Aula 15 - Eletrostática

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Eletrostática 
 
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Sumário 
1 - Considerações iniciais ...................................................................................................................... 4 
2 - Eletrização ....................................................................................................................................... 4 
2.1 - Corpo eletrizado ........................................................................................................................ 5 
2.2 - Princípio da quantização da carga elétrica .............................................................................. 6 
2.3 - Princípios da eletrostática......................................................................................................... 6 
2.3.1 - Princípio da atração e repulsão ......................................................................................... 6 
2.3.2 - Princípio da conservação das cargas elétricas ................................................................... 6 
2.4 - Isolantes e condutores .............................................................................................................. 7 
2.5 - Métodos de eletrização............................................................................................................. 7 
2.5.1 – Eletrização por atrito ......................................................................................................... 7 
2.5.2 - Contato ............................................................................................................................... 8 
2.5.3 - Indução ............................................................................................................................. 10 
2.6 - Eletroscópios ........................................................................................................................... 11 
2.6.1. Pêndulo eletrostático ........................................................................................................ 11 
2.6.2. Eletroscópio de folhas ....................................................................................................... 14 
3 - Lei de Coulomb ............................................................................................................................... 15 
3.1 - Princípio da superposição ....................................................................................................... 16 
4 - O Campo elétrico ........................................................................................................................... 20 
4.1 - Direção e sentido do campo elétrico ...................................................................................... 20 
4.2 - Linhas de força ........................................................................................................................ 21 
4.3 - Campo elétrico de um carga puntiforme ................................................................................ 23 
4.3.1 - Campo elétrico de uma carga puntiforme 𝑄 positiva ...................................................... 23 
4.3.2 - Campo elétrico de uma carga puntiforme 𝑄 negativa .................................................... 23 
4.3.3 - Intensidade do campo elétrico um ponto P devido a uma carga puntiforme ................. 25 
4.4 - Campo elétrico criado por 𝑛 cargas puntiformes ................................................................... 25 
4.5 - Informações das linhas de força ............................................................................................. 28 
4.6 - Campo elétrico do condutor isolado em equilíbrio eletrostático ........................................... 29 
4.7 - Blindagem eletrostática .......................................................................................................... 30 
4.8 - O poder das pontas ................................................................................................................. 32 
4.9 - Campo elétrico uniforme ........................................................................................................ 32 
5 - Potencial elétrico ........................................................................................................................... 37 
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5.1 - O Trabalho no campo elétrico uniforme ................................................................................. 37 
5.2 - O Potencial elétrico ................................................................................................................. 37 
5.3 - O Potencial elétrico de carga elétrica puntiforme .................................................................. 38 
5.4 - Potencial elétrico gerado por várias cargas puntiformes ....................................................... 40 
5.5 - As propriedades do potencial elétrico .................................................................................... 43 
5.6 - Superfícies equipotenciais ....................................................................................................... 44 
5.7 - Potencial de um condutor esférico ......................................................................................... 49 
5.8 - O potencial da Terra ............................................................................................................... 51 
6 - RESUMO DA AULA EM MAPAS MENTAIS ................................................................................................... 55 
7 - Lista de questões ........................................................................................................................... 56 
7.1 - Já caiu na FUVEST ................................................................................................................... 56 
7.2 - Já caiu nos principais vestibulares .......................................................................................... 61 
8 - Gabarito das questões sem comentários ...................................................................................... 76 
8.1 - Já caiu na FUVEST ................................................................................................................... 76 
8.2 - Já caiu nos principais vestibulares .......................................................................................... 76 
9 - Questões resolvidas e comentadas ............................................................................................... 77 
9.1 - Já caiu na FUVEST ................................................................................................................... 77 
9.2 - Já caiu nos principais vestibulares .......................................................................................... 88 
10 - Considerações finais .................................................................................................................. 121 
11 - Referências Bibliográficas .......................................................................................................... 121 
12 - Versão de Aula ........................................................................................................................... 121 
 
 
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1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
Nesta aula de número 15, serão abordados os seguintes tópicos do seu edital: 
• Carga elétrica: quantização e conservação. 
• Campo e potencial elétrico. 
• Interação entre cargas: força e energia potencial elétrica. 
• Eletrização e indução eletrostática. 
 Essesassuntos se enquadram no subtópico denominado Eletricidade. 
 
 Nesta aula serão abordadas as principais consequências das cargas elétricas estáticas. São 
abordados os processos de eletrização, o conceito e aplicações de cargas elétricas, campo e 
potencial elétrico e a interação entre as cargas elétricas, gerando força e energia potencial elétrica. 
 As Aulas 15 e 16 se complementam, pois trazem um estudo dividido entre os principais 
conceitos relacionados à eletricidade, sendo divididos em eletrostática na primeira e eletrodinâmica 
na segunda. 
2 - ELETRIZAÇÃO 
A carga elétrica é uma propriedade física fundamental que determina interações 
eletromagnéticas. Essa propriedade está associada a partículas elementares como: elétrons, 
prótons, mésons, antiprótons, pósitrons etc. Todas essas possuem, em módulo, a mesma carga 
chamada de carga elétrica elementar 𝑒. 
Em 1910, estudando o comportamento de gotas de óleo em um campo elétrico, Robert 
Andrews Millikan determinou a carga do elétron (−𝑒) e sua massa (𝑚𝑒): 
−𝑒 = −1,6 × 10−19𝐶 A carga de um elétron 
E sua massa (𝑚𝑒): 
𝑚𝑒 = 9,1 × 10−31𝑘𝑔 A massa de um elétron 
As cargas e massas de outras partículas elementares são: 
 Carga elétrica Símbolo Massas 
Próton +𝟏, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑪 +𝒆 𝒑+ 𝒎𝒑 = 𝟏, 𝟔𝟕𝟐 × 𝟏𝟎−𝟐𝟕 𝒌𝒈 
Elétron −𝟏, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑪 −𝒆 𝒆− 𝒎𝒆 ≈
𝒎𝒑
𝟏𝟖𝟑𝟔
= 𝟗, 𝟏𝟎𝟗 × 𝟏𝟎𝟑𝟏𝒌𝒈 
Antipróton −𝟏, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑪 −𝒆 𝒑− 𝒎𝒑 
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Pósitron +𝟏, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑪 +𝒆 𝒆+ 𝒎𝒆 
Nêutron 0 𝒎𝒏 = 𝟏, 𝟔𝟕𝟒 × 𝟏𝟎−𝟐𝟕𝒌𝒈 
Note que a massa do próton (𝑚𝑝) é cerca de 1836 vezes a massa do elétron (𝑚𝑒). Como 
consequência, é esperado que os elétrons tenham mobilidade, ao passo que os prótons dificilmente 
são capazes de se locomover. 
2.1 - CORPO ELETRIZADO 
Podemos dizer que existem três formas de classificar um corpo eletrizado: 
• Corpo eletricamente neutro (𝑸 = 𝟎): possui o mesmo número de prótons e de elétrons. Um 
corpo, seja ele condutor ou isolante, geralmente apresenta número de elétrons igual ao 
número de prótons. 
 
Figura 15.1: Corpo eletricamente neutro (𝒏𝒑 = 𝒏𝒆). 
• Corpo positivamente carregado (𝑸 > 𝟎): é aquele que possui mais prótons do que elétrons. 
Podemos pensar de outra forma: o corpo positivamente carregado apresenta falta de 
elétrons. 
 
Figura 15.2: Corpo positivamente carregado (𝒏𝒑 > 𝒏𝒆). 
• Corpo negativamente carregado (𝑸 < 𝟎): é aquele que possui mais elétrons do que prótons. 
De outra forma, o corpo negativamente carregado apresenta excesso de elétrons. 
 
Figura 15.3: Corpo negativamente carregado (𝒏𝒑 < 𝒏𝒆). 
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2.2 - PRINCÍPIO DA QUANTIZAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA 
No século XVIII, a carga elétrica era considerada como um fluido contínuo. No início do século 
XX, Robert Andrews Millikan (1868 – 1953) descobriu que o fluido elétrico não era contínuo, mas 
que a carga elétrica era sempre um múltiplo inteiro da carga elementar: 
𝑄 = ±𝑛 ∙ 𝑒 
A carga elétrica deve sempre ser 
um múltiplo da carga fundamental 
Usamos o sinal (+) quando o corpo apresenta falta de elétrons e o sinal (-) quando o corpo 
apresenta excesso de elétrons. Note que a carga elétrica não pode assumir qualquer valor, apenas 
valores múltiplos de 𝑒, os chamados pacotes discretos. Em termos modernos, dizemos que ela é 
quantizada. 
2.3 - PRINCÍPIOS DA ELETROSTÁTICA 
Denomina-se sistema isolado em eletrostática todo sistema que não troca cargas elétricas 
com o meio exterior, ou seja, não cede nem recebe cargas elétricas com o meio exterior, ou ainda, 
a soma das cargas dentro desse sistema será sempre constante, não havendo perdas. 
2.3.1 - Princípio da atração e repulsão 
Verifica-se experimentalmente que: 
Cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e de sinais contrários se atraem. 
 
Figura 15.4: Representação do Princípio da Atração e Repulsão em cargas elétricas. 
2.3.2 - Princípio da conservação das cargas elétricas 
Em um sistema eletrostaticamente fechado, a soma algébrica das cargas elétricas é 
sempre constante. 
 
