Métodos Quantitativos todas aulas unificadas

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AULA 3 (PARTE 02) 
AMOSTRAGEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 
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AMOSTRAGEM 
 
Definição: 
 É a técnica de seleção de uma Amostra, que possibilita o estudo das 
 características de uma população. 
 
 
v Para compreendermos melhor o princípio da Amostragem, devemos 
estudar a distribuição de valores. Esta distribuição esta dividida em 2 
partes fundamentais para estatística,as quais são: 
 
· Distribuição Normal; 
· Distribuição Amostral. 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 Definição: 
 É uma distribuição contínua,a qual possui dois parâmetros 
 estatísticos fundamentais: 
 
 1º) Média; (Parâmetro de localização) 
 2º) Desvio-padrão (Parâmetro de dispersão) 
 
OBS1: A distribuição normal é uma distribuição de probabilidade ! 
 
OBS2: Os resultados da probabilidade(posicionamento dos valores),são 
 obtidos por meio de uma tabela de escore,denominada de Tabela Z. 
 
OBS3: A curva da distribuição normal é conhecida como a Curva de Gauss. 
 
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Veja: Curva de Gauss 
 
 
 50% 50% 
 
 Md = X = Mo 
 
FÓRMULA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
 Z = X - µ onde: 
 σ 
 
 
 
CARACTERÍSTICAS DA CURVA DE GAUSS 
 
Ø Sua Média, Mediana e Moda são iguais. 
Ø Tem forma de Sino e é simétrica em torno da média. 
Ø A área total sob a curva é de 100% 
 
Fonte: <http://www.tomcoelho.com.br/index.aspx/s/Artigos_Exibir/221/ 
 O_mal_da_mediocridade> 
 
Z = Valor da tabela Z 
X = Valor aleatório 
µ = Média aritmética 
σ = Desvio-padrão 
 
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TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 VALORES DE Z 
 
 
 
 
59 
 
OBS1: Desde que a distribuição normal é simétrica, para calcular a área 
 entre −∞ e z das curvas probabilísticas,devemos somar o valor de 
 0,5 aos valores da tabela. 
 
OBS2: No caso de valores acima de 3,9 considera-se que o valor é 
 praticamente 1 pelo que não esta tabelado. 
 
ALGUNS EXEMPLOS DE USO DA TABELA 
 
1º) Exemplo: 
 Probabilidade de Z ≤ 1,53: 
 Na interseção da linha 1,5 com a coluna 0,03 há o valor 0,4370. Precisa-se 
 somar 0,5 porque, conforme visto, a tabela dá valores a partir de zero. 
 Assim, P( Z ≤ 1,53 ) ≈ 0,4370 + 0,5 = 0,9370. 
 
2º) Exemplo: 
 Probabilidade de Z ≤ −1,53: 
 A simetria da curva permite deduzir a fórmula para valores negativos de z: 
 P( Z ≤ v ) = 1 − P( Z ≤ |v| ) para v < 0 
 Portanto, P( Z ≤ −1,53 ) ≈ 1 − 0,9370 = 0,0630. 
 
3º) Exemplo: 
Probabilidade de −1 ≤ Z ≤ 0,5: 
A ideia gráfica permite concluir que é igual à diferença entre os valores 
calculados para cada extremo. 
P( Z ≤ 0,5 ) = 0,5 + 0,1915 = 0,6915. P( Z ≤ −1 ) = 1 − P( Z ≤ 1 ) = 
 1 − (0,5 + 0,3413) = 0,1587. 
Portanto o resultado é dado por P( −1 ≤ Z ≤ 0,5 ) = 0,6915 − 0,1587 = 0,5328. 
 
 
 
 
60 
 
Ex: Um estudo dos aumentos percentuais dos preços, no atacado de produ- 
 tos industrializados, mostrou que ha distribuição normal com media de 
 50% e desvio- padrão de 10%. Qual a porcentagem dos artigos que: 
 a) Sofreram aumentos superiores a 75%? Resposta: (0,62%) 
 b) Sofreram aumentos entre 30% e 80%? Resposta: (97,59%) 
Solução: 
 Dados: 
 µ = 50% (média) 
 σ = 10% (Desvio-padrão) 
 X = modificações percentuais de preços (valor aleatório) 
a) Superiores a 75% 
 P (x>75) = P(z > 2,5) 
 Para: x= 75, Temos: z: x - µ = z: 75 - 50 = z: 25 = 2,5 
 σ 10 10 
 Portanto: 
 P(z > 2,5) = 0,5- 0,4938 = 0,0062 ou 0,62 % 
 
b) Entre 30% e 80% 
 P ( 30 < x < 80) = P(-2 < z < 3) 
 
 Para: x= 30 , Temos: z: x - µ = z: 30 - 50 = z: - 20 = -2 
 σ 10 10 
 Para: x= 80, Temos: z: x - µ = z: 80 - 50 = z: 30 = 3 
 σ 10 10 
 Portanto: 
 P(-2 < z < 3) = - 0,4772 –0,4987 = - 0,9759 ou 97,59% 
 
 
 
 
 
61 
 
 
Portanto,a representação da curva Gaussiana fica: 
 
 
 
 
 
 
 0,62% 12% 25% 50% 97,59% 
 
OBS1: Os valores 0,4772 foi retirado da Tabela Z; para Z = 2 ! 
 
OBS2: O valor negativo de – 0,4772 e -0,9759 devem ser ignorados! 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL 
 
 Definição: 
 É a distribuição de probabilidade de uma medida estatística, 
 baseada em uma amostra aleatória, a qual é determinada o 
 posicionamento dos valores dentro dos parâmetros da média 
 e do Desvio-padrão. 
 
OBS: Para estudarmos uma população, necessitamos de uma amostra, a qual 
 necessita de uma fundamentação específica para validar os seus dados. 
 Portanto essa validação é reconhecida por Inferências Estatísticas. 
 
 
 
 
 
62 
 
INFERÊNCIAS ESTATÍSTICAS: 
 
 Definição: 
 É o processo estatístico que se refere-se à possibilidade de 
 obtermos informações sobre a população por meio de resultados 
 amostrais. 
 
 As Inferências estatísticas são divididas em 2 áreas: 
 
Ø Os Testes de Hipótese (Veremos mais adiante !) 
Ø Estimação de Parâmetros. 
 
Estimação de Parâmetros: 
 É o valor retirado diretamente da Amostra para 
 medir e comprovar a eficácia dos possíveis 
 resultados da pesquisa. 
 
OBS1: Os parâmetros utilizados na População e na Amostra,são: 
 
 População: µ (Média) Amostra: X = Média 
 ρ 2 (Variância) S2 = Variância 
 
OBS2: A variância Amostral das médias é igual à razão da variância 
 populacional pelo número de elementos da Amostra. Então temos: 
 
 S2x = ρ 2 
 n 
 
 
 
 
Nesta fórmula a variância amostral é menor 
que a variância populacional ! S2 < ρ 2 
 63 
 
DICA: 
Ø Na página 106 do livro a variância populacional esta sendo representada 
pela letra σ, para não confundirmos com Desvio-padrão,o qual utiliza a 
mesma letra Sigma,trocamos esta pela letra grega (Rho) = ρ. 
Então: 
 σ2 = ρ2 (Variância) 
 
 
TIPOS DE AMOSTRAGEM 
 
Temos 2 tipos de amostragem com as suas características bem definidas, as 
quais se apresentam como: 
 
· Amostragem Probabilística; 
· Amostragem Nãoprobabilística; 
 
1º) AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA: 
 
Ø Todos os elementos da população tem a mesma chance de fazer parte 
da Amostra. 
 
 Ela se divide em: 
 
a) Aleatória Simples: Escolhe os elementos sem utilizar nenhum critério. 
 
b) Sistemática: Escolhemos os elementos por processo de repetição. 
 
c) Proporcional: Escolhemos os elementos por proporção pré 
 estabelecida. 
 
 
64 
 
2º) AMOSTRAGEM NÃO PROBABILÍSTICA 
Ø Os elementos da população são escolhidos de forma aleatória. 
Ela se divide em: 
a) Por conveniência: Escolhe os elementos, conforme a distribuição mais 
 favorável e facilitada. 
 
b) Intencional: Escolhemos os elementos, conforme a sua vontade. 
 
c) Por Tráfego: Escolhemos os seus elementos,conforme a 
 concentração, volume ou tráfego contidos na população. 
 
d) Por Quotas: Escolhemos os seus elementos, seguindo um critério 
 específico. 
 
CÁLCULO DO TAMANHO DA AMOSTRA 
Ø Para determinarmos um estudo estatístico por meio de uma amostra, 
devemos ter uma quantidade mínima de elementos que possibilite 
realizar uma cálculo estatístico,o qual dará uma perspectiva confiável ao 
resultado apresentado do que queremos pesquisar.Para isso,temos que 
utilizar a seguinte fórmula: 
Ø n = Z2.p.q 
 e2 
Onde: 
n = Número de indivíduos da Amostra; 
Z = Nível de confiança Z; 
p = proporção favorável; 
q = proporção desfavorável; 
e = Erro máximo provável (Erro-padrão) 
α = Limite de confiança 
65 
 
OBS: Quando não for mencionado em um exercício o valor da 
 proporção,subentendemos que elas serão iguais,isto é, 50% para 
 cada lado,logo podemos concluir que p = q, e que p e q = R,onde 
 temos: 
 2 
 n = Z2.R2 n = Z.R 
 e2 e 
 
OBS: Para aplicarmos esta fórmula,devemos seguir o nível de limite de 
 confiança para o tamanho de cada Amostra. Estes limites estão 
 expressos na tabela à seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Com as informações sobre o tipo de amostragem e o tamanho da 
 amostra,podemos fornecer informações extremamente relevantes 
 para a parte administrativa de uma empresa. 
Exemplo: 
 
01) Uma assistente social, deseja saber o tamanho da amostra necessário 
para determinar a proporção da população atendida por uma Unidade de 
Saúde,a qual pertence ao Município de São José dos Pinhais, região 
metropolitana de Curitiba - Pr. Não foi feito um levantamento prévio da 
proporção amostral e, portanto, seu valor é desconhecido. Ela quer ter 
90% de confiança e estima um o erro máximo de 5% . Quantas pessoas 
necessitam ser entrevistadas? 
 
