Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
5HVXPR�GD�0DWpULD�GH�&iOFXOR���� � 3�� � 0pWRGR�GDV�VHULHV�GH�SRWHQFLD��e�R�PpWRGR�SDGUmR�GH�UHVROXomR�GDV�('2¶V� OLQHDUHV�FRP�FRHILFLHQWHV�YDULiYHLV��$�VROXomR�p�GDGD�QD�IRUPD�GH�XPD�VHULH�GH�SRWHQFLD�� 6HULH�GH�SRWHQFLD�FHQWUDGD�HP�D�p�GD�VHJXLQWH�IRUPD�� ∑ ∞ m � mc ��x �− a m� C�� C�� C��x � �� � � � � � � − a � � � � � 2QGH�[�p�XPD�YDULiYHO��FP¶V�VmR�FRHILFLHQWHV�GD�VHULH��D�p�XPD�FRQVWDQWH� FKDPDGD�FHQWUR�GD�VHULH��(P�SDUWLFXODU��VH�D� ����REWHPRV�XPD�VHULH�GH�SRWHQFLD� H[SUHVVD�HP�SRWHQFLDV�GH�[�� ∑ ∞ m � mC m �� C�� C�� C�x �� � � � � � � �� � � � � 6H�D�('2�IRUQHFLGD�WLYHU�D�VROXomR�FHQWUDGD�HP�D� ����D�VROXomR�VHUi�QD�IRUPD�GH� VHULH�GH�SRWHQFLD�PRVWUDGD�DFLPD��� L� ∑ ∞ n � mC xn � � C�� C�� C�x �� � � � � � � �� � � � � LL�3DUD�TXH�VHMD�UHVROYLGR�p�SUHFLVR�GHULYDU�D�VHULH�SDUD�TXH�VHMD�VXEVWLWXtGD�QD� ('2��VH�D�VHULH�IRU�GH���2UGHP�EDVWD�GHULYDU�XPD�YH]��FDVR�VHMD�GH���2UGHP�GHULYD�VH� GXDV�YH]HV�H�DVVLP�SRU�GLDQWH�� � <¶�[�� � ∑ ∞ m � Cm �m �xm �− � � � <¶¶��[�� � ∑ ∞ m � �m �Cmx �m − � m �− � LLL��6XEVWLWXtPRV�QD�HGR�H�GHSRLV�DJUXSDPRV�DV�SRWHQFLDV�GH�PHVPD�RUGHP�GH�[�H� LJXDODPRV�D�]HUR�D�VRPD�GRV�FRHILFLHQWHV�GH�FDGD�SRWHQFLD�GH�[�� � 7HRUHPD�GD�H[LVWrQFLD�GH�VROXo}HV�GH�('2¶V�SRU�VHULH�GH�SRWHQFLD�� � ��VH�S�T�H�J�IRUHP�DQDOtWLFDV�HP�[� �D��SRGHQGR�x�� p�x�y �x�� �x�y� �x� �y′′ � � ′ � q g � HQWmR�VHU�UHSUHVHQWDGD�SRU�PHLR�GH�XPD�VHULH�GH�SRWHQFLD��[�D��FRP�UDLR�GH�FRQYHUJrQFLD� 5!���� 6ROXomR�GH�('2¶V�GH�SRWHQFLD�HP�WRUQR�GR�SRQWR�RUGLQiULR�e�GDGD�SRU�� �RX�QD�IRUPD�SDGUmR�x�y �x�� Q�x�y �x�� R�x�y�x�� � �P ′′ � � ′ � � � � ��x�� p�x�y �x�� q�x�y�x�� � �y′′ � � ′ � � � � � 2QGH�� �x�� �P � �x� p�x��� Q�x�� R�x� p�x�� tal�que�p�x�� � �Q � � � � � � � � � 'L]HPRV�TXH�D�p�SRQWR�RUGLQiULR�VH� FDVR�FRQWUDULR��D�p�GLWR�SRQWR�a�� �P � � � VLQJXODU� ��a�� � �P � � � &DVR�S�T�H�U�VHMD�SROLQ{PLRV�VHP�IDWRUHV�FRPXQV�H� ��HQWmR�D�VROXomR�JHUDO�GD�a�� �P � � � ('2�p�� � ���RQGH�F��H�F��VmR�FRQVWDQWHV�H�\��H�\��x�� m�x � c�y��x�� c�y�x�Y � ∑ ∞ m� � C − a m � � � � VROXo}HV�HP�VHULHV�GH�SRWHQFLD�DQDOLWLFD�HP�D�� VmR�FRQMXQWR�IXQGDPHQWDO��^y�� y�`� � � � � � ([HPSORV�� 5HVROYD�DV�VHJXLQWHV�('2�HP�WRUQR�GR�SRQWR�RUGLQiULR�D� �\�ƍƍ�í�[\�ƍ�í�\� ����D� ���� � ��3DVVR��GHULYDQGR�D�VHULH�GH�SRWrQFLD�JHUDO�� � WHUPR�JHUDO�\ � ∑ ∞ m � mc ��x �− a m� � � REVHUYH�TXH�R�tQGLFH�GR�VRPDWyULR�PXGD�GH�DFRUGR�FRP�R�JUDX�GD�GHULYDGD�� ���������������� �������������������\ y� ∑ ∞ m � mc ��x �− � m� ∑ ∞ m � Cmm ��x �− � m �− � � � ������\ �� �∑ ∞ m � m �Cm�x � �m − � − � m �− � � ��3DVVR��6XEVWLWXLQGR�QD�HGR�� �������� ��; � ���∑ ∞ m � m �Cm�x � �m − � − � m �− ∑ ∞ m � Cmm ��x �− � m �− � � ∑ ∞ m � mc ��x �− � m� � � ����������REVHUYH�TXH�R�VHJXQGR�VRPDWyULR�HVWi�VHQGR�PXOWLSOLFDGR�SRU�;��H�TXH�R� WHUPR�TXH�WHP�;�QR�VRPDWyULR�p�R� ��VH�PXOWLSOLFDPRV�GLUHWR�YDPRV�XP�WHUPR��x �− � m �− �� � D�PDLV�QR�VRPDWyULR��PDV�SRGHPRV�HVFUHYHU�;���TXH�HVWi�PXOWLSOLFDQGR��FRPR���[������� DVVLP�QmR�WHUHPRV�RXWUR�WHUPR�QR�VRPDWyULR��PDV�WHUHPRV�XP�QRYR�VRPDWyULR� ���;������ � ���∑ ∞ m � m �Cm�x � �m − � − � m �− ∑ ∞ m � Cmm ��x �− � m �− � � ∑ ∞ m � mc ��x �− � m� � � � � ���∑ ∞ m � m �Cm�x � �m − � − � m �− ∑ ∞ m � Cmm ��x �− � m� � ∑ ∞ m � Cmm ��x �− � m �− � � ∑ ∞ m � mc ��x �− � m� � � � � � ��SDVVR��DEULQGR�R�VRPDWyULR��� ��&���&� ���&� ����F� �«���x �− � � �� ��x �− � � �� ��x �− � � �� � � � ��&� ��&� ��&� ��&� �«���x �− � � �� ��x �− � � �� ��x �− � � �� � � ��x �− � � �� � � ���&���&� ��&� ��&� �«���x �− � � �� ��x �− � � �� � � ��x �− � � �� � ���&��&� �&� �&� �«�� ����x �− � � �� ��x �− � � �� � � ��x �− � � �� � � ��3DVVR��LJXDODQGR�RV�SROLQ{PLRV�� � QHVVD�SDUWH�YDPRV�EDVLFDPHQWH�LJXDODU�DV�SRWrQFLDV�FRP�R�PHVPR�tQGLFH�� � ILFDU�DWHQWR�FRP�RV�VLQDLV��TXH�HVWmR�PXOWLSOLFDQGR�RV�VRPDWyULRV�� � ���������&��&��&� ���� �F� ���⇒ � C� � C� � � � ��������&��&���&��&� ���� &� $�UHVSRVWD�IRL�GDGD�HP�IXQomR�GH�&��H�&���PDV�Mi�WHPRV�R�YDORU�⇒ � �C���C� ��� � GH�&�� &� � � �� � &� � ���⇒ � �C� � � � C� � C� �⇒ � � C� � C� � � � ������&���&���&��&� ��� &� � �&��&�� � �� �� �� � &� � ��⇒ � � �⇒ � � � C� � C� � C� � C� �⇒ � C� � C� � � � � 2�QXPHUR�GH�FRQVWDQWH�TXH�YRFr�YDL�DFKDU��YDL�GHSHQGHU�GD�TXDQWLGDGH�GH�WHUPRV� TXH�YRFr�TXH�QD�VXD�UHVSRVWD�� � ������3DVVR��D�UHVSRVWD�ILQDO�� � WHPRV�R�WHUPR�JHUDO��\ ��QR�FDVR�GR�H[HPSOR��\ �∑ ∞ m � m �c ��x �− a m � ∑ ∞ m � m �c ��x �− � m � � � $EULQGR�HVVH�WHUPR���\ �&��&� �&� �&� ��&� «���x �− � � �� ��x �− � � �� �� ��x �− � � �� ��x �− � � �� � � � � &RPR�WHPRV�R�YDORUHV�GH�&��&��&�«���HP�IXQomR�GH�&��(�&���2�WHUPR�ILFD�� �\� �F���&� � � � �� �� � � � � �«���x �− � � �� � � C� � C� ��x �− � � �� �� � C� � C� ��x �− � � �� � � C� � C� ��x �− � � �� � � &RORFDQGR�HP�HYLGHQFLD�&��H�&��� �� \ &����� � � ��������&�� � ��� ��x �− � �� � � � � � ��x �− � � � � � � ��x �− � � � � ��x �− � � � � � � ��x �− � � � � � � � � ��x �− � � � � � � ������� ��x �− � �� � � � � � 6ROXo}HV�HP�VHULHV�GH�SRWHQFLD�HP�WRUQR�GH�SRQWRV�VLQJXODUHV� � (TXDomR�GH�(XOHU��� ���RQGH� �H� �VmR�FRQVWDQWHV�UHDLV�y � Įxy � ȕy� � �x� ′′ � � ′ � � � Į ȕ � &RPR� ��SDUD�TXH� VHMD���� WHP�TXH�VHU����SRLV��x�� �P x� ���p x� ���� � ��p � �� � � 6XSRQKDPRV�TXH�D�VROXomR�GD�IRUPD� ��GHULYDQGR�WHPRV��x�� x �y � r � �x�� x �y′ r r �− � �x�� r�r �x �y′′ � − � r �− � 6XEVWLWXLQGR�QD�('2�� �r�r �x Į�rx �� x �x� − � r �− � � r �− � ȕ r � 'HQRWDPRV�� �����!