Figura 15.5: Aplicação da conservação de cargas para sistema isolados eletricamente. 
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Note que em um sistema isolado, temos sempre que o somatório das cargas antes é igual ao 
somatório das cargas depois de um certo evento. 
2.4 - ISOLANTES E CONDUTORES 
Dizemos que isolantes são materiais que não apresentam portadores de cargas elétricas 
livres. Exemplos: borrachas, vidros, água deionizada, 𝑁𝑎𝐶𝑙(𝑠), etc. Por outro lado, condutores são 
materiais que apresentam portadores de cargas elétricas livres. 
Podemos classificar os condutores em três categorias: 
• 1ª espécie: apresentam elétrons livres. Exemplo: metais. Os metais possuem elétrons “livres” 
na sua estrutura, ligados ao núcleo do átomo de forma muito fraca. Dessa maneira, os metais 
têm tendência a doar elétrons. 
• 2ª espécie: apresentam íons livres. Exemplo: 𝑁𝑎𝐶𝑙(𝑎𝑞.). Também conhecidos como 
condutores eletrolíticos são encontrados nas soluções de ácidos, bases ou sais contidos em 
água. Cátions e ânions são portadores de carga elétrica que percorrem sentidos opostos. 
• 3ª espécie: elétrons e íons livres. Exemplo: plasma. Possibilitam a condutividade pelo 
movimento de cátions e ânions, ao contrário dos condutores eletrolíticos tais moléculas não 
são energizadas sozinhas. Elas precisam se chocar para os elétrons e moléculas trocarem 
cargas e se tornarem energizadas. Como exemplo temos os raios e relâmpagos. 
Dizemos que um condutor carregado está em equilíbrio eletrostático quando não há 
movimento ordenado de cargas elétricas. Nos condutores eletrizados em equilíbrio eletrostático, 
as cargas elétricas em excesso se distribuem pela superfície. Esse fato justifica pelo Princípio da 
Repulsão entre Cargas Elétricas de mesmo sinal. Basicamente, ele garante que as cargas tendem a 
ficar o mais afastadas umas das outras possível. 
De outra forma, as cargas se distribuem em sua superfície, concentrando nas pontas. Tal 
fenômeno é conhecido como efeito das pontas. Por outro lado, se um corpo não for condutor, ele 
poderá apresentar cargas elétricas em excesso localizadas em certas regiões, dependendo da forma 
como for eletrizada. 
 
Figura 15.6: Bastão de material isolante eletrizado. 
2.5 - MÉTODOS DE ELETRIZAÇÃO 
Para alterar o estado de eletrização de um corpo, podemos usar processos como o atrito, o 
contato e a indução. Em sequência cada um desses métodos será detalhado. 
2.5.1 – Eletrização por atrito 
Utiliza-se este processo, preferencialmente, em isolantes. Basicamente, quando se atrita dois 
corpos constituídos de materiais distintos, um cede elétrons para o outro, tornando os dois 
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eletrizados. O corpo que recebeu elétrons fica eletrizado negativamente, visto que apresenta um 
excesso de elétrons, e quem cedeu elétrons fica eletrizado positivamente, já que tem deficiência de 
elétrons. 
 
Figura 15.7: Processo de eletrização por atrito entre um bastão de vidro e um tecido de lã. 
Na eletrização por atrito de isolantes, a carga fica confinada no local de atrito. O sinal da carga 
elétrica adquirida por um material depende de sua posição na série triboelétrica. 
Regra Substância 
 
Vidro 
Mica 
Lã 
Pele de gato 
Seda 
Algodão 
Ebonite 
Cobre 
Enxofre 
Celuloide 
Por exemplo, se eletrizarmos por atrito um bastão de vídeo e um pano de seda, o vidro 
eletriza-se positivamente e a seda eletriza-se negativamente. Se eletrizarmos algodão e celuloide, o 
algodão eletriza-se positivamentee a celuloide eletriza-se negativamente. 
Note que pelo Princípio da Conservação das Cargas, quando um corpo é eletrizado 
negativamente com carga elétrica −𝑄, o outro deverá adquirir carga elétrica +𝑄. 
2.5.2 - Contato 
Este método funciona muito bem entre materiais condutores, no qual as cargas elétricas se 
distribuem na superfície. 
 
Figura 15.8: Eletrização por contato utilizando um fio. 
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Note que o Princípio da Conservação das Cargas foi respeitado. Se um dos corpos ou ambos 
forem constituídos de materiais não condutores, a troca de cargas se limitaria à região em torno do 
ponto de contato. 
Quando colocamos 2 condutores em contato, eles podem ser considerados como um único 
condutor. Após a eletrização por contato, no equilíbrio eletrostático, todos os condutores têm 
cargas de mesmo sinal. 
O nosso planeta pode ser visto como um condutor neutro e de raio infinito. 
 
