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�lgebra Linear/Lista Algebra.pdf
1
Universidade Federal de Viçosa
CCE - Departamento de Matemática
Lista 4 de MAT 137
Introdução à Álgebra Linear: Transformações Lineares, Autovalores e Autovetores
1. Seja T : R2 ! R2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = (2; 1) e
triplica o comprimento do vetor v = (1; 2) sem alterar as direções e nem inverter os sentidos.
(a) Determine T (x; y).
(b) Determine a matriz da transformação linear em relação à base � = f(2; 1); (1; 2)g.
2. Consider a transformação linear T : R2 ! R3 cuja matriz em relação às bases � =
f(�1; 1); (1; 0)g e �
0
= f(1; 1;�1); (2; 1; 0); (1; 1; 0)g de R2 e R3, respectivamente, é dada por
A =
2
6
4
3 1
2 5
1 �1
3
7
5
:
(a) Encontre a expressão de T (x; y) em relação às bases canônicas de cada espaço.
(b) Qual é a imagem do vetor (2;�3) pela T .
(c) Se T (v) = (2; 4;�2), calcule v.
3. Determine as matrizes [T ]
�;�
0
em cada uma das seguintes transformações lineares com relação
às bases dadas.
(a) T (x; y) = (x+ 2y; 2x� 2y), � = f(0; 1); (2;�2)g, �
0
= f(1; 0); (2;�2)g
(b) T (x; y) = (3x+ 2y; 4x� 2y), � = f(�3; 1); (2;�2)g, �
0
= f(1; 0); (1; 3)g
(c) T (x; y; z) = (x; 4x+y; x+z), � = f(1; 1; 0); (0; 1; 0); (1; 1; 1)g, �
0
= f(1; 1; 0); (0; 1; 0); (1; 1; 1)g
4. Sabendo que a matriz do operador linear T : R3 ! R3 em relação à base
�
0
= f(1; 1; 1); (1; 2; 1); (1; 1; 3)g
é
A =
1
2
2
6
4
3 1 3
0 2 0
�1 �1 �1
3
7
5
;
determinar a matriz de T relativa à base canônica.
5. Seja T : R3 ! R3 a transformação linear dada por T (x; y; z) = (x � y; x + 2y � z; y � z) e
considere � = f(1; 0; 0); (0; 1; 1); (1; 0; 1)g e � = f(1; 0; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g duas bases de R3.
(a) Encontre a matriz da transformação linear T da base � para a �.
(b) Se [T (v)]
�
= (1; 2;�1), encontre v.
6. Dada a transformação linear T : R4 ! R3 definida por T (1; 0; 0; 0) = (1; 1; 2); T (0; 1; 0; 0) =
(1; 2; 3); T (0; 0; 1; 0) = (2; 0; 2) e T (0; 0; 0; 1) = (4; 0; 4).
(a) Encontre T (x; y; z; t),
2
(b) Determine uma base de N(T ).
(c) Determine uma base de Im(T ).
7. Sejam os subespaços vetoriais de R3, W
1
= f(x; y; z) 2 R3 tal que x � y + 4z = 0g, e
W
2
= [(0; 1; 0); (1; 0; 1)] então:
(a) Prove que W
1
é um subespaço e determine uma base.
(b) Determinar a dimensão de W
1
\W
2
.
8. Determine uma transformação linear T : P
2
(R) ! P
2
(R) tal que T (1) = x, T (x) = 1 � x2 e
T (x
2
) = 2x. Encontre o núcleo e a imagem de T .
9. Seja T : R3 ! R3 um operador linear definido pela fórmula:
T (x; y; z) = (x+ 3y + 2z; 2x+ 7y + 5z;�x� 2y):
(a) Verifique que T é injetora.
(b) Encontre T
�1
.
10. Determine uma transformação linear T : R3 ! R2 cujo núcleo seja gerado pelos vetores
v
1
= (1; 0; 0) e v
2
= (1; 2; 1).
12. Determine uma transformação linear T : R2 ! R3 cujo imagem seja gerada pelos vetores
v
1
= (1; 1; 0) e v
2
= (0; 1; 1).
13. Mostre que o operador linear T : R3 ! R3 dado por T (x; y; z) = (x� 3y � 2z; y � 4z;�z) é
inversível e determine T
�1
.
14. Seja T : R2 ! R2 uma transformação linear tal que T (1; 0; 1) = (1; 1; 0), T (0; 1; 0) =
(1; 0;�1) e T (0; 1; 1) = (0; 0; 1).
(a) Determine T (x; y; z).
(b) Determinar a matriz da transformação com respeito à base canônica de R3.
(c) T é inversível? Se for, calcule sua inversa.
15. Determine os autovalores e autovetores dos seguintes opeadores lineares:
(a) T : R2 ! R2, T (x; y) = (x+ 2y;�x+ 4y).
(b) T : R2 ! R2, T (x; y) = (2x+ 2y; x+ 3y).
(c) T : R3 ! R3, T (x; y; z) = (x+ y + z; 2y + z; 2y + 3z).
(d) T : R3 ! R3, T (x; y; z) = (x;�2x� y; 2x+ y + 2z).
(e) T : R3 ! R3, T (x; y; z) = (3x� 4z; 3y + 5z;�z).
16. Os vetores v
1
= (1; 1) e v
2
= (2;�1) são autovetores de um operador linear T : R2 ! R2
associados a �
1
= 5 e �
2
= �1 respectivamente. Usando estas informações, determine a imagem
do vetor v = (4; 1) por este operador.
17. Determinar o operador linear T : R2 ! R2 cujos autovalores são �
1
= 3 e �
2
= �2,
associados aos autovetores v
1
= (1; 2) e v
2
= (�1; 0).
18. Seja T : P
2
(R)! P
2
(R) definida por T (ax2 + bx+ c) = (a+ c)x2 + (3a+ 2b� c)x+ 3c:
(a) Encontre os autovalores de T .
3
(b) Encontre uma base para cada auto-espaço de T .
19. Consider a aplicação T :M
2
(R)! R dada por T
�
"
a
11
a
12
a
21
a
22
#
�
= a
11
+ a
22
.
(a) Mostre que T é transformação linear.
(b) A matriz
"
2 1
2 �2
#
pertence ao núcleo de T?.
(c) Encontre uma base do núcleo de T .
(d) Encontre uma base da imagem de T .
20. Considere o operador T : R3 ! R3 dado por T (x; y; z) = (�2x�4y; 2x+4y;�2x�2y+2z).
(a) Determine o polinômio característico de T .
(b) Quais são os autovalores de T?
(c) T é inversível.
21. Dê, quando possível, exemplos de transformações lineares T e S satisfazendo as seguintes
condições:
(a) T : R3 ! R2 sobrejetora.
(b) S : R3 ! R2 com N(S) = f(0; 0; 0)g.
22. Considere a transformação linear T : R3 ! R3 dada por T (x; y; z) = (2z;�y; 2x).
(a) Encontre os autovalores de T .
(b) Encontre os autovetores de T .
(c) Diagonalize T .
23. Verifique se as matrizes dadas são diagonalizáveis.
A =
2
6
4
1 �1 0
2 3 2
1 1 2
3
7
5
, B =
2
6
4
1 �1 0
2 3 2
1 1 2
3
7
5
, C =
2
6
4
2 2 3
1 2 1
2 �2 1
3
7
5
24. Considere o operador linear T : R4 ! R4 dado por T (x; y; z; t) = (y + t; x+ z; y + t; x+ z).
(a) Determine o polinômio de T .
(b) Quais são os autovalores de T?
(c) Encontre os autovetores de T .
(d) T é inversível?
(e) T é diagonalizável? Em caso afirmativo, dê uma base � na qual [T ]
�
é diagonal.
�lgebra Linear/Lista AL/Lista de Algebra Linear_ matrizes sistemas lineares e determinantes.pdf
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Lista de Algebra Linear
Assuntos: Matrizes, Sistemas lineares e determinantes
2
3
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5
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�lgebra Linear/P1 2010_1.pdf
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UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
29/04/2010
Prova 1 - A´lgebra Linear - F´ısica
1. Considere o sistema:
2x + y + z = −6α
2x
+ y + (β + 1)z = 4
βx + 3y + 2z = 2α.
(a) Mostre que, se β 6= 0 e β 6= 6, o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o. (1 ponto)
(b) Prove que, se β = 0, existe um u´nico valor de α para o qual o sistema e´ poss´ıvel.
Determine a soluc¸a˜o, neste caso. (1 ponto)
(c) Discuta o sistema no caso β = 6. (0,5 pontos)
2. Seja A uma matriz de ordem n × n definida por aij =
{
0, se i = j
1, se i 6= j . Mostre que
det(A) = (−1)n−1(n− 1). (2,5 pontos)
3. Considere a matriz:
A =
1 0 03 2 1
0 1 2
.
Escreva A−1 como produto de matrizes elementares (explicite cada matriz elementar).
(2,0 pontos)
4. Sendo A e B matrizes quadradas. Responda se cada item abaixo e´ verdadeiro ou falso,
justificando sua resposta.
(a) det(A+B) = det(A) + det(B). (1 ponto)
(b) AB e´ invert´ıvel se, e so´ se, A e B sa˜o invert´ıveis. (1 ponto)
(c) Seja x um vetor de tamanho n× 1. Enta˜o Ax = 0 implica que x = 0. (1 ponto)
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
�lgebra Linear/p1 2012_1.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Primeira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 03 de abril de 2012
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
Justifique seu racioc´ınio.
1. Seja
A =
a 1 −1 a 00 a + 1 1 1 1
−1 1 0 a + 1 b
a matriz ampliada de um sistema linear. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha: (a)
soluc¸a˜o u´nica; (b) infinitas soluc¸o˜es e (c) nenhuma soluc¸a˜o.
2. Calcule o determinante de
A =
x 2 0 3
1 2 3 3
1 0 1 1
1 1 1 3
e determine para quais valores de x esta matriz e´ invert´ıvel.
3. Seja A uma matriz 3× 3 tal que
AX1 = B1, AX2 = B2, AX3 = B3 (1)
onde B1 =
[
4 2 −2]T , B2 = [−1 2 0]T e B3 = [2 −1 1]T .
(a) Mostre que a matriz B com colunas B1, B2 e B3 e´ invert´ıvel.
(b) Mostre que A e´ invert´ıvel.
(c) Dados X1 =
[
1 2 −2]T , X2 = [3 1 1]T e X3 = [2 −1 3]T ; mostre que na˜o existe A
satisfazendo as igualdades em (1) acima.
4. (a) Seja I a matriz identidade 2× 2. Mostre que as matrizes X1 = I e X2 = 4I satisfazem X2 −
5X + 4I = 0, onde X e´ uma matriz 2× 2.
(b) Existem outras matrizes que satisfazem X2 − 5X + 4I = 0?
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Existem matrizes A e B, ambas na˜o-nulas, tais que (A−B)2 = A2 − 2AB + B2.
(b) Se a forma escalonada da matriz ampliada de um sistema possui linha nula, enta˜o o sistema tem
infinitas soluc¸o˜es.
(c) Se A e´ uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A) = −2, enta˜o det(adj(A)) = −8.
(d) Na˜o existem a 6= 0 e b 6= 0 tais que E =
1 0 00 1 0
0 a b
e´ elementar.
Boa Prova!!!
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UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
29/04/2010
Prova 1 - A´lgebra Linear - F´ısica
1. Considere o sistema:
2x + y + z = −6α
2x + y + (β + 1)z = 4
βx + 3y + 2z = 2α.
(a) Mostre que, se β 6= 0 e β 6= 6, o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o. (1 ponto)
(b) Prove que, se β = 0, existe um u´nico valor de α para o qual o sistema e´ poss´ıvel.
Determine a soluc¸a˜o, neste caso. (1 ponto)
(c) Discuta o sistema no caso β = 6. (0,5 pontos)
2. Seja A uma matriz de ordem n × n definida por aij =
{
0, se i = j
1, se i 6= j . Mostre que
det(A) = (−1)n−1(n− 1). (2,5 pontos)
3. Considere a matriz:
A =
1 0 03 2 1
0 1 2
.
Escreva A−1 como produto de matrizes elementares (explicite cada matriz elementar).
(2,0 pontos)
4. Sendo A e B matrizes quadradas. Responda se cada item abaixo e´ verdadeiro ou falso,
justificando sua resposta.
(a) det(A+B) = det(A) + det(B). (1 ponto)
(b) AB e´ invert´ıvel se, e so´ se, A e B sa˜o invert´ıveis. (1 ponto)
(c) Seja x um vetor de tamanho n× 1. Enta˜o Ax = 0 implica que x = 0. (1 ponto)
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
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UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
24/05/2010
Prova 1 - A´lgebra Linear - Engenharias
1. Analise o sistema em func¸a˜o de a e b: (2,5 pontos)
−2x + (a+ 3)y − bz = −3
x + bz = 1
2x + 4y + 3bz = −b.
2. Calcule o determinante da matriz abaixo por escalonamento: (2,0 pontos)
A =
0 −3 −5 6
2 2 3 −2
0 −3 −4 3
0 −1 −1 +2
.
3. Considere a matriz:
A =
1 2 3 −2
0 −3 −5 6
0 α− 6 −8 6
0 −1 −1 α+ 2
.
Determine α para que a forma escalonada de A na˜o tenha linhas nulas. Explicite cada
matriz elementar do escalonamento. (2,5 pontos)
4. Sendo A e B matrizes quadradas. Responda se cada item abaixo e´ verdadeiro ou falso,
justificando sua resposta.
(a) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2. (1 ponto)
(b) AB e´ invert´ıvel se, e so´ se, A e B sa˜o invert´ıveis. (1 ponto)
(c) O vetor η = (a, b, c) e´ ortogonal ao plano ax+ by+ cz+ d = 0, onde a 6= 0 ou b 6= 0 ou
c 6= 0. (1 ponto)
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
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�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2012.1.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Primeira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 03 de abril de 2012
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
Justifique seu racioc´ınio.
1. Seja
A =
a 1 −1 a 00 a + 1 1 1 1
−1 1 0 a + 1 b
a matriz ampliada de um sistema linear. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha: (a)
soluc¸a˜o u´nica; (b) infinitas soluc¸o˜es e (c) nenhuma soluc¸a˜o.
