Tema 6 - Matemática Avançada

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20/03/25, 22:52 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/67d9a8590f4e81595bb77cf1/gabarito/
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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar a função  , para
, ao redor do eixo x.
h(x) = sen 2x′1
2
0 ≤ x ≤ π
2
2π(√2 + ln(√2 + 1))
π(√2 + ln(√2 − 1))
π(√2 + ln(√2 + 1))
π(√2 − ln(√2 + 1))
2π(√2 − ln(√2 − 1))
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, precisamos calcular a área da superfície de revolução gerada pela
função dada. A fórmula geral para a área de uma superfície de revolução é dada por
, onde é a função dada e é a sua derivada.
Aplicando essa fórmula à função dada e realizando os cálculos necessários, chegamos à resposta
correta, que é .
A = 2π ∫ b
a
f(x)√1 + [f ′(x)]2dx f(x) f ′(x)
π(√2 + ln(√2 + 1))
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A
B
C
D
E
A
B
C
2 Marcar para revisão
Determine a integral da função g(x) = 4tg(x), limitada pelo eixo x e pela reta .x = π
4
2 ln 2
2 ln 3
ln 2
ln 3
ln 5
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A questão pede para determinar a integral da função g(x) = 4tg(x), limitada pelo eixo x e pela reta
. A integral de uma função tangente é o logaritmo natural da função cosseno. Portanto, a
integral da função g(x) = 4tg(x) é 4 ln |cos(x)|. Ao avaliar essa integral entre 0 e , obtemos 2 ln
2, que é a alternativa A.
x = π
4
π
4
3 Marcar para revisão
O cálculo de áreas entre funções utilizando integral é uma técnica usada na matemática para
determinar a área de uma região que é limitada por duas ou mais curvas. Calcule a área delimitada
entre as curvas   e . y = 1 − x2, y = 1 + x2, y = − + 23x
2 x = 1
u ⋅ a.1
16
u ⋅ a.1
8
 u . a.3
16
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D
E
 u . a5
16
 u . a1
4
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Desenhando as restrições das curvas, temos:
Analisando os intervalos de integração:
De 0 até 0,5 temos a parábola de cima sobre a parábola de baixo.
De 0,5 até 1 temos a reta não vertical em cima da parábola de baixo.
Assim:
Integrando cada uma delas em separado, para depois somarmos, temos:
Somando as duas partes, temos:
A = ∫
b
a
[fcima  − fbaixo ] dx
A = ∫
0
[fparábola de cima  − fparábola de baixo ] dx + ∫
1
[freta não vertical  − fparábola de baixo ] dx
A = ∫
0
[1 + x2 − (1 − x2)] dx + ∫
1
[− + 2 − (1 − x2)] dx
1
2
1
2
1
2
1
2
3x
2
∫
1
[− +2 − (1 − x2)] dx = ∫
1
[− + 1 + x2] dx = [− + x + ]
∣
∣
∣
1
= (− + 1 + ) − (− + + ) = ( ) − ( ) =
1
2
3x
2 1
2
3x
2
3x2
4
x3
3 1
2
3
4
1
3
3
16
1
2
1
24
7
12
17
48
11
48
A = ∫0 [1 + x2 − (1 − x2)] dx + ∫ 1 [− + 2 − (1 − x2)] dx = + = =  u.a. 
1
2
1
2
3x
2
1
12
11
48
15
48
5
16
4 Marcar para revisão
A entrada de um túnel tem a forma da figura abaixo, sendo constituída por 2 tubos circulares na forma
de arco de curvas  e   sendo iluminados internamente por luzes de led. O custo estimado para
estes tubos é de   por metro. As curvas são determinadas por funções, sendo 
 e  . O custo total desta obra será:
C1 C2
R$5.000, 00
C1 : y = 3x2/3 C2 : y = 3(16 − x)2/3
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A
B
C
D
E
Fonte: YDUQS. 2023.
R$ 156.274, 17.
R$ 246.274, 17.
R$ 149.274, 17.
R$ 146.274, 17.
R$ 416.274, 17.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para calcular o custo, devemos calcular o comprimento dos arcos.
Contudo, não precisamos calcular os comprimentos de  e  . Note que a diferença entre os
arcos é a substituição de  por   é espelho de  . 
Portanto, os arcos são simétricos e Note que a diferença entre os arcos é a substituição de
possuem o mesmo comprimento.
Assim, basta calcular o comprimento de , multiplicar por 2 e depois multiplicar pelo custo por
metro.
Sabemos que:
Para a curva 
C1 C2
x 16 − x.C2 C1
C1
L = ∫ b
a
√1 + [f ′(x)]2dx
C1 :
y = 3x2/3
= 3 ⋅ ⋅ x− = 2x−
L = ∫
8
0
√1 + [2x− ]
2
dx = ∫
8
0
√1 + 4x− dx
dy
dx
2
3
1
3
1
3
1
3
2
3
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A
B
C
D
E
Usando o método ,
Fazendo a substituição:
Aplicando:
Calculando o custo:
x = f(y)
y = 3x → x = → x =
= ⋅ ⋅ y = (y)
x = 0 → y = 0
x = 8 → y = 12
L = ∫
12
0
√1 + [ (y) ]
2
dy = ∫
12
0
√1 + ⋅ ydy
2
3
2
3
y
3
y
3
2
3
3
2
dx
dy
1
3
3
2
3
2
1
2
1
2√3
1
2
1
2√3
1
2
1
12
u = 1 + y → du = dy → dy = 12du
y = 0 → u = 1
y = 12 → u = 2
1
12
1
12
L = ∫ 2
1 √u ⋅ 12du = 12 ∫ 2
1 u du = 12 ⋅ u ∣
∣
2
1
= 8(2√2 − 1)
1
2
2
3
1
2
C = 2 ⋅ 8(2√2 − 1) ⋅ 5000 = R$146.274, 17
5 Marcar para revisão
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de pontos
formados pela função g(x) = 2x e o eixo x, para  .6  0 ≤ x ≤ 2
16π
32π
64π
76π
128π
Resposta correta
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Gabarito Comentado
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A
B
C
D
E
O volume do sólido gerado pela rotação do conjunto de pontos formados pela função g(x) = 2x e
o eixo x, para , em torno do eixo y, é calculado pela integral de a de .
Substituindo por , temos a integral de a de , que resulta em . Portanto,
a alternativa correta é a letra E� .
6
0 ≤ x ≤ 2 0 2 π[g(x)]2dx
g(x) 2x6 0 2 π[2x6]2dx 128π
128π
6 Marcar para revisão
As integrais são uma das ferramentas mais poderosas da matemática, e são usadas em uma variedade
de campos, sendo aplicadas na determinação de áreas e volumes de formas complexas. Seja  região
limitada pela curva    pelas retas  e  . Calcule o volume, em unidades de
volume (u.v.), do sólido de revolução gerado pela rotação de   em torno do eixo  .
y = x3 y = 8 x = 0
A x = −1
.266π
5
.246π
5
.236π
5
.226π
5
.216π
5
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Desenhando as restrições das curvas, temos
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A
B
C
D
E
Como vamos integrar em , precisamos deixar em função de :
Agora integramos no formato para seções transversais, onde a função raio será a própria função 
, já que o eixo de rotação dista  do eixo :
Mas ainda não acabou.
Entre o eixo  e o de rotação fica um vácuo que precisa ser levado em conta. Ele vai gerar um
cilindro de raio  e altura o, ou seja:
O volume total da figura é:
y y
y = x3 → x = 3√y
+1 1 y
y
1
Vcil = πr2h = 8π
VT = V − Vcil = − 8π =
VT = u. v.
256π
5
216π
5
216π
5
7 Marcar para revisão
Na engenharia, o cálculo de áreas entre funções é usado para determinar o volume de materiais em
estruturas complexas, como reservatórios, tanques de armazenamentoe outras formas irregulares.
Sabendo disso determine o volume do solido de rotação, em unidade de volume (u.v.), da região 
 em torno do eixo , para os seguintes critérios:
A
x
A :
⎧⎪
⎨
⎪⎩
y = + 1  se  − 4 ≤ x 0
Que
C
Em
1
6
Lista de exercícios Integrais: Aplicações Sair
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A
B
C
D
E
ln 2 − u. a3
8
u ⋅ a3
8
ln 2 u. a.  
ln 2 + u. a3
4
2 ln 2 u. a.  
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Desenhando as restrições das curvas, temos:
O intervalo de integração é de 0 a 2, sendo que até o 1, temos curva amarela por cima e
laranja por baixo e a partir daí, temos azul por cima e laranja por baixo, ou seja:
Integrando cada uma delas em separado, para depois somarmos, temos:
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A
B
C
D
E
10 Marcar para revisão
A área entre duas funções pode ser determinada pela integração da diferença entre as duas funções
ao longo do intervalo de interesse. Calcule a área delimitada entre as curvas , 
 e  .
y = 1/x
y = x, y = x/4 x > 0
ln 2 − u. a3
8
u ⋅ a3
8
ln 2 u. a.  
ln 2 + u. a3
4
2 ln 2 u. a.  
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Desenhando as restrições das curvas, temos:
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O intervalo de integração é de 0 a 2, sendo que até o 1, temos curva amarela por cima e
laranja por baixo e a partir daí, temos azul por cima e laranja por baixo, ou seja:
Integrando cada uma delas em separado, para depois somarmos, temos: