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Provas Antigas Algebra Linear UFES
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�lgebra Linear/algebra-p2.1.pdf
�lgebra Linear/Lista Algebra.pdf
1
Universidade Federal de Viçosa
CCE - Departamento de Matemática
Lista 4 de MAT 137
Introdução à Álgebra Linear: Transformações Lineares, Autovalores e Autovetores
1. Seja T : R2 ! R2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = (2; 1) e
triplica o comprimento do vetor v = (1; 2) sem alterar as direções e nem inverter os sentidos.
(a) Determine T (x; y).
(b) Determine a matriz da transformação linear em relação à base � = f(2; 1); (1; 2)g.
2. Consider a transformação linear T : R2 ! R3 cuja matriz em relação às bases � =
f(�1; 1); (1; 0)g e �
0
= f(1; 1;�1); (2; 1; 0); (1; 1; 0)g de R2 e R3, respectivamente, é dada por
A =
2
6
4
3 1
2 5
1 �1
3
7
5
:
(a) Encontre a expressão de T (x; y) em relação às bases canônicas de cada espaço.
(b) Qual é a imagem do vetor (2;�3) pela T .
(c) Se T (v) = (2; 4;�2), calcule v.
3. Determine as matrizes [T ]
�;�
0
em cada uma das seguintes transformações lineares com relação
às bases dadas.
(a) T (x; y) = (x+ 2y; 2x� 2y), � = f(0; 1); (2;�2)g, �
0
= f(1; 0); (2;�2)g
(b) T (x; y) = (3x+ 2y; 4x� 2y), � = f(�3; 1); (2;�2)g, �
0
= f(1; 0); (1; 3)g
(c) T (x; y; z) = (x; 4x+y; x+z), � = f(1; 1; 0); (0; 1; 0); (1; 1; 1)g, �
0
= f(1; 1; 0); (0; 1; 0); (1; 1; 1)g
4. Sabendo que a matriz do operador linear T : R3 ! R3 em relação à base
�
0
= f(1; 1; 1); (1; 2; 1); (1; 1; 3)g
é
A =
1
2
2
6
4
3 1 3
0 2 0
�1 �1 �1
3
7
5
;
determinar a matriz de T relativa à base canônica.
5. Seja T : R3 ! R3 a transformação linear dada por T (x; y; z) = (x � y; x + 2y � z; y � z) e
considere � = f(1; 0; 0); (0; 1; 1); (1; 0; 1)g e � = f(1; 0; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g duas bases de R3.
(a) Encontre a matriz da transformação linear T da base � para a �.
(b) Se [T (v)]
�
= (1; 2;�1), encontre v.
6. Dada a transformação linear T : R4 ! R3 definida por T (1; 0; 0; 0) = (1; 1; 2); T (0; 1; 0; 0) =
(1; 2; 3); T (0; 0; 1; 0) = (2; 0; 2) e T (0; 0; 0; 1) = (4; 0; 4).
(a) Encontre T (x; y; z; t),
2
(b) Determine uma base de N(T ).
(c) Determine uma base de Im(T ).
7. Sejam os subespaços vetoriais de R3, W
1
= f(x; y; z) 2 R3 tal que x � y + 4z = 0g, e
W
2
= [(0; 1; 0); (1; 0; 1)] então:
(a) Prove que W
1
é um subespaço e determine uma base.
(b) Determinar a dimensão de W
1
\W
2
.
8. Determine uma transformação linear T : P
2
(R) ! P
2
(R) tal que T (1) = x, T (x) = 1 � x2 e
T (x
2
) = 2x. Encontre o núcleo e a imagem de T .
9. Seja T : R3 ! R3 um operador linear definido pela fórmula:
T (x; y; z) = (x+ 3y + 2z; 2x+ 7y + 5z;�x� 2y):
(a) Verifique que T é injetora.
(b) Encontre T
�1
.
10. Determine uma transformação linear T : R3 ! R2 cujo núcleo seja gerado pelos vetores
v
1
= (1; 0; 0) e v
2
= (1; 2; 1).
12. Determine uma transformação linear T : R2 ! R3 cujo imagem seja gerada pelos vetores
v
1
= (1; 1; 0) e v
2
= (0; 1; 1).
13. Mostre que o operador linear T : R3 ! R3 dado por T (x; y; z) = (x� 3y � 2z; y � 4z;�z) é
inversível e determine T
�1
.
14. Seja T : R2 ! R2 uma transformação linear tal que T (1; 0; 1) = (1; 1; 0), T (0; 1; 0) =
(1; 0;�1) e T (0; 1; 1) = (0; 0; 1).
(a) Determine T (x; y; z).
(b) Determinar a matriz da transformação com respeito à base canônica de R3.
(c) T é inversível? Se for, calcule sua inversa.
15. Determine os autovalores e autovetores dos seguintes opeadores lineares:
(a) T : R2 ! R2, T (x; y) = (x+ 2y;�x+ 4y).
(b) T : R2 ! R2, T (x; y) = (2x+ 2y; x+ 3y).
(c) T : R3 ! R3, T (x; y; z) = (x+ y + z; 2y + z; 2y + 3z).
(d) T : R3 ! R3, T (x; y; z) = (x;�2x� y; 2x+ y + 2z).
(e) T : R3 ! R3, T (x; y; z) = (3x� 4z; 3y + 5z;�z).
16. Os vetores v
1
= (1; 1) e v
2
= (2;�1) são autovetores de um operador linear T : R2 ! R2
associados a �
1
= 5 e �
2
= �1 respectivamente. Usando estas informações, determine a imagem
do vetor v = (4; 1) por este operador.
17. Determinar o operador linear T : R2 ! R2 cujos autovalores são �
1
= 3 e �
2
= �2,
associados aos autovetores v
1
= (1; 2) e v
2
= (�1; 0).
18. Seja T : P
2
(R)! P
2
(R) definida por T (ax2 + bx+ c) = (a+ c)x2 + (3a+ 2b� c)x+ 3c:
(a) Encontre os autovalores de T .
3
(b) Encontre uma base para cada auto-espaço de T .
19. Consider a aplicação T :M
2
(R)! R dada por T
�
"
a
11
a
12
a
21
a
22
#
�
= a
11
+ a
22
.
(a) Mostre que T é transformação linear.
(b) A matriz
"
2 1
2 �2
#
pertence ao núcleo de T?.
(c) Encontre uma base do núcleo de T .
(d) Encontre uma base da imagem de T .
20. Considere o operador T : R3 ! R3 dado por T (x; y; z) = (�2x�4y; 2x+4y;�2x�2y+2z).
(a) Determine o polinômio característico de T .
(b) Quais são os autovalores de T?
(c) T é inversível.
21. Dê, quando possível, exemplos de transformações lineares T e S satisfazendo as seguintes
condições:
(a) T : R3 ! R2 sobrejetora.
(b) S : R3 ! R2 com N(S) = f(0; 0; 0)g.
22. Considere a transformação linear T : R3 ! R3 dada por T (x; y; z) = (2z;�y; 2x).
(a) Encontre os autovalores de T .
(b) Encontre os autovetores de T .
(c) Diagonalize T .
23. Verifique se as matrizes dadas são diagonalizáveis.
A =
2
6
4
1 �1 0
2 3 2
1 1 2
3
7
5
, B =
2
6
4
1 �1 0
2 3 2
1 1 2
3
7
5
, C =
2
6
4
2 2 3
1 2 1
2 �2 1
3
7
5
24. Considere o operador linear T : R4 ! R4 dado por T (x; y; z; t) = (y + t; x+ z; y + t; x+ z).
(a) Determine o polinômio de T .
(b) Quais são os autovalores de T?
(c) Encontre os autovetores de T .
(d) T é inversível?
(e) T é diagonalizável? Em caso afirmativo, dê uma base � na qual [T ]
�
é diagonal.
�lgebra Linear/Lista AL/Lista de Algebra Linear_ matrizes sistemas lineares e determinantes.pdf
1
Lista de Algebra Linear
Assuntos: Matrizes, Sistemas lineares e determinantes
2
3
4
5
6
7
8
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�lgebra Linear/P1 2010_1.pdf
1
UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
29/04/2010
Prova 1 - A´lgebra Linear - F´ısica
1. Considere o sistema:
2x + y + z = −6α
2x
+ y + (β + 1)z = 4
βx + 3y + 2z = 2α.
(a) Mostre que, se β 6= 0 e β 6= 6, o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o. (1 ponto)
(b) Prove que, se β = 0, existe um u´nico valor de α para o qual o sistema e´ poss´ıvel.
Determine a soluc¸a˜o, neste caso. (1 ponto)
(c) Discuta o sistema no caso β = 6. (0,5 pontos)
2. Seja A uma matriz de ordem n × n definida por aij =
{
0, se i = j
1, se i 6= j . Mostre que
det(A) = (−1)n−1(n− 1). (2,5 pontos)
3. Considere a matriz:
A =
1 0 03 2 1
0 1 2
.
Escreva A−1 como produto de matrizes elementares (explicite cada matriz elementar).
(2,0 pontos)
4. Sendo A e B matrizes quadradas. Responda se cada item abaixo e´ verdadeiro ou falso,
justificando sua resposta.
(a) det(A+B) = det(A) + det(B). (1 ponto)
(b) AB e´ invert´ıvel se, e so´ se, A e B sa˜o invert´ıveis. (1 ponto)
(c) Seja x um vetor de tamanho n× 1. Enta˜o Ax = 0 implica que x = 0. (1 ponto)
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
�lgebra Linear/p1 2012_1.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Primeira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 03 de abril de 2012
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
Justifique seu racioc´ınio.
1. Seja
A =
a 1 −1 a 00 a + 1 1 1 1
−1 1 0 a + 1 b
a matriz ampliada de um sistema linear. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha: (a)
soluc¸a˜o u´nica; (b) infinitas soluc¸o˜es e (c) nenhuma soluc¸a˜o.
2. Calcule o determinante de
A =
x 2 0 3
1 2 3 3
1 0 1 1
1 1 1 3
e determine para quais valores de x esta matriz e´ invert´ıvel.
3. Seja A uma matriz 3× 3 tal que
AX1 = B1, AX2 = B2, AX3 = B3 (1)
onde B1 =
[
4 2 −2]T , B2 = [−1 2 0]T e B3 = [2 −1 1]T .
(a) Mostre que a matriz B com colunas B1, B2 e B3 e´ invert´ıvel.
(b) Mostre que A e´ invert´ıvel.
(c) Dados X1 =
[
1 2 −2]T , X2 = [3 1 1]T e X3 = [2 −1 3]T ; mostre que na˜o existe A
satisfazendo as igualdades em (1) acima.
4. (a) Seja I a matriz identidade 2× 2. Mostre que as matrizes X1 = I e X2 = 4I satisfazem X2 −
5X + 4I = 0, onde X e´ uma matriz 2× 2.
(b) Existem outras matrizes que satisfazem X2 − 5X + 4I = 0?
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Existem matrizes A e B, ambas na˜o-nulas, tais que (A−B)2 = A2 − 2AB + B2.
(b) Se a forma escalonada da matriz ampliada de um sistema possui linha nula, enta˜o o sistema tem
infinitas soluc¸o˜es.
(c) Se A e´ uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A) = −2, enta˜o det(adj(A)) = −8.
(d) Na˜o existem a 6= 0 e b 6= 0 tais que E =
1 0 00 1 0
0 a b
e´ elementar.
Boa Prova!!!