2. Calcule o determinante de
A =
x 2 0 3
1 2 3 3
1 0 1 1
1 1 1 3
e determine para quais valores de x esta matriz e´ invert´ıvel.
3. Seja A uma matriz 3× 3 tal que
AX1 = B1, AX2 = B2, AX3 = B3 (1)
onde B1 =
[
4 2 −2]T , B2 = [−1 2 0]T e B3 = [2 −1 1]T .
(a) Mostre que a matriz B com colunas B1, B2 e B3 e´ invert´ıvel.
(b) Mostre que A e´ invert´ıvel.
(c) Dados X1 =
[
1 2 −2]T , X2 = [3 1 1]T e X3 = [2 −1 3]T ; mostre que na˜o existe A
satisfazendo as igualdades em (1) acima.
4. (a) Seja I a matriz identidade 2× 2. Mostre que as matrizes X1 = I e X2 = 4I satisfazem X2 −
5X + 4I = 0, onde X e´ uma matriz 2× 2.
(b) Existem outras matrizes que satisfazem X2 − 5X + 4I = 0?
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Existem matrizes A e B, ambas na˜o-nulas, tais que (A−B)2 = A2 − 2AB + B2.
(b) Se a forma escalonada da matriz ampliada de um sistema possui linha nula, enta˜o o sistema tem
infinitas soluc¸o˜es.
(c) Se A e´ uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A) = −2, enta˜o det(adj(A)) = −8.
(d) Na˜o existem a 6= 0 e b 6= 0 tais que E =
1 0 00 1 0
0 a b
e´ elementar.
Boa Prova!!!
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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Uma Soluc¸a˜o - Primeira Prova de A´lgebra Linear - 2012/2
Vito´ria, 20 de dezembro de 2012
1. Seja
A =
1 0 −1 a −11 2 b 0 b2
2 b −1 b −2
a matriz ampliada de um sistema linear. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha:
(a) soluc¸a˜o u´nica; (b) infinitas
soluc¸o˜es e (c) nenhuma soluc¸a˜o.
Sol.: Como o sistema associado a A tem mais varia´veis que equac¸o˜es, o sistema na˜o tera´ soluc¸a˜o
u´nica, independente dos valores de a e b. Escalonando A obtemos:1 0 −1 a −10 2 b+ 1 −a b2 + 1
0 0 2−b−b
2
2
b(1 + a
2
)− 2a −b
2
(b2 + 1)
Se 2− b− b2 6= 0, isto e´ se b 6= 1 e b 6= −2, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es, independente de a.
Se b = 1 enta˜o escalonando A obtemos1 0 −1 a −10 2 2 −a 2
0 0 0 (1 + a
2
)− 2a −1
Neste caso, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es se (1 + a
2
) − 2a 6= 0, ou seja, se a 6= 2
3
e na˜o tera´
soluc¸o˜es se a = 2
3
.
Se b = −2 enta˜o escalonando A obtemos1 0 −1 a −10 2 −1 −a 5
0 0 0 −2(1 + a
2
)− 2a 5
Neste caso, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es se −2(1 + a
2
)− 2a 6= 0, ou seja, se a 6= −2
3
e na˜o tera´
soluc¸o˜es se a = −2
3
.
2. Determine a inversa de
(a) A =
[
5 3
2 1
]
Sol.: A−1 =
[−1 3
2 −5
]
(b) B =
0 0 2 4
0 0 0 2
5 3 0 0
2 1 0 0
Sol.: B−1 =
0 0 −1 3
0 0 2 −5
1
2
−1 0 0
0 1
2
0 0
3. Seja A =
3 2 0 31 2 3 3
1 0 1 1
.
(a) Encontre uma matriz escalonada T e matrizes elementares E1, E2, · · · , Ek tais que
E1E2 · · ·Ek A = T .
Sol.: Sejam E1 =
0 0 10 1 0
1 0 0
, E2 =
1 0 0−1 1 0
0 0 1
, E3 =
1 0 00 1 0
−3 0 1
, E4 =
1 0 00 1
2
0
0 0 1
,
E5 =
1 0 00 1 0
0 −2 1
e E6 =
1 0 00 1 0
0 0 −1
5
Enta˜o E6E5E4E3E2E1A =
1 0 1 10 1 1 1
0 0 1 2
5
= T .
(b) Encontre uma matriz P tal que A = PT , sendo T a matriz obtida no item (a).
Sol.: Seja P = (E6E5E4E3E2E1)
−1 = E−11 E
−1
2 E
−1
3 E
−1
4 E
−1
5 E
−1
6 , A = PT .
4. Seja A =
[
3 −1
1 1
]
.
(a) Determine valores de λ tais que Ax = λx, onde x e´ uma matriz coluna, 2 × 1, na˜o-nula.
Sol.: Ax = λx e´ equivalente a (A − λI)x = 0, cuja matriz ampliada e´
[
3− λ −1 0
1 1− λ 0
]
.
Escalonando obtemos:
[
1 1− λ 0
0 −1− (3− λ)(1− λ) 0
]
. Logo, se −1 − (3 − λ)(1 − λ) 6= 0, ou
seja, se λ 6= 2 o sistema homogeˆneo (A− λI)x = 0 tera´ apenas a soluc¸a˜o trivial. Se λ = 2 o
sitema tera´ infinitas soluc¸o˜es.
(b) Para cada valor de λ obtido no item (a), encontre o conjunto soluc¸a˜o do sistema (A−λI)x = 0.
Sol.: Para λ = 2 a matriz ampliada escalonada fica
[
1 −1 0
0 0 0
]
. Logo o conjunto soluc¸a˜o do
sistema associado e´ {(t, t) ∈ R2; t ∈ R}.
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Se A e´ um matriz quadrada tal que A4 = 0, enta˜o (I − A)−1 = I + A+ A2 + A3.
Sol.: VERDADEIRO, pois (I−A)(I+A+A2+A3) = I+A+A2+A3−A−A2−A3−A4 = I.
(b) Se E e´ elementar, enta˜o ET tambe´m e´ elementar.
Sol.: VERDADEIRO, pois se E e´ obtida da identidade multiplicando uma linha por constante
na˜o nula, ou trocando linhas enta˜o E e´ sime´trica, isto e´ ET = E. Se E e´ obtida da identidade
trocando a linha i por ela mais c vezes a linha j, enta˜o ET pode ser obtida da identidade
trocando a linha j por ela mais c vezes a linha i e portanto ET e´ elementar.
2
�lgebra Linear/P1/P1 �lgebra Linear 2012.2 Solu��o.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Uma Soluc¸a˜o - Primeira Prova de A´lgebra Linear - 2012/2
Vito´ria, 20 de dezembro de 2012
1. Seja
A =
1 0 −1 a −11 2 b 0 b2
2 b −1 b −2
a matriz ampliada de um sistema linear. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha:
(a) soluc¸a˜o u´nica; (b) infinitas soluc¸o˜es e (c) nenhuma soluc¸a˜o.
Sol.: Como o sistema associado a A tem mais varia´veis que equac¸o˜es, o sistema na˜o tera´ soluc¸a˜o
u´nica, independente dos valores de a e b. Escalonando A obtemos:1 0 −1 a −10 2 b+ 1 −a b2 + 1
0 0 2−b−b
2
2
b(1 + a
2
)− 2a −b
2
(b2 + 1)
Se 2− b− b2 6= 0, isto e´ se b 6= 1 e b 6= −2, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es, independente de a.
Se b = 1 enta˜o escalonando A obtemos1 0 −1 a −10 2 2 −a 2
0 0 0 (1 + a
2
)− 2a −1
Neste caso, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es se (1 + a
2
) − 2a 6= 0, ou seja, se a 6= 2
3
e na˜o tera´
soluc¸o˜es se a = 2
3
.
Se b = −2 enta˜o escalonando A obtemos1 0 −1 a −10 2 −1 −a 5
0 0 0 −2(1 + a
2
)− 2a 5
Neste caso, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es se −2(1 + a
2
)− 2a 6= 0, ou seja, se a 6= −2
3
e na˜o tera´
soluc¸o˜es se a = −2
3
.
2. Determine a inversa de
(a) A =
[
5 3
2 1
]
Sol.: A−1 =
[−1 3
2 −5
]
(b) B =
0 0 2 4
0 0 0 2
5 3 0 0
2 1 0 0
Sol.: B−1 =
0 0 −1 3
0 0 2 −5
1
2
−1 0 0
0 1
2
0 0
3. Seja A =
3 2 0 31 2 3 3
1 0 1 1
.
(a) Encontre uma matriz escalonada T e matrizes elementares E1, E2, · · · , Ek tais que
E1E2 · · ·Ek A = T .
Sol.: Sejam E1 =
0 0 10 1 0
1 0 0
, E2 =
1 0 0−1 1 0
0 0 1
, E3 =
1 0 00 1 0
−3 0 1
, E4 =
1 0 00 1
2
0
0 0 1
,
E5 =
1 0 00 1 0
0 −2 1
e E6 =
1 0 00 1 0
0 0 −1
5
Enta˜o E6E5E4E3E2E1A =
1 0 1 10 1 1 1
0 0 1 2
5
= T .
(b) Encontre uma matriz P tal que A = PT , sendo T a matriz obtida no item (a).
Sol.: Seja P = (E6E5E4E3E2E1)
−1 = E−11 E
−1
2 E
−1
3 E
−1
4 E
−1
5 E
−1
6 , A = PT .
4. Seja A =
[
3 −1
1 1
]
.
(a) Determine valores de λ tais que Ax = λx, onde x e´ uma matriz coluna, 2 × 1, na˜o-nula.
Sol.: Ax = λx e´ equivalente a (A − λI)x = 0, cuja matriz ampliada e´
[
3− λ −1 0
1 1− λ 0
]
.
Escalonando obtemos:
[
1 1− λ 0
0 −1− (3− λ)(1− λ) 0
]
. Logo, se −1 − (3 − λ)(1 − λ) 6= 0, ou
seja, se λ 6= 2 o sistema homogeˆneo (A− λI)x = 0 tera´ apenas a soluc¸a˜o trivial. Se λ = 2 o
sitema tera´ infinitas soluc¸o˜es.
(b) Para cada valor de λ obtido no item (a), encontre o conjunto soluc¸a˜o do sistema (A−λI)x = 0.
Sol.: Para λ = 2 a matriz ampliada escalonada fica
[
1 −1 0
0 0 0
]
. Logo o conjunto soluc¸a˜o do
sistema associado e´ {(t, t) ∈ R2; t ∈ R}.
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Se A e´ um matriz quadrada tal que A4 = 0, enta˜o (I − A)−1 = I + A+ A2 + A3.
Sol.: VERDADEIRO, pois (I−A)(I+A+A2+A3) = I+A+A2+A3−A−A2−A3−A4 = I.
(b) Se E e´ elementar, enta˜o ET tambe´m e´ elementar.
Sol.: VERDADEIRO, pois se E e´ obtida da identidade multiplicando uma linha por constante
na˜o nula, ou trocando linhas enta˜o E e´ sime´trica, isto e´ ET = E. Se E e´ obtida da identidade
trocando a linha i por ela mais c vezes a linha j, enta˜o ET pode ser obtida da identidade
trocando a linha j por ela mais c vezes a linha i e portanto ET e´ elementar.
2
�lgebra Linear/P2 2010_1.pdf
1
UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
08/06/2010
Prova 2 - A´lgebra Linear - F´ısica
1. Seja o plano Π definido pela equac¸a˜o x+ y + z = 0.
(a) (1,0) Dado um ponto P = (a, b, c) qualquer em R3, determine o ponto
Q ∈ Π tal que o vetor ~QP seja ortogonal ao plano Π.
(b) (1,5) A func¸a˜o que associa a cada ponto P ∈ R3 o ponto Q ∈ Π obtido
no item acima e´ uma transformac¸a˜o linear?
2. Dado o plano Π definido pela equac¸a˜o 2x+ y − z = 0
(a) (1,0) Encontre uma base {u1, u2} para o plano Π.
(b) (1,0) Encontre uma base B = {u1, u2, u} do espac¸o euclidiano R3,
onde u e´ ortogonal a u1 e u2.
(c) (0,5) Usando o item anterior, determine a matriz canoˆnica da trans-
formac¸a˜o linear T : R3 → R3 que e´ a reflexa˜o no plano Π.
3. Dada a matriz
A =
1 4 5 −13 −2 1 2
−1 0 −1 −3
(a)
(1,5) Encontre uma base para o espac¸o coluna da matriz A.
(b) (1,0) Encontre uma base para S = {b ∈ R3;Ax = b tem soluc¸a˜o}.
4. Dado o conjunto S = {(x, y, z, t) ∈ R4; x− y + z + t = 0}.
(a) (1,5) Mostre que S e´ um subespac¸o do R4.
(b) (1,0)O conjuntoB = {(1, 2, 0, 1); (3, 1,−1,−1); (1,−2,−2,−1); (0, 2, 1, 1)}
gera o subespac¸o S?
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
�lgebra Linear/P2+Sol 2012_1.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Primeira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 15 de maio de 2012
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
Justifique seu racioc´ınio.
1. Seja
A =
1 −1 01 1 1
−1 −5 −3
(a) Determine a soluc¸a˜o do sitema linear homogeneo Ax = 0.
(b) Determine a intersec¸a˜o do subespac¸o encontrado no item (a) com o plano pi
determinado pela equac¸a˜o −2x+ 3y − z − 1 = 0.
(c) Encontre a equac¸a˜o do plano que conte´m o subespac¸o encontrado no item (a) e
e´ perpendicular ao plano pi dado no item (b).
2. Seja C = {v1;v2;v3;v4} um conjunto de vetores em R5, onde
v1 = (−1, 2, 3, 1,−1);v2 = (2, 2, 1, 1, 1);v3 = (2, 1,−1,−1, 1);v4 = (1,−1,−1, 1, 1).
Determine bases para o espac¸o gerado por C e para seu complemento ortogonal.
3. Seja B = {v1 = (2,−1, 3, 2, 5); v2 = (−1, 2, 3,−1, 1); v3 = (1, 1, 0, 0, 1)} base de W .
(a) Determine uma base ortogonal de W .