 
Limite de 
Confiança 
Valor Z 
80% 1,28 
90% 1,65 
95% 1,96 
99% 2,58 
66 
 
SOLUÇÃO: 
 
Dados: 
e= 5% = 0,05 (Erro máximo) 
α = 90% (Limite de Confiança) 
Z = 1,65 (Nível de Confiança,verificar tabela !) 
p = q =R = 50% = 0,5 ( Proporção favorável e desfavorável) 
n = ? (Nº de Indivíduos da amostra) 
Temos: 
 2 2 
 n = Z.R n = 1,65. 0,5 (16,5)2 = 272,25 
 e 0,05 n = 272 pessoas 
 
Portanto, precisamos uma Amostra de 272 pessoas para determinar a 
proporção da população atendida na Unidade de Saúde. De São José 
dos Pinhais. 
 
OBS: Caso a população seja finita,isto é, N< 100.000 elementos, 
 devemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
 
 n = Z2.p.q.N Com N = População ! 
 (N-1).e2 + Z2.p.q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
01) Analisando as curvas abaixo marque a resposta correta. 
 
 
 
 (I) (II) (III) 
a) a curva I é simétrica - x > med > mo; 
b) a curva II é assimétrica positiva - mo > > x 2s ; 
c) a curva I é simétrica x = med = mo ; 
d) a curva III é simétrica positiva x = med = mo ; 
e) a curva II e III são aasimétricas: x = med = mo 
 
02) A vida média útil de um aquecedor elétrico é de 1,5 anos, com um desvio –
padrão de 0,3 anos. Se são vendidos 12.000 unidades por uma empresa 
fabricante ao mês, quantos aquecedores necessitarão de conserto antes 
que expire o período de um ano de garantia ? 
a) 510 aquecedores 
b) 530 aquecedores 
c) 550 aquecedores 
d) 570 aquecedores 
e) 590 aquecedores 
 
 
68 
 
03) Um processo industrial produz canos com diâmetro médio de 2 polegadas 
e com desvio-padrão de 0,01 polegada. Os canos com diâmetro de mais de 
0,03 polegadas acima da média, são considerados defeituosos. Em uma 
produção de 10.000 canos, quantos canos estariam com defeito ? 
a) 20 
b) 27 
c) 32 
d) 36 
e) 44 
 
04) Um pesquisador deseja estimar a proporção de ratos nos quais se 
desenvolve um certo tipo de tumor quando submetidos a radiação. Ele 
deseja que sua estimativa não se desvie da proporção verdadeira por mais 
de 0,02 com uma probabilidade de pelo menos 90%.Portanto,quantos 
animais ele precisa examinar para satisfazer essa exigência? 
a) 1285 
b) 1302 
c) 1447 
d) 1528 
e) 1681 
 
05) Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em 
estimar a proporção de eleitores favoráveis a seu candidato. Determine o 
tamanho de amostra necessário para que o erro cometido na estimação 
seja de, no máximo 0,01, com probabilidade de 80%. 
a) 3942 eleitores 
b) 4096 eleitores 
c) 4595 eleitores 
d) 5029 eleitores 
e) N.D.A 
 
69 
 
Gabarito: 
 
01 - C 
02 - D 
03 - B 
04 - E 
05 - B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 4 
INTERVALO DE 
CONFIANÇA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 
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INTERVALO DE CONFIANÇA (IC) 
 
Definição1: 
 É um intervalo (espaço) estimado de um parâmetro estatístico,o qual 
 possibilita o cálculo deste parâmetro estatístico desconhecido. 
 
Definição2: 
 É quando fazemos uma estimativa de um intervalo de valores 
 possíveis, no qual se admite esteja o parâmetro populacional. 
 
 Em outras palavras: 
“O intervalo de confiança é um intervalo matemático que 
mede a confiabilidade de uma amostra retirada de uma 
determinada população.” 
 Profº Alan Carter Kullack 
 Exemplo 1: 
 
 
UTILIZAÇÃO DO INTERVALO DE CONFIANÇA 
 
Utilizamos o intervalo de confiança para os seguintes parâmetros: 
Ø Média; 
Ø Diferença de Médias; 
Ø Proporção; 
Ø Diferença de Proporção; 
Ø Variância; 
Ø Tamanho de uma amostra. 
 
 
 
71 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO I.C. 
 
 O gráfico de intervalo de confiança, reproduz uma dimensão bem específica dos 
valores a serem considerados na amostra,deixando assim o grau de confiança napesquisa mais elevado,isto é, com uma probabilidade de acerto maior. 
 
Fonte:<http://pt.slideshare.net/NathliaMendona1/intervalos-de-confiana> 
 
OBS: Utilizaremos a fórmula: 
 X – Z. Sx ≤ µ ≤ X + Z. Sx 
 Portanto,temos que: e = Z. Sx 
 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA DA MÉDIA POPULACIONAL(µ) 
 
Definição: 
 São os valores retirados da média populacional, os quais podemos 
 validar para toda população a ser pesquisada, isto é, assim um 
 intervalo de confiança da própria média. 
 
72 
 
OBS: 
Para efetuar a Estimativa de Médias de uma População utiliza-se desvio 
padrão da distribuição que constitui a amostra (distribuição amostral), deve-se 
levar em consideração se o desvio padrão da população é ou não conhecido. 
 
ERRO-PADRÃO AMOSTRAL PARA A MÉDIA 
 
Ao se obter uma amostra qualquer de tamanho n, calcula-se a média 
aritmética populacional. Provavelmente, se uma nova amostra aleatória for 
realizada, a média aritmética obtida será diferente daquela da primeira 
amostra. A variabilidade das médias é estimada pelo seu erro padrão. Assim, 
o erro padrão avalia a precisão do cálculo da média populacional. 
O erro padrão é dado pela fórmula: 
 
 Sx = S 
 √ n , onde: 
 Para uma população conhecida, usaremos a seguinte fórmula: 
 
 Sx + S . N - n 
 √ n N - 1 
OBS1: Quanto melhor a precisão no cálculo da média populacional, 
 menor será o erro padrão. 
OBS2: A amostra e o erro-padrão são grandezas inversamente 
 proporcionais. 
Exemplo: 
Numa população obteve-se desvio padrão de 2,64 com uma amostra aleatória 
de 60 elementos. Qual o provável erro padrão? 
Solução: 
 
 
Sx → Erro padrão 
S → Desvio padrão 
n → Tamanho da amostra 
73 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA AMOSTRAS PEQUENAS(N<30) 
 
Em muitas situações da vida real, o desvio padrão populacional é desconhecido. 
Além disso, em função de fatores como tempo e custo, não é prático colher 
amostras de tamanho 30 ou mais. Nesse caso, devemos construir intervalos de 
confiança com uma distribuição para uma média populacional pequena,como isso 
utilizamos a distribuição t de Student. 
A DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT 
Definição: 
 Se a distribuição de uma variável aleatória x é aproximadamente 
 normal e , então a distribuição amostral de é 
 uma distribuição t de Student, onde: 
. 
Onde: 
 t = Distribuição t de student; 
X = Variável aleatória; 
µ = Média; 
S = Desvio Padrão amostral; 
n = Número da amostra 
 
Podemos representar a fórmula, da seguinte maneira: 
 
X - t. Sx ≤ µ ≤ X + t. Sx 
 
Portanto, temos: 
 
 
74 
 
 
 
Fonte: < http://slideplayer.com.br/slide/353636/> 
 
Os valores críticos de t são denotados por tc. Diversas propriedades da distribuição t 
estão relacionadas a seguir: 
· A distribuição t tem a forma de sino e é simétrica em torno da média. 
· A distribuição t é uma família de curvas, cada uma delas determinada por um 
parâmetro chamado grau de liberdade (g.l). Os graus de liberdade são os números 
de escolhas livre deixada após uma amostra estatística tal como ter sido 
calculada. Quando se usa uma distribuição t para estimar uma média populacional, o 
número de graus de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1, ou seja, g.l 
= n – 1. 
· O risco é representado por α ( 1 – nível de confiança) 
· A área total sob uma curva t é 1 ou 100%. 
· A média, a moda e a mediana da distribuição t são iguais a zero. 
· Quando o número de graus de liberdade cresce, a distribuição tende para a 
distribuição normal. Após 30 graus de liberdade a distribuição t está muito próxima 
da distribuição normal padrão z. 
 
 
 
 
75 
 
TABELA DOS VALORES DA DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT 
 
 
Fonte: < http://slideplayer.com.br/slide/360340/> 
 
 
 
 
76 
 
 
ERRO-PADRÃO AMOSTRAL PARA A PROPORÇÃO: 
 
Refere-se ao erro de estimativa de uma proporção, sendo a diferença do resultado 
amostral em relação ao populacional para mais ou para menos, o qual aceitamos 
em nossa pesquisa, em função do nível de confiança desejado e representado pelo 
escore z. 
 
 
Fórmula: 
 Sp = p.q Onde: 
 n 
 
 
 
Ex: Um instituto de pesquisa revelou,por meio de um estudo que realizou com 300 
microempresas paranaenses, que 77% delas estão satisfeitas com os serviços 
prestados por seus contadores e as demais estão insatisfeitas. Estime, com 95% de 
confiança o intervalo da proporção populacional para aquelas empresas satisfeitas 
com seus contadores. 
 
Solução: 
 
Dados: 
p = 77% 
q = 23% 
n = 300 
Sp = ? 
 
 
 
 
p = Proporção favorável; 
q = Proporção desfavorável; 
n = Amostra; 
Sp = Erro-padrão proporcional 
 
 Sp = 77.23 = Sp = 1771 
 300 300 
 
Sp = 2,43 % 
77 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL 
 
Definição: 
 Refere-se aos valores máximo e mínimo da proporção populacional. 
 
Fórmula: p – Z. Sp ≤ ¶ ≤ p + Z.Sp 
 
onde: Z = nível de confiança da tabela normal. 
 
Exemplo: 
 Numa pesquisa de mercado, 400 pessoas foram entrevistadas sobre 
sua preferência por determinado produto. Destas 400 pessoas, 240 disseram preferir 
o produto. Determinar um intervalo de confiança de 95% de probabilidade para o 
percentual de preferência dos consumidores em geral para este produto. 
 
Solução: 
 
Têm-se 1 - α = 95%, então α = 5% e α / 2 = 2,5%. O coeficiente de confiança que 
deve ser buscado na normal padrão é valor Zα/2 de Z tal que: 
 
P(Z > Zα/2) = 2,5%, ou então: (-Zα/2) = 2,5%. Este valor vale 1,96. 
 
A estimativa por ponto para a proporção populacional será: p = f/n = 240/400 = 0,60 
= 60%. 
Logo,devemos calcular o erro-padrão amostral: 
 Sp = p.q 
 n 
 
Temos,então: Sp = 60.40 = Sp = 2400 = Sp = 2,45% 
 400 400 
Então o intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional será: 
 
78 
 
p – Z. Sp ≤ ¶ ≤ p + Z.Sp 
60 – 1,96.2,45 ≤ ¶ ≤ 60 + 1,96.2,45 
0,60 - 4,8 ≤ ¶ ≤ ,60 + 4,8 = [55,20%; 64,80%]. 
 
Portanto, pode-se afirmar com uma certeza de 95% de que este intervalo conterá a 
proporção populacional, isto é, a verdadeira percentagem dos consumidores que 
preferem o produto pesquisado. 
 
 
TESTE DE HIPÓTESE 
 
Definição: 
 Os testes de hipóteses tem a função de comparar as medidas 
 obtidas de uma amostra com os dados da população. 
 
OBS: Este teste determina se o valor amostral é correto ou incorreto ! 
 
HIPOTESE ESTATÍSTICA 
 
 Definição: 
 É um processo de decisão para avaliar as hipóteses feitas a 
 respeito de uma determinada população. 
Exemplo 1: 
Suponhamos que uma indústria compre de certo fabricante parafusos cuja a carga 
média de ruptura por tração é especificada em 50 Kg, o desvio-padrão das cargas 
de ruptura é suposto ser igual a 4 Kg. O comprador deseja verificar se um grandelote de parafusos recebidos deve ser considerado satisfatório, no entanto existe 
alguma razão para se temer que a carga média de ruptura seja eventualmente 
inferior à 50 Kg. Se for superior não preocupa o comprador pois neste caso os 
parafusos seriam de melhor qualidade que a especificada. Neste exemplo, a 
hipótese do comprador é que a carga média da ruptura é inferior a 50 Kg. O 
comprador pode ter o seguinte critério para decidir se compra ou não o lote: 
79 
 
Resolve tomar uma amostra aleatória simples de 25 parafusos e submetê-los ao 
ensaio de ruptura. Se a carga média de ruptura observada nesta amostra for maior 
que 48 Kg ele comprará o lote, caso contrário se recusará a comprar. 
 
 
CÁCULO DE TESTES DE HIPÓTESE: 
 
Temos 2 hipóteses a serem testadas: 
1º) H0 (Hipótese Nula) 
2º) H1 (Hipótese Alternativa) 
 
 HIPÓTESE NULA (H0): 
 
Definição: 
 É um valor suposto para um parâmetro.Se os resultados da amostra 
 não forem muito diferente de H0,ela não poderá ser rejeita. 
 No exemplo1, temos H0: µ = 50. 
 
HIPÓTESE ALTERNATIVA (H1) : 
 
Definição: 
 É uma hipótese que contraria a hipótese nula, complementar de H0. 
 Essa hipótese somente será aceita se os resultados forem muito 
 diferentes de H0. 
 No exemplo1, temos H1: µ < 50 
 
ERROS DE DECISÃO 
A decisão sobre uma hipótese estatística é um processo de inferência, de modo que 
a possibilidade de que erros sejam cometidos é inerente ao processo. Em termos da 
decisão sobre uma hipótese H0 existem dois tipos de erro: 
80 
 
1. Erro do tipo I: rejeitar a hipótese de nulidade quando ela não deveria 
 ser rejeitada. 
 
2. Erro do tipo II: falhar na rejeição da hipótese de nulidade quando ela 
 deveria ser rejeitada. 
 
Evidentemente, decisões corretas podem ser tomadas: não rejeitar quando H0 é a 
hipótese adequada e rejeitar quando H1 é a hipótese adequada. A tabela que segue 
resume as situações. 
 DECISÃO DE TOMADA 
HIPÓTESE Não Rejeitar Rejeitar 
HO Verdadeira Correta Erro Tipo I (α) 
HO Falsa Erro Tipo II (β) Correta 
OBS: Essa situação é totalmente análoga à decisão de um juiz sobre um réu após 
um julgamento, como se pode ver na tabela abaixo. A hipótese de nulidade é o réu é 
inocente e a decisão é no sentido de condenar ou não condenar o réu. Observe-se 
que o erro do tipo I é o mais importante. 
 DECISÃO DE TOMADA 
HIPÓTESE Não Condenar Condenar 
Réu inocente Correta Erro Tipo I (Alfa) 
Réu culpado Erro Tipo II ( Beta) Correta 
É interessante notar que muitas vezes não há condenação porque as evidências 
(provas) não são suficientes para condenação, ou seja, H0 não é rejeitada, mas não 
quer dizer necessariamente que a inocência está provada. 
Conclusão: Para aplicar um teste de significância, cria-se uma hipótese que, 
geralmente, é a de igualdade (hipótese nula). O teste é feito para tentar refutar esta 
hipótese. Mas, por erros amostrais (flutuações) pode-se incorrer em erros de tomada 
de decisão. 
81 
 
OBS1: A probabilidade máxima do erro do tipo I denotada por α, é denominada 
 nível de significância, tipicamente fixada como um valor pequeno, como 
 0,1; 0,05 ou 0,01. 
OBS2: A probabilidade de se rejeitar H0 quando ela é verdadeira, corresponde 
 ao nível de significância ( alfa ). 
Reforçando a Analogia: Não rejeitar H0 não quer dizer necessariamente que ela é 
verdadeira; apenas não há evidências na amostra para a sua rejeição. 
RESUMO: 
Probabilidade do erro do tipo I (α) 
É a probabilidade de que H0 verdadeira seja rejeitada. 
 
Probabilidade do erro do tipo II. (β) 
É a probabilidade de que H0 falsa não seja rejeitada. 
Observe a figura 1: Serve para demonstrar um teste de hipótese com a média de 
uma população.
 
Fonte: <http://www.portalaction.com.br/inferencia/511-erros-cometidos-nos- 
 testes-de-hipoteses> 
 
OBS: A Região Crítica(RC), é o conjunto de valores assumidos pela variável 
 aleatória(θ) ou estatística de testes, para o qual a hipótese nula é rejeita. 
 Esta região também é conhecida como região de rejeição. 
 
82 
 
Exemplo 1: 
Suponha que equipe técnica tenha decidido adotar a seguinte regra:rejeitar Ho se X 
for maior que 62.5 kgf e ou menor que 57.5 kgf. 
Temos: 
Rc = {X > 62, 5 ou X < 57, 5 } ÞRegião de rejeição de Ho 
Rc = Ra = {57, 5 £ X £ 62,4 } ÞRegião de aceitação de Ho. 
Solução: 
Procedimento do Teste: 
 Se x Є Rc Rejeita -se Ho 
 Se x Rc Aceita-se Ho 
Considerando as hipóteses : 
H0: m = 60 contra 
H1: m ≠ 60. 
a = P[ X > 62,5 ou X < 57,5 / H0 m = 60] ; Sendo X ~ N(60,25 /16). 
a = P[ X > 62,5 / H0 m = 60] + P[X < 57,5 / H0 m = 60] 
 
P X – 60 > 62,5 - 60 + P X - 60 < 57,5 - 60 
 25/16 25/16 25/16 25/16 
P [ Z > 2 ] + P [ Z < -2 ] = 0,02275 + 0,02275 = 0,0445 Temos, então: 
 
 
 Fonte: <http://www.ime.unicamp.br/~hlachos/Inferencia_Hipo1.pdf> 
 
83 
 
 
 
 PASSOS PARA A CONSTRUÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESES 
 
Nos itens anteriores foram introduzidos os conceitos básicos e as terminologias que 
são aplicados em testes de hipóteses. Um sumário dos principais passos que podem 
ser usados sistematicamente para qualquer teste de hipóteses é apresentado aqui, 
ou seja: 
1º) Fixe a hipótese H0 a ser testada e a alternativa H1; 
 
2º) Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual 
 estatística (estimador) será usada para testar a hipótese H0, obtendo-se suas 
 propriedades (distribuição, estimativa, erro padrão); 
 
3º) Fixe a probabilidade a de cometer o erro tipo I e use este valor para construir 
 a RC (região crítica). Lembre-se que a RC é construída para a estatística 
 definida no 1º passo , usando os valores hipotetizados por H0; 
 
4º) Use as informações da amostra para calcular o valor da estatística do teste; 
 
5º) Se o valor da estatística calculado com os dados da amostra não pertencer à 
 RC, não rejeite H0; caso contrário, rejeite H0. 
 
