Apostila - Professora Luciana - Unidade2b

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ESTA´TICA DO CORPO RI´GIDO
1. Equilı´brio de um corpo rı´gido
• Vimos que as forc¸as externas que atuam sobre um corpo rı´gido po-
dem ser reduzidas a um sistema forc¸a-bina´rio em algum ponto ar-
bitra´rio O.
• Quando a forc¸a e o bina´rio sa˜o ambos iguais a zero, as forc¸as externas
formam um sistema equivalente a zero, e diz-se que o corpo rı´gido
esta´ em equilı´brio. Portanto, as condic¸o˜es necessa´rias e suficientes
para o equilı´brio de um corpo rı´gido sa˜o
~R =
∑
~F = 0, (1)
e
~MRO =
∑(
~ri × ~Fi
)
= 0. (2)
1
• As duas equac¸o˜es vetoriais acima se transformam em seis equac¸o˜es
escalares: ∑
Fx = 0,
∑
Fy = 0,
∑
Fz = 0, (3)∑
Mx = 0,
∑
My = 0,
∑
Mz = 0. (4)
• As equac¸o˜es acima nos dizem que, para um corpo rı´gido em equilı´brio,
o sistema de forc¸as externas na˜o causa qualquer movimento transla-
cional ou rotacional ao corpo considerado.
2. Equilı´brio em duas dimenso˜es - reac¸o˜es em apoios e conexo˜es
• A estrutura analisada e as forc¸as a ela aplicadas esta˜o contidas no
mesmo plano.
• As reac¸o˜es exercidas sobre uma estrutura bidimensional podem ser
divididas em treˆs grupos, que correspondem a treˆs tipos de apoios,
ou conexo˜es:
– Reac¸o˜es equivalentes a uma forc¸a com linha de ac¸a˜o conhecida:
apoios e conexo˜es que causam reac¸o˜es desse tipo podem impedir
o movimento em uma direc¸a˜o apenas; tais reac¸o˜es envolvem ape-
nas uma inco´gnita, a saber, a intensidade da reac¸a˜o.
– Reac¸o˜es equivalentes a uma forc¸a de direc¸a˜o, sentido e inten-
sidade desconhecidos: apoios e conexo˜es que causam reac¸o˜es
desse tipo podem impedir a translac¸a˜o do corpo livre em todas as
direc¸o˜es, mas na˜o podem impedir o corpo de girar em torno da
conexa˜o; as reac¸o˜es desse grupo envolvem duas inco´gnitas e sa˜o
geralmente representadas por seus componentes x e y.
– Reac¸o˜es equivalentes a uma forc¸a e a um bina´rio: essas reac¸o˜es
impedem qualquer movimento do corpo e, portanto, o imobilizam
totalmente. Esse tipo de reac¸a˜o pode ser reduzido a uma forc¸a
e um bina´rio e envolve treˆs inco´gnitas, que geralmente consistem
nos dois componentes da forc¸a e no momento do bina´rio.
• Quando consideramos uma estrutura bidimensional em equilı´brio, para
cada uma das forc¸as aplicadas a` estrutura teremos (escolhendo os
eixos x e y no plano da estrutura):
Fz = 0, Mx =My = 0, Mz =MO. (5)
Portanto, as seis equac¸o˜es de equilı´brio apresentadas no inı´cio da
sessa˜o se reduzem a∑
Fx = 0,
∑
Fy = 0,
∑
MO = 0, (6)
onde
∑
MO = 0 deve ser satisfeita independentemente da escolha
da origem O (O pode ser um ponto qualquer no plano da estrutura).
As treˆs equac¸o˜es obtidas podem ser resolvidas para no ma´ximo treˆs
inco´gnitas.
• Na figura abaixo, a trelic¸a mostrada esta´ sujeita a`s forc¸as ~P , ~Q e ~S.
A trelic¸a e´ mantida no lugar por um pino em A e um rolete em B, o
qual impede a rotac¸a˜o da trelic¸a em torno de A. Tambe´m e´ mostrado
o diagrama de corpo livre da trelic¸a.
• Os tipos de apoio usados no exemplo acima sa˜o tais que o corpo
rı´gido na˜o pode se mover sob as cargas dadas ou sob quaisquer
outras condic¸o˜es de carregamento; neste caso diz-se que o corpo
rı´gido esta´ completamente vinculado. As reac¸o˜es correspondentes
a esses apoios envolvem treˆs inco´gnitas e podem ser determinadas
resolvendo-se as treˆs equac¸o˜es de equilı´brio, diz-se enta˜o que as
reac¸o˜es sa˜o estaticamente determinadas.
• Um corpo rı´gido esta´ impropriamente vinculado sempre que os su-
portes, mesmo que fornec¸am um nu´mero suficiente de reac¸o˜es, es-
tiverem dispostos de tal modo que as reac¸o˜es sejam concorrentes em
um mesmo ponto ou paralelas (exemplos abaixo).
Exemplo 1: Um guindaste fixo tem uma massa de 1000 kg e e´ usado
para suspender um caixote de 2400 kg. O guindaste e´ mantido na
posic¸a˜o indicada na figura por um pino em A e um suporte basculante
em B. O centro de gravidade do guindaste esta´ localizado em G.
Determine os componentes das reac¸o˜es A e B.
O primeiro passo e´ trac¸ar o diagrama de corpo livre do guindaste:
Multiplicando as massas do guindaste e do caixote por 9,81 m/s2,
obtemos os pesos correspondentes, isto e´, 9810 N e 23544 N. A
reac¸a˜o no pino A e´ uma forc¸a de direc¸a˜o desconhecida, mas que
pode ser representada pelos seus componentes ~Ax e ~Ay. Escolhendo
A como ponto de refereˆncia, teremos: ~MRA =
∑ ~MA = 0 → ~MRA =
0 = (−1,5j) × (Bi) − (2)(9,81)k − (6)(23,5)k = (1,5B −
19,62− 141)k→ 1,5B − 160,62 = 0→ ~B = (107,1 kN)i.
Vamos tomar agora a soma das componentes horizontais: Ax+B =
0→ Ax = −B = −107,1→ ~Ax = (−107,1 kN)i.
A soma das componentes verticais tambe´m deve ser nula: Ay −
9,81− 23,5 = 0→ Ay = 33,31→ ~Ay = (33,31 kN)j.
Para verificarmos se as respostas esta˜o corretas relembramos que
a soma dos momentos de todas as forc¸as externas em relac¸a˜o a
qualquer ponto deve ser nula, portanto consideramos o ponto B e
calculamos: ~MRB =
∑ ~MB = (1,5)(107,1)k − (2)(9,81)k −
(6)(23,5)k = (160,6− 160,6) = 0.
Figuras:
• http://pt.slideshare.net/thiagotoscanoferrari/4-equilibrio-de-corpos-rigidos
Refereˆncias:
• BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecaˆnica Vetorial para Engenheiros: esta´tica. 5. ed. Sa˜o Paulo:
Pearson Education, 2008.