elementos: 
a. Da época; 
b. Do local; 
c. Da espécie. 
 
Esses elementos determinam o surgimento de quatro tipos fundamentais de 
séries estatísticas: 
 
a) Séries Temporais ou Cronológicas 
 
São aquelas nas quais os dados são reunidos segundo o tempo que varia, permanecendo 
fixos o local e a espécie. 
 
Exemplo: Produção de petróleo bruto – Brasil 1966 – 1970. 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte Brasil em dados. 
 
 
Anos Quantidade (cm³) 
1966 
1967 
1968 
1969 
1970 
6.748.889 
8.508.848 
9.509.639 
10.169.531 
9.685.641 
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b) Séries Geográficas 
São aquelas nas quais os dados são reunidos segundo o local que varia permanecendo 
fixos o tempo e a espécie. 
Exemplo: 
Rebanhos bovinos – Brasil 1970. 
Regiões Bovinos (1000) 
Norte 
Nordeste 
Sudeste 
Sul 
Centro-oeste 
2.132 
20.194 
35.212 
18.702 
15.652 
 Fonte Brasil em dados. 
 
c) Séries Específicas 
São aquelas nas quais os dados são reunidos segundo o espécie que varia permanecendo 
fixos o tempo e o local. 
 
Exemplo: 
 Produção pesqueira (mar) – Brasil 1969. 
Itens Produção (ton.) 
Peixes 314 
Crustáceos 62 
Moluscos 3 
Mamíferos 12 
 Fonte Brasil em dados. 
 
 
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d) Séries Composta ou Mista 
É a combinação de dois ou mais fundamentais de séries estatísticas. 
Exemplo: Geográfica – Temporal. 
 
Evolução do transporte de carga marítima nas 4 principais bacias brasileiras - 
Brasil -1968– 1970. 
 
Bacias 
Anos 
1968 1969 1970 
 
Amazônica 
 
Nordeste 
 
Prata 
 
São Francisco 
 
233.768* 
 
16.873 
 
177.705 
 
53.142 
 
324.350 
 
20.272 
 
203.966 
 
48.667 
 
316.557 
 
20.246 
 
201.464 
 
57.948 
Fonte Brasil em dados. * Os dados estão em toneladas. 
 
A apresentação tabular de dados estatísticos é normalizada pela resolução nº 886 
de 26-10-1966 do Conselho Nacional de Estatística a fim de uniformizar a apresentação 
de dados. 
 
3.2.2. Representação Gráfica 
 
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é 
o de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do 
fenômeno em estudo, já que os gráficos falam mais rápido à compreensão que as séries. 
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 A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos 
fundamentais para ser realmente útil: 
Simplicidade – o gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, assim como 
de traços desnecessários que possam levar o observador a uma análise com erros. 
 
Clareza – o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do 
fenômeno em estudo. 
 
Veracidade – o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo. 
 
a) Gráfico em linha 
 
É um dos mais importantes gráficos; representa observações feitas ao longo do tempo. 
Tais conjuntos de dados constituem as chamadas séries históricas ou temporais. 
 
 
 
b) Gráfico em setores: 
É um gráfico construído no círculo, que é dividido em setores correspondentes aos 
termos da série e proporcionais aos valores numéricos dos termos da série. É mais utilizado 
para séries específicas ou geográficas com pequeno número de termos e quando se quer 
salientar a proporção de cada termo em relação ao todo. 
0
5
10
15
20
1992 1994 1996 1998 2000
ÍN
D
IC
E
S
 
ANOS 
EVOLUÇÃO DO DESEMPREGO NA 
GRANDE PORTO ALEGRE 
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Exemplo: 
 
 
c) Gráficos em Barras (ou em colunas). 
É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos horizontalmente (em 
barras) ou verticalmente (em colunas). 
 Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são 
proporcionais aos respectivos dados. 
 
Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos 
respectivos dados. 
ESPECIALIDADES MÉDICAS QUE MAIS SOFREM 
PROCESSOS POR ERROS CIRÚRGICOS 
ANUALMENTE 
Ginecologia e Obstetrícia
Cirurgia Plástica
Oftalmologia
Cirurgia Geral
Ortopedia
Pediatria
Outros
0 5 10 15
Tchê Garotos
Os Serranos
Tchê Barbaridade
Engenheiros do Hawai
Tchê Guri
ÍNDICE 
G
R
U
P
O
S
 
GRUPOS GAÚCHOS MAIS LEMBRADOS 
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d) Cartograma. 
É representação sobre uma carta geográfica. 
Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos 
diretamente relacionados com as áreas geográficas ou políticas. 
 
e) Pictograma. 
Constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela sua forma ao 
mesmo tempo atraente e sugestiva. A representação gráfica consta de figuras. 
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Ex.: População Urbana do Brasil em 1980 (x 10) 
 
Fonte: Anuário Estatístico (1984) 
 
4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
É o tipo de série estatística na qual permanece constante o fato, o local e a época. Os 
dados são colocados em classes pré-estabelecidas, registrando freqüência. 
Divide-se em duas partes: 
 Distribuição de Freqüência COM intervalos de classe 
 Distribuição de Freqüência SEM intervalos de classe 
 
4.1. Distribuição de Freqüência COM intervalo de 
classes 
É um método de tabulação dos dados em classes, categorias ou intervalos, onde teremos uma 
melhor visualização e aproveitamento dos dados. 
 
 
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Exemplo: 
Notas do curso de 
Ciência da Computação na disciplina de 
Programação I de uma dada Faculdade 
Notas Nº de Estudantes 
5 |-- 6 18 
6 |-- 7 15 
7 |-- 8 12 
8 |-- 9 03 
9 |--10 02 
 
Elementos Principais: 
a) Classe – é cada um dos intervalos em que os dados são agrupados. 
 
b) Limites de classes são os valores extremos de cada classe. 
 li = limite inferior de uma classe; 
 ls = limite superior de uma classe. 
 
c) Amplitude – é a diferença entre o maior valor e o menor valor de certo conjunto de 
dados. Pode ser referida ao total de dados ou a uma das classes em particular. 
 Amplitude Total (AT): AT = Valor Máximo – Valor Mínimo da D.F. 
 Amplitude das classes (h): h = ls – li 
 
e) Ponto médio de classe (xi) - é calculado pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
f) Freqüência absoluta (fi) - freqüência absoluta de uma classe de ordem i, é o número de 
dados que pertencem a essa classe. 
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4.1.1. Organização de uma Distribuição de Frequência (D.F.) 
 
 Para organizar um conjunto de dados quantitativos em distribuição de 
freqüências, aconselha-se seguir a seguinte orientação: 
 
1o Organizar o rol– colocar os dados em ordem crescente ou ordem decrescente. 
2o Calcular (ou adotar) o número conveniente de classes – o número de classe deve ser 
escolhido pelo pesquisador, em geral, convém estabelecer de 5 a 15 classes. Existem algumas 
fórmulas para estabelecer quantas classes devem ser construídas. Nos usaremos: 
i = 1 + 3,3.log n 
i = nº de classes e n = é o número total de dados 
 
3o Calcular (ou adotar) a amplitude do intervalo de classes conveniente - a amplitude 
do intervalo de classes deve ser o mesmo para todas as classes. 
i
AT
h 
, Onde i é o número de intervalos de classe. 
 
4o Obter os limites das classes – Usualmente as classes são intervalos abertos á direita. 
Os limites são obtidos fazendo-se. 
Limite inferior da 1a classe é igual ao mínimo do rol, isto é, 
l1 = Min.(rol) 
Encontram-se os limites das classes, adicionando-se sucessivamente a amplitude do 
intervalo de classes aos limites da 1a classe. 
 
5o Obter as 
if
- contar o número de elementos do rol, que pertencem a cada classe. 
6o Apresentar a distribuição – construir uma tabela com título, subtítulo, ... 
 