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2003.2.pdf
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2004.1.pdf
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2004.2.pdf
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2005.1.pdf
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2006.1.pdf
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2007.1.pdf
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2008.2.pdf
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2009.2.pdf
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2010.1.2.pdf
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2010.1.pdf
1
UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
29/04/2010
Prova 1 - A´lgebra Linear - F´ısica
1. Considere o sistema:
2x + y + z = −6α
2x + y + (β + 1)z = 4
βx + 3y + 2z = 2α.
(a) Mostre que, se β 6= 0 e β 6= 6, o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o. (1 ponto)
(b) Prove que, se β = 0, existe um u´nico valor de α para o qual o sistema e´ poss´ıvel.
Determine a soluc¸a˜o, neste caso. (1 ponto)
(c) Discuta o sistema no caso β = 6. (0,5 pontos)
2. Seja A uma matriz de ordem n × n definida por aij =
{
0, se i = j
1, se i 6= j . Mostre que
det(A) = (−1)n−1(n− 1). (2,5 pontos)
3. Considere a matriz:
A =
1 0 03 2 1
0 1 2
.
Escreva A−1 como produto de matrizes elementares (explicite cada matriz elementar).
(2,0 pontos)
4. Sendo A e B matrizes quadradas. Responda se cada item abaixo e´ verdadeiro ou falso,
justificando sua resposta.
(a) det(A+B) = det(A) + det(B). (1 ponto)
(b) AB e´ invert´ıvel se, e so´ se, A e B sa˜o invert´ıveis. (1 ponto)
(c) Seja x um vetor de tamanho n× 1. Enta˜o Ax = 0 implica que x = 0. (1 ponto)
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2010.pdf
1
UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
24/05/2010
Prova 1 - A´lgebra Linear - Engenharias
1. Analise o sistema em func¸a˜o de a e b: (2,5 pontos)
−2x + (a+ 3)y − bz = −3
x + bz = 1
2x + 4y + 3bz = −b.
2. Calcule o determinante da matriz abaixo por escalonamento: (2,0 pontos)
A =
0 −3 −5 6
2 2 3 −2
0 −3 −4 3
0 −1 −1 +2
.
3. Considere a matriz:
A =
1 2 3 −2
0 −3 −5 6
0 α− 6 −8 6
0 −1 −1 α+ 2
.
Determine α para que a forma escalonada de A na˜o tenha linhas nulas. Explicite cada
matriz elementar do escalonamento. (2,5 pontos)
4. Sendo A e B matrizes quadradas. Responda se cada item abaixo e´ verdadeiro ou falso,
justificando sua resposta.
(a) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2. (1 ponto)
(b) AB e´ invert´ıvel se, e so´ se, A e B sa˜o invert´ıveis. (1 ponto)
(c) O vetor η = (a, b, c) e´ ortogonal ao plano ax+ by+ cz+ d = 0, onde a 6= 0 ou b 6= 0 ou
c 6= 0. (1 ponto)
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2011.1.pdf
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2012.1.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Primeira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 03 de abril de 2012
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
Justifique seu racioc´ınio.
1. Seja
A =
a 1 −1 a 00 a + 1 1 1 1
−1 1 0 a + 1 b
a matriz ampliada de um sistema linear. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha: (a)
soluc¸a˜o u´nica; (b) infinitas soluc¸o˜es e (c) nenhuma soluc¸a˜o.
2. Calcule o determinante de
A =
x 2 0 3
1 2 3 3
1 0 1 1
1 1 1 3
e determine para quais valores de x esta matriz e´ invert´ıvel.
3. Seja A uma matriz 3× 3 tal que
AX1 = B1, AX2 = B2, AX3 = B3 (1)
onde B1 =
[
4 2 −2]T , B2 = [−1 2 0]T e B3 = [2 −1 1]T .
(a) Mostre que a matriz B com colunas B1, B2 e B3 e´ invert´ıvel.
(b) Mostre que A e´ invert´ıvel.
(c) Dados X1 =
[
1 2 −2]T , X2 = [3 1 1]T e X3 = [2 −1 3]T ; mostre que na˜o existe A
satisfazendo as igualdades em (1) acima.
4. (a) Seja I a matriz identidade 2× 2. Mostre que as matrizes X1 = I e X2 = 4I satisfazem X2 −
5X + 4I = 0, onde X e´ uma matriz 2× 2.
(b) Existem outras matrizes que satisfazem X2 − 5X + 4I = 0?
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Existem matrizes A e B, ambas na˜o-nulas, tais que (A−B)2 = A2 − 2AB + B2.
(b) Se a forma escalonada da matriz ampliada de um sistema possui linha nula, enta˜o o sistema tem
infinitas soluc¸o˜es.
(c) Se A e´ uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A) = −2, enta˜o det(adj(A)) = −8.
(d) Na˜o existem a 6= 0 e b 6= 0 tais que E =
1 0 00 1 0
0 a b
e´ elementar.
Boa Prova!!!
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2012.2 Prova e Solu��o.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Uma Soluc¸a˜o - Primeira Prova de A´lgebra Linear - 2012/2
Vito´ria, 20 de dezembro de 2012
1. Seja
A =
1 0 −1 a −11 2 b 0 b2
2 b −1 b −2
a matriz ampliada de um sistema linear. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha:
(a) soluc¸a˜o u´nica; (b) infinitas
soluc¸o˜es e (c) nenhuma soluc¸a˜o.
Sol.: Como o sistema associado a A tem mais varia´veis que equac¸o˜es, o sistema na˜o tera´ soluc¸a˜o
u´nica, independente dos valores de a e b. Escalonando A obtemos:1 0 −1 a −10 2 b+ 1 −a b2 + 1
0 0 2−b−b
2
2
b(1 + a
2
)− 2a −b
2
(b2 + 1)
Se 2− b− b2 6= 0, isto e´ se b 6= 1 e b 6= −2, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es, independente de a.
Se b = 1 enta˜o escalonando A obtemos1 0 −1 a −10 2 2 −a 2
0 0 0 (1 + a
2
)− 2a −1
Neste caso, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es se (1 + a
2
) − 2a 6= 0, ou seja, se a 6= 2
3
e na˜o tera´
soluc¸o˜es se a = 2
3
.
Se b = −2 enta˜o escalonando A obtemos1 0 −1 a −10 2 −1 −a 5
0 0 0 −2(1 + a
2
)− 2a 5
Neste caso, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es se −2(1 + a
2
)− 2a 6= 0, ou seja, se a 6= −2
3
e na˜o tera´
soluc¸o˜es se a = −2
3
.
2. Determine a inversa de
(a) A =
[
5 3
2 1
]
Sol.: A−1 =
[−1 3
2 −5
]
(b) B =
0 0 2 4
0 0 0 2
5 3 0 0
2 1 0 0
Sol.: B−1 =
0 0 −1 3
0 0 2 −5
1
2
−1 0 0
0 1
2
0 0
3. Seja A =
3 2 0 31 2 3 3
1 0 1 1
.
(a) Encontre uma matriz escalonada T e matrizes elementares E1, E2, · · · , Ek tais que
E1E2 · · ·Ek A = T .
Sol.: Sejam E1 =
0 0 10 1 0
1 0 0
, E2 =
1 0 0−1 1 0
0 0 1
, E3 =
1 0 00 1 0
−3 0 1
, E4 =
1 0 00 1
2
0
0 0 1
,
E5 =
1 0 00 1 0
0 −2 1
e E6 =
1 0 00 1 0
0 0 −1
5
Enta˜o E6E5E4E3E2E1A =
1 0 1 10 1 1 1
0 0 1 2
5
= T .
(b) Encontre uma matriz P tal que A = PT , sendo T a matriz obtida no item (a).
Sol.: Seja P = (E6E5E4E3E2E1)
−1 = E−11 E
−1
2 E
−1
3 E
−1
4 E
−1
5 E
−1
6 , A = PT .
4. Seja A =
[
3 −1
1 1
]
.
(a) Determine valores de λ tais que Ax = λx, onde x e´ uma matriz coluna, 2 × 1, na˜o-nula.
Sol.: Ax = λx e´ equivalente a (A − λI)x = 0, cuja matriz ampliada e´
[
3− λ −1 0
1 1− λ 0
]
.
Escalonando obtemos:
[
1 1− λ 0
0 −1− (3− λ)(1− λ) 0
]
. Logo, se −1 − (3 − λ)(1 − λ) 6= 0, ou
seja, se λ 6= 2 o sistema homogeˆneo (A− λI)x = 0 tera´ apenas a soluc¸a˜o trivial. Se λ = 2 o
sitema tera´ infinitas soluc¸o˜es.
(b) Para cada valor de λ obtido no item (a), encontre o conjunto soluc¸a˜o do sistema (A−λI)x = 0.
Sol.: Para λ = 2 a matriz ampliada escalonada fica
[
1 −1 0
0 0 0
]
. Logo o conjunto soluc¸a˜o do
sistema associado e´ {(t, t) ∈ R2; t ∈ R}.
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Se A e´ um matriz quadrada tal que A4 = 0, enta˜o (I − A)−1 = I + A+ A2 + A3.
Sol.: VERDADEIRO, pois (I−A)(I+A+A2+A3) = I+A+A2+A3−A−A2−A3−A4 = I.
(b) Se E e´ elementar, enta˜o ET tambe´m e´ elementar.
Sol.: VERDADEIRO, pois se E e´ obtida da identidade multiplicando uma linha por constante
na˜o nula, ou trocando linhas enta˜o E e´ sime´trica, isto e´ ET = E. Se E e´ obtida da identidade
trocando a linha i por ela mais c vezes a linha j, enta˜o ET pode ser obtida da identidade
trocando a linha j por ela mais c vezes a linha i e portanto ET e´ elementar.
2
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2012.2 Solu��o.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Uma Soluc¸a˜o - Primeira Prova de A´lgebra Linear - 2012/2
Vito´ria, 20 de dezembro de 2012
1. Seja
A =
1 0 −1 a −11 2 b 0 b2
2 b −1 b −2
a matriz ampliada de um sistema linear. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha:
(a) soluc¸a˜o u´nica; (b) infinitas soluc¸o˜es e (c) nenhuma soluc¸a˜o.
Sol.: Como o sistema associado a A tem mais varia´veis que equac¸o˜es, o sistema na˜o tera´ soluc¸a˜o
u´nica, independente dos valores de a e b. Escalonando A obtemos:1 0 −1 a −10 2 b+ 1 −a b2 + 1
0 0 2−b−b
2
2
b(1 + a
2
)− 2a −b
2
(b2 + 1)
Se 2− b− b2 6= 0, isto e´ se b 6= 1 e b 6= −2, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es, independente de a.
Se b = 1 enta˜o escalonando A obtemos1 0 −1 a −10 2 2 −a 2
0 0 0 (1 + a
2
)− 2a −1
Neste caso, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es se (1 + a
2
) − 2a 6= 0, ou seja, se a 6= 2
3
e na˜o tera´
soluc¸o˜es se a = 2
3
.
Se b = −2 enta˜o escalonando A obtemos1 0 −1 a −10 2 −1 −a 5
0 0 0 −2(1 + a
2
)− 2a 5
Neste caso, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es se −2(1 + a
2
)− 2a 6= 0, ou seja, se a 6= −2
3
e na˜o tera´
soluc¸o˜es se a = −2
3
.
2. Determine a inversa de
(a) A =
[
5 3
2 1
]
Sol.: A−1 =
[−1 3
2 −5
]
(b) B =
0 0 2 4
0 0 0 2
5 3 0 0
2 1 0 0
Sol.: B−1 =
0 0 −1 3
0 0 2 −5
1
2
−1 0 0
0 1
2
0 0
3. Seja A =
3 2 0 31 2 3 3
1 0 1 1
.
(a) Encontre uma matriz escalonada T e matrizes elementares E1, E2, · · · , Ek tais que
E1E2 · · ·Ek A = T .
