1ª Lista EXTRA GAB ARA0044

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Lista de exercícios como reforço acadêmico para fixação do aprendizado na disciplina 
ARA0044 Eletricidade e Magnetismo. 
Observações: 
1. As questões já estão com as respostas selecionadas, façam as questões para conferir os resultados. 
2. Não se baseiem SOMENTE nesta lista para estudar para a AV-1, estudem os exercícios dados em aula, são 
obrigatórios. 
3. Quaisquer dúvidas me procurem. 
Questões extras 
Questão Extra 01 
Sejam duas cargas elétricas (+q e –q), que estão posicionadas sobre o eixo x, de um sistema coordenado xy, nas 
posições –a e +a, respectivamente. Obteremos a força elétrica de Coulomb resultante (F→R) experimentada por 
uma carga de prova (Q) em um ponto qualquer do eixo y. 
q=2nC k≈9.10^9 N.m2/C2 Q=1nC a=10cm y= 17,32cm 
Lembre-se de que 1nC=10^-9C e 1cm=10^-2m. Todas as unidades devem ser expressas no Sistema Internacional de 
Unidades (SI), para que o resultado da intensidade da força seja em newtons (N). Calcule a força resultante: 
 
 
   
   
 
   
   
   
 
   
1 2
1 2
2 2
1 2
9 9 9 9
9 9
0,5 0,52 2 2 22 2 2 2
9
0,1. 0,1732. 0,1. 0,1732.2.10 . 1.10 2.10 . 1.10
9.10 . . 9.10 . .
0,1 0,1732 0,1 0,17320,1 0,1732 0,1 0,1732
18.10
8
R
R
R
R
F F F
q QqQ
F k r k r
r r
i j i j
F
F
   

 

 
  
 
              
    
   
   
 
9
3 3
6 6
7 7 7 7
7
18.10
. 0,1. 0,1732. . 0,1. 0,1732.
.10 8.10
2,25.10 . 0,1. 0,1732. 2,25.10 . 0,1. 0,1732.
2,25.10 . 3,3897.10 . 2,25.10 . 3,3897.10 .
4,5.10 .
R
R
R
i j i j
F i j i j
F i j i j
F i N

 
 
   


   
    
   

 
Resposta: 
:  74,5.10 .RF i N 
Questão Extra 02 
Nos vértices de um triângulo equilátero de 3m de lado, estão posicionadas três cargas: 
q1=q2=4.10^-7 C 
q3=1.10^-7C. Considere k≈9.10^9 N.m^2/C^2. 
Calcule a intensidade da força resultante que atua em q3: 
   
   
 
   
   
   
 
   
1 2
1 3 2 3
1,3 2,3
2 2
1,3 2,3
7 7 7 7
9 9
0,5 0,52 2 2 22 2 2 2
5
. .
1,5. 2,6. 1,5. 2,6.4.10 . 1.10 4.10 . 1.10
9.10 . . 9.10 . .
1,5 2,6 1,5 2,61,5 2,6 1,5 2,6
36.10
27,0
R
R
R
R
F F F
q q q q
F k r k r
r r
i j i j
F
F
   

 
 
  
 
                
    
   
   
   
5
5 5
5 5 5 5
5 5
36.10
. 1,5. 2,6. . 1,5. 2,6.
4 27,04
1,33.10 . 1,5. 2,6. 1,33.10 . 1,5. 2,6.
2.10 . 3, 46.10 . 2.10 . 3, 46.10 .
6,92.10 . 6,92.10
R
R
R R
i j i j
F i j i j
F i j i j
F j N F N

 
   
 
   
    
    
  
 
Resposta: 
   5 56,92.10 . 6,92.10R RF j N F N    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão Extra 03 
Uma carga positiva (q1) está na origem de um sistema coordenado, e uma segunda carga (q2) está sobre o 
eixo x em x=a. Observe: 
 
