Tema 2

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1 Marcar para revisão
Uma empresa de produção de alimentos está
analisando seu estoque de ingredientes para
garantir a eficiência na produção. Para isso,
eles precisam resolver um sistema de equações
lineares para determinar a quantidade
necessária de cada ingrediente em diferentes
receitas.
Sobre a definição e classificação do sistema de
equações lineares, assinale a alternativa
correta:
Questão 1 de 10
Corretas �10�
Em branco �0�
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Sistemas De… Sair
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A
B
C
D
E
Um sistema de equações lineares é
um conjunto de equações onde todas
as incógnitas têm expoentes iguais a 1
e representam retas no plano
cartesiano.
Um sistema de equações lineares é
um conjunto de equações onde as
incógnitas são elevadas a diferentes
potências e representam curvas no
plano cartesiano.
Um sistema de equações lineares é
um conjunto de equações onde as
incógnitas são elevadas a potências
maiores que 1 e representam
parábolas no plano cartesiano.
Um sistema de equações lineares é
um conjunto de equações onde as
incógnitas são lineares, ou seja,
elevadas a expoentes iguais a 1 e
representam retas no plano
cartesiano.
Um sistema de equações lineares é
um conjunto de equações onde todas
as incógnitas são constantes e
representam pontos no plano
cartesiano.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
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A
B
C
D
E
No contexto das equações lineares, uma
equação linear é aquela em que as
incógnitas aparecem apenas com
expoentes iguais a 1. Portanto, um sistema
de equações lineares é composto por
equações lineares, e as incógnitas
representam retas no plano cartesiano. As
outras alternativas mencionam equações
com potências diferentes de 1, o que não
corresponde à definição de um sistema de
equações lineares.
2 Marcar para revisão
Dadas as equações lineares 3x + 4y = 8 e y =
2x - 1, utilize o método da substituição para
encontrar o valor de x e y.
x = 11/10 e y = 13/11
x = 12/11 e y = 13/11
x = 14/10 e y = 11/12
x = 14 e y = 11
x = 12 e y = 13
Resposta correta
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A
B
Gabarito Comentado
O método da substituição é uma técnica
utilizada para resolver sistemas de
equações lineares. Neste método, uma das
variáveis de uma equação é substituída
pela expressão que a representa na outra
equação.
Primeiramente, substituímos y na primeira
equação pela expressão 2x - 1, que é o
valor de y na segunda equação. A equação
se torna: 3x + 4�2x - 1� = 8. Simplificando,
obtemos: 3x + 8x - 4 � 8, que se simplifica
ainda mais para 11x - 4 � 8. Resolvendo
para x, obtemos x = 12/11.
Em seguida, substituímos o valor
encontrado para x na segunda equação,
que é y = 2x - 1. Substituindo x por 12/11,
obtemos y = 2�12/11� - 1. Simplificando,
obtemos y = 24/11 � 1, que se simplifica
para y = 13/11.
Portanto, a solução para o sistema de
equações é x = 12/11 e y = 13/11
3 Marcar para revisão
Classifique o sistema de equações lineares 
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x − 2y + 3z = 1
x + y + z = 5
2x − 4y + 6z = 3
Impossível
Possível e determinado com ( x, y , z )
= ( 2 ,2 , 1�
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C
D
E
Possível e determinado com ( x, y , z )
= ( 1 ,2 , 2�
Possível e indeterminado com solução
do tipo ( x,y, z) = ( k, 3 , 7 - k), k real
Possível e indeterminado com solução
do tipo ( x,y, z) = ( 1 - k , 2 , 5 - k), k
real
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A resposta correta é: Impossível
Usando o método de subtituição temos:
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A
B
C
D
E
4 Marcar para revisão
Obtenha a imagem do vetor �3, 4) em relação à
transformação linear definida por T�R  R tal
que T(x,y) = �2x - y, x + y).
2 → 2
�3, 4�
�1, 2�
�2, 7�
�7, 2�
�3, 8�
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para encontrar a imagem do vetor �3, 4)
sob a transformação linear T, substituímos
as coordenadas do vetor na definição de T.
Assim, T�3,4� = �2�3 � 4, 3 � 4�.
Simplificando, obtemos �6 � 4, 7�, que
resulta em �2, 7�.
Portanto, a imagem do vetor �3, 4) sob a
transformação T é �2, 7�
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A
B
C
5 Marcar para revisão
Em um laboratório de física, um grupo de
estudantes está realizando experimentos para
coletar dados e determinar relações lineares
entre diferentes variáveis. Durante a análise dos
resultados, eles se deparam com a necessidade
de resolver sistemas lineares para encontrar os
coeficientes das equações. Nesse contexto,
discutem as vantagens e desvantagens da
regra de Cramer em relação ao método Gauss-
Jordan.
Considerando as características da regra de
Cramer e sua relação com o método Gauss-
Jordan, qual é uma desvantagem específica da
regra de Cramer para a resolução de sistemas
lineares?
A regra de Cramer garante uma
solução única para qualquer sistema
linear.
A regra de Cramer é menos suscetível
a erros de arredondamento durante o
processo de cálculo.
A regra de Cramer resolve o sistema
diretamente por um quociente de
determinantes.
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D
E
A regra de Cramer é mais eficiente em
termos de tempo de execução para
sistemas com muitas incógnitas.
A regra de Cramer normalmente
requer o cálculo de todos os
determinantes necessários, o que
pode ser trabalhoso.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Uma desvantagem específica da regra de
Cramer em relação ao método Gauss-
Jordan é que ela normalmente requer o
cálculo de todos os determinantes
necessários para resolver o sistema linear.