Figura 15.9: Corpo eletrizado ao entrar em contato com a Terra. 
Por esse motivo, todo condutor não induzido, ao ser aterrado (colocado em contato com a 
Terra), torna-se neutro. O símbolo do aterramento é: 
 
Figura 15.10: Símbolo para aterramento. 
 Vamos praticar: 
(UEL – PR) 
Quatro esferas condutoras iguais têm, respectivamente, cargas elétricas 𝑄/2, 𝑄, 2𝑄 e 𝑋 
(desconhecida). Pondo-se todas em contato e depois separando-as, cada uma ficou com uma 
carga igual a 7𝑄/8. Supondo que as esferas tenham trocado cargas elétricas somente entre si, 
a carga elétrica 𝑋, da quarta esfera, era igual a: 
a) zero b) 𝑄/2 c) 𝑄 d) 3𝑄/2 e) 2𝑄 
Comentários: 
Pelo Princípio da Conservação das Cargas nesse sistema eletrostaticamente isolado, temos: 
∑ 𝑄𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = ∑ 𝑄𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 
𝑄
2
+ 𝑄 + 2𝑄 + 𝑋 = 4 ∙
7𝑄
8
 
 
4𝑄
8
+
8𝑄
8
+
16𝑄
8
+ 𝑋 = 4 ∙
7𝑄
8
 
 
28𝑄
8
𝑋 =
28𝑄
8
 
 
𝑋 = 0 
Gabarito: “a”. 
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2.5.3 - Indução 
Este processo ocorre preferencialmente em condutores. Trata-se da “separação” de cargas 
elétricas de um condutor sem que haja contato com o outro corpo eletrizado. 
Vamos tomar dois corpos A e B, no qual A é eletrizado e pode ser constituído de material 
isolante ou condutor; o corpo B está neutro e tem que ser constituído de material condutor. 
Chamamos A, que está eletrizado, de indutor e B de induzido: 
 
Figura 15.11: Representação da eletrização por indução. 
 Ao aproximar os dois corpos, os elétrons de B serão atraídos para a região mais próxima de 
A, criando uma carência de elétrons na região mais afastada de B, como mostra a figura acima. 
Assim, dizemos que o corpo B está induzido pelo indutor A. 
 Além disso, observamos que a força de atração entre as faces próximas é maior em módulo 
que a força de repulsão entre o corpo A e a parte mais afastada de B, isto é, |�⃗�| > |�⃗�1|. 
 Note que o corpo B não recebeu ou perdeu elétrons. Ele está eletricamente neutro (a soma 
de suas cargas é zero). Então, se afastarmos o indutor, os elétrons do induzido se rearranjam para o 
estado inicial. Dizemos que houve apenas separação de cargas no induzido. 
 Como um contraponto, para fazermos a eletrização de um induzido, devemos realizar os 
quatro seguintes passos: 
Passo 1) Aproximamos do induzido um corpo carregado (indutor), forçando uma separação 
de cargas no induzido: 
 
Figura 15.12: Separação das cargas no induzido. 
Passo 2) Na presença do indutor, aterra-se o induzido. 
 
Figura 15.13: Aterramento do induzido para atrair elétrons da terra. 
O aterramento pode ser feito em qualquer ponto do induzido. 
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Passo 3) Ainda na presença do indutor, desliga-se o contato do induzido com a terra. 
 
Figura 15.14: Retira-se a ligação do induzido à terra. 
Na eletrização por indução, quando se atinge o equilíbrio eletrostático, o indutor e o induzido 
têm sinais opostos. 
Passo 4: Afasta-se o indutor e teremos o induzido eletrizado. 
 
Figura 15.15: Induzido devidamente eletrizado. 
Note que, independente de qual seja a carga indutora, concentram-se cargas de sinais 
opostos no induzido na região próxima ao indutor. Veja também que é necessário utilizar o fio terra 
no induzido para obter cargas elétricas de sinal oposto ao das do indutor. 
Além disso, quando se desliga o fio terra, o indutor ainda deve estar presente. Do contrário, 
apenas estaríamos movimentando cargas no induzido, como visto anteriormente. 
2.6 - ELETROSCÓPIOS 
O eletroscópio é um instrumento utilizado para se verificar o estado de eletrização de um 
corpo de prova. A base de seu funcionamento é a indução eletrostática. Existem dois tipos comuns 
de eletroscópios: de folhas e o pêndulo elétrico. 
2.6.1. Pêndulo eletrostático 
O pêndulo é constituído de uma esfera condutora extremamente leve (geralmente uma casca 
de alumínio) e por um fio isolante, também extremamente leve (geralmente fio de náilon). 
 