 
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Exemplo de cálculo - Obtenha a Distribuição de Frequência (D.F.) para os dados abaixo: 
a) TABELA PRIMITIVA 
 
 
Obs.: as estaturas estão em cm. 
A tabela obtida após a ordenação dos dados recebe o nome de ROL. 
 
b) ROL 
 
c) Cálculo do número de CLASSES da D.F. 
i = 1 + 3,3.log n 
i = nº de classes e n = é o número total de dados 
Do exemplo, temos: 
n = 40 alunos 
i = 1 + 3,3.log 40 = 1 + 3,3.1,60 = 1 + 5,28 = 6,28  i = 6 classes 
 (arredondar para o valor inteiro mais próximo) 
d) Cálculo da amplitude do intervalo de classe 
h = 
 
 
 
Onde: AT = amplitude total = Ls – Li = 173 – 150  AT = 23 cm 
Logo, h = 
 
 
 = 3,83  h = 4 cm 
e) Construindo os intervalos de classe 
1ª classe: li = 150, ls = 150 + 4 = 150 cm ( 150 |---- 154 ) 
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2ª classe: li = 154, ls = 154 + 4 = 158 cm ( 154 |---- 158 ) 
E assim, sucessivamente até a 6ª classe, conforme abaixo: 
 
 
 O símbolo |--- significa que o intervalo é fechado à esquerda e aberto à 
direita. Por exemplo, na 1ª classe, o número 150 pertence a esta classe e 154 
pertence a seguinte (2ª classe) 
 
f) Determinando as frequências absolutas (fi) 
Tabulação 
 
 
Obs: Quando os dados estão organizados em uma distribuição de frequência, são comumente 
denominados dados grupados. 
 
 
 
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g) Ponto Médio (xi) 
É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. 
xi = 
 
 
 
li = limite inferior da classe 
ls = limite superior da classe 
Do exemplo anterior, temos: 
1ª classe: xi = 
 
 
 = 
 
 
 = 152 cm 
2ª classe: xi = 
 
 
 = 
 
 
 = 156 cm 
E assim, sucessivamente até a 6ª classe, conforme a D.F. abaixo. 
 
 
4.2. Distribuição de Frequência SEM intervalos de 
classe 
 
É uma série de dados agrupados na qual o número de observações está relacionados 
com um ponto real. 
 
 
 
 
i fi xi
1 150 |---- 154 4 152
2 154 |---- 158 9 156
3 158 |---- 162 11 160
4 162 |---- 166 8 164
5 166 |---- 170 5 168
6 170 |---- 174 3 172
40
Estaturas (cm)
S
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Ex.: Notas do Aluno "X" na Disciplina de Estatística – 1990 
Nota Alunos 
6.3 2 
8.4 3 
5.3 2 
9.5 3 
6.5 5 
Total 15 
 
5. Tipos de Frequência 
 
5.1. Frequência absoluta (fi) - frequência absoluta de uma classe de ordem i, é o número 
de dados que pertencem a essa classe. 
 
5.2. Frequência relativa (fr) - frequência relativa de uma classe de ordem i, é o quociente 
da frequência absoluta dessa classe (fi), pelo total, ou seja, 


fi
f
fr ii
 
 
Obs: a soma de todas as frequências absolutas é igual ao total. 
 
5.3. Freqüência acumulada (Fa) - frequência acumulada de uma classe de ordem i, é a 
soma das frequências até a classe de ordem i. 
 
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5.4. Freqüência relativa acumulada (Fra) - freqüência relativa acumulada de uma classe 
de ordem i, é a soma das freqüências relativas até a classe de ordem i. 
5.5. Frequência relativa em porcentagem – fr(%) 
 
fr(%) = fr x 100 
 
5.6. Frequência relativa acumulada em porcentagem – Fra(%) 
Fra(%) = Fra x 100 
Exemplo: 
Estatura dos alunos da turma A 
 
 Fonte: fictícia 
 A frequência relativa da terceira classe (fr3) dessa D.F. é: 
fr3 = 
 
S 
 = 
 
 
 = 0,275 
 
NOTA: O propósito das frequências relativas é o de permitir a análise ou facilitar as 
comparações. 
 
