Unidade 4

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35 
 
Logo o campo elétrico sobre o ponto P gerado pela carga fonte possui módulo E= 2,16x107N/C 
e faz um ângulo de 53,13º com a horizontal. 
 
3.3 Princípio da Superposição 
Caso você tenha um sistema de cargas pontuais (distribuição discreta) localizadas, o campo 
elétrico em qualquer ponto no espaço será a soma vetorial de todas as contribuições de campo. 
Dado pela equação 3.3. 
 



 r
r
q
E
i
i
n
i
2
1 04
1

 (3.3) 
 
Exemplo 3.3 
Considere duas cargas pontuais q1 e q2 de mesmo módulo, localizadas no vácuo separadas por 
uma distância d figura 3.4 a. Determine o campo elétrico em um ponto P a uma altura z do ponto 
central que une as duas cargas. Primeiro se ambas forem positivas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4 a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4 b 
 
 Z 
 
 P 
 z 
 
 
 q1 d q2 
Para resolver esse problema, comece redesenhando 
a figura e inserindo o vetor campo elétrico sobre o 
ponto p juntamente com a distância r que liga a 
carga e o ponto P. 
Em seguida faça a decomposição do vetor campo 
elétrico nos eixos cartesianos 
 
 E2 Z E2 
 
 P 
 r1 z r2 
 
 
 q1 d q2 
Para encontrar o campo resultante faça a decomposição 
dos campos nos eixos cartesianos e em seguida faça a 
soma vetorial. Assim temos : 
 E1z E2z 
 
 E2y E1y 
Aqui podemos observar que: 
 As componentes em y se anulam. 
 As componentes em z se somam. 
Logo o campo resultante está na direção de do eixo z. 
 
36 
 
 
 
Agora como sabemos a direção e o sentido do campo, podemos tratar o problema de forma 
escalar e encontrar o módulo do campo elétrico. 
 
2
2
2
0
2
1
1
0
2
1 0 4
1
4
1
4
1
r
q
r
q
r
q
E
i
i
n
i 


 
 
Como os dois campos são simétricos (mesma carga, mesma distancia) podemos somar as 
contribuições. 
 
2
0
2
0 ²²4
2
4
1
2
zy
q
r
q
E



 
 


 z
zy
q
E
2
0 ²²
2
4
1

 
Notem que o campo resultante esta em função das variáveis do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
RESUMO: 
 
O campo elétrico é um campo de forças que se origina em cargas positivas e se estendem ate o 
infinito, ou terminam em ima carga negativa. 
As linhas de campo tem origem em uma carga positiva e terminam em uma carga negativa. 
O campo elétrico 

E em qualquer ponto pode ser definido em termos da força eletrostática 

F
que seria exercida sobre uma carga de prova positiva Q colocada sobre o ponto P. 
 
Q
F
E



 
A lei de Coulomb para calculo do campo elétrico de uma carga puntiforme é dada por: 
 

 r
r
q
E
²4
1
0 
 
Para uma distribuição discreta de carga o campo elétrico em um ponto P é dada pelo principio 
da superposição: 
 



 r
r
q
E
i
i
n
i
2
1 04
1

 
 
Chegamos ao fim de nossa primeira aula. Espero que tenham gostado! 
Voltaremos nas próximas aulas. Não deixem de: 
 Olha da bibliografia recomendada 
 Acessar os links dos vídeos 
 Responder aos questionamentos no Ava 
 Resolver as atividades propostas: 
 
Bons estudos e nos comunicamos na próxima aula! 
 
 
 
38 
 
REFERENCIAS: 
 
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade e 
Magnetismo, Óptica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 556 p. v. 2. 
 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: 
Eletromagnetismo. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 388 p. v. 3. 
 
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III: Eletromagnetismo. 14. ed. São Paulo: 
Pearson, 2016. 448 p. v. 3. 
 
RAMALHO JÚNIOR, Francisco; FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antônio de 
Toledo. Os Fundamentos da Física: Eletricidade Introdução à Física Moderna Análise 
Dimensional. 9. ed. São Paulo: Moderna, 2013. 520 p. v. 3. 
 