Figura 15.16: Construção de um pêndulo eletrostático. 
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Seu funcionamento é bem simples: quando se aproxima um corpo eletrizado, a esfera do 
pêndulo é atraída eletrostaticamente. Isso acontece devido a indução eletrostática. Suponha que 
um corpo de prova positivamente carregado seja aproximado ao condutor. Por indução, os elétrons 
da esfera são atraídos para a região mais próxima do corpo de prova, tornando a região mais 
distante positiva. Assim, na esfera aparecem duas forças: uma força de atração na região mais 
próxima da esfera com o corpo de prova e outra força de repulsão entre a região positiva da esfera 
e o corpo de prova. 
Como veremos no próximo capítulo, a força elétrica é inversamente proporcional ao 
quadrado da distância entre as cargas puntiformes. Então, como a distância entre a região 
negativamente carregada na esfera e o corpo de provas é menor que a outra região da esfera 
carregada positivamente, o módulo da força de atração será maior que o módulo da força de 
repulsão na esfera. 
Dessa forma, a esfera será atraída pelo corpo de prova (se estiver eletrizado), como na figura 
logo abaixo: 
 
Figura 15.17: Funcionamento de um pêndulo eletrostático. 
 
No caso de um corpo de prova de carga resultante positiva, a força de atração com as cargas 
negativas induzidas para a região mais próxima tem módulo maior do que a força de repulsão gerada 
pelas cargas positivas que se concentram na região mais afastada do condutor. 
(2019/UFJF-PISM3) 
A água é uma molécula polar, ou seja, embora tenha carga elétrica total nula, há uma separação 
entre as cargas da mesma molécula devido à diferença de eletronegatividade entre o átomo de 
oxigênio e os átomos de hidrogênio, conforme mostra a figura. Baseado nisso, um aluno resolveu 
realizar o seguinte experimento: quando uma torneira de água estava gotejando, colocou um bastão 
de vidro, previamente atritado em um pano de lã, próximo à trajetória das gotas. Assinale a 
alternativa CORRETA: 
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a) As gotas de água são repelidas pelo bastão, devido às cargas positivas provenientes do atrito com 
o pano. 
b) As gotas de água são atraídas pelo bastão, quaisquer que sejam as cargas adquiridas no atrito 
com o pano. 
c) As gotas de água não serão nem atraídas nem repelidas pelo bastão, pois moléculas polares 
sofrem apenas rotações, e não forças resultantes. 
d) As gotas de água podem ser atraídas ou repelidas pelo bastão, dependendo de suas cargas ao 
deixarem a torneira. 
e) As gotas de água não serão nematraídas nem repelidas pelo bastão, pois o atrito de vidro com lã 
não gera cargas elétricas. 
Comentários: 
a) Incorreta. As gotas de água são atraídas pelo bastão. 
b) Correta. As gotas de água são atraídas pelo bastão independente de suas cargas por razão 
parecida do pêndulo eletrostático. Quando o bastão eletrizado se aproxima, a água é atraída 
eletrostaticamente. Isso acontece devido a indução eletrostática de seu dipolo. O bastão 
positivamente carregado é aproximado da água. Por indução, os polos negativos das moléculas de 
água são atraídos para a região mais próxima do bastão, tornando a região mais distante 
preferencialmente ocupada por partes positivas das moléculas. Assim, na água aparecem duas 
forças: uma força de atração na região mais próxima da água com o bastão e outra força de repulsão 
entre a região positiva do fluido e o bastão. 
Sendo a força eletrostática inversamente proporcional à distância, a região mais próxima cria 
uma força de módulo superior, de modo que a força de atração sempre é superior à força de 
repulsão. 
c) Incorreta. A molécula se aproxima pois cria indução e forças de atração de módulo superior 
às de repulsão. 
d) Incorreta. As gotas serão atraídas, independentemente de suas cargas. É necessário que 
exista o dipolo. 
e) Incorreta. O atrito de vidro com lã gera eletrização por contato. 
Gabarito: “b”. 
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2.6.2. Eletroscópio de folhas 
 Eletroscópio de folhas, ou de lâminas, possui um corpo metálico preso a uma rolha de cortiça, 
acondicionado em um recipiente de vidro. Suas lâminas devem ser bastante finas, flexíveis e leves. 
Normalmente, utiliza-se folhas de vidro ou mesmo o papel-alumínio. 
 
Figura 15.18: Eletroscópio de folhas. 
Note que inicialmente, o eletroscópio apenas diz o estado de eletrização do corpo de provas: 
carregado ou descarregado. Para conhecer a natureza da carga do corpo de provas é necessário 
realizar o processo novamente, com o eletroscópio carregado com uma carga conhecida. 
Veja um exemplo: 
(QUESTÃO/2019) 
Dois eletroscópios de folhas A e B estão incialmente neutros, sendo que B está ligado à terra, como 
mostra a figura: 
 
Um bastão de borracha C, carregado de cargas elétricas negativas, se aproxima de A. Um bastão de 
borracha D, carregado de cargas elétricas positivas, se aproxima de B. Nenhum dos bastões toca nos 
eletroscópios. 
a) O que acontece no eletroscópio A? 
b) O que acontece no eletroscópio B? 
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Comentários: 
a) Quando o bastão C aproxima-se de A, ocorrerá indução e as lâminas se abrirão. A 
distribuição de cargas será: 
 
b) Quando o bastão D aproxima-se de B, que está aterrado, ocorrerá indução, havendo subida 
de elétrons da terra para a esfera do eletroscópio. Assim, as lâminas de B permanecerão neutras e 
não se abrirão. 
 