TIPOS DE TESTES DE HIPÓTESES 
Estudaremos testes de hipóteses com uma hipótese nula (Ho) e uma hipótese 
alternativa (H1). A partir da formulação de Ho e H1, podemos definir o tipo do teste a 
ser utilizado. Consideremos m o parâmetro estudado e mo ,o valor Inicialmente 
suposto para m. Se nas hipótese formuladas forem do tipo: 
Ø TESTE BILATERAL: 
Ø TESTE UNILATERAL À DIREITA 
Ø TESTE UNILATERAL À ESQUERDA 
 
84 
 
TESTE BILATERAL 
 H0 : m = m0 
 H1 : m = m1 
 
RC = {Z ³ zc £ ou Z £ - zc} 
 
 
 
 
TESTE UNILATERAL À DIREITA TESTE UNILATERAL À ESQUERDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RC = {Z £ - zc } 
 
 
a 
m x
x
x
x 
m0 x c 
a 
a/2 
a/2 1 - a 
-zc zc Z 
H0 : m = m0 
H1 : m ≠ m1 (m1 > m0) 
 
H0 : m = m 
 H1 : m = m1 (m1 < m0) 
 
 
 
a 
-ZC z 
85 
 
 
TESTE DE HIPOTESE PARA A MÉDIA POPULACIONAL 
 
Neste caso há interesse em testar a hipótese de que o parâmetromédia 
populacional (m) de uma certa variável Quantitativa seja maior, menor ou diferente 
de um certo valor. Para a realização deste teste é necessário que uma das duas 
condições seja satisfeita: 
 
 1º) Supor que a variável de interesse segue uma distribuição normal na população, 
isso significa que a distribuição amostral da média também será normal, permitindo 
realizar a inferência estatística paramétrica. 
 
 2º) A distribuição da variável na população é desconhecida, mas a amostra retirada 
desta população é considerada “suficientemente grande” o que, de acordo com o 
Teorema Central do Limite, permite concluir que a distribuição amostral da média é 
normal. Supõe-se também que a amostra é representativa da população e foi 
retirada de forma aleatória. 
 
Tal como na Estimação de Parâmetros por Intervalo existirão diferenças nos testes 
dependendo do conhecimento ou não da variância populacional da variável. 
A) Se a variância populacional (s2) da variável (cuja média populacional queremos 
testar) for conhecida. Neste caso a variância amostral da média poderá ser 
calculada através da expressão: 
 
 V( x) = s2 e, por conseguinte, o “desvio padrão” será S = s 
 N n 
A variável de teste será a variável Z da distribuição normal padrão, lembrando 
que: 
 Z = Valor – Média 
 Desvio - padrão 
 
86 
Podemos representar, esta Fórmula da seguinte maneira: 
 Z = X - m0 
 S 
 n 
 
 
 
 
Compara-se o valor da variável de teste com o valor crítico (Zcrítico que depende do 
Nível de Significância adotado) de acordo com o tipo de teste: 
 
Se H1: m > m0 Rejeitar H0 se Z > Zcrítico ( x > x crítico) 
Se H1: m < m0 Rejeitar H0 se Z < Zcrítico( x < x crítico) 
Se H1: m ¹ m0 Rejeitar H0 se |Z|¹ |Zcrítico| 
 
B) Se a variância populacional (s2) da variável for desconhecida. Naturalmente 
este é o caso mais encontrado na prática. Como se deve proceder? Dependerá 
do tamanho da amostra. 
 
B1) Grandes amostras (mais de 30 elementos) Nestes casos procede-se como no 
 item anterior, apenas fazendo com que s = s, ou seja, considerando que o 
 desvio padrão da variável na população é igual ao desvio padrão da variável 
 na amostra (suposição razoável para grandes amostras). 
 
B2) Pequenas amostras (até 30 elementos) Nestes casos a aproximação do item 
 B1 não será viável. Terá que ser feita uma correção na distribuição normal 
 padrão (Z) através da distribuição t de Student. Trata-se de uma distribuição 
 de probabilidades que possui média zero (como a distribuição normal padrão, 
 variável Z), mas sua variância é igual a n/(n-2), ou seja, a variância depende 
 
 
Onde: 
X = Média Amostral; 
 m0 = Média Populacional; 
S = Desvio Padrão; 
n = Amostra 
87 
 
do tamanho da amostra. Quanto maior for o tamanho da amostra mais o quociente 
acima se aproxima de 1 (a variância da distribuição normal padrão), e mais a 
distribuição t de Student aproxima-se da distribuição normal padrão. A partir de 
n=30, já é possível considerar a variância da distribuição t de Student 
aproximadamente igual a 1. A variável de teste será então t n-1 (t com n - 1 graus de 
liberdade). 
Portanto,temos a seguinte Fórmula para representar tal situação: 
 
 tcal = X - m0 
 S 
 n 
 
Compara-se o valor da variável de teste com o valor crítico (tn-1,crítico que depende 
do Nível de Significância adotado) de acordo com o tipo de teste. 
 
Se H1: m > m0 Rejeitar H0 se tn-1 > tn-1,crítico ( x > x crítico) 
Se H1: m < m0 Rejeitar H0 se tn-1 < tn-1,crítico ( x < x crítico) 
Se H1: m ¹ m0 Rejeitar H0 se |tn-1|¹ |tn-1,crítico| 
 
OBS: O Zcal ou tcal, deverá estar na área de aceitação,caso contrário, a hipótese é 
 rejeitada e assim, aceita-se H1. 
 
 
TESTE DE HIPOTESE PARA A IGUALDADE ENTRE DUAS 
MÉDIAS POPULACIONAIS 
 
Há situações em que é necessário verificar a hipótese de existência,com duas 
médias obtidas de populações diferentes. 
 
 
 
88 
 
As hipóteses são: 
H0: µX1 - µX2 = d contra 
H1: µX1 - µX2 ≠ d ou µX1 - µX2 > d 
 
ou ainda 
 
 µX1 - µX2 < d 
Se d = 0, então µX1 - µX2 = 0, isto é, µX1 = µX2. 
 
Como as variâncias são conhecidas, tem-se então que, para n1 e n2 ≥ 30 ou para 
amostras extraídas de populações normais, que a variável D = X1 – X2 ,terá uma 
distribuição aproximadamente normal com média E(D) = µX1 - µX2 e variância V(D) = 
S12 + S22 . A variável teste será, então: 
 n1 n2 
 
Z cal = (X1 – X2) – d e sendo: gl = n1 + n2 - 2 
 S12 + S22 
 n1 n2 
 
 Portanto,temos graficamente o teste de hipótese para duas médias: 
 
 
 
 
 
Assim fixando o nível de significância “α“, a hipótese nula será rejeitada se: 
 |z| > zα/2 no teste bilateral; 
 z > zα, no teste unilateral à direita; 
 z < zα no teste unilateral à esquerda. 
 
a/2 
a/2 1 - a 
 
Área de rejeição da 
hipótese Ho. 
Área de aceitação da 
hipótese Ho. 
Área de rejeição da 
hipótese Ho. 
 
 tcal = X1 – X2 - d 
 S12 + S22 
 n1 n2 
89 
 
Exemplo: 
Um fabricante produz dois tipos de pneus. Para o pneu do tipo A o desvio padrão é 
de 2500 km e para o pneu do tipo B é de 3.000 km. Uma companhia de táxis testou 
50 pneus do tipo A e 40 do tipo B, obtendo 24.000 km de média para o “A” e 26.000 
para o tipo “B”. Adotando α = 4% testar a hipótese de que a duração média dos dois 
tipos é a mesma. 
 
Solução: 
 
As hipóteses são: 
H0: µA - µB = 0 ( µA = µB ) contra 
H1: µA - µB ≠ 0 ( µA ≠ µB ) 
 Como α = 4%, então zα/2 = -2,05. 
 
O valor da variável teste será: 
 
z = 24.000 – 26.000 - 0 
 2.5002 + 3.0002 
 50 40 
 
Portanto, rejeita-se a hipótese de igualdade entre as durações médias dos dois tipos 
de pneus. Com base nestas amostras, pode-se afirmar, ao nível de 4% de 
significância, que os dois tipos de pneus diferem quanto a durabilidade média. 
 
 
TESTE DE HIPÓTESE PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL 
 
Considere uma população e uma hipótese sobre uma proporção p dessa população: 
 
H0 : p = p0 
 
 
= - 3,38 
 
90 
 
O problema fornece informações sobre H1, que pode ser: 
a) H1 : p = p1 p1 > p0 (teste unilateral à direita) 
b) H1 : p = p1 p1 < p0 (teste unilateral à esquerda) 
c) H1 : p > p0 (teste unilateral à direita) 
d) H1 : p < p0 (teste unilateral à esquerda) 
e) H1 : p ¹ p0 (teste bilateral) 
Quando n (tamanho da amostra) é grande; 
Potanto, temos: 
 
Fórmula: 
n/)p1(p
ppˆ
Z
-
-
= ; sendo pˆ é a proporção da Amostra 
Onde: 
pˆ = Proporção Amostral; 
 po = Proporcional Populacional; 
 n = Amostra 
Exemplo: 
 Um laboratório de vacinas contra febre aftosa reivindicou que ela imuniza 90% dos 
animais. Em uma amostra de 200 animais, nos quais foram aplicados a vacina, 160 
foram imunizados. Verificar se a declaração dofabricante é verdadeira ao nível de 
5%. 
Solução: 
H0 : p = 0,90 (p0) 
H1 : p < 0,90 
n = 200 
200
160
pˆ = = 0,80 a = 0,05 
n/)p1(p
ppˆ
z
00
0
obs
-
-
= = 
200/)10,0.90,0(
90,080,0 -
 = - 4,72 
RC = {Z £ -1,65} 
 
0 
91 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01) Fazendo o teste H0: µ = 1150 (σ = 150) contra H1: µ = 1200 (σ = 200) e com n 
= 100, estabeleceu-se a seguinte região crítica: RC = [1170, +∞). Determine: 
a) Qual a probabilidade α de rejeitar H0 quando verdadeira? 
b) Qual a probabilidade β de Aceitar H0 quando H1 é verdadeira? 
 