(b) Se v = v1−v2 +v3, enta˜o determine a projec¸a˜o ortogonal de v no espac¸o gerado
por B.
4. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Seja u um vetor na˜o nulo. Se u× v = u×w, enta˜o v = w.
(b) Seja V um espac¸o com produto interno e W um subespac¸o de V . Para qualquer
u ∈ V , os vetores projW u e projW⊥ u sa˜o ortogonais.
(c) Se {v1,v2,v3} e´ um conjunto linearmente dependente de vetores na˜o-nulos, enta˜o
cada vetor no conjunto pode ser obtido como combinac¸a˜o linear dos outros dois.
(d) Se b e´ um vetor tal que o sitema Ax = b na˜o tem soluc¸a˜o, enta˜o b na˜o pertence
ao espac¸o-coluna de A.
Boa Prova!!!
1
Prof.: Etereldes
16/05/2012
Sugesta˜o de Prova II - A´lgebra Linear
1. (a) A forma escalonada da matriz aumentada do sistema e´: 1 0 1/2 00 1 1/2 0
0 0 0 0
.
Logo, o sistema Ax = 0 e´ equivalente a
x+
z
2
= 0
y +
z
2
= 0
, cuja soluc¸a˜o e´
S = {(−z
2
,−z
2
, z); z ∈ R} = ger{(−1,−1, 2)}.
(b) Se (x, y, z) ∈ pi ∩S enta˜o
2x+ 3y − z = 1
x+
z
2
= 0
y +
z
2
= 0
, cuja soluc¸a˜o u´nica e´ (
1
3
,
1
3
,−2
3
).
(c) Seja P o plano pedido. Enta˜o ηP (−1,−1, 2) × (−2, 3,−1) = (−5,−5,−5) e´
normal a P . Como (
1
3
,
1
3
,−2
3
) ∈ P , enta˜o P = {(x, y, z) ∈ R3;< (x, y, z) −
(
1
3
,
1
3
,−2
3
), (−5,−5,−5) >= 0} cuja equac¸a˜o e´ x+ y + z = 0.
2. Seja A a matriz cujas linha sa˜o v1, v2, v2 e v4. A matriz A e´ equivalente por linhas
a:
R =
5 0 0 6 4
0 5 0 −8 −2
0 0 5 9 1
0 0 0 0 0
.
Uma base para W = ger{C} e´ {(5, 0, 0, 6, 4), (0, 5, 0,−8,−2), (0, 0, 5, 9, 1)}. Como
W⊥ e´ igual ao nu´cleo de A, basta encontrar uma base para o espac¸o soluc¸a˜o de
Rx = 0. Logo, uma base para W⊥ e´ {(−6, 8,−9, 5, 0), (−4, 2,−1, 0, 5)}.
3. (a) Seja u1 = (1, 1, 0, 0, 1) e
u′2 = v2 − Pu1v2 = (
−5
3
,
4
3
, 3,−1, 1
3
)
. Logo, u2 = (−5, 4, 9,−3, 1) e u1 sa˜o ortogonais. Seja
u′3 = v3 − Pu1v3 − Pu2v3 = (
5
11
,
−37
11
,
25
11
,
32
11
)
2
.
Logo, u3 = (5, 37, 24, 25, 32) e´ ortogonal a u1 e a u2. Veja que B
′ = {u1, u2, u3}
na˜o e´ uma base ortonormal de W .
(b) [v]B = v1− v2 + v3 = (4,−2, 0, 3, 5). Como B′ e´ ortogonal [v]′B = α1u1 +α2u2 +
α3u3 onde αi =
< v, ui >
‖ui‖2 . Logo,
[v]B′ = (
7
3
,
−42
132
,
181
3619
).
4. (a) Falso. Sejam u,w ∈ R3 tais que v = w− u seja na˜o nulo. Enta˜o u× v = u×w.
(b) Verdadeiro. Pois projWu ∈ W e projW⊥u ∈ W⊥.
(c) Falso. Pois {u1 = (1, 0), u2 = (0, 1), u3 = (0, 2)} e´ LD, e na˜o existe a, b ∈ R tais
que u1 = au2 + bu3.
(d) Verdadeiro. Se Ax = b enta˜o b e´ combinac¸a˜o linear das colunas de A.
p2
P2 solução
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�lgebra Linear/P2/P2 �lgebra Linear 2011.1.2 .pdf
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES
Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/2
Aluno:____________________________________________________________________
Data: 25/10/2011
Questão 1 (3,0 pontos)
a) Encontre uma equação para o plano Π passando pelo ponto ( )211 ,, − e que contém a
interseção dos planos 01 =−+ zx e 022 =+− zyx .
b) Para cada ponto ( ) 3,, ℜ∈= zyxP , determine o ponto Π∈Q tal que o vetor QP seja
paralelo ao eixo x.
c) A função que associa a cada ponto 3ℜ∈P o ponto Π∈Q obtido no item (b) é uma
transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz
canônica.
Questão 2 (2,0 pontos)
Seja r a reta de equações paramétricas tx = , ty −= , tz 2= . Determine
a) uma base de { }321 v,v,v do espaço euclidiano 3ℜ , sendo rv ∈1 e 2v e 3v ortogonais a r.
b) a matriz canônica do operador linear de 3ℜ que é a projeção ortogonal sobre a reta r,
usando a base obtida no item (a).
Questão3 (3,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano 4ℜ gerado por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }553100525501512132101 −−−−−−−= ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,S .
a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W.
b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma
combinação linear dos vetores da base.
c) Determine uma base ortogonal do complemento ortogonal de W.
Questão 4 (2,0 pontos)
Sejam o espaço euclidiano 3ℜ e ( ) ( ) ( ){ }140243001 ,,,,,,,,B −= uma base de 3ℜ .
a) Use o processo de Gram-Schmidt para transformar B em uma base ortogonal.
b) Determine o vetor de coordenadas, em relação à base ortogonal obtida no item (a), do
vetor de 3ℜ cujo vetor de coordenadas, em relação a B, é ( )12121 ,,− .
�lgebra Linear/P2/P2 �lgebra Linear 2011.1.pdf
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Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/1
Aluno:____________________________________________________________________
Data: 10/05/2011
Questão 1 (3,0 pontos)
a) Encontre uma equação para o plano Π passando pela origem e que é perpendicular à
reta de interseção dos planos 12 −=++ zyx e 72 =++ zyx .
b) Dado um ponto ( ) 3,, ℜ∈= zyxP , determine o ponto Π∈Q tal que o vetor QP seja
ortogonal ao plano Π .
c) A função que associa a cada ponto 3ℜ∈P o ponto Π∈Q obtido no item (b) é uma
transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz
canônica.
Questão 2 (1,0 pontos)
Seja { }321 ,, vvv uma base de um espaço vetorial V. Mostre que { }321 ,, uuu também é
base de V, sendo 11 vu = , 212 vvu += e 3213 vvvu ++= .
Questão 3 (2,0 pontos)
Sejam r a reta de equações paramétricas tx = , ty −= , tz 2= e Π o plano passando pela
origem e perpendicular à reta r. Determine a matriz canônica do operador linear T de 3ℜ
tal que ( ) 0=vT , para cada rv ∈ , e ( ) vvT 2−= , para cada Π∈v .
Questão 4 (2,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial de 4ℜ gerado por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }8,2,18,7,3,2,4,0,4,9,5,4,0,1,3,2,2,5,1,1 −−−−−−=S .
a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W.
b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma
combinação
linear dos vetores da base.
Questão 5 (2,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano 5ℜ gerado por
( ) ( ) ( ) ( ){ }8,7,5,3,2,1,2,1,0,1,1,4,1,2,3,9,6,5,4,1 −−−−−−=S . Encontre bases para W e
para o complemento ortogonal de W.
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Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/1
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Data: 10/05/2011
Questão 1 (3,0 pontos)
a) Encontre uma equação para o plano Π passando pela origem e que é perpendicular à
reta de interseção dos planos 12 −=++ zyx e 72 =++ zyx .
b) Dado um ponto ( ) 3,, ℜ∈= zyxP , determine o ponto Π∈Q tal que o vetor QP seja
ortogonal ao plano Π .
c) A função que associa a cada ponto 3ℜ∈P o ponto Π∈Q obtido no item (b) é uma
transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz
canônica.
Questão 2 (1,0 pontos)
Seja { }321 ,, vvv uma base de um espaço vetorial V. Mostre que { }321 ,, uuu também é
base de V, sendo 11 vu = , 212 vvu += e 3213 vvvu ++= .
Questão 3 (2,0 pontos)
Sejam r a reta de equações paramétricas tx = , ty −= , tz 2= e Π o plano passando pela
origem e perpendicular à reta r. Determine a matriz canônica do operador linear T de 3ℜ
tal que ( ) 0=vT , para cada rv ∈ , e ( ) vvT 2−= , para cada Π∈v .
Questão 4 (2,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial de 4ℜ gerado por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }8,2,18,7,3,2,4,0,4,9,5,4,0,1,3,2,2,5,1,1 −−−−−−=S .
a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W.
b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma
combinação linear dos vetores da base.
Questão 5 (2,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano 5ℜ gerado por
( ) ( ) ( ) ( ){ }8,7,5,3,2,1,2,1,0,1,1,4,1,2,3,9,6,5,4,1 −−−−−−=S . Encontre bases para W e
para o complemento ortogonal de W.
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Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/2
Aluno:____________________________________________________________________
Data: 25/10/2011
Questão 1 (3,0 pontos)
a) Encontre uma equação para o plano Π passando pelo ponto ( )211 ,, − e que contém a
interseção dos planos 01 =−+ zx e 022 =+− zyx .
b) Para cada ponto ( ) 3,, ℜ∈= zyxP , determine o ponto Π∈Q tal que o vetor QP seja
paralelo ao eixo x.
c) A função que associa a cada ponto 3ℜ∈P o ponto Π∈Q obtido no item (b) é uma
transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz
canônica.
Questão 2 (2,0 pontos)
Seja r a reta de equações paramétricas tx = , ty −= , tz 2= . Determine
a) uma base de { }321 v,v,v do espaço euclidiano 3ℜ , sendo rv ∈1 e 2v e 3v ortogonais a r.
b) a matriz canônica do operador linear de 3ℜ que é a projeção ortogonal sobre a reta r,
usando a base obtida no item (a).
Questão3 (3,0 pontos)
Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano 4ℜ gerado por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }553100525501512132101 −−−−−−−= ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,S .
a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W.
b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma
combinação linear dos vetores da base.
c) Determine uma base ortogonal do complemento ortogonal de W.
Questão 4 (2,0 pontos)
Sejam o espaço euclidiano 3ℜ e ( ) ( ) ( ){ }140243001 ,,,,,,,,B −= uma base de 3ℜ .
a) Use o processo de Gram-Schmidt para transformar B em uma base ortogonal.
b) Determine o vetor de coordenadas, em relação à base ortogonal obtida no item (a), do
vetor de 3ℜ cujo vetor de coordenadas, em relação a B, é ( )12121 ,,− .
�lgebra Linear/P3 2010_1.pdf
1
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CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
01/07/2010
Prova 3 - A´lgebra Linear - F´ısica
1. (2,5 pontos) Dada a base B = {(1, 1, 1); (1, 0, 1); (1,−1,−1)} para o R3.
(a) Determine as coordenadas do vetor u = (2,−1, 4) na base B.
(b) Ortogonalize B.
(c) Determine as coordenadas do vetor u = (2,−1, 4) na base ortogonal encontrada no
item (b).
2. (2,5 pontos) Dada a matriz
A =
2 −1 −1−1 2 −1
−1 −1 2
(a) Determine os autovalores e autovetores de A.
(b) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que diago-
naliza A.
(c) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique?
3. (2,5 pontos) Encontre a projec¸a˜o ortogonal de u = (1, 0, 0, 2) no espac¸o-soluc¸a˜o do sistema
linear homogeˆneo {
x1 + 2x2 − x3 = 0
2x2 + x3 + x4 = 0
.
4. (2,5 pontos) Seja T : R3 −→ R3 a transformac¸a˜o linear tal que T (v) = 3v para todo vetor
do plano x+ y − z = 0 e, ale´m disso, T (1,−1, 1) = 0.
(a) Encontre uma base {u1, u2} para o plano x+y− z = 0. Mostre que se u3 = (1,−1, 1),
B = {u1, u2, u3} e´ uma base do R3.
(b) Determine os autovetores de T .
(c) Determine a matriz canoˆnica de T .
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
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1
Prof.: Etereldes
06/11/2012
Soluc¸a˜o esperada da prova III - A´lgebra Linear
1. Sejam U a matriz cujas colunas sa˜o u1, u2 e u3, V a matriz cujas colunas sa˜o v1, v2 e v3 e
A =
1 1 11 −1 1
1 −1 −1
.
Enta˜o U · [v]β = V ·A · [v]β′ . Logo, U ·A−1 · [v]β = V · [v]β′ e a matriz de mudanc¸a de base
de β′ para β e´
A−1 =
1/2 0 1/21/2 −1/2 0
0 1/2 −1/2
.
2. (a) [T (u)]β = (1, 0, 0) e [T (u) − 3T (v) + 2T (w)]β = [T (u)]β − 3[T (v)]β + 2[T (w)]β =
(0,−4, 0).
(b) Os autovalores de T sa˜o as ra´ızes reais de
p(λ) = det(
1− λ 1 10 2− λ 1
0 2 3− λ
) = (1− λ)(λ− 1)(4− λ).
O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ o conjunto soluc¸a˜o de 0 1 10 1 1
0 2 2
xy
z
=
00
0
.
Logo, O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ ger{(1, 0, 0), (0, 1,−1)}. Como o autoespac¸o
associado a λ = 4 tem dimensa˜o 1, temos uma base de autovetores de T e portanto T
e´ diagonaliza´vel. T na˜o e´ ortognalmente diagonaliza´vel, pois A na˜o e´ sime´trica.
(a) dim(Nuc(TA)) = 3 − dim(Im(TA)). Logo, temos os seguintes pares poss´ıveis para
(dim(Nuc(TA)), dim(Im(TA)) que sa˜o (3, 0), (2, 1) e (1, 2). Veja que TA na˜o pode ser
injetiva e na˜o podemos ter (0, 3).