Sol.: Sejam E1 =
0 0 10 1 0
1 0 0
, E2 =
1 0 0−1 1 0
0 0 1
, E3 =
1 0 00 1 0
−3 0 1
, E4 =
1 0 00 1
2
0
0 0 1
,
E5 =
1 0 00 1 0
0 −2 1
e E6 =
1 0 00 1 0
0 0 −1
5
Enta˜o E6E5E4E3E2E1A =
1 0 1 10 1 1 1
0 0 1 2
5
= T .
(b) Encontre uma matriz P tal que A = PT , sendo T a matriz obtida no item (a).
Sol.: Seja P = (E6E5E4E3E2E1)
−1 = E−11 E
−1
2 E
−1
3 E
−1
4 E
−1
5 E
−1
6 , A = PT .
4. Seja A =
[
3 −1
1 1
]
.
(a) Determine valores de λ tais que Ax = λx, onde x e´ uma matriz coluna, 2 × 1, na˜o-nula.
Sol.: Ax = λx e´ equivalente a (A − λI)x = 0, cuja matriz ampliada e´
[
3− λ −1 0
1 1− λ 0
]
.
Escalonando obtemos:
[
1 1− λ 0
0 −1− (3− λ)(1− λ) 0
]
. Logo, se −1 − (3 − λ)(1 − λ) 6= 0, ou
seja, se λ 6= 2 o sistema homogeˆneo (A− λI)x = 0 tera´ apenas a soluc¸a˜o trivial. Se λ = 2 o
sitema tera´ infinitas soluc¸o˜es.
(b) Para cada valor de λ obtido no item (a), encontre o conjunto soluc¸a˜o do sistema (A−λI)x = 0.
Sol.: Para λ = 2 a matriz ampliada escalonada fica
[
1 −1 0
0 0 0
]
. Logo o conjunto soluc¸a˜o do
sistema associado e´ {(t, t) ∈ R2; t ∈ R}.
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Se A e´ um matriz quadrada tal que A4 = 0, enta˜o (I − A)−1 = I + A+ A2 + A3.
Sol.: VERDADEIRO, pois (I−A)(I+A+A2+A3) = I+A+A2+A3−A−A2−A3−A4 = I.
(b) Se E e´ elementar, enta˜o ET tambe´m e´ elementar.
Sol.: VERDADEIRO, pois se E e´ obtida da identidade multiplicando uma linha por constante
na˜o nula, ou trocando linhas enta˜o E e´ sime´trica, isto e´ ET = E. Se E e´ obtida da identidade
trocando a linha i por ela mais c vezes a linha j, enta˜o ET pode ser obtida da identidade
trocando a linha j por ela mais c vezes a linha i e portanto ET e´ elementar.
2
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1
UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
08/06/2010
Prova 2 - A´lgebra Linear - F´ısica
1. Seja o plano Π definido pela equac¸a˜o x+ y + z = 0.
(a) (1,0) Dado um ponto P = (a, b, c) qualquer em R3, determine o ponto
Q ∈ Π tal que o vetor ~QP seja ortogonal ao plano Π.
(b) (1,5) A func¸a˜o que associa a cada ponto P ∈ R3 o ponto Q ∈ Π obtido
no item acima e´ uma transformac¸a˜o linear?
2. Dado o plano Π definido pela equac¸a˜o 2x+ y − z = 0
(a) (1,0) Encontre uma base {u1, u2} para o plano Π.
(b) (1,0) Encontre uma base B = {u1, u2, u} do espac¸o euclidiano R3,
onde u e´ ortogonal a u1 e u2.
(c) (0,5) Usando o item anterior, determine a matriz canoˆnica da trans-
formac¸a˜o linear T : R3 → R3 que e´ a reflexa˜o no plano Π.
3. Dada a matriz
A =
1 4 5 −13 −2 1 2
−1 0 −1 −3
(a)
(1,5) Encontre uma base para o espac¸o coluna da matriz A.
(b) (1,0) Encontre uma base para S = {b ∈ R3;Ax = b tem soluc¸a˜o}.
4. Dado o conjunto S = {(x, y, z, t) ∈ R4; x− y + z + t = 0}.
(a) (1,5) Mostre que S e´ um subespac¸o do R4.
(b) (1,0)O conjuntoB = {(1, 2, 0, 1); (3, 1,−1,−1); (1,−2,−2,−1); (0, 2, 1, 1)}
gera o subespac¸o S?
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
�lgebra Linear/P2+Sol 2012_1.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Primeira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 15 de maio de 2012
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
Justifique seu racioc´ınio.
1. Seja
A =
1 −1 01 1 1
−1 −5 −3
(a) Determine a soluc¸a˜o do sitema linear homogeneo Ax = 0.
(b) Determine a intersec¸a˜o do subespac¸o encontrado no item (a) com o plano pi
determinado pela equac¸a˜o −2x+ 3y − z − 1 = 0.
(c) Encontre a equac¸a˜o do plano que conte´m o subespac¸o encontrado no item (a) e
e´ perpendicular ao plano pi dado no item (b).
2. Seja C = {v1;v2;v3;v4} um conjunto de vetores em R5, onde
v1 = (−1, 2, 3, 1,−1);v2 = (2, 2, 1, 1, 1);v3 = (2, 1,−1,−1, 1);v4 = (1,−1,−1, 1, 1).
Determine bases para o espac¸o gerado por C e para seu complemento ortogonal.
3. Seja B = {v1 = (2,−1, 3, 2, 5); v2 = (−1, 2, 3,−1, 1); v3 = (1, 1, 0, 0, 1)} base de W .
(a) Determine uma base ortogonal de W .
(b) Se v = v1−v2 +v3, enta˜o determine a projec¸a˜o ortogonal de v no espac¸o gerado
por B.
4. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Seja u um vetor na˜o nulo. Se u× v = u×w, enta˜o v = w.
(b) Seja V um espac¸o com produto interno e W um subespac¸o de V . Para qualquer
u ∈ V , os vetores projW u e projW⊥ u sa˜o ortogonais.
(c) Se {v1,v2,v3} e´ um conjunto linearmente dependente de vetores na˜o-nulos, enta˜o
cada vetor no conjunto pode ser obtido como combinac¸a˜o linear dos outros dois.
(d) Se b e´ um vetor tal que o sitema Ax = b na˜o tem soluc¸a˜o, enta˜o b na˜o pertence
ao espac¸o-coluna de A.
Boa Prova!!!
1
Prof.: Etereldes
16/05/2012
Sugesta˜o de Prova II - A´lgebra Linear
1. (a) A forma escalonada da matriz aumentada do sistema e´: 1 0 1/2 00 1 1/2 0
0 0 0 0
.
Logo, o sistema Ax = 0 e´ equivalente a
x+
z
2
= 0
y +
z
2
= 0
, cuja soluc¸a˜o e´
S = {(−z
2
,−z
2
, z); z ∈ R} = ger{(−1,−1, 2)}.
(b) Se (x, y, z) ∈ pi ∩S enta˜o
2x+ 3y − z = 1
x+
z
2
= 0
y +
z
2
= 0
, cuja soluc¸a˜o u´nica e´ (
1
3
,
1
3
,−2
3
).
(c) Seja P o plano pedido. Enta˜o ηP (−1,−1, 2) × (−2, 3,−1) = (−5,−5,−5) e´
normal a P . Como (
1
3
,
1
3
,−2
3
) ∈ P , enta˜o P = {(x, y, z) ∈ R3;< (x, y, z) −
(
1
3
,
1
3
,−2
3
), (−5,−5,−5) >= 0} cuja equac¸a˜o e´ x+ y + z = 0.
2. Seja A a matriz cujas linha sa˜o v1, v2, v2 e v4. A matriz A e´ equivalente por linhas
a:
R =
5 0 0 6 4
0 5 0 −8 −2
0 0 5 9 1
0 0 0 0 0
.
Uma base para W = ger{C} e´ {(5, 0, 0, 6, 4), (0, 5, 0,−8,−2), (0, 0, 5, 9, 1)}. Como
W⊥ e´ igual ao nu´cleo de A, basta encontrar uma base para o espac¸o soluc¸a˜o de
Rx = 0. Logo, uma base para W⊥ e´ {(−6, 8,−9, 5, 0), (−4, 2,−1, 0, 5)}.
3. (a) Seja u1 = (1, 1, 0, 0, 1) e
u′2 = v2 − Pu1v2 = (
−5
3
,
4
3
, 3,−1, 1
3
)
. Logo, u2 = (−5, 4, 9,−3, 1) e u1 sa˜o ortogonais. Seja
u′3 = v3 − Pu1v3 − Pu2v3 = (
5
11
,
−37
11
,
25
11
,
32
11
)
2
.
Logo, u3 = (5, 37, 24, 25, 32) e´ ortogonal a u1 e a u2. Veja que B
′ = {u1, u2, u3}
na˜o e´ uma base ortonormal de W .
(b) [v]B = v1− v2 + v3 = (4,−2, 0, 3, 5). Como B′ e´ ortogonal [v]′B = α1u1 +α2u2 +
α3u3 onde αi =
< v, ui >
‖ui‖2 . Logo,
[v]B′ = (
7
3
,
−42
132
,
181
3619
).
4. (a) Falso. Sejam u,w ∈ R3 tais que v = w− u seja na˜o nulo. Enta˜o u× v = u×w.
(b) Verdadeiro. Pois projWu ∈ W e projW⊥u ∈ W⊥.
(c) Falso. Pois {u1 = (1, 0), u2 = (0, 1), u3 = (0, 2)} e´ LD, e na˜o existe a, b ∈ R tais
que u1 = au2 + bu3.
(d) Verdadeiro. Se Ax = b enta˜o b e´ combinac¸a˜o linear das colunas de A.
p2
P2 solução
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�lgebra Linear/P2/P2 �lgebra Linear 2011.1.2 .pdf
�lgebra Linear/P2/P2 �lgebra Linear 2011.1.2.pdf
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES
Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/2
Aluno:____________________________________________________________________
Data: 25/10/2011
Questão 1 (3,0 pontos)
a) Encontre uma equação para o plano Π passando pelo ponto ( )211 ,, − e que contém a
interseção dos planos 01 =−+ zx e 022 =+− zyx .
b) Para cada ponto ( ) 3,, ℜ∈= zyxP , determine o ponto Π∈Q tal que o vetor QP seja
paralelo ao eixo x.
c) A função que associa a cada ponto 3ℜ∈P o ponto Π∈Q obtido no item (b) é uma
transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz
canônica.
Questão 2 (2,0 pontos)
Seja r a reta de equações paramétricas tx = , ty −= , tz 2= . Determine
a) uma base de { }321 v,v,v do espaço euclidiano 3ℜ , sendo rv ∈1 e 2v e 3v ortogonais a r.
b) a matriz canônica do operador linear de 3ℜ que é a projeção ortogonal sobre a reta r,
usando a base obtida no item (a).
Questão3 (3,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano 4ℜ gerado por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }553100525501512132101 −−−−−−−= ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,S .
a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W.
b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma
combinação linear dos vetores da base.
c) Determine uma base ortogonal do complemento ortogonal de W.
Questão 4 (2,0 pontos)
Sejam o espaço euclidiano 3ℜ e ( ) ( ) ( ){ }140243001 ,,,,,,,,B −= uma base de 3ℜ .
a) Use o processo de Gram-Schmidt para transformar B em uma base ortogonal.
b) Determine o vetor de coordenadas, em relação à base ortogonal obtida no item (a), do
vetor de 3ℜ cujo vetor de coordenadas, em relação a B, é ( )12121 ,,− .