02) Dados os valores: 4, 6, 3, 6 e 6, de uma amostra aleatória de 5 (cinco) 
observações de uma variável X, estime a média e a variância de X e admitindo 
que X tenha uma distribuição normal, teste, a 5%, a hipótese de que a média da 
população é 1 (um), contra a hipótese alternativa de que é maior do que 1 (um). 
 
03) A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está preocupada 
com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos 
tempos, tem sido da ordem de 60 homens/hora por ano, com desvio padrão de 
20 homens/hora. Tentou-se um programa de prevenção de acidentes e, após o 
mesmo, tomou-se uma amostra aleatória de 16 indústrias e verificou-se que o 
tempo perdido baixou para 50 homens /hora ano. Você diria que, ao nível de 
5% de significância, o programa surtiu efeito? 
 
04) Está-se desconfiado de que a média das receitas municipais, per capita, das 
cidades pequenas (menos de 20 mil habitantes) é maior do que a média da 
receita estadual que é de 1229 unidades monetárias. Para testar a hipótese é 
realizada uma amostragem com 10 pequenas cidades que forneceram os 
seguintes resultados (em termos de receitas médias): 
1230, 582, 576, 2093, 2621, 1045, 1439, 717, 1838, 1359 
 Verifique que não é possível rejeitar a hipótese de que as receitas municipais 
são iguais as do estado, aos níveis usuais de significância. Como isto se 
justifica, já que a média da amostra obtida é bem maior do que a média do 
estado! 
 
 
92 
 
05) Um fabricante garante que 90% das peças que fornece a um cliente estão de 
acordo com as especificações exigidas. O exame de uma amostra aleatória de 
200 destas peças revelou 25 fora das especificações. Verifique se as níveis de 
5% e 1% de significância há exagero na afirmativa do fabricante. 
 
06) Suponha que a experiência tenha mostrado que dos alunos submetidos a 
determinado tipo de prova, 20% são reprovados. Se de uma determinada turma 
de 100 alunos, são reprovados apenas 13, pode-se concluir, ao nível de 
significância de 5%, que estes alunos, são melhores? 
 
07) O rótulo de uma caixa de sementes informa que a taxa de germinação é de 
90%. Entretanto, como a data de validade está vencida, acredita-se que a taxa 
de germinação seja inferior a este número. Faz-se um experimento e de 400 
sementes, tomadas ao acaso, 350 germinam. Qual a conclusão ao nível de 5% 
de significância? 
 
08) Diversas políticas, em relação às filiais de uma rede de supermercados, estão 
associadas ao gasto médio dos clientes em cada compra. Deseja-se comparar 
estes parâmetros de duas novas filiais, através de duas amostras de 50 
clientes, selecionados ao acaso, de cada uma das novas filiais. As médias 
obtidas foram 62 e 71 unidades monetárias. Supondo que os desvios padrões 
sejam idênticos e iguais a 20 um, teste a hipótese de que o gasto médio dos 
clientes não é o mesmo nas duas filiais. Utilize uma significância de 2,5%? 
 
09) Num ensaio para testar a proteção de dois tipos de tinta em superfícies 
metálicas, 55 painéis foram pintados com a tinta do tipo A e 75 com a tinta do 
tipo. Decorridos dois anos de exposição dos painéis ao ar livre, verificou-se que, 
dos painéis pintados com tinta A, 6 apresentaram problemas enquanto que dos 
75 painéis pintados com tinta B, 19 apresentaram problemas. Pode-se concluir, 
destes valores, com 5% de significância, que as duas marcas de tintas diferem 
quanto a capacidade de proteção? 
 
93 
 
10) Os salários dos funcionários de uma fábrica de tecidos têm uma distribuição 
aproximadamente normal. Para estimar o salário médio desta população, foram 
observados os salários de 20 funcionários, obtendo-se x = 850 reais e s = 120 
reais. Determine: 
a) Um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. 
b) Um intervalo de confiança de 95% para a variância. 
c) Um intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional. 
 
11) Considerando que uma amostra de cem elementos extraída de uma população 
aproximadamente normal, cujo desvio padrão é igual a 2, forneceu média de 
35,6, construir intervalos de confiança de 90%, 95% e 99% para a média dessa 
população. 
 
12) O valor de face dos títulos depositados em um banco para cobrança simples 
tem distribuição normal com variância 400 (u.m.)2. Uma amostra de 10 títulos 
escolhidos ao acaso forneceu os seguintes valores : 80, 120, 71, 120, 140, 200, 
180, 70, 45, 87. 
 
a) Qual é o intervalo de confiança de 90% para o valor médio dos títulos da 
carteira? 
 
b) O responsável pela carteira afirma, com 80% de confiança, que o valor médio 
dos títulos é de 125. Ele pode estar correto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
94 
 
GABARITO: 
 
01- a) α = P(Rej. H0 / H0 é V) = P( X >1170 /µ = 1150) = P[Z >(1170 - 150)/ 15)] 
 = P(Z > 1,33) = 9,18% 
 b) β = P(Ac H0 / H1 é V) = P( X< 1170 / µ = 1200) =P[Z < (1170 - 1200) /20)]= 
 P(Z < -1,50) = 6,68% 
 
 02- x = 5; S2 = 2 ; t = 6,32 > t 5% = 2,132; Portanto rejeita H0 
 
03- Como α = 5%, zα = -1,645 e zc = -2. Rejeita-se H0, isto é, pode-se dizer que 
o programa surtiu efeito. 
 
04- Como tc = -0,566, não é possível rejeitar a hipótese aos níveis de 1%, 5% e 
mesmo 10%. Isto se justifica devido a grande variabilidade da amostra que 
apresenta um desvio padrão igual a 675,82. 
 
05- H0: π = 10% contra H1: π > 10%. Como zc = 1,18. 
 Logo não se pode rejeitar H0. 
 
06- H0: π = 20% contra H1: π < 20%. Como zc = -1,75 e z5% = -1,645 . Logo 
 pode-se rejeitar H0. 
 
07- H0: π = 90% contra H1: π < 90%. Como zc = -1,667 e z5% = -1,645 . Logo 
pode-se rejeitar H0. 
 
08- H0: 1 µ = 2 µ contra H1: 1 µ ≠ 2 µ . Como α = 2,5%, tα = -2,24 e tc = -2,25. 
Rejeitar H0. 
 
09- H0 :π1 = π2 contra H1: :π1 ≠ π2 . Como Zc = 2,20 e z5% = 1,96. Pode-se 
afirmar que as duas tintas diferem. 
 
 
95 
 
 
10- a) A média populacional dos salários está entre R$ 793,84 e 
 R$ 906,16 reais. 
 b) A variância populacional está entre R$ 8.328,26 e R$ 30.717,41 reais. 
 c) O desvio-padrão populacional está entre R$ 91,26 e R$ 175,26 reais. 
 
11- 
99,0)116,35084,35(
95,0)992,35208,35(
90,0)928,35272,35(
=<<
=<<
=<<
XP
XP
XP
 
 
12- a) 90,0)67,12193,100( =<< XP 
b) Não. O valor máximo a esse nível de confiança é de 119,40. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 5 
CORRELAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 
96 
 
CORRELAÇÃO 
 
 Definição: 
 O termo correlação significa relação em dois sentidos (co + 
 relação), e é usado em estatística para designar a força que 
 mantém unidos dois conjuntos de valores. 
Exemplos: 
 Peso xIdade, 
 Consumo x Renda, 
 Altura x Peso de um indivíduo. 
 
OBS1: A verificação da existência e do grau de relação entre as variáveis é o 
 objeto de estudo da correlação. 
 
OBS2: Uma vez caracterizada esta relação, procura-se descrevê-la sob forma 
 matemática, através de uma função. A estimação dos parâmetros 
 dessa função matemática é o objeto da regressão. 
 
Os pares de valores das duas variáveis poderão ser colocados num diagrama 
cartesiano chamado “diagrama de dispersão”. A vantagem de construir um 
diagrama de dispersão está em que, muitas vezes sua simples observação já 
nos dá uma ideia bastante boa de como as duas variáveis se relacionam. Uma 
medida do grau e do sinal da correlação é dada pela covariância entre as duas 
variáveis aleatórias X e Y que é uma medida numérica de associação linear 
existente entre elas, e definida por: 
 Cov(X, Y) = 1 . ∑x.y - ∑x.∑y 
 n n 
É mais conveniente usar para medida de correlação, o coeficiente de 
correlação linear de Pearson, como estimador de rxy, definido por: 
 
97 
 
 
rxy = Cov (x,y) = Sxy 
 σx . σy Sxx . Syy e 
 
Sxx = ∑x2 - (∑x)2 ; Syy = ∑y2 – (∑y)2 
 n n 
 
sendo: 
n = número de pares das observações. 
 
 
CORRELAÇÃO LINEAR 
 
 Definição: 
 É toda análise de correlação (ρ), a qual utilizamos duas 
variáveis quantitativas da amostra, para verificarmos se existe correlação entre 
elas. O grau de correlação é sintetizado e conhecido pelo coeficiente de 
correlação de Pearson(r). 
 