(b) i. A e´ a matriz nula.
ii. A =
[
1 0 0
0 0 0
]
.
iii. A =
[
1 0 0
0 1 0
]
.
3. (a) pi = {(x, y, z) ∈ R3;x − y + z = 0} = {(y − z, y, z); y, z ∈ R} = {y(1, 1, 0) +
z(−1, 0, 1); y, z ∈ R}, que e´ o espac¸o gerado pelos vetores u1 = (1, 1, 0) e u2 =
(−1, 0, 1). Enta˜o, se u3 = (1,−1, 1) temos que β = {u1, u2, u3} e´ uma base de R3.
Definindo T (u3) = 0, temos que T definido na base β por T (u1) = −u1, T (u2) = −u2
e T (u3) = 0 tem as propriedades desejadas.
2
(b) Um vetor qualquer (x, y, z) ∈ R3 e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de β. Isto e´, existem
α1, α2, α3 ∈ R tais que (x, y, z) = α1u1 + α2u2 + α3u3. Resolvendo o sistema 1 −1 11 0 −1
0 1 1
α1α2
α3
=
xy
z
.
Temos α1 =
x+2y+z
3
, α2 =
−x+y+2z
3
e α3 =
x−y+z
3
.
Logo, T (x, y, z) = α1T (u1)+α2T (u2)+α3T (u3) =
x+2y+z
3
T (1, 1, 0)+−x+y+2z
3
T (−1, 0, 1)+
x−y+z
3
T (1,−1, 1) = x+2y+z
3
(−1,−1, 0) + −x+y+2z
3
(1, 0,−1).
Portanto, T (x, y, z) = (−2x−y+z
3
, −x−2y−z
3
, +x−y−2z
3
) = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
xy
z
. Logo
A = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
.
(c) Defina P =
1 −1 11 0 −1
0 1 1
e D =
−1 0 00 −1 0
0 0 0
. Enta˜o, AP = PD, pois as duas
primeiras colunas de P sa˜o autovetores de A associados ao autovalor −1 e a terceira
e´ um autovetor associado ao autovalor 0. Veja que T tem uma base ortonormal de
de autovetores, pois A e´ sime´trica e podemos encontrar tal base ortogonalizando os
autovetores associados ao autovalor −1.
�lgebra Linear/P3+Sol 2012_1.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Terceira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 06 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (2 pontos) Seja β = {u1,u2,u3} e β′ = {v1,v2,v3} bases de um espac¸o vetorial V .
Sabendo que, para v ∈ V ,
[v]β = (a, b, c)⇒ [v]β′ = (a+ b+ c, a− b+ c, a− b− c)
determine a matriz de mudanc¸a de base de β′ para β.
2. Seja
A =
1 1 10 2 1
0 2 3
a matriz do operador linear T : V −→ V numa base β = {u,v,w}.
(a) (1 ponto)Determine [T (u)]β e [T (u)− 3T (v) + 2T (w)]β.
(b) (1,5 pontos) O operador T e´ diagonaliza´vel? T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel?
3. Considere as transformac¸o˜es matriciais TA : R3 −→ R2 dadas por TA(x) = Ax.
(a) (1 ponto) Quais sa˜o todas as poss´ıveis dimenso˜es do nu´cleo de TA?
(b) (1,5 pontos) Para cada dimensa˜o poss´ıvel n, deˆ exemplo nume´rico de uma matriz
A com dimensa˜o do nu´cleo de TA igual a n.
4. Seja pi o plano dado por x− y + z = 0.
(a) (1 ponto) Encontre um operador linear T : R3 −→ R3 tal que
. T (v) = −v para todo v ∈ pi;
. dim(Nuc(T )) = 1;
. T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel.
(b) (1 ponto) Determine a matriz A do operador T , encontrado no item (a), na base
canoˆnica.
(c) (1 ponto) Encontre matrizes P e D, sendo D diagonal, tal que P−1AP = D.
Boa Prova!!!
1
Prof.: Etereldes
06/11/2012
Soluc¸a˜o esperada da prova III - A´lgebra Linear
1. Sejam U a matriz cujas colunas sa˜o u1, u2 e u3, V a matriz cujas colunas sa˜o v1, v2 e v3 e
A =
1 1 11 −1 1
1 −1 −1
.
Enta˜o U · [v]β = V ·A · [v]β′ . Logo, U ·A−1 · [v]β = V · [v]β′ e a matriz de mudanc¸a de base
de β′ para β e´
A−1 =
1/2 0 1/21/2 −1/2 0
0 1/2 −1/2
.
2. (a) [T (u)]β = (1, 0, 0) e [T (u) − 3T (v) + 2T (w)]β = [T (u)]β − 3[T (v)]β + 2[T (w)]β =
(0,−4, 0).
(b) Os autovalores de T sa˜o as ra´ızes reais de
p(λ) = det(
1− λ 1 10 2− λ 1
0 2 3− λ
) = (1− λ)(λ− 1)(4− λ).
O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ o conjunto soluc¸a˜o de 0 1 10 1 1
0 2 2
xy
z
=
00
0
.
Logo, O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ ger{(1, 0, 0), (0, 1,−1)}. Como o autoespac¸o
associado a λ = 4 tem dimensa˜o 1, temos uma base de autovetores de T e portanto T
e´ diagonaliza´vel. T na˜o e´ ortognalmente diagonaliza´vel, pois A na˜o e´ sime´trica.
(a) dim(Nuc(TA)) = 3 − dim(Im(TA)). Logo, temos os seguintes pares poss´ıveis para
(dim(Nuc(TA)), dim(Im(TA)) que sa˜o (3, 0), (2, 1) e (1, 2). Veja que TA na˜o pode ser
injetiva e na˜o podemos ter (0, 3).
(b) i. A e´ a matriz nula.
ii. A =
[
1 0 0
0 0 0
]
.
iii. A =
[
1 0 0
0 1 0
]
.
3. (a) pi = {(x, y, z) ∈ R3;x − y + z = 0} = {(y − z, y, z); y, z ∈ R} = {y(1, 1, 0) +
z(−1, 0, 1); y, z ∈ R}, que e´ o espac¸o gerado pelos vetores u1 = (1, 1, 0) e u2 =
(−1, 0, 1). Enta˜o, se u3 = (1,−1, 1) temos que β = {u1, u2, u3} e´ uma base de R3.
Definindo T (u3) = 0, temos que T definido na base β por T (u1) = −u1, T (u2) = −u2
e T (u3) = 0 tem as propriedades desejadas.
2
(b) Um vetor qualquer (x, y, z) ∈ R3 e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de β. Isto e´, existem
α1, α2, α3 ∈ R tais que (x, y, z) = α1u1 + α2u2 + α3u3. Resolvendo o sistema 1 −1 11 0 −1
0 1 1
α1α2
α3
=
xy
z
.
Temos α1 =
x+2y+z
3
, α2 =
−x+y+2z
3
e α3 =
x−y+z
3
.
Logo, T (x, y, z) = α1T (u1)+α2T (u2)+α3T (u3) =
x+2y+z
3
T (1, 1, 0)+−x+y+2z
3
T (−1, 0, 1)+
x−y+z
3
T (1,−1, 1) = x+2y+z
3
(−1,−1, 0) + −x+y+2z
3
(1, 0,−1).
Portanto, T (x, y, z) = (−2x−y+z
3
, −x−2y−z
3
, +x−y−2z
3
) = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
xy
z
. Logo
A = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
.
(c) Defina P =
1 −1 11 0 −1
0 1 1
e D =
−1 0 00 −1 0
0 0 0
. Enta˜o, AP = PD, pois as duas
primeiras colunas de P sa˜o autovetores de A associados ao autovalor −1 e a terceira
e´ um autovetor associado ao autovalor 0. Veja que T tem uma base ortonormal de
de autovetores, pois A e´ sime´trica e podemos encontrar tal base ortogonalizando os
autovetores associados ao autovalor −1.
AlgLin - p3
P3 solução
�lgebra Linear/P3/P3 �lgebra Linear 2000.1.pdf
�lgebra Linear/P3/P3 �lgebra Linear 2001.1.pdf
�lgebra Linear/P3/P3 �lgebra Linear 2001.2.pdf
�lgebra Linear/P3/P3 �lgebra Linear 2011.2.pdf
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES
Terceira Prova de Álgebra Linear – 2011/2
Aluno:____________________________________________________________________
Data: 29/11/2011
Questão 1 (2,0 pontos)
Sejam 1P o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 1 e { }x,xB 210361 ++= e
{ }x,B 2322 += bases de 1P . Encontre as matrizes de transição de 2B para 1B e de 1B para 2B .
Questão 2 (3,0 pontos)
Sejam ( ) ( ){ }12101 ,,,B = e ( ) ( ) ( ){ }1101000112 −= ,,,,,,,,B bases de 2ℜ e 3ℜ , respectivamente, e
32 ℜ→ℜ:T a transformação linear cuja matriz em relação às bases 1B e 2B é
[ ]
−
=
02
20
01
12 ,BB
T .
a) Determine a matriz canônica de T.
b) Determine [ ]
1, BB
T , sendo B a base canônica de 3ℜ .
c) Determine uma base 3B de 3ℜ tal que
[ ]
=
00
10
01
13 , BB
T .
Questão 3 (3,0 pontos)
Para cada um dos operadores lineares de 3ℜ abaixo, verifique se existe uma base B de 3ℜ tal que a matriz
[ ]BT seja diagonal. Caso exista tal base B, encontre-a, determine [ ]BT e determine uma matriz invertível P
tal que [ ]PTP 1− seja diagonal, sendo [ ]T a matriz canônica de T.
a) ( ) ( )zx,zyx,zxz,y,xT 42324 ++++= .
b) ( ) ( )zy,zy,yxz,y,xT 422 +−+= .
Questão 4 (2,0 pontos)
Sejam T o operador linear de 3ℜ que leva cada vetor em seu simétrico em relação ao plano 02 =+− zyx e
[ ]T a matriz canônica de T. Resolva os itens abaixo sem determinar ( )z,y,xT .
a) Existe uma base B de 3ℜ tal que [ ]BT seja diagonal? Caso afirmativo, determine tal base B e [ ]BT .
b) Existe uma matriz ortogonal P tal que [ ] PTPT seja diagonal? Caso afirmativo, determine as matrizes P e
[ ] PTPT .
�lgebra Linear/Pextra.pdf
1
Prof.: Etereldes
25/09/2012
Prova Extra - A´lgebra Linear
1. Seja A =
0 0 1 0
2 −2 2 3
0 1 0 1
3 −3 3 6
. Calcule o determinante de A por escalonamento.
2. Seja W = ger{v1 = (2, 1, 10, 6), v2 = (1, 3, 5, 3), v3 = (1,−2, 5, 3), v4 = (0, 0, 2, 1)}.
(a) Encontre uma base e determine a dimensa˜o deW , sabendo que A =
2 1 10 6
1 3 5 3
1 −2 5 3
0 0 2 1
e´ equivalente por linhas a B =
2 1 10 6
0 1 0 0
0 0 1 1
2
0 0 0 0
.
(b) Podemos afirmar que v1, v2 e v3 formam uma base para W?
(c) Encontre uma base ortogonal de W .
(d) Encontre uma base de W⊥.
(e) Qual a relac¸a˜o entre os espac¸os linha, coluna e nulo de uma matriz qualquer em termos
de ortogonalidade e dimensa˜o?
3. Seja W o subespac¸o de R3 gerado pelos vetores (1, 0,−1), (2,−1, 1) e (3,−1, 0).
(a) Encontre a intersec¸a˜o deW com a reta r de equac¸o˜es
parame´tricas x = 1+2t, y = 2−t,
z = 2t.
(b) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta contida em W e que e´ perpendicular a` reta
r do item anterior.
�lgebra Linear/PF+Sol 2010_1.pdf
solução esp. prova final pg5.pdf
solução esp. prova final pg4
solução esp. prova final pg3
solução esp. prova final pg2
solução esp. prova final pg1
�lgebra Linear/PF+Sol 2012_1.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 13 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (a) Calcule a inversa da matriz A =
0 1 21 1 1
0 3 5
(b) Se A e´ a matriz de mudanc¸a da base β para β′ e [v]β′ = (1,−1, 2). Calcule [v]β.
2. Considere o vetor v = (a, b, c) e a matriz A abaixo. Encontre uma condic¸a˜o sobre a,
b e c de modo que o sistema Ax = v seja consistente.
A =
1 2 7 11 2 3 3
−1 −2 1 −5
3. Encontre uma equac¸a˜o para o plano que e´ perpendicular ao plano de equac¸a˜o 3x−y =
2 e contem a reta de equac¸o˜es parame´tricas x = 1, y = 3 + 2t e z = 1− t.
4. Seja
A =
1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
a matriz da transformac¸a˜o linear T : R5 −→ R4 na base canoˆnica.
(a) TA e´ injetora? TA e´ sobrejetora?
(b) Determine uma base ortogonal para o subespac¸o Im(TA).
5. Seja
A =
3 0 40 5 0
4 0 −3
a matriz do operador linear T : R3 −→ R3 na base canoˆnica.
(a) Encontre uma base de autovetores de T .
(b) Determine P e uma matriz diagonal D tal que P TAP = D.
Boa Prova!!!
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Soluc¸a˜o da Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 14 de novembro de 2012
1. (a)
0 1 2 1 0 01 1 1 0 1 0
0 3 5 0 0 1
∼
1 0 0 2 1 −10 1 0 −5 0 2
0 0 1 3 0 1
. Logo, A−1 =
2 1 −1−5 0 2
3 0 1
(b)
[v]β = [I]β:β′[v]β′ = A
−1[v]β′ = (−1,−1, 1)
2. A matriz aumentada do sistema Ax = v e´ 1 2 7 1 a1 2 3 3 b
−1 −2 1 −5 c
∼
1 2 7 1 a0 0 −4 2 b− a
0 0 0 0 c+ 2b− a
.
Logo o sistema e´ consistente quando c+ 2b− a = 0.
