AULA 03 medidas de posicionamento e amostragem 2

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AULA 3 (PARTE 01) 
MEDIDAS DE 
POSICIONAMENTO 
ou POSIÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 
21 
 
MEDIDAS DE POSICIONAMENTO ou POSIÇÃO 
 
Definição: 
 As Medidas de posicionamento ou de posição são valores estatísticos que 
determinam a localização das premissas que estudamos em uma distribuição de 
frequência, para análise e conclusão de uma pesquisa. Essas medidas são 
classificadas em: 
 
 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL; 
 SEPARATRIZES. 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
Definição: 
 As medidas de tendência central são números que determinam o 
 posicionamento dos valores presentes na distribuição de frequência. 
 
Elas são divididas em: 
 Média Aritmética (X); 
 Mediana (Md) 
 Moda (Mo) 
 
MÉDIA ARITMÉTICA ( X ) 
 Definição: 
 É a medida que corresponde ao grau de concentração 
 dos valores de uma distribuição. 
 
22 
 
FÓRMULAS: 
 
 I) X = ∑Xi II) X = ∑Xi.fi 
 N N 
 
Ex: Determine a média aritmética da seguinte distribuição numérica: 
 { 3,2,7,5,10,8} 
 
SOLUÇÂO: 
 
 X = ∑Xi , onde: ∑Xi = 35 e N = 6 ,logo fica: 
 N 
 X = 3+2+7+5+10+8 X = 35 X = 5,83 
 6 6 
 
MEDIANA (Md) 
 
 Definição: 
 É o valor do elemento do meio de uma distribuição,se 
 “ n” for ímpar, ou é a média dos valores do meio se “n” 
 for par. 
 
Ex:1 N =7, onde temos: { 2 ,4, 6, 8, 10, 12, 16} Md = 8 ,pois este número é o 
 valor central ! 
 
 
Ex2: N = 4,onde temos: {2, 4, 6, 8} Md = 5 , pois 4 + 6 = 10 = 5 
 2 2 
 
 
 
 
Média aritmética para uma 
distribuição de frequência. 
23 
 
 
FÓRMULA DA MEDIANA: 
 
Uma vez descoberta qual a Classe Mediana da Distribuição de Frequências, 
restará apenas aplicar a Fórmula da Mediana: 
 
 
 Md = li + Emd - Facant . h e Emd = N 
 fmd 2 
 
Onde: 
 
li = Limite inferior da classe mediana; 
Emd = Elemento mediano; 
Facant = Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; 
fmd = Frequência simples da classe mediana; 
h = Amplitude do intervalo de classe. 
 
 
 
Exemplo: Calcular a Md do conjunto abaixo: 
 
Xi fmd 
10 |--- 20 
20 |--- 30 
30 |--- 40 
40 |--- 50 
50 |--- 60 
60 |--- 70 
70 |--- 80 
2 
7 
11 
20 
11 
7 
2 
 n=60 
 
 
24 
 
 
1o Passo) Calculamos o n e h. Neste caso, temos que n=60.e h = 10 
 
2o Passo) Calculamos (n/2), que será: (60/2)=30, logo temos: Emd = 30 
 
3o Passo) Construiremos a coluna da Facant : 
 
Xi fmd Facant 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
40 !--- 50 
50 !--- 60 
60 !--- 70 
70 !--- 80 
2 
7 
11 
20 
11 
7 
2 
2 
9 
20 
40 
51 
58 
60 
 n=60 
 
4o Passo) Compararemos os valores da Facant com nosso valor de referência 
 Emd= 30. 
 
Xi fmd Facant 
10 |--- 20 
20 |--- 30 
30 |--- 40 
40 |--- 50 
50 |--- 60 
60 |--- 70 
70 |--- 80 
2 
7 
11 
20 
11 
7 
2 
2 
9 
20 
40 
51 
58 
60 
 3 é maior ou igual a 30 ? NÃO! 
 9 é maior ou igual a 30 ? NÃO! 
 20 é maior ou igual a 30 ? NÃO! 
 40 é maior ou igual a 30 ? SIM! 
 n=60 
 Encontramos a Classe Mediana: (40 |--- 50). 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que: Facant = 20 e fmd = 20 
5o Passo) Devemos preencher os dados da distribuição na fórmula da Mediana: 
 
 Md = li + Emd - Facant . h 
10
20
2030
40 




 
Md
 Md = 45 
 fmd 
 
 
OBS: Quando existir uma frequência acumulada exatamente igual a (∑fi) : 2, a 
 mediana será o limite superior da classe correspondente. 
 