3 - LEI DE COULOMB 
Um corpo eletrizado é dito uma carga elétrica puntiforme quando a sua dimensão é 
desprezível quando comparada com a distância a outro corpo. Considere duas cargas puntiformes, 
colocadas em um certo meio, a uma distância 𝑑 entre si, a força �⃗� de interação entre elas é tal que: 
 
Figura 15.19: Força elétrica entre duas cargas puntiformes de sinais contrários. 
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Figura 15.20: Força elétrica entre duas cargas puntiformes de mesmo sinal. 
A direção de �⃗� é a reta que une as duas cargas e o sentido é atrativo ou repulsivo dependendo 
dos sinais das cargas. Note que �⃗� e −�⃗� constituem um par Ação e Reação. O módulo da força elétrica 
é dado pela Lei de Coulomb que diz: 
𝐹 = 𝐾 ∙
𝑄1 ⋅ 𝑄2
𝑑2
 
Lei de Coulomb 
[𝐹] = 𝑁 [𝐾] = 𝑁 ⋅ 𝑚2/𝐶2 [𝑄] = 𝐶 [𝑑] = 𝑚 
A constante eletrostática de um meio, representada pela 𝐾 (maiúscula) vale para o vácuo: 
𝐾0 ≅ 9 × 109
𝑁 ∙ 𝑚2
𝐶2
 
Constante elétrica para o vácuo 
3.1 - PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO 
Considere um sistema constituído de n cargas puntiformes 𝑞1, 𝑞2, … . 𝑞𝑛. podemos calcular a 
força elétrica resultante sobre uma carga 𝑄 aplicando o Princípio da Superposição. Este princípio diz 
que podemos calcular a contribuição de força de cada carga 𝑞𝑖 com 𝑄 e depois somarmos 
vetorialmente: 
 
Figura 15.21: Princípio da Superposição aplicado à n cargas. 
�⃗� = �⃗�1 + �⃗�2 + ⋯ + �⃗�𝑛 O Princípio da Superposição 
(2019/IFSUL) 
Considere duas partículas eletrizadas, 𝑃1 e 𝑃2, ambas com cargas iguais e positivas, localizadas, 
respectivamente, a 0,5 metros à esquerda e a 0,5 metros à direita da origem de um eixo X. Nesse 
eixo, sabe-se que não há influência de outras cargas. 
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Se uma terceira carga de prova for colocada na origem do eixo X, ela 
a) ficará em repouso. 
b) será acelerada para a direita. 
c) será acelerada para a esquerda. 
d) entrará em movimento retilíneo uniforme. 
Comentários: 
Se as distâncias entre as cargas e o ponto de origem são iguais, e as cargas das partículas tem 
mesmo módulo e são positivas, então qualquer carga colocada na origem terá nela força resultante 
nula, permanecendo em repouso. 
Gabarito: “a”. 
(2019/QUESTÃO) 
Considere duas cargas puntiformes 𝑞 e 𝑄, separadas por uma distância 𝑑, possuem força de atração 
de intensidade 𝐹. Calcule a nova força elétrica quando se duplica a primeira carga, divide a segunda 
por 3 e divide a distância por 3. Não se altera o meio das cargas. 
Comentários: 
De acordo com a mudança nas condições, temos que: 
|𝑄1|′ = 2 ∙ |𝑄1| e |𝑄2|′ =
1
3
∙ |𝑄2| 
𝑑′ =
1
3
∙ 𝑑 
Logo, a nova força é dada por: 
𝐹′ =
2 ∙
1
3
(
1
3
)
2 ∙ 𝐹 = 6 ∙ 𝐹 
Gabarito: 𝑭′ = 𝟔 ∙ 𝑭. 
 (2019/QUESTÃO) 
Duas cargas fixas A e B distam 3,0 𝑐𝑚 uma da outra. As cargas valem 𝑄𝐴 = 1,0 × 10−7𝐶 e 𝑄𝐵 =
4,0 × 10−7𝐶. A que distância de A deve ser colocada uma terceira carga C (de mesma natureza 
elétrica que A e B) para ficar em equilíbrio entre A e B, apenas pela força elétrica em C? 
 