3. Seja pi o plano a ser obtido. Se P0 e´ um ponto de pi e npi e´ um vetor normal de pi,
enta˜o
P = (x, y, z) ∈ pi ⇐⇒ (P − P0) · npi = 0
Como
r ⊂ pi =⇒ v = (0, 2,−1) e´ paralelo a pi. e P0 = (1, 3, 1) ∈ pi
Ale´m disso,
pi ⊥ 3x− y = 2 =⇒ n = (3,−1, 0) e´ paralelo a pi.
Logo npi = n× v = (1, 3, 6). Portanto
pi : x+ 3y + 6z = 16
4. (a)
A =
1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
∼
1 0 −1 0 −1
0 1 2 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
Logo
Im(T ) = CA = ger{(1,−1, 0, 1); (2, 0,−1, 1); (5, 1, 0,−1)}
e
Nuc(T ) = NA = ger{(1,−2, 1, 0, 0); (1, 0, 0,−1, 1)}
isto e´, T na˜o e´ injetora, pois dim(Nuc(T )) ≥ 1 e T na˜o e´ sobrejetora, pois
dim(Im(T )) = 3.
(b) Ortogonalizando a base encontrada no item anterior
u = (1,−1, 0, 1)
v = (2, 0,−1, 1)− proju(2, 0,−1, 1) = (1, 1,−1, 0)
w = (5, 1, 0,−1)− proju(5, 1, 0,−1)− projv(5, 1, 0,−1) = (2, 0, 2,−2)
5. (a)
λI − A =
λ− 3 0 −40 λ− 5 0
−4 0 λ+ 3
=⇒ p(λ) = (λ− 5)2(λ+ 5)
para λ = 5
5I − A ∼
1 0 −20 0 0
0 0 0
.
Logo uma base para o autoespac¸o associado a λ = 5 e´
{u = (0, 1, 0), v = (2, 0, 1)}.
Para λ = −5
−5I − A ∼
1 0 1/20 1 0
0 0 0
Portanto, um autovetor associado a λ = −5 e´
w = (−1, 0, 2).
(b) A base de autovetores {u, v,w} e´ ortogonal, mas na˜o e´ ortonormal. Normalizando
os vetores, obtemos a base ortonormal{
(0, 1, 0);
(
2√
5
, 0,
1√
5
)
;
(−1√
5
, 0,
2√
5
)}
donde
P =
0
2√
5
− 1√
5
1 0 0
0 1√
5
2√
5
e D =
5 0 00 5 0
0 0 −5
sa˜o tais que
P−1 = P T ⇒ P TAP = D.
Veja que se consideramos P a matriz cujas colunas sa˜o u, v e w teremos ainda
que P TAP e´ diagonal, mas esta diagonal na˜o e´ formada por autovalores de A.
2
PF 2012_1
AlgLin - pf - sol
�lgebra Linear/PF/PEXTRA �lgebra Linear 2012.2.pdf
1
Prof.: Etereldes
25/09/2012
Prova Extra - A´lgebra Linear
1. Seja A =
0 0 1 0
2 −2 2 3
0 1 0 1
3 −3 3 6
. Calcule o determinante de A por escalonamento.
2. Seja W = ger{v1 = (2, 1, 10, 6), v2 = (1, 3, 5, 3), v3 = (1,−2, 5, 3), v4 = (0, 0, 2, 1)}.
(a) Encontre uma base e determine a dimensa˜o deW , sabendo que A =
2 1 10 6
1 3 5 3
1 −2 5 3
0 0 2 1
e´ equivalente por linhas a B =
2 1 10 6
0 1 0 0
0 0 1 1
2
0 0 0 0
.
(b) Podemos afirmar que v1, v2 e v3 formam uma base para W?
(c) Encontre uma base ortogonal de W .
(d) Encontre uma base de W⊥.
(e) Qual a relac¸a˜o entre os espac¸os linha, coluna e nulo de uma matriz qualquer em termos
de ortogonalidade e dimensa˜o?
3. Seja W o subespac¸o de R3 gerado pelos vetores (1, 0,−1), (2,−1, 1) e (3,−1, 0).
(a) Encontre a intersec¸a˜o deW com a reta r de equac¸o˜es parame´tricas x = 1+2t, y = 2−t,
z = 2t.
(b) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta contida em W e que e´ perpendicular a` reta
r do item anterior.
�lgebra Linear/PF/PF �lgebra Linear 2010.2 (com solu��o).pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Terceira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 06 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (2 pontos) Seja β = {u1,u2,u3} e β′ = {v1,v2,v3} bases de um espac¸o vetorial V .
Sabendo que, para v ∈ V ,
[v]β = (a, b, c)⇒ [v]β′ = (a+ b+ c, a− b+ c, a− b− c)
determine a matriz de mudanc¸a de base de β′ para β.
2. Seja
A =
1 1 10 2 1
0 2 3
a matriz do operador linear T : V −→ V numa base β = {u,v,w}.
(a) (1 ponto)Determine [T (u)]β e [T (u)− 3T (v) + 2T (w)]β.
(b) (1,5 pontos) O operador T e´ diagonaliza´vel? T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel?
3. Considere as transformac¸o˜es matriciais TA : R3 −→ R2 dadas por TA(x) = Ax.
(a) (1 ponto) Quais sa˜o todas as poss´ıveis dimenso˜es do nu´cleo de TA?
(b) (1,5 pontos) Para cada dimensa˜o poss´ıvel n, deˆ exemplo nume´rico de uma matriz
A com dimensa˜o do nu´cleo de TA igual a n.
4. Seja pi o plano dado por x− y + z = 0.
(a) (1 ponto) Encontre um operador linear T : R3 −→ R3 tal que
. T (v) = −v para todo v ∈ pi;
. dim(Nuc(T )) = 1;
. T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel.
(b) (1 ponto) Determine a matriz A do operador T , encontrado no item (a), na base
canoˆnica.
(c) (1 ponto) Encontre matrizes P e D, sendo D diagonal, tal que P−1AP = D.
Boa Prova!!!
1
Prof.: Etereldes
06/11/2012
Soluc¸a˜o esperada da prova III - A´lgebra Linear
1. Sejam U a matriz cujas colunas sa˜o u1, u2 e u3, V a matriz cujas colunas sa˜o v1, v2 e v3 e
A =
1 1 11 −1 1
1 −1 −1
.
Enta˜o U · [v]β = V ·A · [v]β′ . Logo, U ·A−1 · [v]β = V · [v]β′ e a matriz de mudanc¸a de base
de β′ para β e´
A−1 =
1/2 0 1/21/2 −1/2 0
0 1/2 −1/2
.
2. (a) [T (u)]β = (1, 0, 0) e [T (u) − 3T (v) + 2T (w)]β = [T (u)]β − 3[T (v)]β + 2[T (w)]β =
(0,−4, 0).
(b) Os autovalores de T sa˜o as ra´ızes reais de
p(λ) = det(
1− λ 1 10 2− λ 1
0 2 3− λ
) = (1− λ)(λ− 1)(4− λ).
O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ o conjunto soluc¸a˜o de 0 1 10 1 1
0 2 2
xy
z
=
00
0
.
Logo, O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ ger{(1, 0, 0), (0, 1,−1)}. Como o autoespac¸o
associado a λ = 4 tem dimensa˜o 1, temos uma base de autovetores de T e portanto T
e´ diagonaliza´vel. T na˜o e´ ortognalmente diagonaliza´vel, pois A na˜o e´ sime´trica.
(a) dim(Nuc(TA)) = 3 − dim(Im(TA)). Logo, temos os seguintes pares poss´ıveis para
(dim(Nuc(TA)), dim(Im(TA)) que sa˜o (3, 0), (2, 1) e (1, 2). Veja que TA na˜o pode ser
injetiva e na˜o
podemos ter (0, 3).
(b) i. A e´ a matriz nula.
ii. A =
[
1 0 0
0 0 0
]
.
iii. A =
[
1 0 0
0 1 0
]
.
3. (a) pi = {(x, y, z) ∈ R3;x − y + z = 0} = {(y − z, y, z); y, z ∈ R} = {y(1, 1, 0) +
z(−1, 0, 1); y, z ∈ R}, que e´ o espac¸o gerado pelos vetores u1 = (1, 1, 0) e u2 =
(−1, 0, 1). Enta˜o, se u3 = (1,−1, 1) temos que β = {u1, u2, u3} e´ uma base de R3.
Definindo T (u3) = 0, temos que T definido na base β por T (u1) = −u1, T (u2) = −u2
e T (u3) = 0 tem as propriedades desejadas.
2
(b) Um vetor qualquer (x, y, z) ∈ R3 e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de β. Isto e´, existem
α1, α2, α3 ∈ R tais que (x, y, z) = α1u1 + α2u2 + α3u3. Resolvendo o sistema 1 −1 11 0 −1
0 1 1
α1α2
α3
=
xy
z
.
Temos α1 =
x+2y+z
3
, α2 =
−x+y+2z
3
e α3 =
x−y+z
3
.
Logo, T (x, y, z) = α1T (u1)+α2T (u2)+α3T (u3) =
x+2y+z
3
T (1, 1, 0)+−x+y+2z
3
T (−1, 0, 1)+
x−y+z
3
T (1,−1, 1) = x+2y+z
3
(−1,−1, 0) + −x+y+2z
3
(1, 0,−1).
Portanto, T (x, y, z) = (−2x−y+z
3
, −x−2y−z
3
, +x−y−2z
3
) = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
xy
z
. Logo
A = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
.
(c) Defina P =
1 −1 11 0 −1
0 1 1
e D =
−1 0 00 −1 0
0 0 0
. Enta˜o, AP = PD, pois as duas
primeiras colunas de P sa˜o autovetores de A associados ao autovalor −1 e a terceira
e´ um autovetor associado ao autovalor 0. Veja que T tem uma base ortonormal de
de autovetores, pois A e´ sime´trica e podemos encontrar tal base ortogonalizando os
autovetores associados ao autovalor −1.
�lgebra Linear/PF/PF �lgebra Linear 2010.2.pdf
1
UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
07/07/2010
Prova Final - A´lgebra Linear - Engenharias
1. Dada a Matriz
A =
0 0 −21 2 1
1 0 3
(a) (1,0) Determine os autovalores e autovetores de A.
(b) (1,0) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que
diagonaliza A.
(c) (0,5) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique?
2. Dada a matriz
A =
1 2 −1 00 2 1 1
2 2 −3 −1
(a) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o linha de A.
(b) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o nulo de A.
(c) (0,5) Mostre que os espac¸os linha de A e o espac¸o nulo de A sa˜o ortogonais, isto e´, se
u pertence ao espac¸o linha e v pertence ao espac¸o nulo, enta˜o < u, v >= 0.
(d) (0,5) Conclua que Posto(A) +Nulidade(A) = 4.
3. Dada a base B = {(2, 2, 1); (1, 0, 1); (1, 2,−1)} para o R3.
(a) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base B.
(b) (1,0) Ortogonalize B.
(c) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base ortogonal encontrada
no item (b).
4. Seja o plano Π definido pela equac¸a˜o x− y + 2z = 0.
(a) (1,0) Dado um ponto P = (a, b, c) qualquer em R3, determine o ponto Q ∈ Π tal que
o vetor
−→
QP seja ortogonal ao plano Π.
(b) (1,5) A func¸a˜o que associa a cada ponto P ∈ R3 o ponto Q ∈ Π obtido no item acima
e´ uma transformac¸a˜o linear? No caso afirmativo determine seus autovetores e seus
autovalores.
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
�lgebra Linear/PF/PF �lgebra Linear 2012.2 (com solu��o).pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 13 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (a) Calcule a inversa da matriz A =
0 1 21 1 1
0 3 5
(b) Se A e´ a matriz de mudanc¸a da base β para β′ e [v]β′ = (1,−1, 2). Calcule [v]β.
2. Considere o vetor v = (a, b, c) e a matriz A abaixo. Encontre uma condic¸a˜o sobre a,
b e c de modo que o sistema Ax = v seja consistente.
A =
1 2 7 11 2 3 3
−1 −2 1 −5
3. Encontre uma equac¸a˜o para o plano que e´ perpendicular ao plano de equac¸a˜o 3x−y =
2 e contem a reta de equac¸o˜es parame´tricas x = 1, y = 3 + 2t e z = 1− t.
4. Seja
A =
1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
a matriz da transformac¸a˜o linear T : R5 −→ R4 na base canoˆnica.
(a) TA e´ injetora? TA e´ sobrejetora?
(b) Determine uma base ortogonal para o subespac¸o Im(TA).
5. Seja
A =
3 0 40 5 0
4 0 −3
a matriz do operador linear T : R3 −→ R3 na base canoˆnica.
(a) Encontre uma base de autovetores de T .
(b) Determine P e uma matriz diagonal D tal que P TAP = D.
Boa Prova!!!
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Soluc¸a˜o da Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 14 de novembro de 2012
1. (a)
0 1 2 1 0 01 1 1 0 1 0
0 3 5 0 0 1
∼
1 0 0 2 1 −10 1 0 −5 0 2
0 0 1 3 0 1
. Logo, A−1 =
2 1 −1−5 0 2
3 0 1
(b)
[v]β = [I]β:β′[v]β′ = A
−1[v]β′ = (−1,−1, 1)
2. A matriz aumentada do sistema Ax = v e´ 1 2 7 1 a1 2 3 3 b
−1 −2 1 −5 c
∼
1 2 7 1 a0 0 −4 2 b− a
0 0 0 0 c+ 2b− a
.
Logo o sistema e´ consistente quando c+ 2b− a = 0.
3. Seja pi o plano a ser obtido. Se P0 e´ um ponto de pi e npi e´ um vetor normal de pi,
enta˜o
P = (x, y, z) ∈ pi ⇐⇒ (P − P0) · npi = 0
Como
r ⊂ pi =⇒ v = (0, 2,−1) e´ paralelo a pi. e P0 = (1, 3, 1) ∈ pi
Ale´m disso,
pi ⊥ 3x− y = 2 =⇒ n = (3,−1, 0) e´ paralelo a pi.
