Provas_Calculo_II

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO - Campus Diadema 
Departamento de Ciências Exatas e da Terra 
 
 
Rua Profº. Arthur Riedel, 275 - Eldorado - Diadema - SP - CEP: 09972-270 
Tel.: +55 11 4049-3300 Fax: 4049-6428 
 
 
Prova 1 - Cálculo II - Prof. Ana Maria do Espírito Santo 24/01/2013 
 
Nome:______________________________________ 
Turma: _______________ Matrícula nº: ___________ 
Assinatura: __________________________________ 
 
 
Questão 1 (2,0 pontos): Esboce o gráfico e faça o mapa de contorno da função abaixo 
quando z=0, z=1, z=7 e z= 10. 
( ) 22, xyyxf −= 
 
Questão 2 (3,0 pontos): Um pintor cobra R$ 50,00 por m2 para pintar 4 paredes e o teto. 
Se as medidas do teto forem 12m por 15m e a altura das paredes for 10m, com erro de 
0,05m. Qual o erro máximo no custo do cálculo do trabalho? Use o incremento para 
calcular a variação do custo do serviço. 
 
Questão 3 (3,0 pontos): Mostre que: 
a) 0.. =+ rt wrwt para a função r
t
t
r
senw ln+= 
b) ( )2zyxwww zyx ++=++ para a função xzzyyxw
222 ++= 
 
Questão 4 (2,0 pontos): Dada a função 
xzyzxyw ++=
 
 (a) Expresse uw ∂∂ / e vw ∂∂ / como funções de u e v usando a Regra da 
Cadeia, dados: 
 x = u + v y = u - v z = u.v 
 (b) Calcule uw ∂∂ / e vw ∂∂ / no ponto dado (u, v) = (-1 , 1) 
 
 
 
 
 
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Prova 1 - Cálculo II - Prof. Ana Maria do Espírito Santo 24/01/2013 
 
Nome:______________________________________ 
Turma: _______________ Matrícula nº: ___________ 
Assinatura: __________________________________ 
 
Questão 1 (2,0 pontos): Esboce o gráfico e faça o mapa de contorno da função abaixo 
quando z=2, z=4 e z= 8. 
( ) 224, yxyxf += 
 
Questão 2 (3,0 pontos): Um recipiente fechado na forma de um sólido retangular deve ter 
um comprimento interno de 8 m, uma largura interna de 6m, uma altura de 4m e uma 
espessura de 0,05m. 
(a) Use diferenciais para aproximar a quantidade (volume) de material necessário para 
construir o recipiente. 
(b) Use o incremento para calcular o volume de material necessário para construir o 
recipiente. 
(c) Qual o erro máximo estimado no cálculo do volume – use o resultado do item (a) para 
o cálculo 
 
Questão 3 (3,0 pontos): Mostre que 
0=−
yyxx
ww
 para a função 
( )yxw −= cos
 
Dada a Tabela de Derivada: 
x
uusenu
x
′−=
∂
∂
cos
 
x
uusenu
x
′=
∂
∂
cos
 
 
y
uusenu
y
′−=
∂
∂
cos
 
y
uusenu
y
′=
∂
∂
cos
 
 
Questão 4 (2,0 pontos): Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma 
força eletromotriz V. Em certo instante, V é 80 Volts e aumenta a taxa de 5 Volts por 
minuto, enquanto R é 40 Ω e decresce a taxa de 2 Ω por minuto. Use a Lei de Ohm e a 
Regra da Cadeia para achar a taxa de variação temporal da corrente. 
a taxa na qual a corrente I (em Ampères) varia. 
 
 
 
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Prova 2 - Cálculo II - Prof. Ana Maria do Espírito Santo 02/03/2013 
 
Nome:______________________________________ 
Turma: _______________ Matrícula nº: ___________ 
Assinatura: __________________________________ 
 
 
Questão 1 (2,0 pontos): Esboce a região de integração e calcule a integral: 
( )∫ ∫
1
0 0
3
2
3
y
xy dydxey
 
Questão 2 (2,0 pontos): (a) Calcule a integral 
( )∫∫
R
dAyxf ,
 para 
f(x,y) = x2 + y2 sobre a região triangular com vértices (0,0) ; (1,0) e (0,1). 
(b) Inverta a ordem de integração usando o Teorema de Fubini. 
 
Questão 3 (2,0 pontos):Esboce a região de integração e expresse a integral dupla, sobre 
a região R indicada, como uma integral iterada e ache o seu valor 
∫∫
R
dAxyx cos3 a região delimitada pelos gráficos de y = x2 , y = 0 e x = 2 
 
Questão 4 (1,0 ponto): Calcule, em coordenadas polares: 
( )∫ ∫
−
+
1
0
1
0
22
2y
dydxyx 
Questão 5 (3,0 pontos): Uma placa fina cobre a região triangular limitada pelo eixo x e 
pelas retas x = 1 e y = 2x no primeiro quadrante. A densidade da plana no ponto (x,y) é 
σ(x,y)=6x+6y+6. Encontre: (a) Encontre a massa da placa; (b) Os primeiros momentos 
(em relação ao eixo y e em relação ao eixo x); (c) O centro de massa em relação aos 
eixos coordenados. 
 