�lgebra Linear/P2/P2 �lgebra Linear 2011.1.pdf
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES
Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/1
Aluno:____________________________________________________________________
Data: 10/05/2011
Questão 1 (3,0 pontos)
a) Encontre uma equação para o plano Π passando pela origem e que é perpendicular à
reta de interseção dos planos 12 −=++ zyx e 72 =++ zyx .
b) Dado um ponto ( ) 3,, ℜ∈= zyxP , determine o ponto Π∈Q tal que o vetor QP seja
ortogonal ao plano Π .
c) A função que associa a cada ponto 3ℜ∈P o ponto Π∈Q obtido no item (b) é uma
transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz
canônica.
Questão 2 (1,0 pontos)
Seja { }321 ,, vvv uma base de um espaço vetorial V. Mostre que { }321 ,, uuu também é
base de V, sendo 11 vu = , 212 vvu += e 3213 vvvu ++= .
Questão 3 (2,0 pontos)
Sejam r a reta de equações paramétricas tx = , ty −= , tz 2= e Π o plano passando pela
origem e perpendicular à reta r. Determine a matriz canônica do operador linear T de 3ℜ
tal que ( ) 0=vT , para cada rv ∈ , e ( ) vvT 2−= , para cada Π∈v .
Questão 4 (2,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial de 4ℜ gerado por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }8,2,18,7,3,2,4,0,4,9,5,4,0,1,3,2,2,5,1,1 −−−−−−=S .
a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W.
b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma
combinação
linear dos vetores da base.
Questão 5 (2,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano 5ℜ gerado por
( ) ( ) ( ) ( ){ }8,7,5,3,2,1,2,1,0,1,1,4,1,2,3,9,6,5,4,1 −−−−−−=S . Encontre bases para W e
para o complemento ortogonal de W.
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Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/1
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Data: 10/05/2011
Questão 1 (3,0 pontos)
a) Encontre uma equação para o plano Π passando pela origem e que é perpendicular à
reta de interseção dos planos 12 −=++ zyx e 72 =++ zyx .
b) Dado um ponto ( ) 3,, ℜ∈= zyxP , determine o ponto Π∈Q tal que o vetor QP seja
ortogonal ao plano Π .
c) A função que associa a cada ponto 3ℜ∈P o ponto Π∈Q obtido no item (b) é uma
transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz
canônica.
Questão 2 (1,0 pontos)
Seja { }321 ,, vvv uma base de um espaço vetorial V. Mostre que { }321 ,, uuu também é
base de V, sendo 11 vu = , 212 vvu += e 3213 vvvu ++= .
Questão 3 (2,0 pontos)
Sejam r a reta de equações paramétricas tx = , ty −= , tz 2= e Π o plano passando pela
origem e perpendicular à reta r. Determine a matriz canônica do operador linear T de 3ℜ
tal que ( ) 0=vT , para cada rv ∈ , e ( ) vvT 2−= , para cada Π∈v .
Questão 4 (2,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial de 4ℜ gerado por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }8,2,18,7,3,2,4,0,4,9,5,4,0,1,3,2,2,5,1,1 −−−−−−=S .
a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W.
b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma
combinação linear dos vetores da base.
Questão 5 (2,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano 5ℜ gerado por
( ) ( ) ( ) ( ){ }8,7,5,3,2,1,2,1,0,1,1,4,1,2,3,9,6,5,4,1 −−−−−−=S . Encontre bases para W e
para o complemento ortogonal de W.
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Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/2
Aluno:____________________________________________________________________
Data: 25/10/2011
Questão 1 (3,0 pontos)
a) Encontre uma equação para o plano Π passando pelo ponto ( )211 ,, − e que contém a
interseção dos planos 01 =−+ zx e 022 =+− zyx .
b) Para cada ponto ( ) 3,, ℜ∈= zyxP , determine o ponto Π∈Q tal que o vetor QP seja
paralelo ao eixo x.
c) A função que associa a cada ponto 3ℜ∈P o ponto Π∈Q obtido no item (b) é uma
transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz
canônica.
Questão 2 (2,0 pontos)
Seja r a reta de equações paramétricas tx = , ty −= , tz 2= . Determine
a) uma base de { }321 v,v,v do espaço euclidiano 3ℜ , sendo rv ∈1 e 2v e 3v ortogonais a r.
b) a matriz canônica do operador linear de 3ℜ que é a projeção ortogonal sobre a reta r,
usando a base obtida no item (a).
Questão3 (3,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano 4ℜ gerado por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }553100525501512132101 −−−−−−−= ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,S .
a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W.
b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma
combinação linear dos vetores da base.
c) Determine uma base ortogonal do complemento ortogonal de W.
Questão 4 (2,0 pontos)
Sejam o espaço euclidiano 3ℜ e ( ) ( ) ( ){ }140243001 ,,,,,,,,B −= uma base de 3ℜ .
a) Use o processo de Gram-Schmidt para transformar B em uma base ortogonal.
b) Determine o vetor de coordenadas, em relação à base ortogonal obtida no item (a), do
vetor de 3ℜ cujo vetor de coordenadas, em relação a B, é ( )12121 ,,− .
�lgebra Linear/P3 2010_1.pdf
1
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CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
01/07/2010
Prova 3 - A´lgebra Linear - F´ısica
1. (2,5 pontos) Dada a base B = {(1, 1, 1); (1, 0, 1); (1,−1,−1)} para o R3.
(a) Determine as coordenadas do vetor u = (2,−1, 4) na base B.
(b) Ortogonalize B.
(c) Determine as coordenadas do vetor u = (2,−1, 4) na base ortogonal encontrada no
item (b).
2. (2,5 pontos) Dada a matriz
A =
2 −1 −1−1 2 −1
−1 −1 2
(a) Determine os autovalores e autovetores de A.
(b) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que diago-
naliza A.
(c) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique?
3. (2,5 pontos) Encontre a projec¸a˜o ortogonal de u = (1, 0, 0, 2) no espac¸o-soluc¸a˜o do sistema
linear homogeˆneo {
x1 + 2x2 − x3 = 0
2x2 + x3 + x4 = 0
.
4. (2,5 pontos) Seja T : R3 −→ R3 a transformac¸a˜o linear tal que T (v) = 3v para todo vetor
do plano x+ y − z = 0 e, ale´m disso, T (1,−1, 1) = 0.
(a) Encontre uma base {u1, u2} para o plano x+y− z = 0. Mostre que se u3 = (1,−1, 1),
B = {u1, u2, u3} e´ uma base do R3.
(b) Determine os autovetores de T .
(c) Determine a matriz canoˆnica de T .
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
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1
Prof.: Etereldes
06/11/2012
Soluc¸a˜o esperada da prova III - A´lgebra Linear
1. Sejam U a matriz cujas colunas sa˜o u1, u2 e u3, V a matriz cujas colunas sa˜o v1, v2 e v3 e
A =
1 1 11 −1 1
1 −1 −1
.
Enta˜o U · [v]β = V ·A · [v]β′ . Logo, U ·A−1 · [v]β = V · [v]β′ e a matriz de mudanc¸a de base
de β′ para β e´
A−1 =
1/2 0 1/21/2 −1/2 0
0 1/2 −1/2
.
2. (a) [T (u)]β = (1, 0, 0) e [T (u) − 3T (v) + 2T (w)]β = [T (u)]β − 3[T (v)]β + 2[T (w)]β =
(0,−4, 0).
(b) Os autovalores de T sa˜o as ra´ızes reais de
p(λ) = det(
1− λ 1 10 2− λ 1
0 2 3− λ
) = (1− λ)(λ− 1)(4− λ).
O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ o conjunto soluc¸a˜o de 0 1 10 1 1
0 2 2
xy
z
=
00
0
.
Logo, O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ ger{(1, 0, 0), (0, 1,−1)}. Como o autoespac¸o
associado a λ = 4 tem dimensa˜o 1, temos uma base de autovetores de T e portanto T
e´ diagonaliza´vel. T na˜o e´ ortognalmente diagonaliza´vel, pois A na˜o e´ sime´trica.
(a) dim(Nuc(TA)) = 3 − dim(Im(TA)). Logo, temos os seguintes pares poss´ıveis para
(dim(Nuc(TA)), dim(Im(TA)) que sa˜o (3, 0), (2, 1) e (1, 2). Veja que TA na˜o pode ser
injetiva e na˜o podemos ter (0, 3).
(b) i. A e´ a matriz nula.
ii. A =
[
1 0 0
0 0 0
]
.
iii. A =
[
1 0 0
0 1 0
]
.
3. (a) pi = {(x, y, z) ∈ R3;x − y + z = 0} = {(y − z, y, z); y, z ∈ R} = {y(1, 1, 0) +
z(−1, 0, 1); y, z ∈ R}, que e´ o espac¸o gerado pelos vetores u1 = (1, 1, 0) e u2 =
(−1, 0, 1). Enta˜o, se u3 = (1,−1, 1) temos que β = {u1, u2, u3} e´ uma base de R3.
Definindo T (u3) = 0, temos que T definido na base β por T (u1) = −u1, T (u2) = −u2
e T (u3) = 0 tem as propriedades desejadas.
2
(b) Um vetor qualquer (x, y, z) ∈ R3 e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de β. Isto e´, existem
α1, α2, α3 ∈ R tais que (x, y, z) = α1u1 + α2u2 + α3u3. Resolvendo o sistema 1 −1 11 0 −1
0 1 1
α1α2
α3
=
xy
z
.
Temos α1 =
x+2y+z
3
, α2 =
−x+y+2z
3
e α3 =
x−y+z
3
.
Logo, T (x, y, z) = α1T (u1)+α2T (u2)+α3T (u3) =
x+2y+z
3
T (1, 1, 0)+−x+y+2z
3
T (−1, 0, 1)+
x−y+z
3
T (1,−1, 1) = x+2y+z
3
(−1,−1, 0) + −x+y+2z
3
(1, 0,−1).
Portanto, T (x, y, z) = (−2x−y+z
3
, −x−2y−z
3
, +x−y−2z
3
) = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
xy
z
. Logo
A = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
.
(c) Defina P =
1 −1 11 0 −1
0 1 1
e D =
−1 0 00 −1 0
0 0 0
. Enta˜o, AP = PD, pois as duas
primeiras colunas de P sa˜o autovetores de A associados ao autovalor −1 e a terceira
e´ um autovetor associado ao autovalor 0. Veja que T tem uma base ortonormal de
de autovetores, pois A e´ sime´trica e podemos encontrar tal base ortogonalizando os
autovetores associados ao autovalor −1.
�lgebra Linear/P3+Sol 2012_1.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Terceira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 06 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (2 pontos) Seja β = {u1,u2,u3} e β′ = {v1,v2,v3} bases de um espac¸o vetorial V .
Sabendo que, para v ∈ V ,
[v]β = (a, b, c)⇒ [v]β′ = (a+ b+ c, a− b+ c, a− b− c)
determine a matriz de mudanc¸a de base de β′ para β.
2. Seja
A =
1 1 10 2 1
0 2 3
a matriz do operador linear T : V −→ V numa base β = {u,v,w}.
(a) (1 ponto)Determine [T (u)]β e [T (u)− 3T (v) + 2T (w)]β.
(b) (1,5 pontos) O operador T e´ diagonaliza´vel? T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel?
3. Considere as transformac¸o˜es matriciais TA : R3 −→ R2 dadas por TA(x) = Ax.
(a) (1 ponto) Quais sa˜o todas as poss´ıveis dimenso˜es do nu´cleo de TA?
(b) (1,5 pontos) Para cada dimensa˜o poss´ıvel n, deˆ exemplo nume´rico de uma matriz
A com dimensa˜o do nu´cleo de TA igual a n.