Logo npi = n× v = (1, 3, 6). Portanto
pi : x+ 3y + 6z = 16
4. (a)
A =
1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
∼
1 0 −1 0 −1
0 1 2 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
Logo
Im(T ) = CA = ger{(1,−1, 0, 1); (2, 0,−1, 1); (5, 1, 0,−1)}
e
Nuc(T ) = NA = ger{(1,−2, 1, 0, 0); (1, 0, 0,−1, 1)}
isto e´, T na˜o e´ injetora, pois dim(Nuc(T )) ≥ 1 e T na˜o e´ sobrejetora, pois
dim(Im(T )) = 3.
(b) Ortogonalizando a base encontrada no item anterior
u = (1,−1, 0, 1)
v = (2, 0,−1, 1)− proju(2, 0,−1, 1) = (1, 1,−1, 0)
w = (5, 1, 0,−1)− proju(5, 1, 0,−1)− projv(5, 1, 0,−1) = (2, 0, 2,−2)
5. (a)
λI − A =
λ− 3 0 −40 λ− 5 0
−4 0 λ+ 3
=⇒ p(λ) = (λ− 5)2(λ+ 5)
para λ = 5
5I − A ∼
1 0 −20 0 0
0 0 0
.
Logo uma base para o autoespac¸o associado a λ = 5 e´
{u = (0, 1, 0), v = (2, 0, 1)}.
Para λ = −5
−5I − A ∼
1 0 1/20 1 0
0 0 0
Portanto, um autovetor associado a λ = −5 e´
w = (−1, 0, 2).
(b) A base de autovetores {u, v,w} e´ ortogonal, mas na˜o e´ ortonormal. Normalizando
os vetores, obtemos a base ortonormal{
(0, 1, 0);
(
2√
5
, 0,
1√
5
)
;
(−1√
5
, 0,
2√
5
)}
donde
P =
0
2√
5
− 1√
5
1 0 0
0 1√
5
2√
5
e D =
5 0 00 5 0
0 0 −5
sa˜o tais que
P−1 = P T ⇒ P TAP = D.
Veja que se consideramos P a matriz cujas colunas sa˜o u, v e w teremos ainda
que P TAP e´ diagonal, mas esta diagonal na˜o e´ formada por autovalores de A.
2
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1
UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
24/05/2010
Prova 1 - A´lgebra Linear - Engenharias
1. Analise o sistema em func¸a˜o de a e b: (2,5 pontos)
−2x + (a+ 3)y − bz = −3
x + bz = 1
2x + 4y + 3bz = −b.
2. Calcule o determinante da matriz abaixo por escalonamento: (2,0 pontos)
A =
0 −3 −5 6
2 2 3 −2
0 −3 −4 3
0 −1 −1 +2
.
3. Considere a matriz:
A =
1 2 3 −2
0 −3 −5 6
0 α− 6 −8 6
0 −1 −1 α+ 2
.
Determine α para que a forma escalonada de A na˜o tenha linhas nulas. Explicite cada
matriz elementar do escalonamento. (2,5 pontos)
4. Sendo A e B matrizes quadradas. Responda se cada item abaixo e´ verdadeiro
ou falso,
justificando sua resposta.
(a) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2. (1 ponto)
(b) AB e´ invert´ıvel se, e so´ se, A e B sa˜o invert´ıveis. (1 ponto)
(c) O vetor η = (a, b, c) e´ ortogonal ao plano ax+ by+ cz+ d = 0, onde a 6= 0 ou b 6= 0 ou
c 6= 0. (1 ponto)
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
�lgebra Linear/Prova 2.pdf
1
UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
30/06/2010
Prova 1 - A´lgebra Linear - Engenharias
1. (2,5 pontos) Dada a base B = {(1, 2, 1); (2, 0, 3); (1,−1,−1)} para o R3.
(a) Determine as coordenadas do vetor u = (2,−1, 0) na base B.
(b) Ortogonalize B.
(c) Determine as coordenadas do vetor u = (2,−1, 0) na base ortogonal encontrada no
item (b).
2. (2,5 pontos) Dada a matriz
A =
2 −1 −1−1 2 −1
−1 −1 2
(a) Determine os autovalores e autovetores de A.
(b) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que diago-
naliza A.
(c) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique?
3. (2,5 pontos) Encontre a projec¸a˜o ortogonal de u = (5, 6, 7, 2) no espac¸o-soluc¸a˜o do sistema
linear homogeˆneo {
x1 + x2 + x3 = 0
2x2 + x3 + x4 = 0
.
4. (2,5 pontos) Seja T : R3 −→ R3 a transformac¸a˜o linear tal que T (v) = −2v para todo
vetor do plano x+ y − z = 0 e, ale´m disso, T (1, 2, 1) = 0.
(a) Determine os autovetores de T .
(b) Encontre uma base {u1, u2} para o plano x+ y − z = 0. Mostre que se u3 = (1, 2, 1),
B = {u1, u2, u3} e´ uma base do R3.
(c) Determine a matriz canoˆnica de T .
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
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UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
07/07/2010
Prova Final - A´lgebra Linear - Engenharias
1. Dada a Matriz
A =
0 0 −21 2 1
1 0 3
(a) (1,0) Determine os autovalores e autovetores de A.
(b) (1,0) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que
diagonaliza A.
(c) (0,5) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique?
2. Dada a matriz
A =
1 2 −1 00 2 1 1
2 2 −3 −1
(a) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o linha de A.
(b) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o nulo de A.
(c) (0,5) Mostre que os espac¸os linha de A e o espac¸o nulo de A sa˜o ortogonais, isto e´, se
u pertence ao espac¸o linha e v pertence ao espac¸o nulo, enta˜o < u, v >= 0.
(d) (0,5) Conclua que Posto(A) +Nulidade(A) = 4.
3. Dada a base B = {(2, 2, 1); (1, 0, 1); (1, 2,−1)} para o R3.
(a) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base B.
(b) (1,0) Ortogonalize B.
(c) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base ortogonal encontrada
no item (b).
4. Seja o plano Π definido pela equac¸a˜o x− y + 2z = 0.
(a) (1,0) Dado um ponto P = (a, b, c) qualquer em R3, determine o ponto Q ∈ Π tal que
o vetor
−→
QP seja ortogonal ao plano Π.
(b) (1,5) A func¸a˜o que associa a cada ponto P ∈ R3 o ponto Q ∈ Π obtido no item acima
e´ uma transformac¸a˜o linear? No caso afirmativo determine seus autovetores e seus
autovalores.
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
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UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
07/07/2010
Prova Final - A´lgebra Linear - Engenharias
1. Dada a Matriz
A =
0 0 −21 2 1
1 0 3
(a) (1,0) Determine os autovalores e autovetores de A.
(b) (1,0) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que
diagonaliza A.
(c) (0,5) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique?
2. Dada a matriz
A =
1 2 −1 00 2 1 1
2 2 −3 −1
(a) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o linha de A.
(b) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o nulo de A.
(c) (0,5) Mostre que os espac¸os linha de A e o espac¸o nulo de A sa˜o ortogonais, isto e´, se
u pertence ao espac¸o linha e v pertence ao espac¸o nulo, enta˜o < u, v >= 0.
(d) (0,5) Conclua que Posto(A) +Nulidade(A) = 4.
3. Dada a base B = {(2, 2, 1); (1, 0, 1); (1, 2,−1)} para o R3.
(a) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base B.
(b) (1,0) Ortogonalize B.
(c) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base ortogonal encontrada
no item (b).
4. Seja o plano Π definido pela equac¸a˜o x− y + 2z = 0.
(a) (1,0) Dado um ponto P = (a, b, c) qualquer em R3, determine o ponto Q ∈ Π tal que
o vetor
−→
QP seja ortogonal ao plano Π.
(b) (1,5) A func¸a˜o que associa a cada ponto P ∈ R3 o ponto Q ∈ Π obtido no item acima
e´ uma transformac¸a˜o linear? No caso afirmativo determine seus autovetores e seus
autovalores.
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!
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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Terceira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 06 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (2 pontos) Seja β = {u1,u2,u3} e β′ = {v1,v2,v3} bases de um espac¸o vetorial V .
Sabendo que, para v ∈ V ,
[v]β = (a, b, c)⇒ [v]β′ = (a+ b+ c, a− b+ c, a− b− c)
determine a matriz de mudanc¸a de base de β′ para β.
2. Seja
A =
1 1 10 2 1
0 2 3
a matriz do operador linear T : V −→ V numa base β = {u,v,w}.
(a) (1 ponto)Determine [T (u)]β e [T (u)− 3T (v) + 2T (w)]β.
(b) (1,5 pontos) O operador T e´ diagonaliza´vel? T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel?
3. Considere as transformac¸o˜es matriciais TA : R3 −→ R2 dadas por TA(x) = Ax.
(a) (1 ponto) Quais sa˜o todas as poss´ıveis dimenso˜es do nu´cleo de TA?
(b) (1,5 pontos) Para cada dimensa˜o poss´ıvel n, deˆ exemplo nume´rico de uma matriz
A com dimensa˜o do nu´cleo de TA igual a n.
4. Seja pi o plano dado por x− y + z = 0.
(a) (1 ponto) Encontre um operador linear T : R3 −→ R3 tal que
. T (v) = −v para todo v ∈ pi;
. dim(Nuc(T )) = 1;
. T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel.
(b) (1 ponto) Determine a matriz A do operador T , encontrado no item (a), na base
canoˆnica.
(c) (1 ponto) Encontre matrizes P e D, sendo D diagonal, tal que P−1AP = D.
Boa Prova!!!
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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Soluc¸a˜o da Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 14 de novembro de 2012
1. (a)
0 1 2 1 0 01 1 1 0 1 0
0 3 5 0 0 1
∼
1 0 0 2 1 −10 1 0 −5 0 2
0 0 1 3 0 1
. Logo, A−1 =
2 1 −1−5 0 2
3 0 1
(b)
[v]β = [I]β:β′[v]β′ = A
−1[v]β′ = (−1,−1, 1)
2. A matriz aumentada do sistema Ax = v e´ 1 2 7 1 a1 2 3 3 b
−1 −2 1 −5 c
∼
1 2 7 1 a0 0 −4 2 b− a
0 0 0 0 c+ 2b− a
.
Logo o sistema e´ consistente quando c+ 2b− a = 0.
3. Seja pi o plano a ser obtido. Se P0 e´ um ponto de pi e npi e´ um vetor normal de pi,
enta˜o
P = (x, y, z) ∈ pi ⇐⇒ (P − P0) · npi = 0
Como
r ⊂ pi =⇒ v = (0, 2,−1) e´ paralelo a pi. e P0 = (1, 3, 1) ∈ pi
Ale´m disso,
pi ⊥ 3x− y = 2 =⇒ n = (3,−1, 0) e´ paralelo a pi.
Logo npi = n× v = (1, 3, 6). Portanto
pi : x+ 3y + 6z = 16
4. (a)
A =
1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
∼
1 0 −1 0 −1
0 1 2 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
Logo
Im(T ) = CA = ger{(1,−1, 0, 1); (2, 0,−1, 1); (5, 1, 0,−1)}
e
Nuc(T ) = NA = ger{(1,−2, 1, 0, 0); (1, 0, 0,−1, 1)}
isto e´, T na˜o e´ injetora, pois dim(Nuc(T
)) ≥ 1 e T na˜o e´ sobrejetora, pois
dim(Im(T )) = 3.
(b) Ortogonalizando a base encontrada no item anterior
u = (1,−1, 0, 1)
v = (2, 0,−1, 1)− proju(2, 0,−1, 1) = (1, 1,−1, 0)
w = (5, 1, 0,−1)− proju(5, 1, 0,−1)− projv(5, 1, 0,−1) = (2, 0, 2,−2)
5. (a)
λI − A =
λ− 3 0 −40 λ− 5 0
−4 0 λ+ 3
=⇒ p(λ) = (λ− 5)2(λ+ 5)
para λ = 5
5I − A ∼
1 0 −20 0 0
0 0 0
.
Logo uma base para o autoespac¸o associado a λ = 5 e´
{u = (0, 1, 0), v = (2, 0, 1)}.
Para λ = −5
−5I − A ∼
1 0 1/20 1 0
0 0 0
Portanto, um autovetor associado a λ = −5 e´
w = (−1, 0, 2).
(b) A base de autovetores {u, v,w} e´ ortogonal, mas na˜o e´ ortonormal. Normalizando
os vetores, obtemos a base ortonormal{
(0, 1, 0);
(
2√
5
, 0,
1√
5
)
;
(−1√
5
, 0,
2√
5
)}
donde
P =
0
2√
5
− 1√
5
1 0 0
0 1√
5
2√
5
e D =
5 0 00 5 0
0 0 −5
sa˜o tais que
P−1 = P T ⇒ P TAP = D.
Veja que se consideramos P a matriz cujas colunas sa˜o u, v e w teremos ainda
que P TAP e´ diagonal, mas esta diagonal na˜o e´ formada por autovalores de A.
2
�lgebra Linear/Solu��o Provas/AlgLin - pf.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 13 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (a) Calcule a inversa da matriz A =
0 1 21 1 1
0 3 5
(b) Se A e´ a matriz de mudanc¸a da base β para β′ e [v]β′ = (1,−1, 2). Calcule [v]β.
2. Considere o vetor v = (a, b, c) e a matriz A abaixo. Encontre uma condic¸a˜o sobre a,
b e c de modo que o sistema Ax = v seja consistente.
A =
1 2 7 11 2 3 3
−1 −2 1 −5
3. Encontre uma equac¸a˜o para o plano que e´ perpendicular ao plano de equac¸a˜o 3x−y =
2 e contem a reta de equac¸o˜es parame´tricas x = 1, y = 3 + 2t e z = 1− t.
4. Seja
A =
1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
a matriz da transformac¸a˜o linear T : R5 −→ R4 na base canoˆnica.
(a) TA e´ injetora? TA e´ sobrejetora?
(b) Determine uma base ortogonal para o subespac¸o Im(TA).
5. Seja
A =
3 0 40 5 0
4 0 −3
a matriz do operador linear T : R3 −→ R3 na base canoˆnica.
(a) Encontre uma base de autovetores de T .
(b) Determine P e uma matriz diagonal D tal que P TAP = D.
Boa Prova!!!