FÓRMULA: 
 
r = n.∑Xi.Yi – (∑Xi).(∑Yi) 
 [ n.∑Xi2 – (Xi)2] . [ n.∑Yi2 – (∑Yi)2 ] 
Onde: 
 X = Variável independente; 
 Y = Variável dependente; 
 n = Número de elementos observados. 
98 
 
OBS: Uma população que tenha duas variáveis não correlacionadas 
 linearmente pode produzir uma amostra com coeficiente de correlação 
 diferente de zero. Para testar se a amostra foi ou não retirada de uma 
 população de coeficiente de correlação não nulo entre duas variáveis, 
 precisamos saber qual é a distribuição amostral da estatística r. 
 
COEFICIENTE DE RELAÇÃO LINEAR 
 
 Definição: 
 O coeficiente de correlação rxy linear é um número puro que 
 varia de –1 a +1 e sua interpretação dependerá do valor 
 numérico e do sinal, como segue: 
 rxy = -1 Correlação perfeita negativa; 
-1 < rxy < 0 Correlação negativa; 
 rxy = 0 Correlação nula; 
0 < rxy < 1 Correlação positiva; 
rxy = 1 Correlação perfeita positiva; 
 0,2 < rxy < 0,4 Correlação fraca; 
 0,4 < rxy < 0,7 Correlação moderada; 
 0,7 < rxy < 0,9 Correlação forte; 
 
Resumidamente, temos: 
1º) r ≥ 0,5 (forte correlação positiva); 
2º) r < 0,5 (fraca correlação positiva); 
3º) r ≥ - 0,5 (forte correlação negativa); 
4º) r < - 0,5 (fraca correlação negativa). 
99 
ANÁLISE DO DIAGRAMA DE DISPERSÃO 
O diagrama de dispersão mostrará que a correlação será tanto mais forte 
quanto mais próximo estiver o coeficiente de –1 ou +1, e será tanto mais fraca 
quanto mais próximo o coeficiente estiver de zero. 
a) CORRELAÇÃO PERFEITA NEGATIVA (RXY = -1): 
Quando os pontos estiverem perfeitamente alinhados, mas em sentido 
contrário, a correlação é denominada perfeita negativa. 
 
b) CORRELAÇÃO NEGATIVA (-1 < RXY < 0): 
A correlação é considerada negativa quando valores crescentes da variável 
X estiverem associados a valores decrescentes da variável Y, ou valores 
decrescentes de X associados a valores crescentes de Y. 
 
c) CORRELAÇÃO NULA (RXY = 0): 
Quando não houver relação entre as variáveis X e Y, ou seja, quando os 
valores de X e Y ocorrerem independentemente, não existe correlação 
entre elas. 
 
d) CORRELAÇÃO POSITIVA (0 < RXY < 1): 
 Será considerada positiva se os valores crescentes de X estiverem 
associados a valores crescentes de Y. 
 
e) CORRELAÇÃO PERFEITA POSITIVA (RXY = 1): 
A correlação linear perfeita positiva corresponde ao caso anterior, só que 
os pontos (X, Y) estão perfeitamente alinhados. 
 
f) CORRELAÇÃO ESPÚRIA: 
Quando duas variáveis X e Y forem independentes, o coeficiente de 
correlação será nulo. Entretanto, algumas vezes, isto não ocorre, podendo, 
assim mesmo, o coeficiente apresentar um valor próximo de –1 ou +1. 
Neste caso a correlação é espúria. Algumas situações que podem se 
apresentar os diagramas de dispersão. 
 100 
 
 
 
DIAGRAMAS DE DISPERSÃO LINEAR 
 
 
 Fonte: http://www.lugli.com.br/2008/02/diagrama-de-dispersao/ 
 
 
OBS: Se x e y variam em sentidos contrários,existe correlação negativa entre 
 as variáveis. Essa correlação é tanto maior quanto menor é a dispersão 
 dos pontos. 
 
 
 
 
 Fonte: http://www.lugli.com.br/2008/02/diagrama-de-dispersao/ 
 
 
OBS: Se x cresce e y varia ao acaso,não existe correlação entre as variáveis 
 ou o que é o mesmo entre elas pé nula. 
 
 
 
 
101 
 
 
 
 
 
Fonte: http://www.lugli.com.br/2008/02/diagrama-de-dispersao/ 
 
 
 
r SQUARE 
 
 Definição: 
 Determina o impacto da variável independente do X no 
 comportamento da variável dependente Y. 
 
OBS: A análise r Square é o resultado do coeficiente de correlação de Pearson 
 ao quadrado(r2) 
 
 
Exemplo: 
 Seja r = 0,92; onde X é o produto derivado do petróleo e Y é o 
 resíduo deste material,logo podemos deduzir que existe uma forte 
 correlação positiva entre as duas variáveis(X e Y),pois: 
 
 
 r Square = r2 r Square = (0,92)2 rSquare = 0,8464 
 
Logo podemos deduzir que: 
 
 0,8464 x 100% = 84,64 % é referente ao impacto da produção de resíduos, 
sendo que o restante (15,36%) retrata outras variáveis que também 
determinam esse impacto. 
 
102 
 
 
 
CONCLUSÕES FINAIS: 
 
 
Ø Correlação não é o mesmo que causa e efeito. Duas variáveis podem 
estar altamente correlacionadas e, no entanto, não haver relação de 
causa e efeito entre elas. 
 
Ø Se duas variáveis estiverem amarradas por uma relação de causa e 
efeito elas estarão, obrigatoriamente, correlacionadas. 
 
Ø O estudo de correlação pressupõe que as variáveis X e Y tenham uma 
 distribuição normal. 
 
Ø A palavra simples que compõe o nome correlação linear simples, indica 
que estão envolvidas no cálculo somente duas variáveis. 
 
Ø O coeficiente de correlação linear de Pearson mede a correlação em 
 estatística paramétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
103 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01) Para estudar a poluição de um rio, um cientista mediua concentração de um 
determinado composto orgânico (Y) e a precipitação pluviométrica na semana 
anterior (X): 
 
 
 
 
 
a) Existe alguma relação entre o nível de poluição e a precipitação 
pluviométrica? Informa-se que r= 0,89. Teste sua significância, ao nível de 
5%. , 
02) Um pesquisador deseja verificar se um instrumento para medir a concentração 
de determinada substância no sangue está bem calibrado. Para isto, ele tomou 
15 amostras de concentrações conhecidas (X) e determinou a respectiva 
concentração através do instrumento (Y), obtendo: 
 
X 2,0 2,0 2,0 4,0 4,0 4,0 6,0 6,0 6,0 8,0 8,0 8,0 10,0 10,0 10,0 
Y 2,1 1,8 1,9 4,5 4,2 4,0 6,2 6,0 6,5 8,2 7,8 7,7 9,6 10,0 10,1 
Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y. 
 
03) (AFTN-96) Considere a seguinte tabela, que apresenta valores referentes às 
variáveis x e y, porventura relacionadas: 
Valores das variáveis x e y relacionadas 
X y x2 y2 xy 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
5 
7 
12 
13 
18 
20 
1 
4 
9 
16 
25 
36 
25 
49 
144 
169 
324 
400 
5 
14 
36 
52 
90 
120 
21 75 91 1.111 317 
Marque a opção que representa o coeficiente de correlação linear entre as 
variáveis x e y. 
a) 0,903 b) 0,926 c) 0,947 d) 0,962 e)0,989 
 
X Y 
0,91 0,10 
1,33 1,10 
4,19 3,40 
2,68 2,10 
1,86 2,60 
1,17 1,00 
104 
 
GABARITO: 
01 – Temos que verificar a significância do coeficiente através da fórmula: 
 tc = r. n - 2 
 1 – r2 
 Fazendo: 
 
 tc = 0,89 . 6 – 2 = 3,86 
 1 – (0,89)2 
 
 Portanto: tc = 3,86. O valor crítico de t para n-2 = 4 graus de liberdade, e 5% de 
nível de confiança é 2,78. Como o valor de t é superior ao valor crítico,concluí mos 
que X e Y se correlacionam-se. 
 
02- X = 6 e Y = 6,040 e r = 0,996 
 
03- Devemos utilizar a fórmula: 
YX
YX
SS
YXCov
r
.
),(
, = 
 Calculando a Covariância: YXYXyxCov ..),( -= . 
 83,52
6
317.
. ===å
n
YiXi
YX ; 5,3
6
21
===å
n
Xi
X ; e 5,12
6
75
===å
n
Yi
Y 
 Logo: Cov(x,y)=52,83-(3,5).(12,5) à Cov(x,y)=9,08 
 
Calculando as Variâncias de X e de Y: 
 ( )222 XXS X -= à ( ) 91,225,1216,155,3
6
91 22 =-=-÷
ø
ö
ç
è
æ=XS e 
 ( )222 YYS Y -= à ( ) 91,2825,15616,1855,12
6
1111 22 =-=-÷
ø
ö
ç
è
æ=YS 
 Calculando os Desvios Padrões de X e de Y: 
 XX SS
2= Þ SX= 91,2 e 
 YY SS
2= Þ Sy= 91,28 
 
Calculando a Correlação: 
YX
YX
SS
YXCov
r
.
),(
, = Þ 989,0
172,9
08,9
128,84
08,9
91,28.91,2
08,9
, ====YXr 
 
 Resposta: 0.989 (letra E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 5 (PARTE 03) 
SÉRIES TEMPORAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 
120 
 
 
SÉRIES TEMPORAIS 
 
 Definição: 
 Uma série temporal é uma sequência de observações sobre 
 uma variável de interesse. A variável é observada em pontos 
 temporais discretos, usualmente equidistantes, e a análise 
 de tal comportamento temporal envolve a descrição do 
 processo ou fenômeno que gera a sequência. 
 
