Lista - Combinando series, Teste do n-ésimo termo, Teste da integral

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Séries (Combinando séries, teste do enésimo
termo para divergência e teste da integral)
1. Encontre a soma da série.
(a)
(
1
2
+
1
4
)
+
(
1
22
+
1
42
)
+ · · ·+
(
1
2n
+
1
4n
)
+ · · · R.: 4
3
.
(b)
∞∑
n=1
(
1
5n
− 1
n(n+ 1)
)
R.: −3
4
.
(c)
∞∑
n=2
[
1
n2 − 1 −
7
10n−1
]
(d)
∞∑
n=1
[
7−n3n+1 − 2
n+1
5n
]
2. Em cada série p dada, identifique p e determine se a série converge.
(a)
∞∑
n=1
1
n3
(b)
∞∑
n=1
1√
n
(c)
∞∑
n=1
n−1
(d)
∞∑
n=1
n−2/3
R.: p = 3, converge; p = 1, diverge; p = 2/3, diverge;
p = 1/2 diverge.
(e)
∞∑
n=1
n−4/3
(f)
∞∑
n=1
1
4
√
n
(g)
∞∑
n=1
1
3
√
n5
(h)
∞∑
n=1
1
npi
R.:
3. Aplique o teste do enésimo termo para divergência e escreva a conclusão obtida sobre
a série.
(a)
∞∑
n=1
n2 + n+ 3
2n2 + 1
R.: diverge.
(b)
∞∑
n=1
(
1 +
1
n
)n
R.: diverge.
(c)
∞∑
n=1
cos kpi R.: diverge.
(d)
∞∑
n=1
1
n!
R.: nenhuma informação.
4. Confirme se é aplicável o teste da integral e use-o para determinar se a série converge.
(a)
∞∑
n=1
1
5n+ 2
R.: diverge. (b)
∞∑
n=1
1
1 + 9n2
R.: converge.
1
5-16. Determine se a série converge.
5.
∞∑
n=1
1
n+ 6
R.: diverge.
6.
∞∑
n=1
1√
n+ 5
R.: diverge.
7.
∞∑
n=1
1
3
√
2n− 1 R.: diverge.
8.
∞∑
n=1
n
ln(n+ 1)
R.: diverge.
9.
∞∑
n=1
ne−n
2
10.
∞∑
n=1
en
1 + e2n
11.
∞∑
n=1
(
1 +
1
n
)−n
R.: diverge.
12.
∞∑
n=1
arctann
1 + n2
R.: converge.
13.
∞∑
n=1
1√
n2 + 1
14.
∞∑
n=1
n2 sin2
(
1
n
)
R.: diverge.
15.
∞∑
n=5
7n−1,01 R.: converge.
16.
∞∑
n=1
lnn
n
17. Mostre que a série
∞∑
n=3
1
n lnn ln(lnn)
é divergente.
18. Use o teste da integral para investigar a relação entre o valor de p e a convergência
da série ∞∑
n=2
1
n(lnn)p
.
R.: converge se p > 1.
19. Mostre que a série
∞∑
n=3
earctann
n2 + 1
é convergente.
20. Determinar se as séries convergem ou divergem.
(a)
∞∑
n=1
[(
2
3
)n−1
+
1
n
]
R.: diverge. (b)
∞∑
n=1
[(
1
3n+ 2
)
− 1
n3/2
]
R.: diverge.
2