MACEDO, Annita. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: Guanabara, 1988. 638 p. 
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 2. ed. São Paulo: 
Blucher, 2015. 295 p. v. 3. 
 
KNIGHT, Randall D. Física: Uma abordagem estratégica. 2. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2009. 
400 p. v. 3. 
 
JEWETT JUNIOR, Jonh W.; SERWAY, Raymond A. Física para Cientistas e Engenheiros: 
Eletricidade e Magnetismo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 331 p. v. 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
40 
 
4.1 Campo Elétrico de uma Distribuição Continua de Carga 
Olá! 
Sejam bem vindos a nossa aula de física III. 
Executaram as tarefas de acompanhamento recomendadas no final da aula anterior? 
Caso não tenha feito sugiro que retorne e o faça. 
Caso tenha feito vamos seguir adiante! 
 
Vamos começar relembrando o que vimos na ultima aula. 
Na última aula nós estudamos o comportamento do campo elétrico de distribuição de cargas 
discretas (cargas puntiformes). Nós, vimos que uma carga positiva, gera no espaço ao seu 
redor um campo elétrico divergente que sai da carga, enquanto uma carga negativa cria um 
campo elétrico divergente que entra na carga. Aplicando o conceito de linha de campo, as 
linhas nascem em uma carga positiva e terminam em uma carga negativa. O vetor campo 
elétrico é sempre tangente a uma linha de campo, iniciando sobre um ponto de referencia. O 
módulo do campo elétrico pode ser determinado utilizando a lei de Coulomb (equação 3.2) e 
por fim, onde a densidade de linhas de campo é maior o campo elétrico é mais intendo. 
 Na aula de hoje vamos estudar as características do campo elétrico gerado por uma 
distribuição continua de carga. Diferentemente da distribuição discreta, onde sabemos onde 
cada carga está localizada. Na distribuição continuas de carga é impossível saber onde cada 
carga está colocada. O que sabemos é que em certos espaços existem a mesma quantidade 
de carga. Logo para determinar o campo elétrico, devemos somar a contribuição de cada 
pedacinho do corpo eletrizado, no ponto determinado. Nesse caso também são validas a lei de 
Coulomb para o campo elétrico e o principio da superposição. Nesse caso devemos reescrever 
a equação 3.2, substituindo a soma discreta (somatório) por uma integral como referido na 
equação 4.1. 
 

 rdq
r
E
²
1
4
1
0
 (4.1) 
 
 
41 
 
Distribuição Linear de Carga 
Para cargas elétricas que se distribuem uniformemente sobre uma linha (figura4. 1), podemos 
dizer que cada pedacinho da linha, contém, a mesma quantidade de carga, logo a densidade 
de carga por unidade de comprimento é constante. E usaremos a equação 4.2 para expressar 
essa relação. 
 
Figura 4. 1 
dl
dq
 (4.2) 
Na equação 4.2  é a densidade linear de carga, dq é o infinitésimo de carga e dl é o 
infinitésimo do comprimento do fio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
Exemplo 3.1 
Encontre o campo elétrico que está a uma distancia z acima do ponto central de um 
seguimento de linha reta com comprimento 2L, que possui densidade linear de carga uniforme 
λ ( figura 4.2a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. 2a 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. 2b 
 

 rdl
r
E 
 ²
1
4
1
0
 (4.3) 
 2 dEz 
 dE Z dE 
 - dEydEy 
 
 

 zr r 
 Z 
 dl 
 -L +L Y 
 Z 
 
 
 
 Z 
 
 
 -L +L Y 
Neste problema as componentes do campo em y se 
anulam. 
As componentes em z se somam de modo que o campo 
resultante está na direção de z. Assim: 
dl =dy 
r² =z²+y² 
Cos =z/r 
dq = λdl 

 zr 
Substituindo tudo na equação 4.2 
 
Resolução: 
Primeiro comece redesenhando a figura representando os 
vetores e os detalhes do problema. 
Depois determine o vetor resultante. 
Note que a origem do plano cartesiano coincide com o 
centro do seguimento de fio, o que nos permite explorar a 
simetria dos dois lados do problema. 
O campo elétrico gerado pelo seguimento de fio da direita 
possui o mesmo modulo do campo produzido pelo 
seguimento de fio da esquerda. 
43 
 