Em outras palavras, podemos afirmar que: 
 
“Série temporal é o conjunto de observações {Y (t), t א T}, Y : variável de interesse, 
T: conjunto de índices” 
 
 
Exemplos de Aplicabilidade de Séries Temporais: 
 
ECONOMIA: Preços diários de ações; taxa de desemprego. 
MEDICINA: Níveis de eletrocardiograma ou eletroencefalograma. 
EPIDEMIOLOGIA: Casos semanais de sarampo; casos mensais de AIDS. 
METEROLOGIA: Temperatura diária; registro de marés,etc. 
 
 
OBS: A hipótese que fundamenta a análise de séries temporais é que há 
 um sistema causal mais ou menos constante, relacionado com o tempo, 
 que exerceu influência sobre os dados no passado e pode continuar a 
 fazê-lo no futuro. 
 
 
 
 
121 
 
 
MODELO CLÁSSICO DAS SÉRIES TEMPORAIS 
Segundo o modelo clássico todas as séries temporais são compostas de quatro 
padrões: 
Ø Tendência 
Ø Cíclicas ou períodos ciclos 
Ø Sazonais ou Sazonalidade 
Ø Estacionalidade 
 
 TENDÊNCIA (T) 
 Definição: 
 É o comportamento de longo prazo da série, que pode ser causada 
 pelo crescimento demográfico ou mudança gradual de hábitos de 
 consumo ou qualquer outro aspecto que afete a variável de 
 interesse no longo prazo. 
 
Ø Em outras palavras, podemos afirmar que é o crescimento ou queda de uma 
determinada variável observada a um longo prazo. 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE TENDÊNCIA. 
 
Fonte: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-71402006000200003> 
122 
 
 CÍCLICAS OU PERÍODOS CICLOS (C) 
Definição: 
 São oscilações nos valores de uma variável com duração superior a 
 um ano, e que se repetem com certa periodicidade, que podem ser 
 resultado de variações da economia como períodos de crescimento 
 ou recessão. 
 
Ø Em outras palavras, podemos afirmar que são variações de crescimento ou 
queda de uma determinada variável observada,com duração superior a um 
ano. 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE PERÍODOS CICLOS 
 
Fonte: <http://g1.globo.com/economia/noticia/2013/04/inflacao-faz-copom-elevar-selic-75 
 -primeira-alta-desde-2011.html> 
 
 
 
123 
 
 SAZONAIS OU SAZONALIDADE (S) 
 
Definição: 
 São variações nos valores de uma variável com elevação ou queda 
 da mesma, com duração inferior ou igual a um ano ,as quais se 
 repetem todos os anos. 
 
Exemplo: Consumo de energia elétrica de uma residência durante um ano. 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SAZONALIDADE 
 
Fonte: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0101-74382002000300004> 
 
 
ESTACIONALIDADE 
 
Definição: 
 É quando não ocorre nenhuma oscilação na variável estudada, isto 
 é, a variável não sofre nenhuma mudança no seu comportamento, 
 ficando estável,ou melhor dizendo, sem elevação ou queda em 
 seu valor. 
 
 
124 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE ESTACIONALIDADE 
 
 Fonte: autor 
 
Podemos representar a estacionalidade com uma pequena variação através de um 
eixo central. 
Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fonte:<file:///C:/Users/seven/Downloads/599-1270-1-SM%20(1).pdf> 
 
 
 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Contas a receber
Contas a pagar
Despesas
Empresa Fictícia:
ARCOM S.A.
Valores 
estipulados em 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
125 
 
 
CLASIFICAÇÃO DAS SÉRIES TEMPORAIS 
 
1. DISCRETA: 
T = {t1, t2, . . . , tn} 
Ex: Exportações mensais de 2013 a 2014: {01/13, 02/13, .., 11/14, 12/14} . 
 Notação: Yt 
 
2. CONTÍNUA: 
T= {t: t1< t< t2} Ex: Registro do gasto de combustível de um carro durante 1ano. T = [0, 24] se unidade de tempo é a hora. Notação: Y (t) 
 
3. MULTIVARIADA: 
São as observações que podem ser representadas por uma sequência de 
valores que possuem duas ou mais funções agregadas. 
Notação: Y1(t), . . . , Yk(t), sendo t א T . 
Ex: Vendas semanais Y1(t) e gastos com propaganda Y2(t). 
Podemos identificar T = {1, 2, . . . , n} 
 
COMPONENTES DAS SÉRIES TEMPORAIS 
 
Definição: 
 São fatores estatísticos que auxiliam na previsão do comportamento das 
 variáveis quantitativas. Esta avaliação da variável esta submetida com 
 os valores assumidos pela mesma durante um determinado período de 
 tempo, podendo assim analisar e sinalizar um resultado futuro. 
 
Os componentes das séries temporais a serem estudados para possibilitar 
previsões de analises de uma variável são: 
 
Ø Oscilações Sazonal; 
Ø Oscilações de Tendência; 
Ø Oscilações Cíclica; 
Ø Oscilações Aleatória. 
Ø 
126 
 
 
OSCILAÇÕES SAZONAL 
 
v Representa o movimento de oscilações de curta duração(um ano ou menos) 
sobre uma determinada variável em estudo. Esta pequena duração de 
tempo, é ocasionado por diversos fatores que influenciam na variação de 
sua elevação ou regressão de seu comportamento durante esse período. 
 
Exemplo: 
 Existem padrões nas vendas de: 
 
· Sorvetes( alta no período do verão e baixa no período do inverno) 
 
· Camiseta Regata (alta no período do verão e baixa no período do inverno) 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE OSCILAÇÕES SAZONAL 
 
 
 Fonte:<http://rotadosconcursos.com.br/questoes-de-concursos/estatistica-grafico-de- 
 linhas/132416> 
 
 
 
 
 
 
 
 
127 
 
 
OSCILAÇÕES DE TENDÊNCIA 
 
v Representa um movimento evolutivo, aumentando ou diminuindo a 
quantidade de determinada variável,podendo ser ascendente ou descente 
ao passar do tempo. 
 
· Em outras palavras, podemos afirmar que as oscilações de tendência são as 
mudanças que ocorrem a longo prazo no nível médio da série. 
 
OBJETIVOS: 
 
a) Remover a tendência de modo a permitir a análise de outras componentes. 
b) Identificar a tendência de modo a utilizá-la como suporte em planejamentos e 
decisões. 
 
 
PRINCIPAIS TIPOS DE TENDÊNCIAS 
 
 A forma mais simples de tendência é: 
 Yt = α + βt + ε 
 Outras formas de tendências: 
 
 Função polinomial: Y = α + β t + β t2 +... β tk + εt 
 
Exemplo: 
 Vamos supor que os dados a seguir representem a demanda por um 
 determinado produto nos últimos 20 anos. Analisar a série quanto à 
 tendência 
 
ANO(X) DEMANDA(Y) ANO(X) DEMANDA(Y) 
1º 10 11º 15 
2º 12 12º 18 
3º 7 13º 20 
4º 11 14º 23 
5º 11 15º 24 
6º 15 16º 21 
7º 16 17º 26 
8º 12 18º 25 
9º 18 19º 28 
10° 17 20º 30 
 
128 
 
 
Adotando o modelo Y = a +bt, e aplicando o método dos mínimos quadrados para 
determinar os valores de a (coeficiente linear) e b (coeficiente angular) temos: 
 
Y = 6,9368 + 1,0489 t 
 
 
GRÁFICO DA OSCILAÇÃO DE TENDÊNCIA 
 
 
 Fonte: autor 
 
Se desejarmos fazer uma previsão da demanda para o 21º o ano, podemos usar a 
linha de tendência (equação de regressão) para fazer essa previsão: 
 
 
Y = 6,9368+1,0489. (21) = 28,96 
 
 OBS: As extrapolações usando modelos de regressão devem ser feitas com 
 restrições apenas para períodos curtos. 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15 20 25
DEMANDA (Y)
DEMANDA (Y)
 y = 1.0489x + 6.9368 
R2 = 0.9044 
 
ANO(X) 
129 
 
 
OSCILAÇÕES CÍCLICA 
 
v Variações cíclicas são variações periódicas de amplitude superior a um ano. 
 
OBS: As variações da variável ficam intercaladas entre fases de elevação ou 
 declínio da mesma dentro do período analisado. 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE OSCILAÇÕES CÍCLICAS 
 
 
 Fonte:<http://pt-br.aia1317.wikia.com/wiki/An%C3%A1lise_Gr%C3%A1fica_- 
 _Normas_e_Interpreta%C3%A7%C3%A3o> 
 
 
OSCILAÇÕES ALEATÓRIA 
 
v Representa um movimento aleatório ou randômico, no qual não há como 
prever possíveis mudanças de comportamento da variável. Esse fenômeno 
ocorre quando há influência naturais,sociais ou econômicas para as quais 
não há previsão,tais como: 
Seca, greves, crises em outros países, guerras, etc. 
 
130 
 
 
OBS: Todas as situações que são do âmbito de previsões,fogem de qualquer 
 estimativa estatística, pois a variável em estudo sofre com muitos fatores 
 externos, os quais não conseguimos quantificar,impossibilitando uma 
 análise mais precisa . 
 
 
 
 
 
Fonte: <http://www.scielo.br/img/revistas/prod/v12n1/html/v12n1a04fig06-08.htm> 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE OSCILAÇÕES ALEATÓRIAS 
 
131 
 
 
 
ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS 
 
 As séries temporais possuem os seguintes objetivos: 
 
i) Compreender o mecanismo gerador da série; 
ii) Prever o comportamento futuro da série. 
 