Calcule o campo elétrico resultante em um ponto P sobre o eixo y, ou seja, o campo como função de (x,y) em P. O 
resultado do cálculo é: 
 
 
     
 
   
 
 
   
 
         
1 2
1 2
1 2
2 2
1 2
1 2
2 0,5 0,52 22 2 2
1 2
2 1,5
2 2
2 1 2
1,5 2 1,5
2 2 2 2
. . .
. . . .
. . . . . .
. .
. . . .
R
R
R
R
R
E E E
q q
E k r k r
r r
y j a i y jq q
E k k
y a yy a y
q q
E k j k a i y j
y a y
q a q q y
E k i k k
ya y a y
 
 
 
 
          
   
  
 


   

      
   
. j



 
 
Resposta: 
         
2 1 2
1,5 2 1,5
2 2 2 2
. .
. . . . .R
q a q q y
E k i k k j
ya y a y
 
 
   
 
           
 
 
 
 
 
 
 
Questão Extra 04 
Suponhamos que uma carga elétrica seja deixada em repouso em um ponto denominado A, onde o campo elétrico é 
uniforme. Após um deslocamento de 10m, a carga elétrica passa pelo ponto B com velocidade igual a 15m/s. 
Desprezando a ação do campo gravitacional, qual é a diferença de potencial elétrico ente os pontos A e B? Dados: m 
= 0,04 kg e q=4.10-6 C. 
Vamos nos lembrar do teorema trabalho-energia, onde a variação da energia cinética é igual ao trabalho da 
força resultante, dado pela seguinte equação: 
 
onde W é o trabalho da força resultante, 𝑣𝑓 é a velocidade final e 𝑣𝑖 é a 
 velocidade inicial. 
 
Sabendo que a variação da energia potencial é igual menos o trabalho negativo, temos: 
 
 
Sabemos que a diferença de potencial elétrico é igual a variação da energia potencial dividido pela carga, logo 
 
 
Resposta: 
61,125.10V V   
 
 
 
 
 
 
Questão Extra 05 
Considere um seguimento de reta uniformemente carregado, ao longo do eixo dos x, com densidade linear de carga, 
𝜆, constante e comprimento L. Mas, diferentemente do problema anterior, calcule o campo elétrico resultante num 
ponto P, ao longo do eixo dos y, considerando que a origem, 0, do sistema coordenado, xy, está à esquerda do corpo 
carregado, e o comprimento L, quando medido de 𝑃0̅̅̅̅ , está delimitado pelos ângulos 𝜃1 < 𝜃2. 
 
a) �⃗� =
𝑘 𝜆
𝑦
[ (cos 𝜃2 − cos 𝜃1) 𝑖̂ + (sen 𝜃2 − sen𝜃1) 𝑗̂ ] 
b) �⃗� =
𝑘 𝜆
𝑦2
[ (sen𝜃2 − sen𝜃1) 𝑖̂ + (cos 𝜃2 − cos 𝜃1) 𝑗̂ ] 
c) �⃗� =
𝑘 𝜆
𝑦
[ (cos 𝜃2 − sen𝜃1) 𝑖̂ + (cos 𝜃2 − sen𝜃1) 𝑗̂ ] 
d) �⃗� =
𝑘 𝜆
𝑟2
[ (cos 𝜃2 − cos 𝜃1) 𝑖̂ + (sen 𝜃2 − sen𝜃1) 𝑗̂ ] 
 
 
 
 Resposta: 
 
𝑑𝐸𝑥 = −
𝑘 𝑑𝑞
𝑟2
sin 𝜃
 𝑑𝐸𝑥 = −
k sin𝜃
𝑟2
𝜆(𝑦 sec2 𝜃 𝑑𝜃) 
𝑑𝐸𝑥 = −
𝑘 sin𝜃
𝑟2
𝜆𝑦
𝑟2
𝑦2
𝑑𝜃
𝑑𝐸𝑥 = −
𝑘 sin𝜃
𝑦
𝜆 𝑑𝜃
 