�lgebra Linear/Solu��o Provas/AlgLin p2 gabarito.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Segunda Prova de A´lgebra Linear
Uma soluc¸a˜o
1. det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
x 2 0 3
1 2 3 3
1 0 1 1
1 1 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
1 2 3 3
1 0 1 1
x 2 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
0 1 2 0
0 −1 0 −2
0 2− x −x 3− 3x
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
0 1 2 0
0 0 2 −2
0 0 x− 4 3− 3x
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)(2)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
0 1 2 0
0 0 1 −1
0 0 x− 4 3− 3x
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)(2)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
0 1 2 0
0 0 1 −1
0 0 0 −2x− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
Enta˜o, det(A) = −2(−2x− 1) = 4x+ 2. Como A e´ invert´ıvel se, e so se, det(A) 6= 0, o u´nico valor
de x tal que esta matriz na˜o e´ invert´ıvel e´ x = −1
2
.
2. O vetor PQ pode ser escrito, para algum t ∈ R e algum s ∈ R, por
PQ = Q− P = Q0 + tv − (P0 + su) = (Q0 − P0) + tv − su = (0,−1,−1) + t(1, 1, 1)− s(1, 2,−1)
e, por outro lado, para algum r ∈ R, temos
PQ = rw = r(2, 3, 1)
Logo
(0,−1,−1) + t(1, 1, 1)− s(1, 2,−1) = r(2, 3, 1)
ou
(0,−1,−1) = (2r − t+ s, 3r − t+ 2s, r − t− s)
igualando as coordenadas e resolvendo o sistema obtido encontramos
r = −3, t = −4 e s = 2
Enta˜o,
P = (4, 5,−3) e Q = (−2,−4,−6)
3. (a) S e´ o conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo associado a` matrizA =
[
1 1 0 0
0 0 1 −1
]
.
(b) Temos que
(x, y, z, w) ∈ S ⇒ (x, y, z, w) = (x,−x, z, z) = x(1,−1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 1)
ou seja,
β = {(1,−1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}
e´ uma base (gera e e´ LI) de S e, portanto, dim(S) = 2.
(c) Como cada vetor do conjunto
B = {(1,−1, 1, 1); (−2, 2,−1,−1); (−1, 1, 3, 3)}
pertence a S, segue que ger(B) e´ um subespac¸o vetorial de S. Ale´m disso, dim(ger(B)) =
2 =dim(S). Da´ı, ger(B) = S.
4. LA: espac¸o-linha de A; CA: espac¸o-coluna de A e NA: espac¸o-nulo de A.
(a) Temos que LA = CA′ , onde A
′ e a transposta de A. Dai
A′ =
0 1 −1 2
0 1 −1 2
1 −5 2 −1
1 0 −3 0
1 −4 1 1
∼
1 0 −3 0
0 1 −1 2
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
= R
Como subconjunto de vetores colunas de R que formam base de CR determina um subconjunto
de vetores correspondente em A′ que formam uma base de CA′ ,
{(0, 0, 1, 1, 1); (1, 1,−5, 0,−4); (2, 2,−1, 0, 1)}
e´ base de LA consistindo totalmente de vetores linha de A.
(b) dim(LA) = 3 =⇒ dim(CA) = 3 e dim(NA) = 2.
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) VERDADEIRO!
det((−AT )−1) = 1
det(−AT ) =
1
(−1)ndet(AT ) =
1
(−1)ndet(A)
pore´m, como n e´ par,
(−1)n = 1⇒ det((−AT )−1) = 1
det(A)
(b) VERDADEIRO! Se B = {u1, u2, u3, u4} e´ um conjunto linearmente independente (LI) de
um espac¸o vetorial U , dado uma combinac¸a˜o linear nula αv1 + βv2 + γv3 = 0 temos
α(u1 − u2 + u3) + β(u1 + u2 + u4) + γ(u2 − u3 + u4) = 0
↓
(α + β)u1 + (−α + β + γ)u2 + (α− γ)u3 + (β + γ)u4 = 0
Como B e´ LI
α + β = 0
− α + β + γ = 0
α − γ = 0
β + γ = 0
↓
α = β = γ = 0
Boa Prova!!!
2
�lgebra Linear/Solu��o Provas/Notas P1 e P2 2012_2.pdf
P1 P2
1 2012203444 2,50 0,00
2 2012203438 2,00 0,00
3 2012203434 0,20 0,00
4 2012202500 8,60 9,70
5 2012202517 5,60 3,50
6 2012203443 2,80 2,50
7 2012203437 2,50 2,30
8 2012203439 1,40 0,50
9 2012202515 6,00 6,50
10 2012202511 4,80 7,50
11 2012203433 1,90 0,30
12 2012202523 2,30 0,00
13 2012101421 6,10 8,20
14 2012202512 1,00 0,50
15 2012202516 5,00 4,50
16 2012202509 7,10 5,80
17 2012202513 5,40
18 2012202519 8,20 9,10
19 2011202442 4,30 6,10
20 2012202506 6,70 5,70
21 2012202522 6,70 5,00
22 2012202518 6,50 1,00
23 2012202504 5,60 7,60
24 2012202505 4,20 8,20
25 2012203432 2,50 1,60
26 2012203447 1,00 0,00
27 2012202521 5,20 5,70
28 2012202508 5,00 9,80
29 2012202503 6,50 8,80
30 2012203440 1,00 2,50
31 2012203446 1,80 0,30
32 2012202507 7,50 0,50
33 2012203442 1,80 0,00
34 2012202524 3,00 3,10
35 2012101427 6,40 3,50
36 2012202501 6,70 8,50
37 2012202510 9,20 9,30
38 2012203435 2,00 3,20
39 2012203441 0,40 0,00
40 2012203445 0,00
41 2012202520 4,00 7,00
42 2012203436 2,30 0,00
43 2012101438 3,20 2,50
44 2012100265 4,80 3,80
45 2012101357 7,90 5,00
46 2012101431 4,30 2,10
47 2012101368 7,00 5,00
48
Notas:
�lgebra Linear/Solu��o Provas/P2 solu��o.pdf
1
Prof.: Etereldes
16/05/2012
Sugesta˜o de Prova II - A´lgebra Linear
1. (a) A forma escalonada da matriz aumentada do sistema e´: 1 0 1/2 00 1 1/2 0
0 0 0 0
.
Logo, o sistema Ax = 0 e´ equivalente a
x+
z
2
= 0
y +
z
2
= 0
, cuja soluc¸a˜o e´
S = {(−z
2
,−z
2
, z); z ∈ R} = ger{(−1,−1, 2)}.
(b) Se (x, y, z) ∈ pi ∩S enta˜o
2x+ 3y − z = 1
x+
z
2
= 0
y +
z
2
= 0
, cuja soluc¸a˜o u´nica e´ (
1
3
,
1
3
,−2
3
).
(c) Seja P o plano pedido. Enta˜o ηP (−1,−1, 2) × (−2, 3,−1) = (−5,−5,−5) e´
normal a P . Como (
1
3
,
1
3
,−2
3
) ∈ P , enta˜o P = {(x, y, z) ∈ R3;< (x, y, z) −
(
1
3
,
1
3
,−2
3
), (−5,−5,−5) >= 0} cuja equac¸a˜o e´ x+ y + z = 0.
2. Seja A a matriz cujas linha sa˜o v1, v2, v2 e v4. A matriz A e´ equivalente por linhas
a:
R =
5 0 0 6 4
0 5 0 −8 −2
0 0 5 9 1
0 0 0 0 0
.
Uma base para W = ger{C} e´ {(5, 0, 0, 6, 4), (0, 5, 0,−8,−2), (0, 0, 5, 9, 1)}. Como
W⊥ e´ igual ao nu´cleo de A, basta encontrar uma base para o espac¸o soluc¸a˜o de
Rx = 0. Logo, uma base para W⊥ e´ {(−6, 8,−9, 5, 0), (−4, 2,−1, 0, 5)}.
3. (a) Seja u1 = (1, 1, 0, 0, 1) e
u′2 = v2 − Pu1v2 = (
−5
3
,
4
3
, 3,−1, 1
3
)
. Logo, u2 = (−5, 4, 9,−3, 1) e u1 sa˜o ortogonais. Seja
u′3 = v3 − Pu1v3 − Pu2v3 = (
5
11
,
−37
11
,
25
11
,
32
11
)
2
.
Logo, u3 = (5, 37, 24, 25, 32) e´ ortogonal a u1 e a u2. Veja que B
′ = {u1, u2, u3}
na˜o e´ uma base ortonormal de W .
(b) [v]B = v1− v2 + v3 = (4,−2, 0, 3, 5). Como B′ e´ ortogonal [v]′B = α1u1 +α2u2 +
α3u3 onde αi =
< v, ui >
‖ui‖2 . Logo,
[v]B′ = (
7
3
,
−42
132
,
181
3619
).
4. (a) Falso. Sejam u,w ∈ R3 tais que v = w− u seja na˜o nulo. Enta˜o u× v = u×w.
(b) Verdadeiro. Pois projWu ∈ W e projW⊥u ∈ W⊥.
(c) Falso. Pois {u1 = (1, 0), u2 = (0, 1), u3 = (0, 2)} e´ LD, e na˜o existe a, b ∈ R tais
que u1 = au2 + bu3.
(d) Verdadeiro. Se Ax = b enta˜o b e´ combinac¸a˜o linear das colunas de A.
�lgebra Linear/Solu��o Provas/p2.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Primeira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 15 de maio de 2012
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
Justifique seu racioc´ınio.
1. Seja
A =
1 −1 01 1 1
−1 −5 −3
(a) Determine a soluc¸a˜o do sitema linear homogeneo Ax = 0.
(b) Determine a intersec¸a˜o do subespac¸o encontrado no item (a) com o plano pi
determinado pela equac¸a˜o −2x+ 3y − z − 1 = 0.
(c) Encontre a equac¸a˜o do plano que conte´m o subespac¸o encontrado no item (a) e
e´ perpendicular ao plano pi dado no item (b).
2. Seja C = {v1;v2;v3;v4} um conjunto de vetores em R5, onde
v1 = (−1, 2, 3, 1,−1);v2 = (2, 2, 1, 1, 1);v3 = (2, 1,−1,−1, 1);v4 = (1,−1,−1, 1, 1).
Determine bases para o espac¸o gerado por C e para seu complemento ortogonal.
3. Seja B = {v1 = (2,−1, 3, 2, 5); v2 = (−1, 2, 3,−1, 1); v3 = (1, 1, 0, 0, 1)} base de W .
(a) Determine uma base ortogonal de W .
(b) Se v = v1−v2 +v3, enta˜o determine a projec¸a˜o ortogonal de v no espac¸o gerado
por B.
4. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Seja u um vetor na˜o nulo. Se u× v = u×w, enta˜o v = w.
(b) Seja V um espac¸o com produto interno e W um subespac¸o de V . Para qualquer
u ∈ V , os vetores projW u e projW⊥ u sa˜o ortogonais.
(c) Se {v1,v2,v3} e´ um conjunto linearmente dependente de vetores na˜o-nulos, enta˜o
cada vetor no conjunto pode ser obtido como combinac¸a˜o linear dos outros dois.
(d) Se b e´ um vetor tal que o sitema Ax = b na˜o tem soluc¸a˜o, enta˜o b na˜o pertence
ao espac¸o-coluna de A.
Boa Prova!!!
�lgebra Linear/Solu��o Provas/P3 solu��o.pdf
1
Prof.: Etereldes
06/11/2012
Soluc¸a˜o esperada da prova III - A´lgebra Linear
1. Sejam U a matriz cujas colunas sa˜o u1, u2 e u3, V a matriz cujas colunas sa˜o v1, v2 e v3 e
A =
1 1 11 −1 1
1 −1 −1
.
Enta˜o U · [v]β = V ·A · [v]β′ . Logo, U ·A−1 · [v]β = V · [v]β′ e a matriz de mudanc¸a de base
de β′ para β e´
A−1 =
1/2 0 1/21/2 −1/2 0
0 1/2 −1/2
.
2. (a) [T (u)]β = (1, 0, 0) e [T (u) − 3T (v) + 2T (w)]β = [T (u)]β − 3[T (v)]β + 2[T (w)]β =
(0,−4, 0).
(b) Os autovalores de T sa˜o as ra´ızes reais de
p(λ) = det(
1− λ 1 10 2− λ 1
0 2 3− λ
) = (1− λ)(λ− 1)(4− λ).
O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ o conjunto soluc¸a˜o de 0 1 10 1 1
0 2 2
xy
z
=
00
0
.
Logo, O autoespac¸o associado a λ = 1 e´ ger{(1, 0, 0), (0, 1,−1)}. Como o autoespac¸o
associado a λ = 4 tem dimensa˜o 1, temos uma base de autovetores de T e portanto T
e´ diagonaliza´vel. T na˜o e´ ortognalmente diagonaliza´vel, pois A na˜o e´ sime´trica.
(a) dim(Nuc(TA)) = 3 − dim(Im(TA)). Logo, temos os seguintes pares poss´ıveis para
(dim(Nuc(TA)), dim(Im(TA)) que sa˜o (3, 0), (2, 1) e (1, 2). Veja que TA na˜o pode ser
injetiva e na˜o podemos ter (0, 3).
(b) i. A e´ a matriz nula.
ii. A =
[
1 0 0
0 0 0
]
.
iii. A =
[
1 0 0
0 1 0
]
.
3. (a) pi = {(x, y, z) ∈ R3;x − y + z = 0} = {(y − z, y, z); y, z ∈ R} = {y(1, 1, 0) +
z(−1, 0, 1); y, z ∈ R}, que e´ o espac¸o gerado pelos vetores u1 = (1, 1, 0) e u2 =
(−1, 0, 1). Enta˜o, se u3 = (1,−1, 1) temos que β = {u1, u2, u3} e´ uma base de R3.
Definindo T (u3) = 0, temos que T definido na base β por T (u1) = −u1, T (u2) = −u2
e T (u3) = 0 tem as propriedades desejadas.
2
(b) Um vetor qualquer (x, y, z) ∈ R3 e´ combinac¸a˜o linear dos vetores de β. Isto e´, existem
α1, α2, α3 ∈ R tais que (x, y, z) = α1u1 + α2u2 + α3u3. Resolvendo o sistema 1 −1 11 0 −1
0 1 1
α1α2
α3
=
xy
z
.