Ex2: Numa pesquisa realizada por um órgão de fiscalização tributária, foi 
 coletado o seguinte número de reclamações por dia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º) Passo: Determinar o elemento mediano(Emd). 
 
 Temos: Emd = N/2 Emd = 60/2 Emd = 30º elemento. 
 
Xi Fi Fac 
10 |--- 20 
20 |--- 30 
30 |--- 40 
40 |--- 50 
50 |--- 60 
60 |--- 70 
70 |--- 80 
2 
7 
11 
20 
11 
7 
2 
2 
9 
20 
40 
51 
58 
60 
 
 
 Classe Anterior! 
 Classe Mediana! 
 n=60 
RECLAMAÇÕES Fi(dias) 
100|---180 8 
180|---260 12 
260|---340 16 
340|---420 10 
420|---500 9 
500|---580 5 
TOTAL 60 
26 
 
 
2º) Passo: Devemos utilizar a tabela de distribuição de frequência para 
 determinarmos a Facant , para verificar qual classe pertence o Emd. 
 Portanto,temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3º) Passo: Utilizamos a fórmula da Mediana: 
 
 Md = li + Emd - Facant . h; onde: 
 fmd 
 
 li = 260 
 Emd = 30 
 Facant = 20 
 fmd = 16 
 h = 80 
 
QUANDO UTILIZAR A MEDIANA ? 
 Quando desejarmos obter o ponto que divide a distribuição em partes 
iguais; 
 Quando existirem valores extremos que afetem de maneira acentuada a 
média, 
 Quando a variável em estudo for o salário. 
 
Classe Reclamações Fi(dias) Facant 
1º 100|---180 8 8 
2º 180|---260 12 20 
3º 260|---340 16 36 
4º 340|---420 10 46 
5º 420|---500 9 55 
 6º 500|--580 5 60 
3º classe (36 elementos 
observados).Portanto, o 
Emd Є 3º classe,pois 
compreende os elementos 
do 21º a 36º 
+ 
60 
 
Md = 260 + 30 - 20 .80 Md = 260 + 10 .80 
 16 16 
 
Md = 260 + 800 Md = 260 + 50 Md = 310 
 16 
 Portanto,ocorreu 310 Reclamações ! 
27 
 
PROPRIEDADES DA MEDIANA: 
 
A Mediana será, assim como a Média, influenciada pelas quatro operações 
básicas da matemática(Adição,Subtração,Multiplicaçãoe Divisão) 
 
1º) Se somarmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a nova 
Mediana será (a Mediana anterior) também somada àquela mesma constante; 
 
2º) Se subtrairmos todos os elementos de um conjunto de uma constante, a 
nova Mediana será (a Mediana anterior) também subtraída daquela mesma 
constante; 
 
3º) Se multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a 
nova Mediana será (a Mediana anterior) também multiplicada àquela mesma 
constante; 
 
4º) Se dividirmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a nova 
Mediana será (a Mediana anterior) também dividida por aquela mesma 
constante. 
 
MODA (Mo) 
 
 Definição: 
 É a medida que determina o valor de maior frequência na 
 distribuição, isto é, o valor que mais aparece na distribuição. 
 
 Ex: { 3,6,6,6,7,8,8,9,10}; então Mo = 6 ; pois o nº 6 aparece mais vezes 
 na distribuição. 
 
 
 
 
28 
 
 
OBS1: Quando dois números aparecem na mesma quantidade em uma 
 distribuição, teremos então uma distribuição BIMODAL. 
 
 Ex: { 3,6,6,6,7,7,7,2}; temos Mo = 6 e Mo = 7 
 
OBS2: Quando não ocorre nenhuma repetição de número na frequência, 
 teremos uma distribuição AMODAL. 
 
