Lista - Séries alternadas, convergencia absoluta e condicional

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Séries (Séries alternadas; convergência
absoluta e condicional)
1. Mostre que a série
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
3n
converge confirmando as hipóteses do Teorema de
Leibniz.
2-5. Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
2.
∞∑
n=1
(−1)n+1 n+ 1
3n+ 1
3.
∞∑
n=1
(−1)n+1 n+ 1√
n+ 1
4.
∞∑
n=1
(−1)n+1e−n
5.
∞∑
n=1
(−1)n lnn
n
6-9. Use o teste da razão para a convergência absoluta para determinar se a série converge
ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
6.
∞∑
n=1
(
−3
5
)n
7.
∞∑
n=1
(−1)n+1 3
n
n2
8.
∞∑
n=1
(−1)nn
3
en
9.
∞∑
n=1
(−1)n+1n
n
n!
10-19. Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente
ou divergente.
10.
∞∑
n=1
(−1)n+1
3n
11.
∞∑
n=1
(−4)n
n2
12.
∞∑
n=1
cosnpi
n
13.
∞∑
n=1
(−1)n+1 n+ 2
n(n+ 3)
14.
∞∑
n=1
sen
npi
2
15.
∞∑
n=1
senn
n3
16.
∞∑
n=2
(−1)n
n lnn
17.
∞∑
n=1
(−1)n√
n(n+ 1)
18.
∞∑
n=2
(
− 1
lnn
)n
19.
∞∑
n=1
(−1)n+1n!
(2n− 1)!
20-23. Cada série satisfaz as hipóteses do Teorema de Leibniz. Com o valor dado de n,
determine uma cota superior para o valor absoluto do erro que resulta se a soma da série
for aproximada pela enésima soma parcial.
1
20.
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
; n = 7
21.
∞∑
n=1
(−1)n+1
n!
; n = 5
22.
∞∑
n=1
(−1)n+1√
n
; n = 99
23.
∞∑
n=1
(−1)n+1
(n+ 1) ln(n+ 1)
; n = 3
24-27. Cada série satisfaz as hipóteses do Teorema de Leibniz. Determine um valor de
n com o qual a enésima soma parcial garantidamente aproxima a soma da série com a
precisão explicitada.
24.
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
; |erro| < 0, 0001
25.
∞∑
n=1
(−1)n+1
n!
; |erro| < 0, 00001
26.
∞∑
n=1
(−1)n+1√
n
; duas casas decimais
27.
∞∑
n=1
(−1)n+1
(n+ 1) ln(n+ 1)
; uma casa decimal
28-29. Encontre uma cota superior do valor absoluto do erro que resulta se s10 for usada
para aproximar a soma da série geométrica dada. Calcule s10 arredondado em quatro
casas decimais e compare esse valor com a soma exata da série.
28.
3
4
− 3
8
+
3
16
− 3
32
+ · · · 29. 1− 2
3
+
4
9
− 8
27
+ · · ·
30-33. Cada série satisfaz as hipóteses do Teorema de Leibniz. Aproxime a soma da série
até duas casas decimais de precisão.
30. 1− 1
3!
+
1
5!
− 1
7!
+ · · ·
31. 1− 1
2!
+
1
4!
− 1
6!
+ · · ·
32.
1
1 · 2 −
1
2 · 22 +
1
3 · 23 −
1
4 · 24 + · · ·
33.
1
15 + 4 · 1 −
1
35 + 4 · 3 +
1
55 + 4 · 5 −
1
75 + 4 · 7 + · · ·
34-36. Vimos em sala de aula que uma das sutilezas da convergência �condicional� é que
a soma de uma série condicionalmente convergente depende da ordem em que os termos
são somados. No entanto, séries absolutamente convergentes são mais previsíveis. Pode
ser provado que qualquer série que for construída a partir do rearranjo dos termos de uma
série absolutamente convergente também será absolutamente convergente e terá a mesma
soma que a série original. Use esse fato para justificar as convergências.
2
34 Sabendo que
pi2
6
= 1 +
1
22
+
1
32
+
1
42
+ · · ·
Mostre que
pi2
8
= 1 +
1
32
+
1
52
+
1
72
+ · · · .
35 Use a série para pi2/6 do exercício anterior para mostrar que
pi2
12
= 1− 1
22
+
1
32
− 1
42
+ · · ·
36 Sabendo que
pi4
90
= 1 +
1
24
+
1
34
+
1
44
+ · · ·
Mostre que
pi4
96
= 1 +
1
34
+
1
54
+
1
74
+ · · · .
3
Respostas
1.
2. Diverge.
3. Diverge.
4. Converge.
5. Converge.
6. Converge Absolutamente.
7. Diverge.
8. Converge Absolutamente.
9. Diverge.
10. Converge Condicionalmente.
11. Diverge.
12. Converge Condicionalmente.
13. Converge Condicionalmente.
14. Diverge.
15. Converge Absolutamente.
16. Converge Condicionalmente.
17. Converge Condicionalmente.
18. Converge Absolutamente.
19. Converge Absolutamente.
20. |erro| < 0, 125.
21.
22. |erro| < 0, 1.
23.
24. n = 9.999.
25.
26. n = 39.999.
27.
28. |erro| < 0, 00074; s10 ' 0, 4995;S =
0, 5.
29.
30. 0, 84.
31.
32. 0, 41.
33.
34.
35.
36.
4