Temos α1 =
x+2y+z
3
, α2 =
−x+y+2z
3
e α3 =
x−y+z
3
.
Logo, T (x, y, z) = α1T (u1)+α2T (u2)+α3T (u3) =
x+2y+z
3
T (1, 1, 0)+−x+y+2z
3
T (−1, 0, 1)+
x−y+z
3
T (1,−1, 1) = x+2y+z
3
(−1,−1, 0) + −x+y+2z
3
(1, 0,−1).
Portanto, T (x, y, z) = (−2x−y+z
3
, −x−2y−z
3
, +x−y−2z
3
) = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
xy
z
. Logo
A = 1
3
−2 −1 1−1 −2 −1
1 −1 −2
.
(c) Defina P =
1 −1 11 0 −1
0 1 1
e D =
−1 0 00 −1 0
0 0 0
. Enta˜o, AP = PD, pois as duas
primeiras colunas de P sa˜o autovetores de A associados ao autovalor −1 e a terceira
e´ um autovetor associado ao autovalor 0. Veja que T tem uma base ortonormal de
de autovetores, pois A e´ sime´trica e podemos encontrar tal base ortogonalizando os
autovetores associados ao autovalor −1.
�lgebra Linear/Solu��o Provas/P3T_Sol_2012_2.pdf
1
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Uma soluc¸a˜o Terceira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 23 de abril de 2013
1. Sejam a, b, c ∈ R. Considere a matriz A =
a 1√2 1√3b − 1√
2
1√
3
c 0 1√
3
.
(a) Encontre v = (a, b, c) ∈ R3 tal que a matriz A seja ortogonal. O vetor v e´ u´nico?
Sol.: Sejam v1 = (
1√
2
,− 1√
2
, 0) e v2 = (
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
). Como < v1, v2 >= 0 e ||v1|| = ||v2|| = 1,
enta˜o, escolhendo v = v1 × v2 = (− 1√6 ,− 1√6 ,
√
2√
3
) temos: ||v|| = 1, < v, v1 >=
< v, v2 >= 0. Portanto, β = {v, v1, v2} sera´ ortonormal e A sera´ uma matriz ortogonal,
para esta escolha de v. Perceba que −v tambem e´ soluc¸a˜o do problema. Logo, v na˜o e´
u´nico.
(b) Seja β = {v, ( 1√
2
,− 1√
2
, 0), ( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)}, onde v e´ uma soluc¸a˜o do item (a). Encontre as
coordenadas do vetor u = (0, 1, 1) na base β.
Sol.: Veja que A e´ matriz de mudanc¸a de base, da base β, definida no item (a), para a base
conoˆnica de R3, ale´m disso, A−1 = AT . Portanto, [u]β = AT [u]can = ( 1√6 ,− 1√2 , 2√3).
2. Considere a matriz
A =
1 0 3 0
0 −1 −1 0
0 2 2 0
1 0 3 1
.
(a) Encontre os auto-valores de A.
Sol.: Veja que det(λI − A) = λ(λ− 1)3. Logo os auto-valores de A sa˜o 0 e 1.
(b) A e´ diagonaliza´vel? Explique!
Sol.: Na˜o, pois a dimensa˜o do auto-espac¸o associado ao auto-valor 1 tem diensa˜o 1. De
fato,
I − A =
0 0 3 0
0 −2 −1 0
0 2 1 0
1 0 3 0
.
Como 3 linhas de (I − A) sa˜o L.I., o espac¸o nulo de I − A tem dimensa˜o 1. A seria
diagonaliza´vel se a dimensa˜o do auto-espac¸o associado ao auto-valor 1 fosse 3.
3. Seja T a transformac¸a˜o linear de R2 em R3 definida por
T (x, y) = (x+ 2y, y − x, x+ y).
(a) Encontre o nu´cleo de T . A transformac¸a˜o T e´ injetora? T e´ sobrejetora?
Sol.: T (x, y) = (0, 0, 0)⇒
x+ 2y = 0y − x = 0x+ y = 0 ⇒ x = 0 e y = 0.
Logo N(T ) = {(0,
0)} e T e´ injetora. T na˜o pode ser sobrejetora pois a dimensa˜o do domı´nio
(R2) e´ menor que a dimensa˜o do contra-domı´nio (R3).
2
(b) Encontre a matriz de T com relac¸a˜o a`s bases
β = {(1, 2), (3,−1)} e β′ = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
Sol.: Sejam α e α′ as bases conoˆnicas do R2 e R3 respectivamente. Enta˜o, [T ]α′,α = 1 2−1 1
1 1
. Sejam P = [ 1 3
2 −1
]
e Q =
1 1 10 1 1
0 0 1
as matrizes de mudanc¸a de base de
β para α e de β′ para α′ respectivamente. Assim
[T ]β′,β = Q
−1 [T ]α′,α P =
1 −1 00 1 −1
0 0 1
1 2−1 1
1 1
[ 1 3
2 −1
]
=
4 5−2 −6
3 2
.
4. Seja S ⊂ R5 o espac¸o-linha da matriz
A =
1 −2 −1 2 −12 −3 −5 4 −1
−1 3 −2 −2 2
.
(a) Encontre bases β e β′ para S e para o seu complemento ortogonal S⊥, respectivamente.
Sol.: A e´ equivalente por linhas a matriz 1 −2 −1 2 −10 1 −3 0 1
0 0 0 0 0
.
Sejam v1 = (1,−2,−1, 2,−1) e v2 = (0, 1,−3, 0, 1). Enta˜o β = {v1, v2} e´ uma base orto-
gonal de S. Como o nu´cleo de A, N(A), e´ o complemento ortogonal do espac¸o linha de A,
temos que S⊥ = N(A) = ger{v3 = (7, 3, 1, 0, 0), v4 = (−2, 0, 0, 1, 0), v5 = (−1,−1, 0, 0, 1)}.
Assim, β′ = {v3, v4, v5} e´ uma base para S⊥.
(b) Ortogonalize a base B do R5 obtida pela unia˜o de β e β′ (B = β ∪ β′).
Sol.: Como v1 e v2 sa˜o ortogonais e todo vetor de S e´ ortogonal a todo vetor de S
⊥, basta
aplicar Gram-Schimidt em β′. Seja u3 = v3, u4 = v4 − <u3,v4>||u3||2 u3 e u5 = v5 −
<u4,v5>
||u4||2 u4 −
<u3,v5>
||u3||2 u3. B = {v1, v2, u3, u4, u5} e´ uma base ortogonal de R5 obtida da ortogonalizac¸a˜o de
B.
(c) Defina um operador linear T : R5 → R5 tal que{
Im(T ) = S
Nuc(T ) = S⊥.
Sol.: Basta definir T na base B da seguinte forma: T (v1) = v1, T (v2) = v2, T (u3) =
T (u4) = T (u5) = 0.
�lgebra Linear/Solu��o Provas/plano de ensino.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
Departamento de Matemática - DMAT
PLANO DE ENSINO
DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA
DISCIPLINA (NOME/CÓDIGO): ÁLGEBRA LINEAR / MAT09592
CURSOS: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO E ENGENHARIAS AMBIENTAL, CIVIL, DA COMPUTAÇÃO, DE
PRODUÇÃO, ELÉTRICA E MECÂNICA
HORAS/SEMESTRE
HORAS
75
CRÉDITOS
05
PERÍODO
2013/1
EMENTA
Sistemas de equações lineares e matrizes; Determinantes; Espaços vetoriais e a interpretação geométrica de
sistemas lineares (retas e planos); Espaço Euclidiano R
n
, Ortogonalidade e bases; Autovalores e autovetores;
Diagonalização ortogonal; Transformações lineares.
PROGRAMA
1- Sistemas de Equações Lineares e Matrizes: sistemas de equações lineares, matrizes, operações com
matrizes, operações elementares, matrizes escalonadas, matrizes inversíveis, tipos especiais de matrizes.
2- Determinantes: determinante e expansão cofatorial, redução por linhas, propriedades do determinante,
método da adjunta, regra de Cramer.
3- Vetores em R
2
, R
3
e R
n
: vetores no plano (R
2
), no espaço tridimensional (R
3
) e no espaço euclidiano n-
dimensional (R
n
), adição e produto por escalar, produto escalar, projeção ortogonal, retas em R
2
, R
3
e R
n
,
planos em R
3
, produto vetorial e misto.
4- Subespaços e Bases em R
n
: subespaço, independência linear, base, dimensão, coordenadas, mudança de
base, espaços linha, coluna e nulo de uma matriz, teorema do posto e da nulidade.
5- Transformações Matriciais e Autovalores: transformações matriciais de R
n
em R
m
, exemplos de
operadores matriciais em R
2
e em R
3
(projeções e rotações), composição de transformações matriciais,
transformação inversa, autovalores e autovetores de transformações matriciais, diagonalização de
matrizes e de transformações matriciais.
6- Ortogonalidade em R
n
: ângulo e ortogonalidade em R
n
, complemento ortogonal de subespaço, bases
ortonormais, processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
7- Diagonalização Ortogonal: matrizes ortogonais, diagonalização ortogonal.
8- Espaços Vetoriais Arbitrários: definição e exemplos, espaços de dimensão finita e infinita, isomorfismos
entre espaços vetoriais de dimensão finita.
9- Espaços com Produto Interno: produtos internos, ângulo e ortogonalidade, bases ortonormais, projeção
ortogonal em subespaços de dimensão finita.
10- Transformações Lineares Arbitrárias: transformação linear, exemplos com espaços de dimensão finita e
infinita, núcleo e imagem, composição e inversibilidade, matrizes de transformações lineares, mudança
de base, semelhança.
BIBLIOGRAFIA
Livro-Texto: Álgebra Linear com Aplicações; Howard Anton e Chris Rorres, 10ª edição, Porto Alegre:
Editora Bookman, 2012.
Referências Complementares:
1. Álgebra Linear; José Luiz Boldrini e outros; Editora Harbra.
2. Álgebra Linear; David Poole; CENGAGE Learning.
OBJETIVOS GERAIS
A Álgebra Linear pode ser vista como uma ferramenta de auxílio no desenvolvimento de tecnologias, com
aplicações em diversas áreas. Assim, espera-se que o aluno adquira uma noção básica do que é a álgebra
linear, assimilando seus principais conceitos e dominando suas principais técnicas, e também saiba
reconhecer em que situações ela pode ser aplicada.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Espera-se que, ao final do curso, o aluno saiba trabalhar com conceitos fundamentais de vetores e álgebra
linear, especialmente em espaços vetoriais de dimensão finita, e também tenha desenvoltura na
compreensão e nos cálculos envolvendo matrizes, resolução de sistemas lineares e diagonalização.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Serão ministradas aulas expositivas sobre o conteúdo previsto no programa da disciplina, reservando
algumas aulas para resolução de exercícios. Do aluno, espera-se, além da participação nas aulas, o estudo
extraclasse e a resolução das listas de exercícios. Serão agendados semanalmente, com os Monitores da
disciplina, dias e horários para esclarecimento de dúvidas relativas à teoria e aos exercícios da lista.
CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO
Serão aplicadas 03 (três) provas parciais. A média parcial será calculada através da média aritmética
simples das notas obtidas nestas três provas. O aluno que não obtiver média parcial maior do que ou igual
a 7,0 (sete), será submetido a uma prova final. A média final será então calculada através da média
aritmética simples da média parcial e da nota obtida na prova final, sendo então considerado aprovado o
aluno que obtiver média final maior do que ou igual a cinco. As provas sempre serão realizadas nos
horários de aula.
1ª prova: 18 de junho (3ªf) - Itens 1 e 2 do programa
2ª prova: 06 de agosto (3ªf) - Itens 3, 4 e 5
3ª prova: 03 de setembro (3ªf) - Itens 6 a 10
Prova final: 12 de setembro (5ªf)
Vitória, 16 de maio de 2013.
Prof. Etereldes Gonçalves Junior
Prof. Fábio Corrêa Dutra (Coordenador)
Prof. Fábio Júlio da Silva Valentim
Prof. Leonardo Meireles Câmara
Prof. Thiago Filipe da SilvaMais conteúdos dessa disciplina
Álgebra Linear na Tecnologia- Sejam x, y e z números reais que satisfazem ao sistema linear dado a seguir:
2x+3y-z=4
-x-z=1
O valor de x+y é igual a:
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- Determinante é um tipo de função que associa um número real f(X) a uma matriz quadrada (X). A respeito desse conceito, analise as seguintes afirmaç...
- Seja a matriz quadrada dada por calcule o determinante de A e assinale a alternativa correta. Questão 1Resposta a. det A= - 5 b. det A= 1 c. d...
- O método de Cramer consiste em uma técnica de resolução de sistemas lineares.com o auxilio de determinantes. Essa técnica somente é aplicada a sist...
- PERGUNTA 3 Está incorreto O que se afirma em: a. Em uma matriz 1x1, O determinante é O seu único elemento. b. Em matrizes 3x3, O determinante é obtido
- PERGUNTA 1 A matriz A = (⁹ 3) 3 5 é uma matriz: a. Linha. b. Coluna. c. Quadrada. d. Nula. e. Identidade.
- Qual é a imagem da função w espaço igual a espaço 2 x espaço menos espaço y ao cubo espaço mais espaço z sobre 4 para w(0,0,4)? Opção A 1. Opção B 2
- Dadas as matrizes ú û ù ê ë é = 5 3 4 2 A e ú û ù ê ë é-= 4 7 1 5 B , calcule A + B, A – B e B A 2 1 5 + .
- PERGUNTA 1 Considerando A = (1:3) podemos afirmar que: a.A é uma matriz coluna. b.A e uma matriz linha. c.Aé uma matriz quadrada. d.A é uma matriz 2x3
- O determinante de uma matriz pode ser calculado por meio do aplicativo prático de Sarrus. O determinante da matriz , em que é igual a: Escolha u...
- Você aprendeu que o determinante de uma matriz tem importantes propriedades. Utilize-as para calcular , sabendo que a matriz A 3X3 é tal que det(A)...
- Você aprendeu que o determinante de uma matriz tem importantes propriedades. Utilize-as para calcular , sabendo que a matriz A 3X3 é tal que det(A)...
- PLANO DE AULA MATEMÁTICA
- AD2_PreCalculoEng_2019_2_aluno