COMPREENDER O MECANISMO DA SÉRIE POSSIBILITA: 
 
• Descrever efetivamente o comportamento da série; 
 
• Encontrar periodicidades na série; 
 
• Tentar obter razões para o comportamento da série ( possivelmente 
 através de variáveis auxiliares); 
 
· Controlar a trajetória da série. 
 
PREVER O COMPORTAMENTO FUTURO DA SÉRIE. 
 
Ø Quando conseguimos prever o futuro das ações contábeis e 
administrativas de uma empresa, isto possibilita tomadas de decisões 
mais precisas, podendo estabelecer com mínimo de prejuízos ações 
financeiras de longo, médio e curto prazo. 
 
OBS: O nível de incerteza da série é quando estamos mais longe do 
 Futuro; portanto maior será a incerteza da previsão associada, isto é, 
 quanto mais tempo para prever o comportamento de uma variável, 
 maior é o erro do resultado que podemos obter pelo seu 
 comportamento. 
 
132 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01) Classifique as seguintes série em: 
 DISCRETA, CONTÍNUA ou MULTIVARIADA. 
 
a) Índice diário da bolsa de valores de são Paulo(Bovespa)____________ 
b) Registro das marés do Porto de Paranaguá(Paraná),durante um período 
de 2 meses____________ 
c) Medida da pressão sanguínea de um paciente durante uma 
cirurgia_______________ 
 
02) Considere a série temporal(Exportação de soja em unidade de U$ 1.000.000,00 
 da tabela abaixo. 
ANO 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 
EXP. 15 35 41 64 60 62 101 177 333 432 
 
a) A série apresenta tendência ? 
b) Determine e faça o gráfico da primeira diferença. Ela é estacionária ? 
 
03) Considere a série temporal(PIB brasileiro em trilhões de reais),dado na tabela a 
 Seguir: 
ANO 2009 2010 2011 2012 2013 2014 
PIB 27.614 44.073 63.746 86.171 122.430 161.900 
 
a) Faça o gráfico da série; 
b) Verifique se a série apresenta uma tendência linear, através do cálculo da 
primeira diferença. 
 
 
 
 
 
133 
 
 
GABARITO: 
 
01- a) Discreta b) Contínua c) Discreta e Multivariada 
 
02- a) Sim ! 
 
ANO 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 
EXP. 20 6 23 -4 2 39 76 156 99 
 
 Os valores são obtidos da seguinte maneira: 
1º) 35 - 15 = 20 
2º) 41 – 35 = 6 
3º) 64 – 41 = 23 e assim por em diante ! 
 
 
Pelo diagrama pode-se verificar que a série não é estacionária ! 
 
 
 
-200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
EXPORTAÇÃO de SOJA em MILHÕES DE 
DÓLARES
134 
 
 
3 – 
a) 
 
 
 A série não apresenta uma tendência linear,pois a primeira diferença não é 
 estacionária. Pelo gráfico pode-se perceber que a tendência da série é 
 exponencial. 
 
 
 
 
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
180000
2009 2010 2011 2012 2013 2014
PIB Brasileiro em Trilhões de Reais
PIB
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 4 
INTERVALO DE 
CONFIANÇA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 
70 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA (IC) 
 
Definição1: 
 É um intervalo (espaço) estimado de um parâmetro estatístico,o qual 
 possibilita o cálculo deste parâmetro estatístico desconhecido. 
 
Definição2: 
 É quando fazemos uma estimativa de um intervalo de valores 
 possíveis, no qual se admite esteja o parâmetro populacional. 
 
 Em outras palavras: 
“O intervalo de confiança é um intervalo matemático que 
mede a confiabilidade de uma amostra retirada de uma 
determinada população.” 
 Profº Alan Carter Kullack 
 Exemplo 1: 
 
 
UTILIZAÇÃO DO INTERVALO DE CONFIANÇA 
 
Utilizamos o intervalo de confiança para os seguintes parâmetros: 
Ø Média; 
Ø Diferença de Médias; 
Ø Proporção; 
Ø Diferença de Proporção; 
Ø Variância; 
Ø Tamanho de uma amostra. 
 
 
 
71 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO I.C. 
 
 O gráfico de intervalo de confiança, reproduz uma dimensão bem específica dos 
valores a serem considerados na amostra,deixando assim o grau de confiança na 
pesquisa mais elevado,isto é, com uma probabilidade de acerto maior. 
 
Fonte:<http://pt.slideshare.net/NathliaMendona1/intervalos-de-confiana> 
 
OBS: Utilizaremos a fórmula: 
 X – Z. Sx ≤ µ ≤ X + Z. Sx 
 Portanto,temos que: e = Z. Sx 
 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA DA MÉDIA POPULACIONAL(µ) 
 
Definição: 
 São os valores retirados da média populacional, os quais podemos 
 validar para toda população a ser pesquisada, isto é, assim um 
 intervalo de confiança da própria média. 
 
72 
 
OBS: 
Para efetuar a Estimativa de Médias de uma População utiliza-se desvio 
padrão da distribuição que constitui a amostra (distribuição amostral), deve-se 
levar em consideração se o desvio padrão da população é ou não conhecido. 
 
ERRO-PADRÃO AMOSTRAL PARA A MÉDIA 
 
Ao se obter uma amostra qualquer de tamanho n, calcula-se a média 
aritmética populacional. Provavelmente, se uma nova amostra aleatória for 
realizada, a média aritmética obtida será diferente daquela da primeira 
amostra. A variabilidade das médias é estimada pelo seu erro padrão. Assim, 
o erro padrão avalia a precisão do cálculo da média populacional. 
O erro padrão é dado pela fórmula: 
 
 Sx = S 
 √ n , onde: 
 Para uma população conhecida, usaremos a seguinte fórmula: 
 
 Sx + S . N - n 
 √ n N - 1 
OBS1: Quanto melhor a precisão no cálculo da média populacional, 
 menor será o erro padrão. 
OBS2: A amostra e o erro-padrão são grandezas inversamente 
 proporcionais. 
Exemplo: 
Numa população obteve-se desvio padrão de 2,64 com uma amostra aleatória 
de 60 elementos. Qual o provável erro padrão? 
Solução: 
 
 
Sx → Erro padrão 
S → Desvio padrão 
n → Tamanho da amostra 
73 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA AMOSTRAS PEQUENAS(N<30) 
 
Em muitas situações da vida real, o desvio padrão populacional é desconhecido. 
Além disso, em função de fatores como tempo e custo, não é prático colher 
amostras de tamanho 30 ou mais. Nesse caso, devemos construir intervalos de 
confiança com uma distribuição para uma média populacional pequena,como isso 
utilizamos a distribuição t de Student. 
A DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT 
Definição: 
 Se a distribuição de uma variável aleatória x é aproximadamente 
 normal e , então a distribuição amostral de é 
 uma distribuição t de Student, onde: 
. 
Onde: 
 t = Distribuição t de student; 
X = Variável aleatória; 
µ = Média; 
S = Desvio Padrão amostral; 
n = Número da amostra 
 
Podemos representar a fórmula, da seguinte maneira: 
 
X - t. Sx ≤ µ ≤ X + t. Sx 
 
Portanto, temos: 
 
 
74 
 
 
 
Fonte: < http://slideplayer.com.br/slide/353636/> 
 
Os valores críticos de t são denotados por tc. Diversas propriedades da distribuição t 
estão relacionadas a seguir: 
· A distribuição t tem a forma de sino e é simétrica em torno da média. 
· A distribuição t é uma família de curvas, cada uma delas determinada por um 
parâmetro chamado grau de liberdade (g.l). Os graus de liberdade são os números 
de escolhas livre deixada após uma amostra estatística tal como ter sido 
calculada. Quando se usa uma distribuição t para estimar uma média populacional, o 
número de graus de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1, ou seja, g.l 
= n – 1. 
· O risco é representado por α ( 1 – nível de confiança) 
· A área total sob uma curva t é 1 ou 100%. 
· A média, a moda e a mediana da distribuição t são iguais a zero. 
· Quando o número de graus de liberdade cresce, a distribuição tende para a 
distribuição normal. Após 30 graus de liberdade a distribuição t está muito próxima 
da distribuição normal padrão z. 
 
 
 
 
75 
 
TABELA DOS VALORES DA DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT 
 
 
Fonte: < http://slideplayer.com.br/slide/360340/> 
 
 
 
 
76 
 
 
ERRO-PADRÃO AMOSTRAL PARA A PROPORÇÃO: 
 
Refere-se ao erro de estimativa de uma proporção, sendo a diferença do resultado 
amostral em relação ao populacional para mais ou para menos, o qual aceitamos 
em nossa pesquisa, em função do nível de confiança desejado e representado pelo 
escore z. 
 
 
Fórmula: 
 Sp = p.q Onde: 
 n 
 
 
 
Ex: Um instituto de pesquisa revelou,por meio de um estudo que realizou com 300 
microempresas paranaenses, que 77% delas estão satisfeitas com os serviços 
prestados por seus contadores e as demais estão insatisfeitas. Estime, com 95% de 
confiança o intervalo da proporção populacional para aquelas empresas satisfeitas 
com seus contadores. 
 
Solução: 
 
Dados: 
p = 77% 
q = 23% 
n = 300 
Sp = ? 
 
 
 
 
p = Proporção favorável; 
q = Proporção desfavorável; 
n = Amostra; 
Sp = Erro-padrão proporcional 
 
 Sp = 77.23 = Sp = 1771 
 300 300 
 
Sp = 2,43 % 
77 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL 
 
Definição: 
 Refere-se aos valores máximo e mínimo da proporção populacional. 
 
Fórmula: p – Z. Sp ≤ ¶ ≤ p + Z.Sp 
 
onde: Z = nível de confiança da tabela normal.