 Frequência acumulada (Fa) 
A frequência acumulada da terceira classe (Fa3): 
 Fa3 = f1 + f2 + f3  Fa3 = 4 + 9 + 11  Fa3 = 24 
i fi
1 150 |---- 154 4
2 154 |---- 158 9
3 158 |---- 162 11
4 162 |---- 166 8
5 166 |---- 170 5
6 170 |---- 174 3
40
Estaturas (cm)
S
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Que significa existirem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm. 
 
 Frequência relativa acumulada (Fra) 
Fra = 
 
S 
 
 
A fequência relativa acumulada da terceira classe é: 
Fra3 = 
 
S 
 = 
 
 
 Fra3 = 0,6 
 
 Frequências relativas em porcentagem 
fr x 100 = fr%  para a terceira classe: fr3 = 0,275 x 100  fr3 = 27,5% 
Fra x 100 = Fra%  para a terceira classe: Fra3 = 0,6 x 100  Fra3 = 60% 
 
Considerando a D.F. apresentada anteriormente (Estaturas de 40 alunos da turma A), temos: 
Estaturas de 40 alunos da turma A 
 
Fonte: fictícia 
 
6. Representação Gráfica de uma D.F. 
Uma D.F. pode ser representada graficamente pelo Histograma, Polígono de Frequência e pelo 
Polígono de Frequência Acumulada. 
 
i fi xi fr Fa Fra fr(%) Fra (%)
1 150 |---- 154 4 152 0,100 4 0,100 10,00 10,00
2 154 |---- 158 9 156 0,225 13 0,325 22,50 32,50
3 158 |---- 162 11 160 0,275 24 0,600 27,50 60,00
4 162 |---- 166 8 164 0,200 32 0,800 20,00 80,00
5 166 |---- 170 5 168 0,125 37 0,925 12,50 92,50
6 170 |---- 174 3 172 0,075 40 1,000 7,50 100,00
40 1,000 100,00
Estaturas (cm)
S
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Exemplo: 
Dada a D.F. abaixo, construa o Histograma, o Polígono de Frequência e o Polígono de 
Frequência Acumulada. 
Estatura dos alunos da turma A 
 
 Fonte: fictícia 
 
6.1. Histograma 
 
 
 
 
i fi
1 150 |---- 154 4
2 154 |---- 158 9
3 158 |---- 162 11
4 162 |---- 166 8
5 166 |---- 170 5
6 170 |---- 174 3
40
Estaturas (cm)
S
APOSTILA DE ESTATÍSTICA I 
Curso Técnico em Contabilidade 
Profº Sandro Viégas 
 
25 
 
6.2. Polígono de Frequência 
Para construir o polígono de frequência, temos que calcular o ponto médio de cada classe, 
conforme a mostra abaixo. 
 
 
 
 
6.3. Polígono de Frequência Acumulada (OGIVA) 
Para construir o polígono de frequência, temos que calcular o ponto médio de cada classe e a 
frequência acumulada, conforme mostra abaixo. 
 
i fi xi
1 150 |---- 154 4 152
2 154 |---- 158 9 156
3 158 |---- 162 11 160
4 162 |---- 166 8 164
5 166 |---- 170 5 168
6 170 |---- 174 3 172
40
Estaturas (cm)
S
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Profº Sandro Viégas 
 
26 
 
 
 
 
6.4. Gráfico em segmentos de reta vertical 
É utilizado para representar graficamente uma distribuição de frequência sem intervalos de 
classe. 
 
i xi Fa
1 150 |---- 154 152 4
2 154 |---- 158 156 13
3 158 |---- 162 160 24
4 162 |---- 166 164 32
5 166 |---- 170 168 37
6 170 |---- 174 172 40
Estaturas (cm)
S