 Ex: {2,3,4}; logo Mo = ᴓ ( Conjunto Vazio ! ) 
 
 
FÓRMULA DA MODA 
 
 
 Mo = li + d1 .h ; onde: 
 d1 + d2 
 
 
Ex: Utilizando o exercício anterior,temos: 
 
 
Classe Reclamações Fi(dias) 
1º 100|---180 8 
2º 180|---260 12 
3º 260|---340 16 
4º 340|---420 10 
5º 420|---500 9 
6º 500|---580 5 
 
 
li = limite inferior da classe que contém o valor da 
 moda; 
 
d1 = Diferença entre o valor da moda com o valor 
 anterior; 
 
d2 = Diferença entre o valor da moda com o valor 
 posterior; 
 
h = Amplitude do intervalo de classe. 
 60 
Temos: 
li = 260 fica: Mo = 260 + 4 . 80 
d1 = (16-12) = 4 4 + 6 
d2 = (16-10) = 6 Mo = 260 + 32 
h = 80 Mo = 292 
 Portanto, o dia que houve + reclamações, 
tivemos 292 pessoas reclamando. 
29 
 
SEPARATRIZ 
 Definição: 
 São os valores que dividem uma distribuição em 
 partes iguais. 
A Separatriz se divide em: 
 
 Quartil; 
 Decil; 
 Percentil. 
 
QUARTIL 
 Definição: 
 É quando a distribuição é dividida em 4(quatro) partes 
 iguais e cada parte corresponde a 25% dos valores. 
 
Ex: Em uma empresa de contabilidade, temos 16 funcionários,onde os mesmos 
 ocupam o cargo de Auxiliar Administrativo, Técnico Contábil, Analista 
 Financeiro e Serviço Gerais. 
 
 
 
 
Com isso, podemos afirmar que 25% dos funcionários ocupam cada cargo 
mencionado anteriormente. 
 
 
Quartil ! 
30 
 
NOTAÇÃO: 
 
Por extensão do conceito da mediana, podemos dividir um conjunto em 4 partes 
iguais. Cada parte representará 25% do conjunto, surgindo assim a designação 
de quartil. 
Veja a figura abaixo: 
 
Na figura, visualiza-se com facilidade que: 
1. O primeiro quartil: o Q1 é um número onde abaixo dele se situam 25% dos 
casos e acima, é óbvio, se situam 75%. 
2. O segundo quartil: o Q2 = Md, pois abaixo ou acima dele se situam 50% dos 
casos. 
3. O terceiro quartil: o Q3 é um número onde abaixo dele se situam 75% dos 
casos e acima 25%. 
Para calcular os três quartis: Q1, Q2 e Q3 de dados não agrupados, o método 
mais prático é o de utilizar o princípio do cálculo da mediana para os três quartis. 
Na realidade serão calculadas "três medianas" em uma mesma série ordenada. 
FÓRMULA: 
 Pq = p.n 
 q 
 
 
 
 
OBS: A fórmula usada para o Decil e Percentil é a mesma,somente com a 
 referência de decil(10) e Percentil (1oo) no denominador. 
Temos: 
Pq = posição do quartil 
p = posição desejada 
n= quantidade de elementos 
q = quartil(4) 
31 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
 
 
01) Calcule Q1, Q2 e Q3 para o seguinte conjunto de valores: 
A = { 4,1,8,0,11,10,7,8,6,2,9,12 } 
1º) Passo: Colocar os valores em ordem (rol),então temos: 
A ={ 0,1,2,4,6,7,8,8,9,10,11,12 } 
2º) Passo: Calcular a posição do 1º Quartil; 
 
quartildoposiçãoP
Q
 1 3
4
121
1



 
 OBS1: Valor do 1º Quartil esta na posição 3 ! 
 
 
 
 OBS2: O valor do 1º Quadril é 2, isto é, o número que corresponde a 
 25% no Rol é 2. 
 
3º) Passo: Calcular a posição do 2º Quartil; 
 
quartildoposiçãoP
Q
 2 6
4
122
2



 
 OBS1: Valor do 2º Quartil esta na posição 6 ! 
 
 
 
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 
0 1 2 4 6 7 8 8 9 10 11 12 
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 
0 1 2 4 6 7 8 8 9 10 11 12 
Posição 
32 
 
 OBS2: O número que corresponde a 50% do rol é o valor 7 ! 
4º) Passo: Calcular a posição do 3° quartil: 
 
quartildoposiçãoP
Q
 3 9
4
123
3



 
 OBS1: Valor do 3º Quartil esta na posição 9 ! 
 
