Distribuição Contínua - Disco carregado

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Campo Elétrico II - Disco Carregado 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO. 
 
Seja um disco de raio R , carregado positivamente com densidade superficial de cargas 
σ+ . Determine o campo elétrico em um ponto situado no eixo do disco, a uma 
distância z , do centro do disco. 
 
Resolução: 
Este é um problema que envolve uma distribuição contínua de cargas. Observando a 
figura vemos que o disco possui um elemento de área de largura ds . Se escolhermos 
um ponto na posição diametral da figura, conforme ilustrado na figura abaixo, vemos 
que as componentes perpendiculares ao eixo do disco cancelar-se-ão, sobrando apenas 
as componentes na direção z 
 
A componente zdE será dada por coszdE dE θ= , onde cos zrθ = e 
2
0
1
4
dqdE
rπε= . 
Com isso, teremos que, 
2
0
1 cos
4z
dqdE
r
θπε= . 
Substituindo o valor de cosθ na expressão acima, ficaremos com, 
3
0
1
4z
zdqdE
rπε= . 
Da figura vemos que 2 2r z s= + . Com isso 
( )32 20 2
1
4z
zdqdE
z sπε
=
+
. 
Lembrando que dq dAσ= , onde dA é um elemento infinitesimal de área representado 
pela fita circular na figura e dado por ( )2dA s dsπ= , podemos escrever o elemento de 
carga na forma ( )2dq s dsσ π= . O campo zdE ficará na forma 
( )32 20 2
1 (2 )
4z
z s dsdE
z s
σ π
πε= +
. 
Integrando os dois lados da equação teremos 
( ) ( )3 32 2 2 20 00 02 2
1 (2 )
4 2
R R
z
z s ds z sdsE
z s z s
σ π σ
πε ε= =+ +∫ ∫ . 
Utilizaremos a substituição 2 2u z s= + . Com isso 2
2
dudu sds sds= ⇒ = . Utilizando 
esta substituição na integral, teremos, 
22 2
11 1
3 1
2 2
3
0 0 02
2 .
2 4 2 u
uu u
z
u u
du
z z zE u du u
u
σ σ σ
ε ε ε
− −= = = −∫ ∫ 
Voltando para a variável s ficaremos com 
( )
( )
1
2 20 2
0
1
2 20 2
1
2
1 1 .
2
R
z
z
zE
z s
zE
zz R
σ
ε
σ
ε
= −
+
⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
 
 
 
 
 
 
Plano Infinito 
 
Para resolvermos o plano infinito de cargas basta utilizarmos o campo elétrico do 
disco carregado e fazermos o raio do disco tender a infinito. Sendo assim 
( )
( )
inf 1
2 20 2
inf 1
2 20 2
inf
0
inf
0
1 1
2
1 1
2
1
2
.
2
lim
lim lim
plano inito
R
plano inito
R R
plano inito
plano inito
zE
zz R
zE
zz R
zE
z
E
σ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
ε
→∞
→∞ →∞
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥= − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥+⎣ ⎦⎩ ⎭
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥= − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥+⎣ ⎦⎩ ⎭
⎧ ⎫⎡ ⎤= − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭
=