Lista2 C_N2

Prévia do material em texto

2a LISTA DE CÁLCULO NUMÉRICO I
1. Seja n um número inteiro positivo. Mostre que a sequência
xk+1 =
1
n
�
(n� 1)xk + a
xn�1k
�
pode ser utilizada para calcular n
p
a quando a � 0 e, em seguida, calcule 3p7
com precisão pré-…xada � = 0; 001.
2. Seja f : [a; b] ! R uma função contínua com um único zero x 2 (a; b).
Considere o seguinte método iterativo para calcular este zero com uma precisão
� > 0 dada. Na primeira etapa do processo, dividimos o intervalo [a; b] em
três partes de mesmo comprimento e decidimos em qual das três se encontra
x. Obtemos assim um novo intervalo e repetimos o processo iterativamente
dessa forma até isolarmos x num intervalo de comprimento menor do que 2�.
Tomamos então o ponto médio deste intervalo como a aproximação desejada de
x. Sabendo que 1 < 3
p
7 < 2, utilize este método para calcular 3
p
7 com precisão
" = 0:1.
3. Seja f(x) = ex � 4x2. Utilize o método de Newton para calcular a raiz
no intervalo [0; 1] com precisão pré-…xada de 0; 01.
4. Use o método da bisseção para aproximar a solução, com erro inferior a
10�1, da equação
x+
1
2
+ 2 cos(�x) = 0;
no intervalo
�
1
2
; 1
�
.
5. Utilizar o método da falsa posição para determinar, com precisão de
5:10�3, o zero da função f(x) = 1 + x+ ex e, em seguida, utilizar o método da
secante com precisão de 5:10�6 para a mesma equação.
6. Suponha que o método da secante é usado para encontrar a raiz � de
uma equação não linear f(x)=0. Mostre que, se numa iteração ocorre um dos
seguintes casos: xk�1 = � ou xk = �, então tem-se xk+1 = �.
1