 
 OBS2: O número que corresponde a 75% do rol é o valor 9 ! 
 
DECIL 
 Definição: 
 A distribuição é dividida em 10 partes iguais,sendo que a 
 cada parte corresponde a 10% dos valores. 
Temos: 
 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 
 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 
 
OBS: D1: É o primeiro decil, corresponde à separação dos primeiros 10 % de 
 elementos da série. 
 
 D5: É o quinto decil, coincide com a mediana (D5 = Md). 
 
 D9: É o nono decil, corresponde à separação dos últimos 10% 
 elementos da série. 
 
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 
0 1 2 4 6 7 8 8 9 10 11 12 
33 
 
CÁLCULO DE DECIS 
1º) Cálculo do Decil para o Rol: 
 Os passos são os mesmos que foram utilizados para o cálculo do 
quartil para o Rol; 
Exemplo: Calcular D1 e D8 do conjunto dado: 
 A = { 7,12,15,20,2,4,6,18,10,24 } 
a) Inicialmente vamos colocar o conjunto em ordem crescente: 
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 
 2 4 6 7 10 12 15 18 20 24 
 
b) Calcular D1 
 
)( 1
10
101
10
1
1
posição
n
P
D





 
OBS: O valor do D1=2 que corresponde a 10% do Rol 
 
b) Calculo do D8 
 
 
)( 8
10
108
10
8
8
posição
n
P
D





 
 OBS: O valor do D8=18 que corresponde a 80% do Rol 
2º) Cálculo do Decil para tabela sem Intervalo de Classe.: 
 Os procedimentos são os mesmos utilizados para o cálculo dos quartís. 
 Exemplo: 
 A Tabela retrata a quantidade de filhos dos funcionários de uma pequena 
 empresa.Calcule então D3 e D7 desta tabela. 
34 
 
filhos f fa 
0 18 18 
1 35 53 
2 46 993 28 127 
4 25 152 
5 10 162 
6 5 167 
7 3 170 
 
 170f
 
 
a) Cálculo do D3: 
 D3 = 3∑ f = 3.170 = 51ª (posição) 
 10 10 
OBS1: A posição do D3 está na 2° classe (fa 53) 
OBS2: O valor da variável na segunda classe é 1 filho, que corresponde a 
 30% da pesquisa. 170-----100% 
 51------x% 
 
b) Cálculo do D7 
 D7 = 7∑ f = 7.170 = 119ª (posição) 
 10 10 
 
OBS1: A posição do D7 está na 4° classe (fa 127) 
OBS2: O valor da variável na quarta classe são 3 filhos, que corresponde a 
 70% da pesquisa. 170-----100% 
 119------x% 
 
 
30% 
70% 
35 
 
3º) Cálculo do Decil para tabela com Intervalo de Classe 
 
 Devemos determinar primeiramente a classe que contém o valor do Decil a 
ser calculado pela seguinte expressão: 
 
K∑ f , (Para K = 1,2,3,...,9) 
 10 
Esse termo está localizado numa classe que recebe o nome de classe Decil. 
Para o cálculo dos decis, utilizamos técnicas semelhantes às do cálculo dos 
quartis. 
 
 FÓRMULA DO DECIL 
 K. K∑ f i _ Fant 
 Dx = lDx + 10 . hDK 
 fDK 
Sendo: 
lDx = Limite inferior da classe de Decil considerado; 
Fant = Frequência acumulada da classe anterior à classe de Decil considerado; 
hDK = Amplitude do intervalo de classe do Decil considerado; 
fDK = Frequência simples da classe do Decil considerado; 
hDx = Amplitude do Decil considerado. 
 
 
 
 
 
36 
 
Exemplo: Calcule os Decis (D1,D2,...),utilizando a tabela abaixo,sendo que a 
mesma organiza as estaturas de adolescentes, colhidas durante o período em 
que participaram de um acampamento, durante as férias. 
 