�(TXDomR�,QGLFLDO��x�� �r � �rx �� �F r − � � Į r �− � ȕ � � 7HPRV���WLSRV�GH�VROXomR�TXH�GHSHQGH�GD�HTXDomR�LQGLFLDO�� � ��&DVR��5Dt]HV�GLIHUHQWHV� R�FRQMXQWR�IXQGDPHQWDO��VHUi�GDGD�SRU��� � �r � r � ��x�� �e���y��x�� x �y xr�� � r� � 6ROXomR�JHUDO������ �x�� �x C�x �y C r�� � � r� � � ��&DVR��5Dt]HV�LJXDLV� �R�FRQMXQWR�IXQGDPHQWDO�VHUi���� �� � �r r � �FRP� ���x�� e�y��x�� lnx �y xr� xr x ! � � 6ROXomR�JHUDO�� �FRP��x�� �x � C�x lnx �y C r� � � r x ! � � � ��&DVR��5Dt]HV�FRPSOH[DV� �R�FRQMXQWR�IXQGDPHQWDO�VHUi���� �� Ȝ� ȝ�e�r�� Ȝ� ȝ �r � � i � − i � ��x�� x cos�ȝlnx��e�y��x�� x sin�ȝlnx�y � �Ȝ � �Ȝ � 6ROXomR�JHUDO�� �x�� �x cos�ȝlnx�� C��x sin�ȝlnx�y C �Ȝ � � �Ȝ � � ([HPSOR� 5HVROYD�D�VHJXLQWH�HTXDomR�GH�(XOHU�� XVDQGR�D�(TXDomR�,QGLFLDO��x yCC� �xyC y� � � � � �� � �x�� �r � �rx �� �F r − � � Į r �− � ȕ � �����������WHPRV�TXH�� rr� � � � � � � �����������FDOFXODQGR�DV�UDt]HV�WHPRV�TXH�U ��������L��TXH�VH�HQFDL[D�QR�FDVR���GH�UDt]HV� FRPSOH[DV�� �����������WHPRV�\�[� � c�x cos��lnx� �x sen��ln�x��− � c �− � � � � &DVR�*HUDO��0pWRGR�GH�)UREHQLXV� � �x�y � Q�x�y � R�x�y� � �P ′′ � � ′ � � � � � 2EVHUYDomR��2�PpWRGR�GH�)UREHQLXV�p�SDUD�('2�HP�TXH�D�p�XP�SRQWR�VLQJXODU�� RQGH� �a�� �� �p � � $�VROXomR�p�GDGD�SHOD�VHJXLQWH�HTXDomR�UDGLFLDO� ����������������� �HP�TXH�r �� �r� �� � �r − � � p � q � � � �H��� �x �p � OLP x→a � − a P �x� Q�x� �� �x � �q � OLP x→a − a � R�x� P �x� � � 6H�R�UHVXOWDGR�GR�OLPLWH�HP�TXDOTXHU�XPD�GDV�GXDV�GHU�LQILQLWR��R�SRQWR�p�LUUHJXODU�� FDVR�R�UHVXOWDGR�GR�OLPLWH�GH�XP�QXPHUR�VHUi�SRQWR�UHJXODU�� 2EV��3RGHUi�KDYHU�PDLV�GH�XP�SRQWR�UHJXODU�H�LUUHJXODU�� � 6H�D�p�XP�SRQWR�VLQJXODU�H�UHJXODU��HQWmR�H[LVWH�SHOR�PHQRV�XPD�VROXomR�GD�IRUPD�� ��RQGH�U�p�XPD�FRQVWDQWH�SDUD�GHWHUPLQDU�R�U��XOWLOL]D�VH�x�� �x � n�x �y � − a r ∑ ∞ n � a − a n � D�HTXDomR�UDGLFLDO�PRVWUDGD�D�FLPD�� � &DVRV�SDUD�GHILQLU�R�FRQMXQWR�IXQGDPHQWDO� � ��FDVR��5DL]HV�GLVWLQWDV�H�D�VXEWUDomR�GDV�UDL]HV�QmR�GD�XP�QXPHUR�LQWHLUR���� ��e�r�� �� ∈ � �r � r − r � Z� � � 6ROXomR�JHUDO� �RQGH�y�x�� C�y��x�� �y��x� �� � � C � ��x�� �x � n�x �y � − a r� ∑ ∞ n � a − a n � � ��x�� �x � n�x �y � − a r� ∑ ∞ n � a − a n � � � ��FDVR��5DL]�GXSOD��� �� �� �r r � � 6ROXomR�JHUDO� �RQGH�y�x�� C�y��x�� �y��x� �� � � C � ��x�� �x � n�x �y � − a r ∑ ∞ n � a − a n � � ��x�� ��x�lnx� �x � n�x �y y � � − a r ∑ ∞ n � b − a n � � ��FDVR���5DL]HV�GLVWLQWDV�H�D�VXEWUDomR�GDV�UDL]HV��GD�XP�QXPHUR�LQWHLUR����� �� ��e�r�� �� � �r � r − r ∈ Z� � � 6ROXomR�JHUDO� �RQGH�y�x�� C�y��x�� �y��x� �� � � C � ��x�� �x � n�x �y � − a r� ∑ ∞ n � a − a n � � ��x�� y��x�bn �x � >� n�x � @y a � � − a r� � ∑ ∞ n � c − a n � 2EV��L��1mR�VHUi�DQDOLVDGR�UDt]HV�FRPSOH[DV�� LL��3DUD�SRQWRV�LUUHJXODUHV�R�PpWRGR�QmR�IXQFLRQD�� LLL��1D�SUDWLFD�VHUi�XWLOL]DGR�DSHQDV�R�FDVR���� ([HPSOR� � 'DGD�D�HTXDomR�GLIHUHQFLDO��[\�ƍƍ���\�ƍ���[\� ����� D��0RVWUH�TXH�[ ��p�SRQWR�VLQJXODU�UHJXODU�GD�HTXDomR�GDGD��� E��'HWHUPLQH�D�HTXDomR�LQGLFLDO�H�VXDV�UDt]HV�� F��$FKH�D�VROXomR�HP�VpULH�FRUUHVSRQGHQWH�D�PDLRU�UDL]�� � D�� � � QHVVH�H[HPSOR�$�Vy�SRGH�VHU�LJXDO�D����D ��� �H��� �x �p � OLP x→a � − a P �x� Q�x� �� �x � �q � OLP x→a − a � R�x� P �x� � S� � �[� � ����T� �� �� ��� �����OLPLWH�H[LVWH�ORJR�HP�D ��p�SRQWR�UHJXODU��OLP x→�� � �x � � �OLP x→�� x� x�x �� � E����[\�ƍƍ���\�ƍ���[\� ��� �����U�U�����S�U��T� �� ����� �U��� U� ��� � U�� �� �DFKDQGR�DV�UDt]HV��U ��H�U �r �� � �� �⇒ r �� � � � ��� �⇒ � �� � F��� � FRPR�R�H[HUFtFLR�SHGH�VRPHQWH�D�VROXomR�FRUUHVSRQGHQWH�D�PDLRU�UDL]��WHPRV�� ����x�� �x � n�x �y � − a r ∑ ∞ n � a − a n �⇒ y�x�� �x� n�x�� � � �� ∑ ∞ n � c n � � � ��������3DVVR��GHULYDU�R�\�[�� � REVHUYH�TXH�R�tQGLFH�GR�VRPDWyULR�QmR�PXGD��HP�)UREHQLXV�HOH�p�VHPSUH�FRPHoD�HP�]HUR�� ��������� ��x�� n�x�y � ∑ ∞ n � c n�� �� � � ���������\�[� � ��n �cn�x�∑ ∞ n � � � � n � �− � � ���������\�[� � �� \�[� ��n ��n �cn�x�∑ ∞ n � � � � − � � n � �− � �⇒ � �n� ��cn�x�∑ ∞ n � � − � � n � �− � � � � � � �����������3DVVR��VXEVWLWXLQGR�QD�HGR��� �����������[ � �[ ��n� ��cn�x�∑ ∞ n � � − � � n � �− � �n �cn�x�∑ ∞ n � � � � n � �− � n�x�∑ ∞ n � c n�� �� � ��������� � � ��n� ��cn�x�∑ ∞ �n � � � − � � n � �− � �n �cn�x�∑ ∞ n � � � � n � �− � n�x�∑ ∞ n � c n�� �� � � � ���������3DVVR��DEULQGR�R�VRPDWyULR�� ��� F� �� F� �� F� �� F� � F� � F� «������ F�� � �x � �− � � � �x � �� � �� �x � �� � �� �x � �� � �� �x � �� � �� �x � �� � � �x � �− � � � F� � F� ����� F� � F� � F� �������F� ��F� �F�� � �x � �� � � �x � �� � � �x � �� � � �x � �� � �� �x � �� �x � �� �x � �� � �x � �� � �F� �����x � �� � � � � �����������3DVVR��LJXDODQGR�RV�SROLQ{PLRV�� ����������� F� � F� ��� �LQFRQFOXVLYR�� � �x � �− � � � �x � �− � �⇒ � ���������� F�� F� �� ����������F� �� � � � �⇒ � ���������� F�� F��F� �� ���F� ��� �� � � �⇒ �� c� � ���������� F�� F��F� �� ���F� �� ��PDV�F� ���ORJR�F� �� �� � � �⇒ �� c� � ���������� F�� F��F� � ��F� �� � �� � F� �� �� � � �⇒ �� c� �⇒ ��� �� c� �⇒ c���� � � TXDQWLGDGH�GH�FRQVWDQWHV�TXH�YRFr�YDL�DFKDU��YDL�GHSHQGHU�GD�TXDQWLGDGH�WHUPRV� TXH�YRFr�TXH�QD�UHVSRVWD��DTXL�YDPRV�DFKDU�VRPHQWH�DWH�F��� � �������������SDVVR��D�UHVSRVWD�ILQDO�� � FRPR�QHVVH�H[HPSOR�GHX�UDt]HV�GLVWLQWDV��VH�HQFDL[D�QR�FDVR���� �����������6ROXomR�JHUDO� �RQGH�y�x�� r�y��x�� �y��x� �� � � r � �������x�� �x � n�x �y � − a r� ∑ ∞ n � c − a n ��x�� �x � n�x �y � − a r� ∑ ∞ n � c − a n �� � FRPR�IL]HPRV�VRPHQWH�GD�PDLRU�UDL]�YDPRV�XVDU�VRPHQWH�R�\��[�� � �������������\��[� ��F�� � ��������REVHUYH�TXH�RV�&QV��LPSDUHV�QmR�HQWUDUDP�x � �� �x�c � �x�c � � SRUTXH�WRGRV�VmR�LJXDLV�D���� ��������������\��[� ��F� � �������x � �� x� �− �� c� � x�c���� � � \��[� ��� � ������ c�x � �� x� �− ��� � x����� � � �� � 7UDQVIRUPDGD�GH�/DSODFH� � 6H�I�W��IRU�XPD�IXQomR�GHILQLGD�SDUD�WRGR� ��VXD�WUDQVIRUPDGD�GH�/DSODFH�p�D� �t ≥ � � LQWHJUDO�� �f �t�dt∫ ∞ � e st− � L��$�WUDQVIRUPDGD�/DSODFH�p�XPD�IXQomR�GH� ��VHQGR�GHQRWDGD�SRU� f �s� �s � � L .^f �t�` LL��$�IXQomR�GDGD�I�W��HP�WUDQVIRUPDomR�LQYHUVD�GH�I�V���VHQGR�GHQRWDGD�SRU� ��RX�VHMD��HVFUHYHPRV� �L �− ^F �s�` �t�� LF � �− ^f �t�` � � 7DEHOD�&RPSOHWD�GH�/DSODFH�� KWWSV���FGQ��PHVDOYD�FRP�XSORDGV�ILOHV�ODSODFH�SGI� � 3DUD�ID]HU�RV�FiOFXORV�GH�WUDQVIRUPDGD�GH�/DSODFH�p�SUHFLVR�WHU�XP�ERP� FRQKHFLPHQWR�GD�WDEHOD�H�VXDV�GHPRVWUDo}HV�� � 5HODo}HV�LPSRUWDQWHV�� ��osh�bt��C �e �e bt bt− inh�bt��S � e ebt− bt− � � ([SDQVmR�SRU�IUDo}HV�SDUFLDLV�� ��WLSR�� �� �s����� �� � A�s����� �� � B �s���� � ��WLSR�� �s s ��− − � � A S �− �� � B S�� � �WLSR��� �s��s �s���� �� � A S � �� � Bs���c �s �s��� � 0DLV�H[SOLFDo}HV�VREUH�H[SDQVmR�GH�IUDo}HV�SDUFLDLV��� KWWS���ZZZ�FSGHH�XIPJ�EU�aHDUDXMR�HIS� � 2EV��5HYLVDU�%LQ{PLRV�GH�1HZWRQ�WDPEpP�DMXGD�� � ([HPSORV��� ([HPSOR�����('2�XWLOL]DQGR�/DSODFH� 8VH�WUDQVIRUPDGD�GH�/DSODFH�SDUD�UHVROYHU�R�VHJXLQWH�39,��\ƍƍ�í\� �W��\���� ���� \ƍ���� ���� � 3DVVR����$SOLFDU�D�WUDQVIRUPDGD�GH�/DSODFH�QD�('2� ^y `� L^y`� L^t` �L ′′ − � � � D�WUDQVIRUPDGD�GH� �H� �H�� s y�s�� y���� ��� �y′′ � � − s − y′ � y�s� �y′ � � �t �s� � � YDL�ILFDU�HQWmR��� �� � ���� s y�s�� y���� ��� �� � − s − y′ �s�y �s� � � 3DVVR���VXEVWLWXLQGR�R�\����H�R�<¶����ILFD�D�VHJXLQWH�H[SUHVVmR�� �FRORFDQGR�R�\�V��HP�HYLGHQFLD�ILFD�y�s�� �s�� �s� − s − � − y � �s� � �s��s �� �y � − � �s� � s � � � � 3DVVR���,VRODQGR�R�\�V��� �s�� �y � �s �s ��� �− � s s ��− � � s ��− � SRGHPRV�XWLOL]DU�H[SDQVmR�SRU�IUDo}HV�SDUFLDLV�GD�VHJXLQWH�IRUPD�� ��� �� �s �s ��� �− �s �� Bs � �� � A s� � B s ��− ⇒ A � − � � � � �� )D]HQGR�V� ���ĺ� � �A � − � � )D]HQGR�V� ���ĺ� � �B � � )LFD�ĺ� s��− � �s ��− � 3DVVR�����$SOLFDQGR�/DSODFH�LQYHUVR�� �s�� �y � s� �− � �s ��− � s s ��− � � s ��− � &RPR��� ����� � �t �s� inh�at�� �e�cosh�at�� �s � � s ��− � s s ��− � DSOLFDQGR�QD�WUDQVIRUPDGD�ILFD�� �t�� inh�t�� cosh�t�� sinh�t� �Y � − t � s � � � � � �t�� � sinh�t�� �Y � − t � � � � �e e t− t− � � e �et t− � �t�� � inh�t�� �Y � − t � s � ��e t � �t�� e � sinh�t�� t �Y � t � � − � � � � )XQomR�+HDVLYLGDGH�RX�'HJUDX�8QLWiULR�� $�IXQomR�+HDVLYLGDGH�p�XPD�IXQomR�VLQJXODU�H�XPD�IXQomR�GHVFRQWLQXD�FRP� YDORU���TXDQGR�VHX�DUJXPHQWR�p�QHJDWLYR�H�YDORU�XQLWiULR�TXDQGR�R�YDORU�p�SRVLWLYR�� ([HPSOR�GH�JUDILFR�� � � $�WUDQVIRUPDGD�GH�/DSODFH�p�GDGD�GD�VHJXLQWH�PDQHLUD�� c�t�� �U � s e cs− � $�IXQomR�GHULYDGD�RX�R���GHVORFDPHQWR�p�GDGR�SRU��� S�c�t�f �t �� F �s�� �U − c e cs− � V!F!���RQGH�F�p�XPD�FRQVWDQWH�SRVLWLYD�� � ([HPSOR�����(QFRQWUH�D�WUDQVIRUPDGD�GH�/DSODFH�LQYHUVD�GD�IXQomR�GDGD�� �s��F � s �s���− ��s ��e− �s− � � 1RWH�TXH�D�IXQomR�SUDWLFDPHQWH�Mi�HVWi�QR�IRUPDWR�GD�WUDQVIRUPDGD� �c�t�f �t �� F �s�� �U − c e cs− � 1RWH�WDPEpP�TXH�QD�SDUWH�GH�EDL[R�WHPRV�R�VHJXLQWH�TXDGUDGR�SHUIHLWR�� H�DLQGD�VREUD�R�WHUPR����UHHVFUHYHQGR�ILFD�s � �s � � �s� − � � � � − � � � � �ĺ� ��RQGH� �SHOD�WDEHOD�FRUUHVSRQGH�D��� �s��F � �s �� ��− � ��s ��e− �s− L �− �s �� ��− � ��s ��e− �s− �s ��− �s �� ��− � � VHJXLQWH�WUDQVIRUPDGD��� ��HVVD�H[SUHVVmR�HTXLYDOH�D�)�V��Hcos�bt��e�at � s a− �s a� �b− � � � FRUUHVSRQGH�D�IXQomR�+HDVLYLGDGH��R���FRUUHVSRQGH�R�TXDQWR�D�IXQomR�IRLe� �s− �� GHVORFDGD�'HVVD�IRUPD�WHPRV�R�VHJXLQWH�UHVXOWDGR�� � ĺ� ��QHVVH�FDVR�ILFD��W����SRU�FDXVD�GRL� �− �s �� ��− � �s ��e− �s− U �t�e cos�t �� � ��t ��− − � � � WHRUHPD�GR���GHVORFDPHQWR ��RQGH�R���p�R�F��Uc�t�f �t �� F �s�� �� − c e cs− � � &RQYROXomR� � 6HMDP� �IXQo}HV�FXMDV�WUDQVIRUPDGDV�GH�/DSODFH�H[LVWHP��RX�VHMD��H[LVWHP�fg � ��HQWmR�� ��s�� L^f �t�`�e�G�s�� L^g�t�` �F � � ^f ��t�`� L^f �t�`L^g�t�`� �s�G�s� �L g � F � � $�WUDQVIRUPDGD�GD�FRQYROXomR�p�GDGD�SHOD�VHJXLQWH�LQWHJUDO�� �t�� f ��t�� �IJ �g�t �dIJ �ou� �t �g�IJ �dIJh � g � ∫ t � f − IJ ∫ t � f − IJ � ([HPSOR��8VH�R�WHRUHPD�VREUH�FRQYROXo}HV�SDUD�DFKDU�D�WUDQVIRUPDGD�GH�/DSODFH�LQYHUVD� GD�IXQomR�GDGD��� � �s�� �F � s�s����s ���� � � ��3DVVR�LGHQWLILFDU� ��QHP�VHPSUH�VHUi�IiFLO�HQFRQWUDU�DV�IXQo}HV�HQWmR�QHVVH�FDVR�p�e�g �f � ERP�VHSDUDU�SDUD�YHU�TXHP�p�TXHP��HP�PXLWR�FDVR�VHUi�QHFHVViULR�ID]HU�H[SDQVmR�SRU�IUDo}HV� SDUFLDLV��� QHVVH�H[HPSOR�VHUi��� �s�� �F � s�s����s ���� � �s��� s �s ���� � �� �e��g� �f ��s��� s �s ���� � � ��3DVVR�UHVROYHU�DV�WUDQVIRUPDGDV�LQYHUVDV��� �s�� �^ `� eF L �− ��s��� � � t− ���� �s�� L ^G � � �− `� os��t� �s�s ���� c � ��3DVVR�PRQWDU�D�LQWHJUDO�GD�FRQYROXomR� �t�� f ��t�� �IJ �g�t �dIJ �ou� �t �g�IJ �dIJh � g � ∫ t � f − IJ ∫ t � f − IJ � �t�� f ��t�� cos��IJ �dIJ �h � g � ∫ t � e� �t IJ�− − � � � ^ŝƐƚĞŵĂƐ�ĚĞ��ƋƵĂĕƁĞƐ�ĚŝĨĞƌĞŶĐŝĂŝƐ� �ƐƐŝŵ�ĐŽŵŽ�ƚĞŵŽƐ�ƐŝƐƚĞŵĂƐ�ĚĞ�ĞƋƵĂĕƁĞƐ�ĚĞ�ƉŽůŝŶƀŵŝŽƐ͕�ĨƵŶĕƁĞƐ�ƉĞƌŝſĚŝĐĂƐ�Ğ�ŽƵƚƌĂƐ͕� ƚĂŵďĠŵ�ĞdžŝƐƚĞŵ�ƐŝƐƚĞŵĂƐ�ĚĞ�ĞƋƵĂĕƁĞƐ�ĚŝĨĞƌĞŶĐŝĂŝƐ͘� � Ɣ ^ŽůƵĕĆŽ�Ă�ƉĂƌƚŝƌ�ĚĞ�ĂƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ�Ğ�ĂƵƚŽǀĞƚŽƌĞƐ͘� sĂŵŽƐ�ĞƐĐƌĞǀĞƌ�Ž�ƐŝƐƚĞŵĂ�ĚĂĚŽ�ĚĞ�ŽƵƚƌĂ�ĨŽƌŵĂ͘� � �ƉĞŶĂƐ ĐŚĂŵĂŶĚŽ ĂƐ ŵĂƚƌŝnjĞƐ ĚĞ ŽƵƚƌĂƐ ǀĂƌŝĄǀĞŝƐ ƉĂƌĂ ƵŵĂ ŵĞůŚŽƌ ǀŝƐƵĂůŝnjĂĕĆŽ͘ �� � � � � � � � � � � � ůĞŵďƌĂŶĚŽ ƋƵĞ ƐĞ ƚĞŵŽƐ ƵŵĂ ĞƋƵĂĕĆŽ ĚŝĨĞƌĞŶĐŝĂů ŽƌĚŝŶĄƌŝĂ ŚŽŵŽŐġŶĞĂ͕ ƉŽĚĞŵŽƐ ƵƐĂƌ Ă ƐĞŐƵŝŶƚĞ� � � � � � � � � � � � � ƐŽůƵĕĆŽ͗� � WŽĚĞŵŽƐ ĨĂnjĞƌ Ž ŵĞƐŵŽ ƉĂƌĂ Ă ĞƋƵĂĕĆŽ ƋƵĞ ĂĐŚĂŵŽƐ Ă ƉĂƌƚŝƌ ĚŽ ƐŝƐƚĞŵĂ͕ ƵŵĂ ǀĞnj ƋƵĞ ĞůĂ� � � � � � � � � � � � � � � � � ƉŽƐƐƵŝ�ĐŽĞĨŝĐŝĞŶƚĞƐ�ĐŽŶƐƚĂŶƚĞƐ�Ğ�ŚŽŵŽŐġŶĞĂ͘� � ^ƵďƐƚŝƚƵŝŶĚŽ�ĂƐ�ĚƵĂƐ�ĞƋƵĂĕƁĞƐ�ĂĐŝŵĂ�ŶĂ�ĞƋƵĂĕĆŽ�ĚŽ�ƐŝƐƚĞŵĂ�ƋƵĞ�ƚşŶŚĂŵŽƐ�ĂĐŚĂĚŽ͗� � �ŵ�ŵĂƚƌŝnjĞƐ�ƉŽĚĞŵŽƐ�ŵƵůƚŝƉůŝĐĂƌ�ƉĞůĂ�ŵĂƚƌŝnj�ŝĚĞŶƚŝĚĂĚĞ�ƋƵĞ�ŶĆŽ�ŝƌĞŵŽƐ�ĂůƚĞƌĂƌ�ŶŽƐƐĂ� ĞdžƉƌĞƐƐĆŽ͕�Ġ�ĞƋƵŝǀĂůĞŶƚĞ�Ă�ŵƵůƚŝƉůŝĐĂƌ�ƉŽƌ�ϭ͘� ȋɉ�Ǧ�Ȍ�αͲ� sĂŵŽƐ�Ăďƌŝƌ�Ă�ĞdžƉƌĞƐƐĆŽ�ŶŽ�ĨŽƌŵĂƚŽ�ŵĂƚƌŝĐŝĂů͘� � hƐĂŶĚŽ�ZĞŐƌĂ�<ƌĂŵĞƌ͕�ĐŚĞŐĂŵŽƐ�Ă͗� � � WĞƌĐĞďĞŵŽƐ�ƋƵĞ� � WŽƌƚĂŶƚŽ͕�ƉĂƌĂ�ƋƵĞ�ĞdžŝƐƚĂ�ƐŽůƵĕƁĞƐ͕�ŵĞƐŵŽ�ƋƵĞ�ŝŶĨŝŶŝƚĂƐ͕�ƚĞŵŽƐ�ƋƵĞ�ƚĞƌ͗� � KŶĚĞ ലɉ ƐĆŽ ŽƐ ĂƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ͘ WĂƌĂ ƐĂďĞƌŵŽƐ ŽƐ ĂƵƚŽǀĞƚŽƌĞƐ ǀŽůƚĂŵŽƐ Ă ĞdžƉƌĞƐƐĆŽ ƋƵĞ� � � � � � � � � � � � � ĂĐŚĂŵŽƐ͘� ɉ�α��� ^Ğ�ലɉԞ�Ġ�Ž�ĂƵƚŽǀĂůŽƌ͕�<�Ġ�Ž�ĂƵƚŽǀĞƚŽƌ͘� � �ƋƵĂĕƁĞƐ�ĚĞŵŽŶƐƚƌĂĚĂƐ�ƉĂƌĂ�ĂƐ�ƐŽůƵĕƁĞƐ�ĚŽƐ�ĞdžĞŵƉůŽƐ͗� � Ɣ Caso 1:ല��ƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ�ĚŝƐƚŝŶƚŽƐ� � Ɣ Exemplo: � Solução: � Autovetores: WŽƌƚĂŶƚŽ͕� � � Ɣ Caso 2:ല��ƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ�ĐŽŵƉůĞdžŽƐ͗� � � 2° Passo: ലĂĐŚĂŶĚŽ�ŽƐ�ĂƵƚŽǀĞƚŽƌĞƐ͘� KďƐ͗ ŶŽ ĐĂƐŽ Ƶŵ ĂĐŚĂŵŽƐ ŽƐ ĂƵƚŽǀĞƚŽƌĞƐ ĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚĞŶƚĞƐ Ă ലലϭലĞ ലലϮ͕ ലŶŽ ĐĂƐŽ Ϯ͕ ĂƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ ĐŽŵƉůĞdžŽƐ͕ ǀĂŵŽƐ� � � � � � � � � � � � � � � � � � ĂĐŚĂƌ ƐŽŵĞŶƚĞ Ƶŵ ĂƵƚŽǀĞƚŽƌ͕ ƉŽƌ ĐŽŶǀĞƌƐĆŽ ƵƐĂŵŽƐ Ž ĂƵƚŽǀĂůŽƌ ĐŽŵ Ă ƉĂƌƚĞ ŝŵĂŐŝŶĂƌŝĂ ƉŽƐŝƚŝǀĂ͕ ŵĂƐ ĐĂƐŽ� � � � � � � � � � � � � � � � ƋƵĞƌŝĂ�ĨĂnjĞƌ�ĐŽŵ�Ă�ƉĂƌƚĞ�ŶĞŐĂƚŝǀĂ�ƐƵĂ�ƌĞƐƉŽƐƚĂ�ŶĆŽ�ĞƐƚĄ�ĞƌƌĂĚĂ͘� � � � ��� � K�^͗�WĂƌĂ�ĐĂůĐƵůĂƌ�Ž�tƌŽŶƐŬŝĂŶŽ�ďĂƐƚĂ�ƉĞŐĂƌ�ĂƉĞŶĂƐ�LJϭ�Ğ�LJϮ͕�ŶĆŽ�Ġ�ŶĞĐĞƐƐĄƌŝŽ�ĚĞƌŝǀĂƌ͘� Ɣ �ĂƐŽ�ϯ͗��ƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ�ƌĞƉĞƚŝĚŽƐ� YƵĂŶĚŽ ƚĞŵŽƐ ലɉ ƌĞƉĞƚŝĚŽƐ͕ ƚĞƌĞŵŽƐ ĂƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ ůŝŶĞĂƌŵĞŶƚĞ ĚĞƉĞŶĚĞŶƚĞƐ͕ ƉĂƌĂ ƐŽůƵĐŝŽŶĂƌ ĞƐƐĞ� � � � � � � � � � � ĐĂƐŽ ďĂƐƚĂ ĨĂnjĞƌŵŽƐ ĐŽŵŽ ĞƌĂ Ğŵ ��K ĚĞ Ϯǐ ŽƌĚĞŵ͕ ŵƵůƚŝƉůŝĐĂƌ ƉĞůĂ ŵĞŶŽƌ ƉŽƚġŶĐŝĂ ĚĞ ͞ƚ͟ Ğ ĚŝǀŝĚŝƌ ƉĞůŽ� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ĨĂƚŽƌŝĂů�ĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚĞŶƚĞ�ĚĞ�ƐƵĂ�ƉŽƐŝĕĆŽ�ƉĂƌĂ�ĚĞŝdžĂƌ�Ž�ƚĞƌŵŽ�ůŝŶĞĂƌŵĞŶƚĞ�ŝŶĚĞƉĞŶĚĞŶƚĞ͘� � &ŽƌŵĂůŝnjĂĕĆŽ͗� ^Ğ�ŚĄ�ĂƉĞŶĂƐ�Ƶŵ�<�Ă�ലɉͳԞ͖�ƚĞŵŽƐ͗� � WĞƌĐĞďĂ�ƋƵĞ�ƚŽĚŽƐ�ƐĆŽ�ലɉͳԞ͕�ƌĞƉĂƌĞ�ƚĂŵďĠŵ�ŶĂƐ�ƉŽƚġŶĐŝĂƐ�ĚĞ�ƚ�Ğ�ƐĞƵƐ�ĨĂƚŽƌŝĂŝƐ�ĚĞ�ƐƵĂ�ƉŽƐŝĕĆŽ͘� �ůŐƵŶƐ ĐĂƐŽƐ͕ ŵĞƐŵŽ ƚĞŶĚŽ ĂƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ ŝŐƵĂŝƐ͕ ĞůĞƐ ĂŝŶĚĂ ƉŽĚĞŵ ŐĞƌĂƌ Ϯ ĂƵƚŽǀĞƚŽƌĞƐ >͘/͕͘ ŶĞƐƐĞ� � � � � � � � � � � � � � ĐĂƐŽ�ŶĆŽ�ŚĄ�ŶĞĐĞƐƐŝĚĂĚĞ�ĚĞ�ŵƵůƚŝƉůŝĐĂƌŵŽƐ�ƉĞůĂ�ŵĞŶŽƌ�ƉŽƚġŶĐŝĂ͘� Ɣ �džĞŵƉůŽ͗� � � � DĂŶŝƉƵůĂŶĚŽ�ŽƐ�ƐŝƐƚĞŵĂƐ͕�ĐŚĞŐĂŵŽƐ�Ă�ƐĞŐƵŝŶƚĞ�ĞdžƉƌĞƐƐĆŽ͗� αΪ � WŽƌƚĂŶƚŽ͕�ƚĞŵŽƐ�Ϯ�ĂƵƚŽǀĞƚŽƌĞƐ͘� � � WŽƌ�Ĩŝŵ͕�ĨĂnjĞŶĚŽ�ƉĂƌĂ�ലɉʹαͷԞ͘� � �ŚĞŐĂŵŽƐ�Ă�ĞdžƉƌĞƐƐĆŽ͗�ലǦȾαɀαȽ� � �ŶƚĆŽ�ĐŚĞŐĂŵŽƐ�ă�ƐŽůƵĕĆŽ�ĚŽ�ƐŝƐƚĞŵĂ͗� � � �ŽŶƐŝĚĞƌĂŶĚŽ�ĂŐŽƌĂ�ƋƵĞ�ƚĞŶŚĂŵŽƐ�ĂƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ�ŝŐƵĂŝƐ�Ğ�ĂƵƚŽǀĞƚŽƌĞƐ�ŝŐƵĂŝƐ͘� WĂƌĂ ĞƐƐĞ ƷůƚŝŵŽ ĐĂƐŽ͕ ƚĞŵŽƐ ƋƵĞ ĐŽŶƐŝĚĞƌĂƌ Ă DƵůƚŝƉůŝĐŝĚĂĚĞ ĂůŐĠďƌŝĐĂ ĚŽƐ ĂƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ� � � � � � � � � � � � ĞŶĐŽŶƚƌĂĚŽƐ͘ /ƐƐŽ ƋƵĞƌ ĚŝnjĞƌ ƐĞ ƚŝǀĞƌŵŽƐ Ϯ ĂƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ ŝŐƵĂŝƐ͕ ƚĞŵŽƐ ŵƵůƚŝƉůŝĐŝĚĂĚĞ ŝŐƵĂů Ă Ϯ͖ ƐĞ ƚŝǀĞƌŵŽƐ ϯ� � � � � � � � � � � � � � � � � ĂƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ�ŝŐƵĂŝƐ͕�ƚĞŵŽƐ�ŵƵůƚŝƉůŝĐŝĚĂĚĞ�ŝŐƵĂů�Ă�ϯ͘� ^Ğ�Ă�ŵƵůƚŝƉůŝĐŝĚĂĚĞ�ĂůŐĠďƌŝĐĂ�ĨŽƌ�Ϯ͘� ;ല�Ǧɉͳ�ԞͿല�αͲ� ;ല�Ǧɉͳ�ԞͿല�α�� �ŶƚĆŽ͕�ƚĞƌĞŵŽƐ͗� � ^Ğ Ă ŵƵůƚŝƉůŝĐŝĚĂĚĞ ĂůŐĠďƌŝĐĂ ĨŽƌ ϯ͕ ƚĞŵŽƐ Ă ŵĞƐŵĂ ĞƐƚƌƵƚƵƌĂ ĚŽ Ă ŵƵůƚŝƉůŝĐŝĚĂĚĞ Ϯ͕ ĐŽŵ ƵŵĂ� � � � � � � � � � � � � � � � ƉĞƋƵĞŶĂ�ŵƵĚĂŶĕĂ͘� � Ɣ �džĞŵƉůŽ͗� � �ĂůĐƵůĂŶĚŽ�ŽƐ�ĂƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ� � KďƚŝǀĞŵŽƐ ĚŽŝƐ ĂƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ ŝŐƵĂŝƐ͕ Ă ƉĂƌƚŝƌ ĚŝƐƐŽ͕ ƉŽĚĞŵŽƐ ƚĞƌ ĚŽŝƐ ĂƵƚŽǀĞƚŽƌĞƐ ĚŝƐƚŝŶƚŽƐ ŽƵ ĂƉĞŶĂƐ� � � � � � � � � � � � � � Ƶŵ ĂƵƚŽǀĞƚŽƌ͕ ĐĂƐŽ ƐĞũĂ ĂƉĞŶĂƐ Ƶŵ͕ ƚĞƌĞŵŽƐ ĚĞ ŵĂŶŝƉƵůĂƌ ĐŽŶĨŽƌŵĞ ŽƐ ĐĂƐŽƐ ĚĂ ŵƵůƚŝƉůŝĐŝĚĂĚĞ ĂůŐĠďƌŝĐĂ� � � � � � � � � � � � � � � ƉĂƌĂ�ŽďƚĞƌŵŽƐ�ĞdžƉƌĞƐƐƁĞƐ�ůŝŶĞĂƌŵĞŶƚĞ�ŝŶĚĞƉĞŶĚĞŶƚĞƐ͘� &ĂnjĞŶĚŽ�ƉĂƌĂ�ലɉͳαɉʹαǦ͵� � KƐ ĂƵƚŽǀĂůŽƌĞƐ ŐĞƌĂƌĂŵ ĂƉĞŶĂƐ Ƶŵ ĂƵƚŽǀĞƚŽƌ͕ ĞŶƚĆŽ ƚĞŵŽƐ ƋƵĞ ĞŶĐŽŶƚƌĂƌ Ƶŵ ŶŽǀŽ ǀĞƚŽƌ ƉĂƌĂ� � � � � � � � � � � � � � ŐĂƌĂŶƚŝƌ�ƋƵĞ�Ă�ƐŽůƵĕĆŽ�ƐĞũĂ�>͘/͘� � ^ĞŶĚŽ W Ƶŵ ǀĞƚŽƌ >͘/͘ ƉŽĚĞŵŽƐ ĞƐĐŽůŚĞƌ Ƶŵ ǀĂůŽƌ ƉĂƌĂ ലȾ ƋƵĞ Ž ലȽ ǀŝƌĄ ƉŽƌ ĐŽŶƐĞƋƵġŶĐŝĂ Ğ ŶĂ� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ƐŽůƵĕĆŽ�ĨŝŶĂů�ƋƵĂůƋƵĞƌ�ĚĞƐĂũƵƐƚĞ�ƐĞƌĄ�ĐŽŶƐĞƌƚĂĚŽ�ƉĞůĂƐ�ĐŽŶƐƚĂŶƚĞ�ല�ͳǡ�ʹԞ�͘͘͘�ĞƚĐ͘� WŽƌƚĂŶƚŽ͕�ĞƐĐŽůŚĞŶĚŽ�ലȾαͳԞ͕�ƚĞŵŽƐ͗� � �ŶƚĆŽ͕�ƚĞƌĞŵŽƐ͗� � � DŽŶŝƚŽƌĞƐ͗��ůƉŝĚŝŽ��ąŶĚŝĚŽ�͕��ƵďĂŶŝ�:ƷŶŝŽ�Ğ��ƌƵŶŽ��ĂƌƌŽƐ͘� � �
Compartilhar