4. Seja pi o plano dado por x− y + z = 0.
(a) (1 ponto) Encontre um operador linear T : R3 −→ R3 tal que
. T (v) = −v para todo v ∈ pi;
. dim(Nuc(T )) = 1;
. T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel.
(b) (1 ponto) Determine a matriz A do operador T , encontrado no item (a), na base
canoˆnica.
(c) (1 ponto) Encontre matrizes P e D, sendo D diagonal, tal que P−1AP = D.
Boa Prova!!!
1
Prof.: Etereldes
06/11/2012
Soluc¸a˜o esperada da prova III - A´lgebra Linear
1. Sejam U a matriz cujas colunas sa˜o u1, u2 e u3, V a matriz cujas colunas sa˜o v1, v2 e v3 e
A =
1 1 11 −1 1
1 −1 −1
.
Enta˜o U · [v]β = V ·A · [v]β′ . Logo, U ·A−1 · [v]β = V · [v]β′ e a matriz de mudanc¸a de base
de β′ para β e´
A−1 =
1/2 0 1/21/2 −1/2 0
0 1/2 −1/2
.
2. (a) [T (u)]β = (1, 0, 0) e [T (u) − 3T (v) + 2T (w)]β = [T (u)]β − 3[T (v)]β + 2[T (w)]β =
(0,−4, 0).
(b) Os autovalores de T sa˜o as ra´ızes reais de
p(λ) = det(
1− λ 1 10 2− λ 1
0 2 3− λ
) = (1− λ)(λ− 1)(4− λ).
O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ o conjunto soluc¸a˜o de 0 1 10 1 1
0 2 2
xy
z
=
00
0
.
Logo, O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ ger{(1, 0, 0), (0, 1,−1)}. Como o autoespac¸o
associado a λ = 4 tem dimensa˜o 1, temos uma base de autovetores de T e portanto T
e´ diagonaliza´vel. T na˜o e´ ortognalmente diagonaliza´vel, pois A na˜o e´ sime´trica.
(a) dim(Nuc(TA)) = 3 − dim(Im(TA)). Logo, temos os seguintes pares poss´ıveis para
(dim(Nuc(TA)), dim(Im(TA)) que sa˜o (3, 0), (2, 1) e (1, 2). Veja que TA na˜o pode ser
injetiva e na˜o podemos ter (0, 3).
(b) i. A e´ a matriz nula.
ii. A =
[
1 0 0
0 0 0
]
.
iii. A =
[
1 0 0
0 1 0
]
.
3. (a) pi = {(x, y, z) ∈ R3;x − y + z = 0} = {(y − z, y, z); y, z ∈ R} = {y(1, 1, 0) +
z(−1, 0, 1); y, z ∈ R}, que e´ o espac¸o gerado pelos vetores u1 = (1, 1, 0) e u2 =
(−1, 0, 1). Enta˜o, se u3 = (1,−1, 1) temos que β = {u1, u2, u3} e´ uma base de R3.
Definindo T (u3) = 0, temos que T definido na base β por T (u1) = −u1, T (u2) = −u2
e T (u3) = 0 tem as propriedades desejadas.
2
(b) Um vetor qualquer (x, y, z) ∈ R3 e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de β. Isto e´, existem
α1, α2, α3 ∈ R tais que (x, y, z) = α1u1 + α2u2 + α3u3. Resolvendo o sistema 1 −1 11 0 −1
0 1 1
α1α2
α3
=
xy
z
.
Temos α1 =
x+2y+z
3
, α2 =
−x+y+2z
3
e α3 =
x−y+z
3
.
Logo, T (x, y, z) = α1T (u1)+α2T (u2)+α3T (u3) =
x+2y+z
3
T (1, 1, 0)+−x+y+2z
3
T (−1, 0, 1)+
x−y+z
3
T (1,−1, 1) = x+2y+z
3
(−1,−1, 0) + −x+y+2z
3
(1, 0,−1).
Portanto, T (x, y, z) = (−2x−y+z
3
, −x−2y−z
3
, +x−y−2z
3
) = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
xy
z
. Logo
A = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
.
(c) Defina P =
1 −1 11 0 −1
0 1 1
e D =
−1 0 00 −1 0
0 0 0
. Enta˜o, AP = PD, pois as duas
primeiras colunas de P sa˜o autovetores de A associados ao autovalor −1 e a terceira
e´ um autovetor associado ao autovalor 0. Veja que T tem uma base ortonormal de
de autovetores, pois A e´ sime´trica e podemos encontrar tal base ortogonalizando os
autovetores associados ao autovalor −1.
AlgLin - p3
P3 solução
�lgebra Linear/P3/P3 �lgebra Linear 2000.1.pdf
�lgebra Linear/P3/P3 �lgebra Linear 2001.1.pdf
�lgebra Linear/P3/P3 �lgebra Linear 2001.2.pdf
�lgebra Linear/P3/P3 �lgebra Linear 2011.2.pdf
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES
Terceira Prova de Álgebra Linear – 2011/2
Aluno:____________________________________________________________________
Data: 29/11/2011
Questão 1 (2,0 pontos)
Sejam 1P o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 1 e { }x,xB 210361 ++= e
{ }x,B 2322 += bases de 1P . Encontre as matrizes de transição de 2B para 1B e de 1B para 2B .
Questão 2 (3,0 pontos)
Sejam ( ) ( ){ }12101 ,,,B = e ( ) ( ) ( ){ }1101000112 −= ,,,,,,,,B bases de 2ℜ e 3ℜ , respectivamente, e
32 ℜ→ℜ:T a transformação linear cuja matriz em relação às bases 1B e 2B é
[ ]
−
=
02
20
01
12 ,BB
T .
a) Determine a matriz canônica de T.
b) Determine [ ]
1, BB
T , sendo B a base canônica de 3ℜ .
c) Determine uma base 3B de 3ℜ tal que
[ ]
=
00
10
01
13 , BB
T .
Questão 3 (3,0 pontos)
Para cada um dos operadores lineares de 3ℜ abaixo, verifique se existe uma base B de 3ℜ tal que a matriz
[ ]BT seja diagonal. Caso exista tal base B, encontre-a, determine [ ]BT e determine uma matriz invertível P
tal que [ ]PTP 1− seja diagonal, sendo [ ]T a matriz canônica de T.
a) ( ) ( )zx,zyx,zxz,y,xT 42324 ++++= .
b) ( ) ( )zy,zy,yxz,y,xT 422 +−+= .
Questão 4 (2,0 pontos)
Sejam T o operador linear de 3ℜ que leva cada vetor em seu simétrico em relação ao plano 02 =+− zyx e
[ ]T a matriz canônica de T. Resolva os itens abaixo sem determinar ( )z,y,xT .
a) Existe uma base B de 3ℜ tal que [ ]BT seja diagonal? Caso afirmativo, determine tal base B e [ ]BT .
b) Existe uma matriz ortogonal P tal que [ ] PTPT seja diagonal? Caso afirmativo, determine as matrizes P e
[ ] PTPT .
�lgebra Linear/Pextra.pdf
1
Prof.: Etereldes
25/09/2012
Prova Extra - A´lgebra Linear
1. Seja A =
0 0 1 0
2 −2 2 3
0 1 0 1
3 −3 3 6
. Calcule o determinante de A por escalonamento.
2. Seja W = ger{v1 = (2, 1, 10, 6), v2 = (1, 3, 5, 3), v3 = (1,−2, 5, 3), v4 = (0, 0, 2, 1)}.
(a) Encontre uma base e determine a dimensa˜o deW , sabendo que A =
2 1 10 6
1 3 5 3
1 −2 5 3
0 0 2 1
e´ equivalente por linhas a B =
2 1 10 6
0 1 0 0
0 0 1 1
2
0 0 0 0
.
(b) Podemos afirmar que v1, v2 e v3 formam uma base para W?
(c) Encontre uma base ortogonal de W .
(d) Encontre uma base de W⊥.
(e) Qual a relac¸a˜o entre os espac¸os linha, coluna e nulo de uma matriz qualquer em termos
de ortogonalidade e dimensa˜o?
3. Seja W o subespac¸o de R3 gerado pelos vetores (1, 0,−1), (2,−1, 1) e (3,−1, 0).
(a) Encontre a intersec¸a˜o deW com a reta r de equac¸o˜es
parame´tricas x = 1+2t, y = 2−t,
z = 2t.
(b) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta contida em W e que e´ perpendicular a` reta
r do item anterior.
�lgebra Linear/PF+Sol 2010_1.pdf
solução esp. prova final pg5.pdf
solução esp. prova final pg4
solução esp. prova final pg3
solução esp. prova final pg2
solução esp. prova final pg1
�lgebra Linear/PF+Sol 2012_1.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 13 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (a) Calcule a inversa da matriz A =
0 1 21 1 1
0 3 5
(b) Se A e´ a matriz de mudanc¸a da base β para β′ e [v]β′ = (1,−1, 2). Calcule [v]β.
2. Considere o vetor v = (a, b, c) e a matriz A abaixo. Encontre uma condic¸a˜o sobre a,
b e c de modo que o sistema Ax = v seja consistente.
A =
1 2 7 11 2 3 3
−1 −2 1 −5
3. Encontre uma equac¸a˜o para o plano que e´ perpendicular ao plano de equac¸a˜o 3x−y =
2 e contem a reta de equac¸o˜es parame´tricas x = 1, y = 3 + 2t e z = 1− t.
4. Seja
A =
1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
a matriz da transformac¸a˜o linear T : R5 −→ R4 na base canoˆnica.
(a) TA e´ injetora? TA e´ sobrejetora?
(b) Determine uma base ortogonal para o subespac¸o Im(TA).
5. Seja
A =
3 0 40 5 0
4 0 −3
a matriz do operador linear T : R3 −→ R3 na base canoˆnica.
(a) Encontre uma base de autovetores de T .
(b) Determine P e uma matriz diagonal D tal que P TAP = D.
Boa Prova!!!
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Soluc¸a˜o da Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 14 de novembro de 2012
1. (a)
0 1 2 1 0 01 1 1 0 1 0
0 3 5 0 0 1
∼
1 0 0 2 1 −10 1 0 −5 0 2
0 0 1 3 0 1
. Logo, A−1 =
2 1 −1−5 0 2
3 0 1
(b)
[v]β = [I]β:β′[v]β′ = A
−1[v]β′ = (−1,−1, 1)
2. A matriz aumentada do sistema Ax = v e´ 1 2 7 1 a1 2 3 3 b
−1 −2 1 −5 c
∼
1 2 7 1 a0 0 −4 2 b− a
0 0 0 0 c+ 2b− a
.
Logo o sistema e´ consistente quando c+ 2b− a = 0.
3. Seja pi o plano a ser obtido. Se P0 e´ um ponto de pi e npi e´ um vetor normal de pi,
enta˜o
P = (x, y, z) ∈ pi ⇐⇒ (P − P0) · npi = 0
Como
r ⊂ pi =⇒ v = (0, 2,−1) e´ paralelo a pi. e P0 = (1, 3, 1) ∈ pi
Ale´m disso,
pi ⊥ 3x− y = 2 =⇒ n = (3,−1, 0) e´ paralelo a pi.
Logo npi = n× v = (1, 3, 6). Portanto
pi : x+ 3y + 6z = 16
4. (a)
A =
1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
∼
1 0 −1 0 −1
0 1 2 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
Logo
Im(T ) = CA = ger{(1,−1, 0, 1); (2, 0,−1, 1); (5, 1, 0,−1)}
e
Nuc(T ) = NA = ger{(1,−2, 1, 0, 0); (1, 0, 0,−1, 1)}
isto e´, T na˜o e´ injetora, pois dim(Nuc(T )) ≥ 1 e T na˜o e´ sobrejetora, pois
dim(Im(T )) = 3.
(b) Ortogonalizando a base encontrada no item anterior
u = (1,−1, 0, 1)
v = (2, 0,−1, 1)− proju(2, 0,−1, 1) = (1, 1,−1, 0)
w = (5, 1, 0,−1)− proju(5, 1, 0,−1)− projv(5, 1, 0,−1) = (2, 0, 2,−2)
5. (a)
λI − A =
λ− 3 0 −40 λ− 5 0
−4 0 λ+ 3
=⇒ p(λ) = (λ− 5)2(λ+ 5)
para λ = 5
5I − A ∼
1 0 −20 0 0
0 0 0
.
Logo uma base para o autoespac¸o associado a λ = 5 e´
{u = (0, 1, 0), v = (2, 0, 1)}.
Para λ = −5
−5I − A ∼
1 0 1/20 1 0
0 0 0
Portanto, um autovetor associado a λ = −5 e´
w = (−1, 0, 2).
(b) A base de autovetores {u, v,w} e´ ortogonal, mas na˜o e´ ortonormal. Normalizando
os vetores, obtemos a base ortonormal{
(0, 1, 0);
(
2√
5
, 0,
1√
5
)
;
(−1√
5
, 0,
2√
5
)}
donde
P =
0
2√
5
− 1√
5
1 0 0
0 1√
5
2√
5
e D =
5 0 00 5 0
0 0 −5
sa˜o tais que
P−1 = P T ⇒ P TAP = D.
Veja que se consideramos P a matriz cujas colunas sa˜o u, v e w teremos ainda
que P TAP e´ diagonal, mas esta diagonal na˜o e´ formada por autovalores de A.
2
PF 2012_1
AlgLin - pf - sol
�lgebra Linear/PF/PEXTRA �lgebra Linear 2012.2.pdf
1
Prof.: Etereldes
25/09/2012
Prova Extra - A´lgebra Linear
1. Seja A =
0 0 1 0
2 −2 2 3
0 1 0 1
3 −3 3 6
. Calcule o determinante de A por escalonamento.
2. Seja W = ger{v1 = (2, 1, 10, 6), v2 = (1, 3, 5, 3), v3 = (1,−2, 5, 3), v4 = (0, 0, 2, 1)}.
(a) Encontre uma base e determine a dimensa˜o deW , sabendo que A =
2 1 10 6
1 3 5 3
1 −2 5 3
0 0 2 1
e´ equivalente por linhas a B =
2 1 10 6
0 1 0 0
0 0 1 1
2
0 0 0 0
.
(b) Podemos afirmar que v1, v2 e v3 formam uma base para W?
(c) Encontre uma base ortogonal de W .
(d) Encontre uma base de W⊥.
(e) Qual a relac¸a˜o entre os espac¸os linha, coluna e nulo de uma matriz qualquer em termos
de ortogonalidade e dimensa˜o?
3. Seja W o subespac¸o de R3 gerado pelos vetores (1, 0,−1), (2,−1, 1) e (3,−1, 0).
(a) Encontre a intersec¸a˜o deW com a reta r de equac¸o˜es parame´tricas x = 1+2t, y = 2−t,
z = 2t.
(b) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta contida em W e que e´ perpendicular a` reta
r do item anterior.
�lgebra Linear/PF/PF �lgebra Linear 2010.2 (com solu��o).pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Terceira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 06 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (2 pontos) Seja β = {u1,u2,u3} e β′ = {v1,v2,v3} bases de um espac¸o vetorial V .
Sabendo que, para v ∈ V ,
[v]β = (a, b, c)⇒ [v]β′ = (a+ b+ c, a− b+ c, a− b− c)
determine a matriz de mudanc¸a de base de β′ para β.
2. Seja
A =
1 1 10 2 1
0 2 3
a matriz do operador linear T : V −→ V numa base β = {u,v,w}.
(a) (1 ponto)Determine [T (u)]β e [T (u)− 3T (v) + 2T (w)]β.
(b) (1,5 pontos) O operador T e´ diagonaliza´vel? T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel?
3. Considere as transformac¸o˜es matriciais TA : R3 −→ R2 dadas por TA(x) = Ax.
(a) (1 ponto) Quais sa˜o todas as poss´ıveis dimenso˜es do nu´cleo de TA?
(b) (1,5 pontos) Para cada dimensa˜o poss´ıvel n, deˆ exemplo nume´rico de uma matriz
A com dimensa˜o do nu´cleo de TA igual a n.
4. Seja pi o plano dado por x− y + z = 0.
(a) (1 ponto) Encontre um operador linear T : R3 −→ R3 tal que
. T (v) = −v para todo v ∈ pi;
. dim(Nuc(T )) = 1;
. T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel.
(b) (1 ponto) Determine a matriz A do operador T , encontrado no item (a), na base
canoˆnica.
(c) (1 ponto) Encontre matrizes P e D, sendo D diagonal, tal que P−1AP = D.
Boa Prova!!!
1
Prof.: Etereldes
06/11/2012
Soluc¸a˜o esperada da prova III - A´lgebra Linear
1. Sejam U a matriz cujas colunas sa˜o u1, u2 e u3, V a matriz cujas colunas sa˜o v1, v2 e v3 e
A =
1 1 11 −1 1
1 −1 −1
.
Enta˜o U · [v]β = V ·A · [v]β′ . Logo, U ·A−1 · [v]β = V · [v]β′ e a matriz de mudanc¸a de base
de β′ para β e´
A−1 =
1/2 0 1/21/2 −1/2 0
0 1/2 −1/2
.
2. (a) [T (u)]β = (1, 0, 0) e [T (u) − 3T (v) + 2T (w)]β = [T (u)]β − 3[T (v)]β + 2[T (w)]β =
(0,−4, 0).
(b) Os autovalores de T sa˜o as ra´ızes reais de
p(λ) = det(
1− λ 1 10 2− λ 1
0 2 3− λ
) = (1− λ)(λ− 1)(4− λ).
O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ o conjunto soluc¸a˜o de 0 1 10 1 1
0 2 2
xy
z
=
00
0
.
Logo, O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ ger{(1, 0, 0), (0, 1,−1)}. Como o autoespac¸o
associado a λ = 4 tem dimensa˜o 1, temos uma base de autovetores de T e portanto T
e´ diagonaliza´vel. T na˜o e´ ortognalmente diagonaliza´vel, pois A na˜o e´ sime´trica.
(a) dim(Nuc(TA)) = 3 − dim(Im(TA)). Logo, temos os seguintes pares poss´ıveis para
(dim(Nuc(TA)), dim(Im(TA)) que sa˜o (3, 0), (2, 1) e (1, 2). Veja que TA na˜o pode ser
injetiva e na˜o
podemos ter (0, 3).
(b) i. A e´ a matriz nula.
ii. A =
[
1 0 0
0 0 0
]
.
iii. A =
[
1 0 0
0 1 0
]
.
3. (a) pi = {(x, y, z) ∈ R3;x − y + z = 0} = {(y − z, y, z); y, z ∈ R} = {y(1, 1, 0) +
z(−1, 0, 1); y, z ∈ R}, que e´ o espac¸o gerado pelos vetores u1 = (1, 1, 0) e u2 =
(−1, 0, 1). Enta˜o, se u3 = (1,−1, 1) temos que β = {u1, u2, u3} e´ uma base de R3.
Definindo T (u3) = 0, temos que T definido na base β por T (u1) = −u1, T (u2) = −u2
e T (u3) = 0 tem as propriedades desejadas.
2
(b) Um vetor qualquer (x, y, z) ∈ R3 e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de β. Isto e´, existem
α1, α2, α3 ∈ R tais que (x, y, z) = α1u1 + α2u2 + α3u3. Resolvendo o sistema 1 −1 11 0 −1
0 1 1
α1α2
α3
=
xy
z
.
Temos α1 =
x+2y+z
3
, α2 =
−x+y+2z
3
e α3 =
x−y+z
3
.
Logo, T (x, y, z) = α1T (u1)+α2T (u2)+α3T (u3) =
x+2y+z
3
T (1, 1, 0)+−x+y+2z
3
T (−1, 0, 1)+
x−y+z
3
T (1,−1, 1) = x+2y+z
3
(−1,−1, 0) + −x+y+2z
3
(1, 0,−1).
Portanto, T (x, y, z) = (−2x−y+z
3
, −x−2y−z
3
, +x−y−2z
3
) = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
xy
z
. Logo
A = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
.
(c) Defina P =
1 −1 11 0 −1
0 1 1
e D =
−1 0 00 −1 0
0 0 0
. Enta˜o, AP = PD, pois as duas
primeiras colunas de P sa˜o autovetores de A associados ao autovalor −1 e a terceira
e´ um autovetor associado ao autovalor 0. Veja que T tem uma base ortonormal de
de autovetores, pois A e´ sime´trica e podemos encontrar tal base ortogonalizando os
autovetores associados ao autovalor −1.
�lgebra Linear/PF/PF �lgebra Linear 2010.2.pdf
1
UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
07/07/2010
Prova Final - A´lgebra Linear - Engenharias
1. Dada a Matriz
A =
0 0 −21 2 1
1 0 3
(a) (1,0) Determine os autovalores e autovetores de A.
(b) (1,0) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que
diagonaliza A.
(c) (0,5) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique?
2. Dada a matriz
A =
1 2 −1 00 2 1 1
2 2 −3 −1
(a) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o linha de A.
(b) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o nulo de A.
(c) (0,5) Mostre que os espac¸os linha de A e o espac¸o nulo de A sa˜o ortogonais, isto e´, se
u pertence ao espac¸o linha e v pertence ao espac¸o nulo, enta˜o < u, v >= 0.
(d) (0,5) Conclua que Posto(A) +Nulidade(A) = 4.
3. Dada a base B = {(2, 2, 1); (1, 0, 1); (1, 2,−1)} para o R3.
(a) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base B.
(b) (1,0) Ortogonalize B.
(c) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base ortogonal encontrada
no item (b).
4. Seja o plano Π definido pela equac¸a˜o x− y + 2z = 0.
(a) (1,0) Dado um ponto P = (a, b, c) qualquer em R3, determine o ponto Q ∈ Π tal que
o vetor
−→
QP seja ortogonal ao plano Π.
(b) (1,5) A func¸a˜o que associa a cada ponto P ∈ R3 o ponto Q ∈ Π obtido no item acima
e´ uma transformac¸a˜o linear? No caso afirmativo determine seus autovetores e seus
autovalores.
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
�lgebra Linear/PF/PF �lgebra Linear 2012.2 (com solu��o).pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 13 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (a) Calcule a inversa da matriz A =
0 1 21 1 1
0 3 5
(b) Se A e´ a matriz de mudanc¸a da base β para β′ e [v]β′ = (1,−1, 2). Calcule [v]β.
2. Considere o vetor v = (a, b, c) e a matriz A abaixo. Encontre uma condic¸a˜o sobre a,
b e c de modo que o sistema Ax = v seja consistente.
A =
1 2 7 11 2 3 3
−1 −2 1 −5
3. Encontre uma equac¸a˜o para o plano que e´ perpendicular ao plano de equac¸a˜o 3x−y =
2 e contem a reta de equac¸o˜es parame´tricas x = 1, y = 3 + 2t e z = 1− t.
4. Seja
A =
1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
a matriz da transformac¸a˜o linear T : R5 −→ R4 na base canoˆnica.
(a) TA e´ injetora? TA e´ sobrejetora?