 Estaturas dos participantes de um acampamento! 
i Estaturas (cm) Frequência (fi) Frequência acumulada (Fa) 
1 120 ├ 128 6 6 
2 128 ├ 136 12 18 
3 136 ├ 144 16 34 
4 144 ├ 152 13 47 
5 152 ├ 160 7 54 
 
 54
 
OBS: Calculam-se os decis D1, D2, ...D7, ..., de forma semelhante ao 
 cálculo dos quartis. 
a) Primeiro decil (K=1): 
4,5
10
54
10
1

 if (O primeiro Decil pertence à 1º Classe). 
 Logo temos: 
 1. K∑ f i _ Fant 
 D1 = lD1 + 10 . hDK = 120 + 5,4 –0 .8 = D1= 127,5 cm 
 fDK 6 
 
 37 
 
b) Segundo Decil (K=2): 
8,10
10
542
10
2



 if (O segundo decil pertence à 2º Classe). 
 2. K∑ f i _ Fant 
 D2 = lD2 + 10 . hDK = 128 + 10,8 – 6 .8 = 
 fDK 12 
 D2 = 131,2 cm 
 E assim por em diante! 
 
PERCENTIL 
O Percentil (ou Centil) dividirá o conjunto em cem partes iguais. Por analogia, já 
podemos concluir que a fração do numerador da fórmula para o Primeiro Centil 
será (n/100)! E para os demais Percentis, teremos que: 
 
2º Parte = P2 = 2n/100 
3º Parte = P3 = 3n/100 
E assim por em diante. 
 
OBS: Percentis de ordem 25, 50 e 75 são denominados quartis e, mais 
 especificamente, primeiro, segundo e terceiro quartis. Os símbolos 
 usuais são Q1, Q2 e Q3 respectivamente. 
 
OBS2: Percentis de ordem 10, 20, 30 ... 90 são denominados decis e 
 simbolizados por D1 (primeiro decil), D2 (segundo decil), etc. 
 
38 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 
 Definição: 
 São os valores que complementam as informações fornecidas 
 pelas medidas de posição e caracterizam o grau de variação 
 existentes em um conjunto de valores. 
As Medidas de Dispersão se dividem em : 
 
 Amplitude Total (AT); 
 Variância (S2); 
 Desvio- padrão (S) 
 Coeficiente de Variação (CV). 
 
AMPLITUDE TOTAL (AT) 
 
 Definição: 
 Refere-se à diferença entre o maior e o menor valor observado 
 na Amostra. 
 
 FÓRMULA: 
 AT = X máx - X mín 
Exemplo: 
 A altura de 5 alunos estão entre os seguintes medidas: 
 
 B = { 160 cm, 170 cm, 180 cm, 190 cm, 200 cm } 
 Então, temos: 
 AT = X máx - X mín 
 AT = 200cm – 160 cm 
 AT = 40 cm 
Portanto, o intervalo da Amostra corresponde a 40. 
 
39 
 
VARIÂNCIA (S2) 
 
 Definição: 
 Refere-se a dispersão dos valores em uma distribuição,isto é, 
 determina o quanto esses valores estão distante da própria 
 média aritmética. 
 FÓRMULA: 
 S2 = ∑ ( x - x )2 ou S2 = ∑x2 – (∑x)2 
 n - 1 2 
 n - 1 
 
Onde: 
 x = Valor da Amostra; 
 x = Valor médio da Amostra ; 
 n = Número de elementos observados . 
 
Exemplo: 
 Em uma Amostra de 5 residências de uma determinada rua, foram 
 registrados os seguintes números de moradores: 
Com isso, calcule a variância desta pesquisa. 
Solução: 
 
 1º) x = ∑x 20 = 4 (Valor médio da Amostra); 
 n 5 
 2º) Usamos a fórmula: 
 S2 = ∑ ( x - x )2 , temos: 
 n - 1 
 
 CASA A CASA B CASA C CASA D CASA E 
 
Nº MORADOES 
 
3 
 
6 
 
2 
 
7 
 
2 
40 
 
S2 = (3 - 4)2 + (6 - 4)2 + (2 – 4)2 + (7 - 4)2 + (2 – 4)2 = 1 + 4 + 4 + 9 + 4 = 
 5 - 1 4 
S2 = 22 S2 = 5,5 
 4 
 
OBS: O valor da variância é um referencial para analisarmos os elementos 
 presentes na distribuição. 
 