𝑑𝐸𝑦 =
k cos𝜃
𝑟2
𝜆(𝑦 sec2 𝜃 𝑑𝜃)
𝑑𝐸𝑦 =
𝑘 cos 𝜃
𝑟2
𝜆𝑦
𝑟2
𝑦2
⋅ 𝑑𝜃
𝑑𝐸𝑦 =
𝑘 cos 𝜃
𝑦
𝜆𝑑𝜃
 
𝐸𝑥 = −∫
𝑘𝜆
𝑦
sen 𝜃 𝑑𝜃
𝜃2
𝜃1
=
𝑘𝜆
𝑦
(cos 𝜃2 − cos 𝜃1)
𝐸𝑦 = ∫
𝑘𝜆
𝑦
cos 𝜃 𝑑𝜃
𝜃2
𝜃1
=
𝑘𝜆
𝑦
(sin 𝜃2 − sin 𝜃1)
𝐸
→
= 𝐸𝑥 𝑖
^
+ 𝐸𝑦𝑗
^
𝐸
→
=
𝑘𝜆
𝑦
[(cos 𝜃2 − cos 𝜃1)𝑖
^
+ (sen 𝜃2 − sin 𝜃1)𝑗
^
]
 
 
 
 
𝑑𝐸
→
= 𝑑𝐸𝑥 𝑖
^
+ 𝑑𝐸𝑦𝑗
^
= 𝑘
𝑑𝑞
𝑟2
𝑟
^
𝑑𝐸𝑥 = −
𝑘 𝑑𝑞
𝑟2
sin𝜃
𝑑𝐸𝑦 =
𝑘 𝑑𝑞
𝑟2
cos𝜃
𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥
cos 𝜃 =
𝑦
𝑟
 ; 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2
tg 𝜃 =
𝑥
𝑦
 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑦 sec2𝜃 𝑑𝜃
sec 𝜃 =
𝑟
𝑦
 
 
Questão Extra 06 
Calcule o campo elétrico sobre o eixo (no ponto P) de um anel uniformemente carregado de raio “a” e carga total 
Q, conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
 Continuando a componente axial do campo elétrico (dEx) pode se dada por: 
 
2
cos .cosx
kdq
dE d E
r
 
 
   
 
 
 Pela figura acima podemos você deve notar que: 
cosθ=x/r e 𝑟 = √𝑥2 + 𝑥2 
 Agora podemos substituir esses dois resultados na equação acima para encontrarmos: 
 
3/22 2 3
2 2
cos .x
kdq kdq x kxdq kxdq
dE
r r r r x a

   
      
    
 
 O campo elétrico devido a todo anel carregado é: 
   
3/2 3/2
2 2 2 2
x
kxdq kx
E dq
x a x a
 
 
  
 
3/2
2 2
x
kxQ
E
x a


 
 
Resposta: 
 
3/2
2 2
x
kxQ
E
x a


 
 
 
 
 
Questão Extra 07 
Calcule o campo elétrico sobre o eixo (no ponto P) de um disco uniformemente carregado de raio R e carga total 
Q, conforme mostra a figura abaixo. 
 
A figura abaixo mostra um disco de raio R carregado uniformemente, para calcularmos o campo elétrico sobre o eixo 
(ponto P) desse disco trataremos como um conjunto de anéis concêntricos carregados. A ideia é que vamos somar 
(neste caso integrar) o campo elétrico para cada anel. Para isto vamos considerar uma anel de raio a e espessura da 
conforme mostra a figura abaixo. A área desse anel é 𝑑𝐴 = 2𝜋𝑎𝑑𝑎 e a área do disco é 𝐴 = 𝜋𝑅2. A densidade 
superficial de carga é dado por 
dq
dA
  ou 
Q
A
  (densidade superficial uniforme) 
 