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Comentários: 
Vamos dizer que a distância da carga C até a carga A é x, então teremos o seguinte diagrama 
de força na carga C na horizontal: 
 
Para o equilíbrio da carga livre em C, temos que: 
𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐴𝐶 
𝐾 ⋅ 𝑄𝐵 ⋅ 𝑄𝐶
(𝑑 − 𝑥)2
=
𝐾 ⋅ 𝑄𝐴 ⋅ 𝑄𝐶
𝑥2
 
Dado que 𝑞𝐵 = 4 ⋅ 𝑞𝐴, temos que: 
4
(𝑑 − 𝑥)2
=
1
𝑥2
 
4𝑥2 = (𝑑 − 𝑥)2 
4𝑥2 − (𝑑 − 𝑥)2 = 0 
[2𝑥 − (𝑑 − 𝑥)][2𝑥 + 𝑑 − 𝑥] = 0 
(3𝑥 − 𝑑)(𝑥 − 𝑑) = 0 
Dessa forma, temos que: 
3𝑥 = 𝑑 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑑 
Mas, 𝑥 = 𝑑 não convém. Logo, temos: 
𝑥 =
𝑑
3
=
3,0
3
= 1,0 𝑐𝑚 
Gabarito: 𝒙 = 𝟏, 𝟎 𝒄𝒎. 
 (2019/QUESTÃO) 
Considere 3 cargas formando um triângulo equilátero. As três cargas são positivas e possuem 
módulos 𝑞. Qual a intensidade da força elétrica resultante em 𝑞3? 
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Comentários: 
Vamos fazer o diagrama de forças na carga 𝑞3: 
 
Como o módulo das cargas é o mesmo e as distância entre elas também, a força de 𝑞1 e 𝑞3 é 
igual a força de 𝑞2 e 𝑞3, sendo todas elas repulsivas. 
Para determinar a força resultante, devemos calcular o vetor resultante das forças. Pela Lei 
dos Senos, temos que: 
𝐹𝑅
𝑠𝑒𝑛(120°)
=
𝐹
𝑠𝑒𝑛(30°)
 
𝐹𝑅 = √3 ⋅ 𝐹 
𝐹𝑅 =
√3 ⋅ 𝐾 ⋅ 𝑞2
𝑑2
 
Gabarito: 𝑭𝑹 = √𝟑 ⋅ 𝑲 ⋅ 𝒒𝟐/𝒅𝟐. 
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www.estrategiavestibulares.com.br4 - O CAMPO ELÉTRICO 
Uma esfera 𝐴 carregada com uma carga +𝑄𝐴 é fixada em um dado ponto do espaço. Se 
colocarmos uma carga +𝑞𝐵, que chamamos de carga de prova, próximo a 𝐴, podemos examinar a 
região que envolve a carga +𝑄𝐴. 
A força elétrica entre 𝐴 e 𝐵 é repulsiva. Supostamente, podemos imaginar que o espaço ao 
redor de 𝐴 foi modificado de alguma forma. Podemos dizer que nessa região criou-se um campo 
elétrico. 
Quando colocamos uma carga de prova em uma região que existe um campo elétrico, surge 
na carga uma força elétrica. Assim, temos que o campo elétrico é definido pela razão entre a força 
elétrica e a carga: 
�⃗⃗� =
�⃗�
𝑄
 
O campo elétrico uniforme 
[𝐸] = 𝑁/𝐶 [𝐹] = 𝑁 [𝑄] = 𝐶 
 
É mais usual que a força elétrica fique explícita nessa relação: 
�⃗� = 𝑄 ∙ �⃗⃗� 
A força elétrica em função do 
campo elétrico uniforme 
Note que é interessante que a carga de prova seja positiva, pois dessa forma �⃗� e �⃗⃗� possuem 
o mesmo sentido. A partir da definição de campo elétrico, se tomarmos uma carga de 1 𝐶 e uma 
força de 1 𝑁, temos que: 
𝐸 =
𝐹
𝑞
=
1 𝑁
1 𝐶
= 1 𝑁/𝐶 
O campo elétrico uniforme 
Assim, dizemos que a unidade de campo elétrico é 𝑁/𝐶. 
4.1 - DIREÇÃO E SENTIDO DO CAMPO ELÉTRICO 
Diante da definição de campo elétrico, temos que: 
�⃗� = 𝑄 ∙ �⃗⃗� 
A força elétrica em função do 
campo elétrico uniforme 
Como a carga 𝑄 é uma grandeza escalar, quando efetuamos o produto 𝑞 ∙ �⃗⃗� sabemos que �⃗⃗� 
e �⃗� tem sempre a mesma direção, desde que não sejam nulos. Dessa forma, temos duas situações 
possíveis. 
Caso a carga seja positiva, o campo elétrico terá o mesmo sentido da força elétrica. Em 
contrapartida, caso a carga seja negativa, então o campo elétrico e a força terão sentidos opostos. 
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𝑞 > 0: �⃗⃗� tem o mesmo sentido de �⃗�. 
𝑞 < 0: �⃗⃗� e �⃗� têm sentidos contrários. 
Observe que primeiramente definimos o conceito de força elétrica entre duas cargas antes 
do conceito de campo elétrico. Contudo, vimos que o campo é a causa da existência da força. Dessa 
forma, quando colocamos a carga de prova no ponto 𝑃, já está associado a esse ponto um campo 
elétrico �⃗⃗�. 
4.2 - LINHAS DE FORÇA 
As linhas de força são linhas imaginárias desenhadas nas representações de um campo 
elétrico, com a intenção de mostrar a sua direção e o seu sentido. Por definição, a linha de força em 
cada ponto tem a mesma direção e o mesmo sentido que o vetor campo elétrico. 
 