DESVIO – PADRÃO (S) 
 
 Definição: 
 É o valor que representa um intervalo de valores que estão 
 dispostos em um distribuição. 
 
 FÓRMULA: S = √S2 
 Utilizando o exercício anterior, temos: 
 
 S = √ 5,5 S = 2,34 
OBS1: O valor do desvio-padrão indica a variabilidade dos valores à volta da 
 Média,em outras palavras,..., “Indica a dispersão dos dados; quanto 
 mais dispersos, maior o desvio padrão”. 
 
OBS2: Se o desvio-padrão for igual a zero,isso indica que não há variabilidade, 
 isto é, todos os valores seriam igual a média. 
 
OBS3: Existe uma variávelque mede a precisão da média,a qual identificamos 
 por: Erro-Padrão da Média 
 FÓRMULA: 
 S(x) = Sx 
 
 n 
41 
 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) 
 Definição: 
 É o valor que representa o percentual de valores dispersos em 
 uma distribuição. 
FÓRMULA: 
 CV = S x 100 
 x 
 onde: 
 CV < 30% Série estatística homogenia e x é representativa. 
 CV ≥ 30% série estatística heterogênea e Md é representativa. 
 
Ex: Seja o Desvio – padrão (S) no valor de 215 e o ponto médio ( x ) igual a 
 300, então temos: 
 Solução: 
 Cv = 215. 100 = 71,67% 
 300 
Portanto, a Série Estatística é heterogênea. 
 
OBS: O coeficiente de variação é útil para compararmos a variabilidade 
 (dispersão) de dois conjuntos de dados de ordem de grandezas 
 Diferentes. 
 
 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA (As) 
 Definição: 
 É o coeficiente assimétrico que demonstra o posicionamento 
 dos valores na distribuição. 
 
Ex: 2 | 1 | 3 | | 8 | 10 | 4 | 7 | 8 | 9 | 6| 
 
 ESQUERDA DIREITA 
 
42 
 
OBS: 
 Os valores concentrados à direta da distribuição, são os números 
Maiores. 
 
 Os valores concentrados à esquerda da distribuição, são os números 
Menores. 
FÓRMULA: 
 As = x - Mo ou As = 3 ( x – Md) 
 S S 
Onde: 
 As = Medida de Assimetria; 
 x = Média; 
 Mo = Moda; 
 S = Desvio – padrão; 
 Md = Mediana. 
 
OBS2: Se As = 0, isto implica que a distribuição será simétrica !!! 
 
MEDIDAS DE ACHATAMENTO OU CURTOSE (K) 
 
 Definição: 
 É a medida que proporciona o grau de achatamento de uma 
 distribuição de valores. 
 
 Essas Medidas se dividem em 3 situações: 
 
 Distribuição de Frequência Mesocúrticas; 
 
 Distribuição de Frequência Platicúrticas; 
 
 Distribuição de Frequência Leptocúrticas 
43 
 
GRAU DE CURTOSE 
 
 Para calcular a medida de achatamento utilizamos o grau de curtose, através do 
coeficiente da própria curtose: 
 
FÓRMULA: 
 K = Q3 - Q1 
 2(P90 - P10) 
Onde: 
 Q3 = 3º Quartil 
 Q1 = 1º Quartil 
 P90 = 90º Percentil 
 P10 = 10º Percentil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
01) ( AFRF-2002.1): 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse 
exercício produziu a tabela de frequência abaixo. A coluna Classes representa 
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa 
acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
Leptocúrticas 
Mesocúrticas 
Platicúrticas 
44 
 
Classes P(%) 
70 |– 90 
90 |– 110 
110 |– 130 
130 |– 150 
150|– 170 
170 |– 190 
190 |- 210 
5 
15 
40 
70 
85 
95 
100 
Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral 
medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo 
quociente k = Q / (P90-P10), onde Q é a metade da distância interquartílica e 
P90 e P10 representam os percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale 
a opção que dá o valor da curtose k para a distribuição de X. 
a) 0,263 
b) 0,250 
c) 0,300 
d) 0,242 
e) 0,000 
 
Solução: 
 