 

 zld
r
Ez 

cos
²
1
4
1
2
0
 

 z
r
z
ld
r
Ez 
 ²
1
4
1
2
0
 
 
 



 L
yz
dy
z
z
Ez
0
2
3
0 ²²
4
2


 
Essa é uma integral que você encontra em tabelas de integrais e o resultado é: 
L
yzz
y
z
z
Ez
0
0 ²²²4
2













 


 z
Lzz
L
Ez
²²4
2
0

 
 
Esse é o campo elétrico para qualquer problema que possua essa configuração. 
 
Distribuição Superficial de Carga 
Para cargas elétricas que se distribuem uniformemente sobre uma superfície (figura4. 3), 
podemos dizer que cada pedacinho da superfície, contém, a mesma quantidade de carga, logo 
a densidade de carga por unidade de área é constante. E usaremos a equação 4.4 para 
expressar essa relação. 
 
da
dq
 (4.4) 
Na equação 4.4 é a densidade linear de carga, dq é o infinitésimo de carga eda é o 
infinitésimo da superfície. Assim o campo elétrico para essa configuração de carga pode ser 
determinado pela equação 4.5. 
44 
 

 rda
r
E 
 ²
1
4
1
0
 (4.5) 
 
Distribuição Volumétrica de Carga 
Para cargas elétricas que se distribuem uniformemente sobre um volume (figura4. 4), podemos 
dizer que cada pedacinho do volume, contém, a mesma quantidade de carga, logo a densidade 
de carga por unidade de volume é constante. E usaremos a equação 4.6 para expressar essa 
relação. 
 
Figura 4. 4 
dv
dq
 (4.6) 
 
Na equação 4.6  é a densidade volumétrica de carga, dq é o infinitésimo de carga edv é o 
infinitésimo do volume. Assim o campo elétrico para essa configuração de carga pode ser 
determinado pela equação 4.7. 
 

 rdv
r
E 
 ²
1
4
1
0
 (4.7) 
 
Os problemas envolvendo as distribuições de carga (superficial e volumétrica) seguem a 
mesma linha de resolução apresentada no exemplo 3.1. 
 
 
45 
 
4.2 Fluxo de Campo Elétrico 
O fluxo de campo elétrico (equação 4.8) mede a quantidade de linhas de campo elétrico que 
atravessa uma superfície fechada. Essa superfície pode ser real ou imaginaria e chamaremos 
de superfície gaussiana (figura 4.5). 
 
Figura 4.5 
 (4.8) 
 
O fluxo de campo ( E ) é o produto escalar entre o vetor campo elétrico (

E ) e o vetor normal à 
superfície gaussiana (

ndA ). 
 
 
 
 

  AdEE
46 
 
Exemplo 3.2 
Considere uma linha de carga muito linga (infinita) envolvida em um cilindro de raio a e 
comprimento L.O campo elétrico produzido pela linha de carga tem módulo E e aponta na 
direção radial para fora. Determine o fluxo de campo elétrico que atravessa a superfície 
fechada. 
 
Resolução: 
Primeiro comece fazendo o desenho esquemático e distribuindo os vetores referentes ao 
problema (figura 4.6). 
 
 
 
 
 
Figura 4. 6 
 
Nesse esquema percebemos que o cilindro é composto por três superfícies, isso significa que a 
equação 4.8 será dividida em três. E vou usar coordenadas cilíndricas para descrever os 
vetores unitários. Assim temos: 
 
dAzrEdAzrEdArrEAdE
aaaL
E

 
²
0
²
0
2
0
)(

 
 
Como o produto escalar de vetores unitários diferentes é zero, temos: 
dA1 E 
dA2 dA3 
47 
 
dArrE
aL
E

 
2
0 
 
O produto escalar de vetores unitários iguais é sempre 1 e a integral de dA é a, temos: 
 
  aLEaE
aL
E 

2.
2
0 
 
 
4.3 Lei de Gauss 
A lei de Gauss relaciona o fluxo de campo elétrico com a carga total envolvida pela superfície 
gaussiana através da equação 4.9. 
 
0
env
E
q
 (4.9) 
 
Se substituirmos a equação 4.9 na equação 4.8 nos vamos obter a equação 4.9 que é 
conhecida como lei de Gauss na forma integral e é uma ferramenta que facilita o calculo do 
campo elétrico para configurações de carga que apresentam simetria de campo. 
 
0
envq
AdE 

 (4.9) 
 
A lei de Coulomb é uma ferramenta que pode ser utilizada para calcular o campo elétrico 
produzido por qualquer configuração. Porém resolver a lei de Coulomb não é tarefa fácil, e às 
vezes utilizar a lei de Gauss para resolver o problema de campo elétrico pode ser bem mais 
fácil. O problema da lei de Gauss é que só permite calcular o campo em três simetrias: 
48 
 
 Simetria esférica 
 Simetria cilíndrica 
 Planos infinitos 
Se o problema não apresentar uma dessas simetrias, então não podemos utilizar a lei de 
Gauss. 
Para exemplificar a utilização da lei de Gauss, vou resolver o problema de uma casca 
esférica. Uniformemente carrega. Esse é um dos problemas onde a lei de Coulomb pode 
ser aplicada, porém a resolução requer uma quantidade de calculo dispendiosa. (aconselho 
você a tentar resolver depois, utilizando a lei de Coulomb). 
 
Exemplo 3.3 
Certa quantidade de carga q foi depositada sobre a superfície de uma casca esférica de 
raio a. a carga se distribui uniformemente sobre a superfície. Determine o campo elétrico 
produzido por essa configuração de carga em todos os pontos do espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 



0
envqAdE
 
a 
Resolução: 
Primeiro vamos determinar o campo elétrico no interior da 
casca esférica. 
ar
E

 0 .O campo elétrico no interior de um condutor é 
sempre zero. Porque se trata de um caso de eletrostática. 
Para o exterior da esfera, comece desenhando uma superfície 
gaussiana envolvendo a carga elétrica e aplique a lei de 
Gauss. 
r 
49 
 
 
0
²4
0 
 q
daE
a
 
 
 
0
²4
0

 q
aE
a

 
 
0
²4


q
aE 
 
 ²4 0a
q
E


 
Esse é o campo para pontos externos a esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
RESUMO: 
 
Para uma distribuição continua de carga a lei de Coulomb sofre uma pequena alteração, onde 
a carga deve ser substituída pela densidade de carga e o somatório usado para aplicar o 
principio da superposição é substituída por uma integral. 
Quando a simetria do problema permite, o campo elétrico pode ser mais facilmente 
determinado utilizando a lei de Gauss. A lei de Gauss leve em consideração o fluxo de campo 
que atravessa uma superfície em conformidade com a carga que gera o campo. 
 
Chegamos ao fim de nossa primeira aula. Espero que tenham gostado! 
Voltaremos nas próximas aulas. Não deixem de: 
 Olha da bibliografia recomendada 
 Acessar os links dos vídeos 
 Responder aos questionamentos no Ava 
 Resolver as atividades propostas: 
 
Bons estudos e nos comunicamosna próxima aula! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERENCIAS: 
 
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade e 
Magnetismo, Óptica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 556 p. v. 2. 
 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: 
Eletromagnetismo. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 388 p. v. 3. 
 
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III: Eletromagnetismo. 14. ed. São Paulo: 
Pearson, 2016. 448 p. v. 3. 
 
RAMALHO JÚNIOR, Francisco; FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antônio de 
Toledo. Os Fundamentos da Física: Eletricidade Introdução à Física Moderna Análise 
Dimensional. 9. ed. São Paulo: Moderna, 2013. 520 p. v. 3. 
 
MACEDO, Annita. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: Guanabara, 1988. 638 p. 
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 2. ed. São Paulo: 
Blucher, 2015. 295 p. v. 3. 
 
KNIGHT, Randall D. Física: Uma abordagem estratégica. 2. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2009. 
400 p. v. 3. 
 
JEWETT JUNIOR, Jonh W.; SERWAY, Raymond A. Física para Cientistas e Engenheiros: 
Eletricidade e Magnetismo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 331 p. v. 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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