 O campo elétrico devido a um anel carregado você já calculou no exercício anterior, logo: 
 
3/2
2 2
x
kxQ
E
x a


 
 
 Como vamos integrar os anéis, temos: 
 
3/2
2 2
x
kxdq
dE
x a

Substituindo o elemento de carga, temos: 
 
3/2
2 2
2
x
kx ada
dE
x a



 
 Vamos integrar variando o raio a de zero a R, logo: 
   
3/2 3/2
2 2 2 2
0 0
2 2
R R
x
kx ada ada
E kx
x a x a

 
 
  
 Usando o método de substituição, você pode calcular esta integral e encontrar o seguinte resultado: 
2
1
2 1 0
1
xE k x
R
x
 
 
 
 
   
     
  
 
 Este é o campo elétrico para um disco uniformemente carregado. 
 
Resposta: 
2
1
2 1 0
1
xE k x
R
x
 
 
 
 
   
     
  
 
 
Questão Extra 08 
Calcule o campo elétrico sobre um plano infinito carregado com densidade superficial uniforme, a partir de um 
disco carregado com a mesma densidade de superficial de carga uniforme. 
 
Para começarmos você, já entendeu e o resultando do exercício acima e mesmo podendo utilizar a lei de Gauss para 
resolvermos esse problema, vamos partir do o campo elétrico para um disco uniformemente carregado, que é dado 
por: 
2
1
2 1 0
1
xE k x
R
x
 
 
 
 
   
     
  
 
 Para um disco se tornar um plano infinito, basta transformar o raio desse disco em infinito também (𝑅 →
∞), Com isso você pode perceber que o campo se tornará: 
2xE k  
Ou 
02
xE


 
 Que é o mesmo resultado obtido pela lei de Gauss. 
 
Resposta: 
02
xE


 
 
 
Questão Extra 09 
Se uma carga elétrica fonte, q, estiver posicionada na origem, 0, de um sistema coordenado, calcule seu 
Campo Elétrico a uma distância radial esférica, r, dessa origem, por meio da aplicação da Lei de Gauss. 
Considere k a constante de Coulomb. 
 
a) 𝐸(𝑟)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑘
𝑞
𝑟
 �̂� 
b) 𝐸(𝑟)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑘
𝑞
𝑟2
 �̂� 
c) 𝐸(𝑟)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 
𝑞
𝑟2
 �̂� 
d) 𝐸(𝑟)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑘
𝑞2
𝑟2
 �̂� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜙tot. = ∮𝐸
→
⋅ 𝑛
^
 𝑑𝐴
 
𝑐
= 4𝜋𝑘𝑞
𝐸
→
= |𝐸
→
| 𝑟
^
𝐸
→
⋅ �̂� = |𝐸
→
|
∮ |𝐸
→
| 𝑑𝐴
 
𝑐
= 4𝜋𝑘𝑞
|𝐸
→
|
𝑐
4𝜋𝑟2 = 4𝜋𝑘𝑞
�⃗� (𝑟) =
𝑘𝑞
𝑟2
𝑟
^
 
 
 
Questão Extra 10 
Uma casca esférica homogênea e uniformemente carregada, de raio esférico R, possui carga total 𝑄. 
Calcule, por meio da Lei de Gauss, seu campo elétrico externo, onde 𝑟 > 𝑅. 
a) 𝐸(𝑟)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑘
𝑄
𝑟
 �̂� 
b) 𝐸(𝑟)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 
𝑄
𝑟2
 �̂� 
c) 𝐸(𝑟)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑘
𝑄2
𝑟2
 �̂� 
d) 𝐸(𝑟)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑘
𝑄
𝑟2
 �̂� 
 
 
 
 
 
 
 
Questão Extra 11 
Calcule o Campo Elétrico gerado por uma linha retilínea infinita, carregada positivamente, com densidade 
linear de carga uniforme, 𝜆, ao longo do eixo axial cilíndrico z, por meio da aplicação da Lei de Gauss. 
 