No enunciado, o elaborador tentou complicar um pouco a compreensão da 
fórmula do índice percentílico de Curtose. Além disso, usou Percentis em lugar 
de Decis. Todavia, sabemos perfeitamente que Décimo Percentil (P10) é o 
mesmo que Primeiro Decil (D1), e que Nonagésimo Percentil (P90) é a mesma 
coisa que Nono Decil (D9). 
 Daí, tudo esclarecido. Usaremos, de fato, para encontrar esta resposta, o 
Índice Percentílico de Curtose, exatamente da forma como o conhecemos: 
 K = Q3 - Q1 
 2(P90 - P10) 
 
45 
 
Aproveitaremos que todo esse trabalho de encontrar os Quartis (Q1 e Q3) e os 
Decis (D1 e D9) já foram feitos para este mesmo enunciado, e reproduziremos 
aqui a resolução desta questão. 
Obviamente que todos perceberam que havia um trabalho preliminar a ser 
realizado, que era exatamente o de chegarmos à coluna da frequência absoluta 
simples – fi. 
Como já foi falado exaustivamente sobre este procedimento de usar o Caminho 
das Pedras para chegar às frequências desejadas, expomos a seguir o resultado 
destas operações e, finalmente, a coluna da fi. 
 
 
Classes Fac Fi fi 
70 – 90 5% 5% 10 
90 – 110 15% 10% 20 
110 – 130 40% 25% 50 
130 – 150 70% 30% 60 
150 – 170 85% 15% 30 
170 – 190 95% 10% 20 
190 – 210 100% 5% 10 
 
 
Cálculo do Primeiro Quartil – Q1: 
1º Passo: Encontraremos n e calcularemos (n/4) 
 
 
46 
 
Xi fi 
70 !--- 90 
 90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
 n=200 
Temos então: n=200, portanto, (n/4)=50 
2º Passo: Construiremos o Fac ( Frequência Acumulada Crescente) 
Xi fi fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 n=200 
 
47 
 
3º Passo: Comparamos os valores de Fac com o valor de n/4 
Xi fi fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 10 é maior ou igual a 50? NÃO! 
 30 é maior ou igual a 50? NÃO! 
 80 é maior ou igual a 50? SIM! 
 n=200 
 
Como a resposta foi afirmativa na terceira fac, procuramos a classe 
correspondente (110 !--- 130) e dizemos que esta será nossa Classe do Primeiro 
Quartil. 
 
4º) Passo: Aplicaremos a fórmula do Primeiro Quartil,tomando como referência 
 a Classe do Q1. Portanto, temos: 
 
  
20
50
3050
1101 




 
Q
  E: Q1=118,0 
 
 
h
fi
fac
n
lQ
ANT




















4
inf1
48 
Cálculo do Terceiro Quartil: Q3 
1º Passo: Devemos calcular 3n/4 
Xi fi 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
 n=200 
 Temos então: n=200, portanto, (3n/4)=150 
2º) Passo: Devemos calcular o Fac 
Xi fi fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
2010 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 n=200 
49 
 
3º) Passo: Comparamos os valores da Fac com os valores de 3n/4 
Xi fi fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 10 é maior ou igual a 150? NÃO! 
 30 é maior ou igual a 150? NÃO! 
 80 é maior ou igual a 150? NÃO! 
 140 é maior ou igual a 150? NÃO! 
 170 é maior ou igual a 150? SIM! 
 
 
 n=200 
 
Como a resposta SIM surgiu na fac da quinta classe (150 !--- 170), diremos que 
esta será nossa Classe do Terceiro Quartil. 
 
4º) Passo: Usaremos a fórmula do Q3,com os dados da Classe do Q3. 
 h
fi
fac
n
lQ
ANT




















4
3
inf3  
20
30
140150
1503 




 
Q
 
 Logo, temos: Q3=156,6 
 
 
 
50 
 
Cálculo do Primeiro Decil (D1) 
 1º Passo: Devemos calcular n/10 
Xi fi 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
 n=200 
 Temos: n=200 e, portanto, (n/10)=20 
2º) Passo: Devemos calcular o Fac: 
Xi fi Fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 n=200 
51 
 
3º) Passo: Comparamos os valores do Fac com os valores de n/10. 
Xi fi fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 10 é maior ou igual a 20? NÃO! 
 30 é maior ou igual a 20? SIM! 
 
 n=200 
 
 Portanto, que a classe correspondente (90 !--- 110) será nossa Classe 
 do Primeiro Decil! 
 