 
 
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Prova 2 - Cálculo II - Prof. Ana Maria do Espírito Santo 09/03/2013 
 
Nome:______________________________________ 
Turma: _______________ Matrícula nº: ___________ 
Assinatura: __________________________________ 
 
 
Questão 1 (2,0 pontos): Esboce a região de integração e calcule a integral: 
∫ ∫
1
0
3
3
2
y
x dydxe
 
Questão 2 (2,0 pontos): (a) Calcule a integral 
( )∫∫
R
dAyxf ,
 para 
f(x,y) = x2 + y2 sobre a região triangular com vértices (0,0) ; (1,0) e (0,1). 
(b) Inverta a ordem de integração usando o Teorema de Fubini. 
 
Questão 3 (2,0 pontos):Esboce a região de integração e expresse a integral dupla, sobre 
a região R indicada, como uma integral iterada e ache o seu valor 
∫∫
R
dAxyx cos3
a região delimitada pelos gráficos de y = x2 , y = 0 e x = 2 
Questão 4 (1,0 ponto): Calcule, em coordenadas polares: ∫∫
−−
R
yx dAe
22
 
Onde D é a região delimitada pelo semi-círculo 
2
4 yx −= e o eixo y. 
 
Questão 5 (3,0 pontos): Uma lâmina cobre a região delimitada por y = ex ; y = 0 e 
x = 1. A densidade da lâmina no ponto (x,y) é ρρρρ(x,y)= y. Encontre: (a) a massa da 
lâmina; (b) Os momentos de inércia (em relação ao eixo y e em relação ao eixo x); (c) O 
centro de massa em relação aos eixos coordenados. 
 
 
 
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Prova 3 - Cálculo II - Prof. Ana Maria do Espírito Santo 06/04/2013 
 
Nome:______________________________________ 
Turma: _______________ Matrícula nº: ___________ 
Assinatura: __________________________________ 
 
 
 
Questão 1 (3,0 pontos): O gráfico do verso mostra um sólido delimitado pelas regiões da 
figura. 
(a) Calcule o volume do sólido para a integral ∫ ∫ ∫
−
=
1
0
1 1
0x
y
dxdydzV 
(b) Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras 
ordens. 
 
 
Questão 2 (2,0 pontos): (a) Esboce o sólido cujo o volume é dado pela integral iterada 
 ∫ ∫ ∫
− −
=
1
0
1
0
1
0
2
x x
dxdzdyV 
 
 
Questão 3 (3,0 pontos): Calcule a massa, usando coordenadas cilíndricas, do elipsoide 
dado por 1644
222 =++ zyx , acima do plano xy . A densidade em um ponto do 
sólido é proporcional à distância entre o ponto e o plano xy e é dada em 



3m
kg
. 
 
 
Questão 4 (3,0 pontos): Calcule a integral tripla para o cálculo do volume do sólido 
mostrado em coordenadas esféricas. 
 
 
 
 
 
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Questão 1: Sólido abaixo 
 
 
 
 
Questão 4: Sólido abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Prova 3 - Cálculo II - Prof. Ana Maria do EspíritoSanto 06/04/2013 
 
Nome:______________________________________ 
Turma: _______________ Matrícula nº: ___________ 
Assinatura: __________________________________ 
 
 
 
Questão 1 (3,0 pontos): A figura no verso mostra um sólido delimitado pelas regiões 
dadas. 
a) Calcule o volume do sólido para a integral iterada ∫ ∫ ∫
− −
=
1
0
1
0
1
0
2
x x
dxdzdyV 
b) Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras 
ordens. 
 
 
Questão 2 (2,0 pontos): (a) Esboce o sólido cujo o volume é dado pela integral 
iterada ∫ ∫ ∫
−
=
1
0 0
1
0
2y y
dydxdzV 
 
 
Questão 3 (3,0 pontos): Calcule a massa, usando coordenadas esféricas, do “sorvete de 
casquinha” limitado acima do cone 
222 yxz += e abaixo da esfera 
9
222 =++ zyx . A densidade é uniforme em todo o volume do sólido 



3cm
g
. 
 
 
Questão 4 (3,0 pontos): Calcule a integral tripla para o cálculo do volume do sólido 
mostrado em coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO - Campus Diadema 
Departamento de Ciências Exatas e da Terra 
 
 
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Tel.: +55 11 4049-3300 Fax: 4049-6428 
 
 
 
Questão 1: Sólido abaixo 
 
 
 
 
 
 
Questão 4: Sólido abaixo 
 
 
 
xy −= 1