(b) Determine uma base ortogonal para o subespac¸o Im(TA).
5. Seja
A =
3 0 40 5 0
4 0 −3
a matriz do operador linear T : R3 −→ R3 na base canoˆnica.
(a) Encontre uma base de autovetores de T .
(b) Determine P e uma matriz diagonal D tal que P TAP = D.
Boa Prova!!!
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Soluc¸a˜o da Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 14 de novembro de 2012
1. (a)
0 1 2 1 0 01 1 1 0 1 0
0 3 5 0 0 1
∼
1 0 0 2 1 −10 1 0 −5 0 2
0 0 1 3 0 1
. Logo, A−1 =
2 1 −1−5 0 2
3 0 1
(b)
[v]β = [I]β:β′[v]β′ = A
−1[v]β′ = (−1,−1, 1)
2. A matriz aumentada do sistema Ax = v e´ 1 2 7 1 a1 2 3 3 b
−1 −2 1 −5 c
∼
1 2 7 1 a0 0 −4 2 b− a
0 0 0 0 c+ 2b− a
.
Logo o sistema e´ consistente quando c+ 2b− a = 0.
3. Seja pi o plano a ser obtido. Se P0 e´ um ponto de pi e npi e´ um vetor normal de pi,
enta˜o
P = (x, y, z) ∈ pi ⇐⇒ (P − P0) · npi = 0
Como
r ⊂ pi =⇒ v = (0, 2,−1) e´ paralelo a pi. e P0 = (1, 3, 1) ∈ pi
Ale´m disso,
pi ⊥ 3x− y = 2 =⇒ n = (3,−1, 0) e´ paralelo a pi.
Logo npi = n× v = (1, 3, 6). Portanto
pi : x+ 3y + 6z = 16
4. (a)
A =
1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
∼
1 0 −1 0 −1
0 1 2 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
Logo
Im(T ) = CA = ger{(1,−1, 0, 1); (2, 0,−1, 1); (5, 1, 0,−1)}
e
Nuc(T ) = NA = ger{(1,−2, 1, 0, 0); (1, 0, 0,−1, 1)}
isto e´, T na˜o e´ injetora, pois dim(Nuc(T )) ≥ 1 e T na˜o e´ sobrejetora, pois
dim(Im(T )) = 3.
(b) Ortogonalizando a base encontrada no item anterior
u = (1,−1, 0, 1)
v = (2, 0,−1, 1)− proju(2, 0,−1, 1) = (1, 1,−1, 0)
w = (5, 1, 0,−1)− proju(5, 1, 0,−1)− projv(5, 1, 0,−1) = (2, 0, 2,−2)
5. (a)
λI − A =
λ− 3 0 −40 λ− 5 0
−4 0 λ+ 3
=⇒ p(λ) = (λ− 5)2(λ+ 5)
para λ = 5
5I − A ∼
1 0 −20 0 0
0 0 0
.
Logo uma base para o autoespac¸o associado a λ = 5 e´
{u = (0, 1, 0), v = (2, 0, 1)}.
Para λ = −5
−5I − A ∼
1 0 1/20 1 0
0 0 0
Portanto, um autovetor associado a λ = −5 e´
w = (−1, 0, 2).
(b) A base de autovetores {u, v,w} e´ ortogonal, mas na˜o e´ ortonormal. Normalizando
os vetores, obtemos a base ortonormal{
(0, 1, 0);
(
2√
5
, 0,
1√
5
)
;
(−1√
5
, 0,
2√
5
)}
donde
P =
0
2√
5
− 1√
5
1 0 0
0 1√
5
2√
5
e D =
5 0 00 5 0
0 0 −5
sa˜o tais que
P−1 = P T ⇒ P TAP = D.
Veja que se consideramos P a matriz cujas colunas sa˜o u, v e w teremos ainda
que P TAP e´ diagonal, mas esta diagonal na˜o e´ formada por autovalores de A.
2
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1
UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
24/05/2010
Prova 1 - A´lgebra Linear - Engenharias
1. Analise o sistema em func¸a˜o de a e b: (2,5 pontos)
−2x + (a+ 3)y − bz = −3
x + bz = 1
2x + 4y + 3bz = −b.
2. Calcule o determinante da matriz abaixo por escalonamento: (2,0 pontos)
A =
0 −3 −5 6
2 2 3 −2
0 −3 −4 3
0 −1 −1 +2
.
3. Considere a matriz:
A =
1 2 3 −2
0 −3 −5 6
0 α− 6 −8 6
0 −1 −1 α+ 2
.
Determine α para que a forma escalonada de A na˜o tenha linhas nulas. Explicite cada
matriz elementar do escalonamento. (2,5 pontos)
4. Sendo A e B matrizes quadradas. Responda se cada item abaixo e´ verdadeiro
ou falso,
justificando sua resposta.
(a) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2. (1 ponto)
(b) AB e´ invert´ıvel se, e so´ se, A e B sa˜o invert´ıveis. (1 ponto)
(c) O vetor η = (a, b, c) e´ ortogonal ao plano ax+ by+ cz+ d = 0, onde a 6= 0 ou b 6= 0 ou
c 6= 0. (1 ponto)
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
�lgebra Linear/Prova 2.pdf
1
UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
30/06/2010
Prova 1 - A´lgebra Linear - Engenharias
1. (2,5 pontos) Dada a base B = {(1, 2, 1); (2, 0, 3); (1,−1,−1)} para o R3.
(a) Determine as coordenadas do vetor u = (2,−1, 0) na base B.
(b) Ortogonalize B.
(c) Determine as coordenadas do vetor u = (2,−1, 0) na base ortogonal encontrada no
item (b).
2. (2,5 pontos) Dada a matriz
A =
2 −1 −1−1 2 −1
−1 −1 2
(a) Determine os autovalores e autovetores de A.
(b) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que diago-
naliza A.
(c) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique?
3. (2,5 pontos) Encontre a projec¸a˜o ortogonal de u = (5, 6, 7, 2) no espac¸o-soluc¸a˜o do sistema
linear homogeˆneo {
x1 + x2 + x3 = 0
2x2 + x3 + x4 = 0
.
4. (2,5 pontos) Seja T : R3 −→ R3 a transformac¸a˜o linear tal que T (v) = −2v para todo
vetor do plano x+ y − z = 0 e, ale´m disso, T (1, 2, 1) = 0.
(a) Determine os autovetores de T .
(b) Encontre uma base {u1, u2} para o plano x+ y − z = 0. Mostre que se u3 = (1, 2, 1),
B = {u1, u2, u3} e´ uma base do R3.
(c) Determine a matriz canoˆnica de T .
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
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UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
07/07/2010
Prova Final - A´lgebra Linear - Engenharias
1. Dada a Matriz
A =
0 0 −21 2 1
1 0 3
(a) (1,0) Determine os autovalores e autovetores de A.
(b) (1,0) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que
diagonaliza A.
(c) (0,5) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique?
2. Dada a matriz
A =
1 2 −1 00 2 1 1
2 2 −3 −1
(a) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o linha de A.
(b) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o nulo de A.
(c) (0,5) Mostre que os espac¸os linha de A e o espac¸o nulo de A sa˜o ortogonais, isto e´, se
u pertence ao espac¸o linha e v pertence ao espac¸o nulo, enta˜o < u, v >= 0.
(d) (0,5) Conclua que Posto(A) +Nulidade(A) = 4.
3. Dada a base B = {(2, 2, 1); (1, 0, 1); (1, 2,−1)} para o R3.
(a) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base B.
(b) (1,0) Ortogonalize B.
(c) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base ortogonal encontrada
no item (b).
4. Seja o plano Π definido pela equac¸a˜o x− y + 2z = 0.
(a) (1,0) Dado um ponto P = (a, b, c) qualquer em R3, determine o ponto Q ∈ Π tal que
o vetor
−→
QP seja ortogonal ao plano Π.
(b) (1,5) A func¸a˜o que associa a cada ponto P ∈ R3 o ponto Q ∈ Π obtido no item acima
e´ uma transformac¸a˜o linear? No caso afirmativo determine seus autovetores e seus
autovalores.
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
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UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
07/07/2010
Prova Final - A´lgebra Linear - Engenharias
1. Dada a Matriz
A =
0 0 −21 2 1
1 0 3
(a) (1,0) Determine os autovalores e autovetores de A.
(b) (1,0) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que
diagonaliza A.
(c) (0,5) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique?
2. Dada a matriz
A =
1 2 −1 00 2 1 1
2 2 −3 −1
(a) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o linha de A.
(b) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o nulo de A.
(c) (0,5) Mostre que os espac¸os linha de A e o espac¸o nulo de A sa˜o ortogonais, isto e´, se
u pertence ao espac¸o linha e v pertence ao espac¸o nulo, enta˜o < u, v >= 0.
(d) (0,5) Conclua que Posto(A) +Nulidade(A) = 4.
3. Dada a base B = {(2, 2, 1); (1, 0, 1); (1, 2,−1)} para o R3.
(a) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base B.
(b) (1,0) Ortogonalize B.
(c) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base ortogonal encontrada
no item (b).
4. Seja o plano Π definido pela equac¸a˜o x− y + 2z = 0.
(a) (1,0) Dado um ponto P = (a, b, c) qualquer em R3, determine o ponto Q ∈ Π tal que
o vetor
−→
QP seja ortogonal ao plano Π.
(b) (1,5) A func¸a˜o que associa a cada ponto P ∈ R3 o ponto Q ∈ Π obtido no item acima
e´ uma transformac¸a˜o linear? No caso afirmativo determine seus autovetores e seus
autovalores.
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Terceira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 06 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (2 pontos) Seja β = {u1,u2,u3} e β′ = {v1,v2,v3} bases de um espac¸o vetorial V .
Sabendo que, para v ∈ V ,
[v]β = (a, b, c)⇒ [v]β′ = (a+ b+ c, a− b+ c, a− b− c)
determine a matriz de mudanc¸a de base de β′ para β.
2. Seja
A =
1 1 10 2 1
0 2 3
a matriz do operador linear T : V −→ V numa base β = {u,v,w}.
(a) (1 ponto)Determine [T (u)]β e [T (u)− 3T (v) + 2T (w)]β.
(b) (1,5 pontos) O operador T e´ diagonaliza´vel? T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel?
3. Considere as transformac¸o˜es matriciais TA : R3 −→ R2 dadas por TA(x) = Ax.
(a) (1 ponto) Quais sa˜o todas as poss´ıveis dimenso˜es do nu´cleo de TA?
(b) (1,5 pontos) Para cada dimensa˜o poss´ıvel n, deˆ exemplo nume´rico de uma matriz
A com dimensa˜o do nu´cleo de TA igual a n.
4. Seja pi o plano dado por x− y + z = 0.
(a) (1 ponto) Encontre um operador linear T : R3 −→ R3 tal que
. T (v) = −v para todo v ∈ pi;
. dim(Nuc(T )) = 1;
. T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel.
(b) (1 ponto) Determine a matriz A do operador T , encontrado no item (a), na base
canoˆnica.
(c) (1 ponto) Encontre matrizes P e D, sendo D diagonal, tal que P−1AP = D.
Boa Prova!!!
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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Soluc¸a˜o da Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 14 de novembro de 2012
1. (a)
0 1 2 1 0 01 1 1 0 1 0
0 3 5 0 0 1
∼
1 0 0 2 1 −10 1 0 −5 0 2
0 0 1 3 0 1
. Logo, A−1 =
2 1 −1−5 0 2
3 0 1
(b)
[v]β = [I]β:β′[v]β′ = A
−1[v]β′ = (−1,−1, 1)
2. A matriz aumentada do sistema Ax = v e´ 1 2 7 1 a1 2 3 3 b
−1 −2 1 −5 c
∼
1 2 7 1 a0 0 −4 2 b− a
0 0 0 0 c+ 2b− a
.