4º) Passo: Usaremos a fórmula do Primeiro Decil 
 h
fi
fac
n
lD
ANT




















10
inf1  
20
20
1020
901 




 
D
  E: D1=100,0 
 
Calculo do Nono Decil (D9): 
1º Passo) Devemos calcular (9n/10): 
 
 
52 
 
Xi fi 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
 n=200 
Portanto,temos: n=200 e (9n/10)=180 
2º) Passo: Devemos calcular o Fac 
Xi fi Fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 n=200 
 
 
53 
3º) Passo: Comparamos os valores do Fac com os valores do 9n/10. 
Xi fi fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 10 é maior ou igual a 180? NÃO! 
 30 é maior ou igual a 180? NÃO! 
 80 é maior ou igual a 180? NÃO! 
 140 é maior ou igual a 180? NÃO! 
 170 é maior ou igual a 180? NÃO! 
 190 é maior ou igual a 180? SIM! 
 n=200 
 
 Portanto, que a classe correspondente (170 !--- 190) será nossa Classe do 
 Nono Decil. 
 
4º) Passo: Usaremos a fórmula do Nono Decil: 
 h
fi
fac
n
lD
ANT




















10
9
inf9  
20
20
170180
1709 




 
D
 =: D9 = 80 
 Utilizando a fórmula de Curtose,temos: 
 
 K = Q3 - Q1 K = (156,6 – 118) K = 0,242 
 2(P90 - P10) 2(180 – 100) 
 
Portanto: Letra D 
 
 54 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01) Determinar a moda dos seguintes conjuntos: 
a) 1, 6, 9, 3, 2, 7, 4 e 11 
b) 6, 5, 5, 7, 5, 6, 5, 6, 3, 4 e 5 
c) 8, 4, 4, 4, 4, 6, 9, 10, 10, 15, 10, 16 e 10 
d) 23, 28, 35, 17, 28, 35, 18, 18, 17, 18, 18, 18, 28, 28 e 18 
 
02) Determinar a mediana dos seguintes conjuntos: 
a) 9; 14 ; 2 ; 8; 7; 14; 3; 21; 1 
b) 0,02; 0,25; 0,47; 0,01; -0,30; -0.5 
c) 1/2 ; 3/4 ; 4/7 ; 5/4 ; -2/3 ; -4/5 ; -1/5 ; 3/8 
 
03) Para os conjuntos abaixo, determinar com aproximação centesimal, as 
seguintes medidas: 
A= { 0,04 ; 0,18 ; 0,45 ; 1,29 ; 2.35} e 
B = {-7/4 ; -1/3 ; 3/5 ; 7/20 ; 1 4/3 } 
 
a) A amplitude (AT) 
b) A variância (S2) 
c) O desvio padrão (S) 
d) O coeficiente de variação. (CV) 
 
04) Dados os seguintes conjuntos de valores: 
 A = { 1, 3, 7, 9, 10 } 
 B = {20, 60, 140 ,180, 200} 
 C = {10, 50, 130, 170 ,190} 
 
Calculando a média e o desvio padrão do conjunto em A, determinar, 
através das propriedades, a média e o desvio padrão dos conjuntos em 
B e C. 
55 
 
Gabarito: 
01 
 a) Amodal 
 b) 5 
 c) 4 e 10 
 d) 18 
 
02 
 a) 8 
 b) 0,02 
 c) 7/16 
 
03 
 Conjunto A 
 AT = 2,31 
 S2 = 0,74 
 S = 0,86 
 CV = 99,90% 
 
 Conjunto B 
 AT = 37/12 = 3,08 
 S2 = 1,03 
 S = 1,02 
 CV = 508,01% 
04 
 Observe que o conjunto em B é igual ao conjunto em A multiplicado 
 por 20 e o conjunto em C é igual ao conjunto em A multiplicado por 
 20 e subtraído de 10 unidades.Logo,temos: 
 Conjunto A: X = 6 S = 3,87 
 Conjunto B: X = 120 S = 77,4 
 Conjunto C: X = 110 S = 67,4