a) 𝐸(𝑟)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
2𝑘𝜆
𝑟2
 �̂� 
b) 𝐸(𝑟)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
𝜆
𝑟2
 �̂� 
c) 𝐸(𝑟)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
𝑞
𝑟
 �̂� 
d) 𝐸(𝑟)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
2𝑘𝜆
𝑟
 �̂� 
 
REPOSTA: Veja a aula 03 
𝜙tot. = ∮ 𝐸
→
⋅ 𝑛
^
 𝑑𝐴
 
𝑐
= 4𝜋𝑘 𝑞int𝑐
 
 𝐸
→
= |𝐸
→
| 𝑟
^
 → 𝐸
→
⋅ 𝑛
^
= |𝐸
→
|
∮ |𝐸
→
| 𝑑𝐴
 
𝑐
= 4𝜋𝑘𝑄
|𝐸
→
|
𝑐
4𝜋𝑟2 = 4𝜋𝑘𝑄
𝐸
→
(𝑟) =
𝑘𝑄
𝑟2
𝑟
^
 
Questão Extra 12 
2) (Adaptado Halliday v.3 ed.8) Um campo elétrico não-uniforme dado por �⃗� = (4𝑋)𝑖̂ + (5)𝑗 ̂atravessa o cubo 
gaussiano mostrado na figura seguinte. Qual o fluxo elétrico através da face direita, da face esquerda e da 
face superior em 
2.N m
C
? 
 
(a) 48res
DIREITA
 
 , 
16res
ESQUERDA
  
 e 
20res
SUPERIOR
 
;
 
(b) 48res
DIREITA
  
 , 
16res
ESQUERDA
 
 e 
20res
SUPERIOR
 
;
 
(c) 48res
DIREITA
 
 , 
16res
ESQUERDA
 
 e 
20res
SUPERIOR
 
;
 
(d) 16res
DIREITA
 
 , 
48res
ESQUERDA
  
 e 
25res
SUPERIOR
 
;
 
(e) 20res
DIREITA
 
 , 
48res
ESQUERDA
  
 e 
16res
SUPERIOR
  
 
Gabarito comentado: 
 NA FACE DIREITA: um vetor normal é normal à superfície e sempre aponta para fora da superfície gaussiana. 
Assim, o vetor para face direita do cubo deve apontar para o sentido positivo de x, com isso temos: 
 
 
Substituindo os valores, temos: 
 
Resolvendo o produto escalar entre esses dois vetores, temos: 
 
Pela figura o valor de 
3X  
 4.3 12res
S S
dA dA   
 
12.res A 
 
Pela figura a área é A=4m2, temos: 
2.
12.4 48res
N m
C
  
 
NA FACE ESQUERDA: um vetor normal é normal a superfície e sempre aponta para fora da superfície gaussiana. 
Assim, o vetor para face direita do cubo deve apontar para o sentido negativo de x, com isso temos: 
 
 
Substituindo os valores, temos: 
 
Resolvendo o produto escalar entre esses dois vetores, temos: 
 4res
S
X dA  
 
Pela figura o valor de 
1X  
 4.1 4res
S S
dA dA     
 
4.res A  
 
Pela figura a área é A=4m2, temos: 
2.
4.4 16res
N m
C
    
 
NA FACE SUPERIOR: um vetor normal é normal a superfície e sempre aponta para fora da superfície gaussiana. 
Assim, o vetor para face direita do cubo deve apontar para o sentido positivo de y, com isso temos: 
 
 
Substituindo os valores, temos: 
 
Resolvendo o produto escalar entre esses dois vetores, temos: 
 5res
S
dA  
 
Pela figura a área é A=4m2, temos: 
2.
5 5. 5.4 20res
S
N m
dA A
C
    
 
LETRA A