Logo o sistema e´ consistente quando c+ 2b− a = 0.
3. Seja pi o plano a ser obtido. Se P0 e´ um ponto de pi e npi e´ um vetor normal de pi,
enta˜o
P = (x, y, z) ∈ pi ⇐⇒ (P − P0) · npi = 0
Como
r ⊂ pi =⇒ v = (0, 2,−1) e´ paralelo a pi. e P0 = (1, 3, 1) ∈ pi
Ale´m disso,
pi ⊥ 3x− y = 2 =⇒ n = (3,−1, 0) e´ paralelo a pi.
Logo npi = n× v = (1, 3, 6). Portanto
pi : x+ 3y + 6z = 16
4. (a)
A =
1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
∼
1 0 −1 0 −1
0 1 2 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
Logo
Im(T ) = CA = ger{(1,−1, 0, 1); (2, 0,−1, 1); (5, 1, 0,−1)}
e
Nuc(T ) = NA = ger{(1,−2, 1, 0, 0); (1, 0, 0,−1, 1)}
isto e´, T na˜o e´ injetora, pois dim(Nuc(T
)) ≥ 1 e T na˜o e´ sobrejetora, pois
dim(Im(T )) = 3.
(b) Ortogonalizando a base encontrada no item anterior
u = (1,−1, 0, 1)
v = (2, 0,−1, 1)− proju(2, 0,−1, 1) = (1, 1,−1, 0)
w = (5, 1, 0,−1)− proju(5, 1, 0,−1)− projv(5, 1, 0,−1) = (2, 0, 2,−2)
5. (a)
λI − A =
λ− 3 0 −40 λ− 5 0
−4 0 λ+ 3
=⇒ p(λ) = (λ− 5)2(λ+ 5)
para λ = 5
5I − A ∼
1 0 −20 0 0
0 0 0
.
Logo uma base para o autoespac¸o associado a λ = 5 e´
{u = (0, 1, 0), v = (2, 0, 1)}.
Para λ = −5
−5I − A ∼
1 0 1/20 1 0
0 0 0
Portanto, um autovetor associado a λ = −5 e´
w = (−1, 0, 2).
(b) A base de autovetores {u, v,w} e´ ortogonal, mas na˜o e´ ortonormal. Normalizando
os vetores, obtemos a base ortonormal{
(0, 1, 0);
(
2√
5
, 0,
1√
5
)
;
(−1√
5
, 0,
2√
5
)}
donde
P =
0
2√
5
− 1√
5
1 0 0
0 1√
5
2√
5
e D =
5 0 00 5 0
0 0 −5
sa˜o tais que
P−1 = P T ⇒ P TAP = D.
Veja que se consideramos P a matriz cujas colunas sa˜o u, v e w teremos ainda
que P TAP e´ diagonal, mas esta diagonal na˜o e´ formada por autovalores de A.
2
�lgebra Linear/Solu��o Provas/AlgLin - pf.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 13 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (a) Calcule a inversa da matriz A =
0 1 21 1 1
0 3 5
(b) Se A e´ a matriz de mudanc¸a da base β para β′ e [v]β′ = (1,−1, 2). Calcule [v]β.
2. Considere o vetor v = (a, b, c) e a matriz A abaixo. Encontre uma condic¸a˜o sobre a,
b e c de modo que o sistema Ax = v seja consistente.
A =
1 2 7 11 2 3 3
−1 −2 1 −5
3. Encontre uma equac¸a˜o para o plano que e´ perpendicular ao plano de equac¸a˜o 3x−y =
2 e contem a reta de equac¸o˜es parame´tricas x = 1, y = 3 + 2t e z = 1− t.
4. Seja
A =
1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
a matriz da transformac¸a˜o linear T : R5 −→ R4 na base canoˆnica.
(a) TA e´ injetora? TA e´ sobrejetora?
(b) Determine uma base ortogonal para o subespac¸o Im(TA).
5. Seja
A =
3 0 40 5 0
4 0 −3
a matriz do operador linear T : R3 −→ R3 na base canoˆnica.
(a) Encontre uma base de autovetores de T .
(b) Determine P e uma matriz diagonal D tal que P TAP = D.
Boa Prova!!!
�lgebra Linear/Solu��o Provas/AlgLin p2 gabarito.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Segunda Prova de A´lgebra Linear
Uma soluc¸a˜o
1. det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
x 2 0 3
1 2 3 3
1 0 1 1
1 1 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
1 2 3 3
1 0 1 1
x 2 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
0 1 2 0
0 −1 0 −2
0 2− x −x 3− 3x
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
0 1 2 0
0 0 2 −2
0 0 x− 4 3− 3x
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)(2)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
0 1 2 0
0 0 1 −1
0 0 x− 4 3− 3x
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)(2)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
0 1 2 0
0 0 1 −1
0 0 0 −2x− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
Enta˜o, det(A) = −2(−2x− 1) = 4x+ 2. Como A e´ invert´ıvel se, e so se, det(A) 6= 0, o u´nico valor
de x tal que esta matriz na˜o e´ invert´ıvel e´ x = −1
2
.
2. O vetor PQ pode ser escrito, para algum t ∈ R e algum s ∈ R, por
PQ = Q− P = Q0 + tv − (P0 + su) = (Q0 − P0) + tv − su = (0,−1,−1) + t(1, 1, 1)− s(1, 2,−1)
e, por outro lado, para algum r ∈ R, temos
PQ = rw = r(2, 3, 1)
Logo
(0,−1,−1) + t(1, 1, 1)− s(1, 2,−1) = r(2, 3, 1)
ou
(0,−1,−1) = (2r − t+ s, 3r − t+ 2s, r − t− s)
igualando as coordenadas e resolvendo o sistema obtido encontramos
r = −3, t = −4 e s = 2
Enta˜o,
P = (4, 5,−3) e Q = (−2,−4,−6)
3. (a) S e´ o conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo associado a` matrizA =
[
1 1 0 0
0 0 1 −1
]
.
(b) Temos que
(x, y, z, w) ∈ S ⇒ (x, y, z, w) = (x,−x, z, z) = x(1,−1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 1)
ou seja,
β = {(1,−1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}
e´ uma base (gera e e´ LI) de S e, portanto, dim(S) = 2.
(c) Como cada vetor do conjunto
B = {(1,−1, 1, 1); (−2, 2,−1,−1); (−1, 1, 3, 3)}
pertence a S, segue que ger(B) e´ um subespac¸o vetorial de S. Ale´m disso, dim(ger(B)) =
2 =dim(S). Da´ı, ger(B) = S.
4. LA: espac¸o-linha de A; CA: espac¸o-coluna de A e NA: espac¸o-nulo de A.
(a) Temos que LA = CA′ , onde A
′ e a transposta de A. Dai
A′ =
0 1 −1 2
0 1 −1 2
1 −5 2 −1
1 0 −3 0
1 −4 1 1
∼
1 0 −3 0
0 1 −1 2
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
= R
Como subconjunto de vetores colunas de R que formam base de CR determina um subconjunto
de vetores correspondente em A′ que formam uma base de CA′ ,
{(0, 0, 1, 1, 1); (1, 1,−5, 0,−4); (2, 2,−1, 0, 1)}
e´ base de LA consistindo totalmente de vetores linha de A.
(b) dim(LA) = 3 =⇒ dim(CA) = 3 e dim(NA) = 2.
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) VERDADEIRO!
det((−AT )−1) = 1
det(−AT ) =
1
(−1)ndet(AT ) =
1
(−1)ndet(A)
pore´m, como n e´ par,
(−1)n = 1⇒ det((−AT )−1) = 1
det(A)
(b) VERDADEIRO! Se B = {u1, u2, u3, u4} e´ um conjunto linearmente independente (LI) de
um espac¸o vetorial U , dado uma combinac¸a˜o linear nula αv1 + βv2 + γv3 = 0 temos
α(u1 − u2 + u3) + β(u1 + u2 + u4) + γ(u2 − u3 + u4) = 0
↓
(α + β)u1 + (−α + β + γ)u2 + (α− γ)u3 + (β + γ)u4 = 0
Como B e´ LI
α + β = 0
− α + β + γ = 0
α − γ = 0
β + γ = 0
↓
α = β = γ = 0
Boa Prova!!!
2
�lgebra Linear/Solu��o Provas/Notas P1 e P2 2012_2.pdf
P1 P2
1 2012203444 2,50 0,00
2 2012203438 2,00 0,00
3 2012203434 0,20 0,00
4 2012202500 8,60 9,70
5 2012202517 5,60 3,50
6 2012203443 2,80 2,50
7 2012203437 2,50 2,30
8 2012203439 1,40 0,50
9 2012202515 6,00 6,50
10 2012202511 4,80 7,50
11 2012203433 1,90 0,30
12 2012202523 2,30 0,00
13 2012101421 6,10 8,20
14 2012202512 1,00 0,50
15 2012202516 5,00 4,50
16 2012202509 7,10 5,80
17 2012202513 5,40
18 2012202519 8,20 9,10
19 2011202442 4,30 6,10
20 2012202506 6,70 5,70
21 2012202522 6,70 5,00
22 2012202518 6,50 1,00
23 2012202504 5,60 7,60
24 2012202505 4,20 8,20
25 2012203432 2,50 1,60
26 2012203447 1,00 0,00
27 2012202521 5,20 5,70
28 2012202508 5,00 9,80
29 2012202503 6,50 8,80
30 2012203440 1,00 2,50
31 2012203446 1,80 0,30
32 2012202507 7,50 0,50
33 2012203442 1,80 0,00
34 2012202524 3,00 3,10
35 2012101427 6,40 3,50
36 2012202501 6,70 8,50
37 2012202510 9,20 9,30
38 2012203435 2,00 3,20
39 2012203441 0,40 0,00
40 2012203445 0,00
41 2012202520 4,00 7,00
42 2012203436 2,30 0,00
43 2012101438 3,20 2,50
44 2012100265 4,80 3,80
45 2012101357 7,90 5,00
46 2012101431 4,30 2,10
47 2012101368 7,00 5,00
48
Notas:
�lgebra Linear/Solu��o Provas/P2 solu��o.pdf
1
Prof.: Etereldes
16/05/2012
Sugesta˜o de Prova II - A´lgebra Linear
1. (a) A forma escalonada da matriz aumentada do sistema e´: 1 0 1/2 00 1 1/2 0
0 0 0 0
.
Logo, o sistema Ax = 0 e´ equivalente a
x+
z
2
= 0
y +
z
2
= 0
, cuja soluc¸a˜o e´
S = {(−z
2
,−z
2
, z); z ∈ R} = ger{(−1,−1, 2)}.
(b) Se (x, y, z) ∈ pi ∩S enta˜o
2x+ 3y − z = 1
x+
z
2
= 0
y +
z
2
= 0
, cuja soluc¸a˜o u´nica e´ (
1
3
,
1
3
,−2
3
).
(c) Seja P o plano pedido. Enta˜o ηP (−1,−1, 2) × (−2, 3,−1) = (−5,−5,−5) e´
normal a P . Como (
1
3
,
1
3
,−2
3
) ∈ P , enta˜o P = {(x, y, z) ∈ R3;< (x, y, z) −
(
1
3
,
1
3
,−2
3
), (−5,−5,−5) >= 0} cuja equac¸a˜o e´ x+ y + z = 0.
2. Seja A a matriz cujas linha sa˜o v1, v2, v2 e v4. A matriz A e´ equivalente por linhasCompartilhar
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