Esse processo pode ser trabalhoso e
demorado, especialmente em sistemas
com um grande número de incógnitas. Por
outro lado, o método Gauss-Jordan
envolve a escalonamento da matriz
completa do sistema, o que geralmente é
mais direto e menos exigente em termos de
cálculos adicionais. Portanto, a
desvantagem da regra de Cramer é a
necessidade de calcular todos os
determinantes envolvidos, o que pode ser
mais trabalhoso em comparação com o
escalonamento da matriz do método
Gauss-Jordan.
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A
B
C
6 Marcar para revisão
Um grupo de arquitetos está projetando um
complexo residencial em uma área urbana. Eles
estão analisando as posições relativas de
diferentes blocos de apartamentos para garantir
que não haja superposição ou espaços vazios
indesejados. Para isso, eles utilizam sistemas
de equações lineares com três variáveis para
representar os planos de cada bloco.
Sobre a analogia entre a solução de sistemas
de três variáveis e a posição relativa de planos
na geometria analítica, assinale a alternativa
correta:
Um sistema possível e determinado
corresponde à situação em que os
planos dos blocos de apartamentos se
interceptam em um único ponto,
garantindo uma posição precisa para
cada bloco.
Um sistema possível e determinado
corresponde à situação em que os
planos dos blocos de apartamentos
são paralelos e não se interceptam,
resultando em uma distribuição
desejada dos espaços.
Um sistema possível e indeterminado
corresponde à situação em que os
planos dos blocos de apartamentos se
interceptam em uma reta comum,
permitindo diferentes combinações de
posicionamento dos blocos.
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D
E
Um sistema possível e indeterminado
corresponde à situação em que os
planos dos blocos de apartamentos
não têm pontos de interseção,
resultando em um projeto
arquitetônico impossível de ser
concretizado.
Um sistema impossível corresponde à
situação em que os planos dos blocos
de apartamentos se interceptam em
diferentes pontos, gerando
sobreposições indesejadas e
inviabilizando a construção do
complexo residencial.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Ao considerar sistemas de equações
lineares com três variáveis para
representar os planos dos blocos de
apartamentos, uma solução possível e
indeterminada ocorre quando esses planos
se interceptam em uma reta comum. Isso
significa que existem diferentes
combinações de posicionamento dos
blocos que são viáveis, resultando em
infinitas soluções para o sistema. As
demais alternativas apresentam
interpretações incorretas sobre os
sistemas possíveis e determinados,
sistemas impossíveis ou sistemas possíveis
e indeterminados relacionados à posição
relativa dos planos na geometria analítica.
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A
B
C
D
E
7 Marcar para revisão
Considere o seguinte sistema de equações
lineares:
Com base nas informações apresentadas, é
correto afirmar que esse sistema é:
⎧⎪
⎨
⎪⎩
−3x + 2y − z = 0
4x − y + 2z = 0
x − 3y + 4z = 0
Um sistema linear homogêneo.
Um sistema linear não homogêneo.
Um sistema linear impossível.
Um sistema linear possível e
indeterminado.
Um sistema linear possível e
determinado.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
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A
B
C
Um sistema linear é considerado
homogêneo quando todos os termos
independentes das equações são iguais a
zero. No sistema dado, todos os termos
independentes são zero, o que implica que
é um sistema linear homogêneo. 
8 Marcar para revisão
Em uma competição de programação, os
participantes foram desafiados a resolver um
sistema linear utilizando uma matriz completa
escalonada reduzida.
Considerando um sistema linear representado
por uma matriz completa escalonada reduzida,
qual é a principal vantagem visual dessa forma
reduzida para determinar a solução do sistema?
Permite a identificação imediata das
linhas linearmente independentes do
sistema.
Indica diretamente os valores dos
coeficientes desconhecidos do
sistema.
Revela as coordenadas dos pontos de
interseção das retas representadas
pelo sistema.
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D
E
Apresenta a solução em formato
gráfico, facilitando a visualização das
raízes.
Mostra as possíveis combinações
lineares das variáveis envolvidas no
sistema.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A matriz completa escalonada reduzida
apresenta um formato em que as linhas
linearmente independentes são facilmente
identificáveis. Essa característica é
importante porque as linhas linearmente
independentes representam as equações
do sistema que são relevantes para
determinar a solução. Dessa forma, a forma
reduzida da matriz fornece uma
visualização clara das linhas
independentes e ajuda a identificar o
número de soluções do sistema.
9 Marcar para revisão
�AGIRH/2022 � Adaptado) A representação
gráfica de um sistema de 1º grau, cujo resultado
é possível e indeterminado é dado por:
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A
B
C
D
E
Duas retas concorrentes.
Duas retas paralelas.
Duas retas sobrepostas.
Duas retas perpendiculares
ortogonais.
Duas retas ortogonais em R3.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A alternativa correta é: Duas retas
sobrepostas. A representação gráfica de
um sistema de equações lineares de 1º
grau com uma incógnita é dada por uma
reta no plano cartesiano. Quando o sistema
apresenta uma única solução, a reta passa
por um único ponto, que representa a
solução do sistema. No caso de o sistema
não possuir solução, as retas são paralelas
e não se cruzam. Contudo, quando o
sistema tem infinitas soluções, as retas são
coincidentes, ou seja, estão sobrepostas, e
se cruzam em todo o seu comprimento.
Portanto, para um sistema de 1º grau cujo
resultado é possível e indeterminado, a
representação gráfica é dada por duas
retas sobrepostas.
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A
B
C
D
E
10 Marcar para revisão
Determine os autovalores do sistema linear de
equações { 8x − 2y = 0
2y + 4x = 3
2 e 6
4 e 5
1/4 e 1
1 e 4
3 e 7
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
A resposta correta é: 1/4 e 1.
Por Gauss temos:
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