Figura 15.22: Representação da Linha de força. 
As linhas de forças são desenhadas para visualizar um campo elétrico e, embora não 
forneçam o valor diretamente do campo elétrico, desenhamos de tal forma que o número de linhas 
por unidade de área (área medida em um plano perpendicular às linhas) é proporcional ao módulo 
do campo elétrico. Assim, quanto mais próximas as linhas, maior o módulo do campo. 
 
Figura 15.23: Linhas de força em uma dada região do espaço mostrando que |�⃗⃗⃗�𝟐| > |�⃗⃗⃗�𝟏| e |�⃗⃗⃗�𝟐| > |�⃗⃗⃗�𝟑|, pois próximo a �⃗⃗⃗�𝟐 as linhas são mais intensas. 
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Quando o campo elétrico é constante em todos os pontos de uma região do espaço, suas 
linhas de força são representadas retilíneas, paralelas, de mesmo sentido e uniformemente 
distribuídas. Nesse caso, dizemos que o campo elétrico é uniforme. Estudaremos as propriedades 
do campo elétrico uniforme mais à frente. 
 
Figura 15.24: Região onde existe um campo elétrico uniforme. 
 
(2019/QUESTÃO) 
Em um ponto 𝑃 de uma região onde há um campo elétrico, coloca-se uma carga de prova de valor 
𝑞 e verifica-se que a força elétrica nessa carga é de 𝐹. Qual o valor de outra carga de prova que 
quando colocada no mesmo ponto 𝑃 a força elétrica na carga seja de 5𝐹? 
Comentários: 
De acordo com a força elétrica em função do campo, temos: 
𝐹 = |𝑞| ∙ 𝐸 
Para a primeira carga, temos que: 
𝐹 = |𝑞| ∙ 𝐸 
Para a segunda carga, temos que: 
5𝐹 = |𝑞2| ∙ 𝐸 
Dividindo as duas equações, temos: 
5𝐹
𝐹
=
|𝑞2| ∙ 𝐸
|𝑞| ∙ 𝐸
 
|𝑞2| = 5|𝑞| 
Gabarito:|𝒒𝟐| = 𝟓|𝒒|. 
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Repare que com as informações podemos apenas encontrar o módulo da carga 𝑞2. Para 
determinação do sinal, seria necessária alguma informação a respeito das direções das forças. 
4.3 - CAMPO ELÉTRICO DE UM CARGA PUNTIFORME 
Seja uma carga elétrica puntiforme 𝑄 gerando um campo elétrico em uma dada região do 
espaço. Se pegarmos um ponto 𝑃 situado a uma distância 𝑑 da carga 𝑄, podemos determinar a 
direção, o sentido e a intensidade do vetor campo elétrico em 𝑃. Para isso, basta pegarmos uma 
carga de prova 𝑞𝑝 > 0. 
4.3.1 - Campo elétrico de uma carga puntiforme 𝑸 positiva 
Dado que 𝑄 > 0 e nossa carga de prova também é (𝑞𝑝 > 0), então a força elétrica �⃗� entre 
elas será de repulsão e, como �⃗� = 𝑞 ∙ �⃗⃗�, temos que �⃗� e �⃗⃗� terão o mesmo sentido. Dessa forma, 
podemos concluir que para uma carga elétrica puntiforme o campo elétrico está se afastando. 
 
Figura 15.25: Campo elétrico gerado em torno de uma carga puntiforme positiva. 
Observe que a direção do campo será radial, já que é a mesma direção da força, ou seja, reta 
que passa pelos pontos onde se encontram as cargas. Assim, as linhas de força desse campo são 
semirretas, radiais, apontando para fora da carga 𝑄 > 0 (se afastando). 
4.3.2 - Campo elétrico de uma carga puntiforme 𝑸 negativa 
 Dado que 𝑄 < 0 e nossa carga de prova é (𝑞𝑝 > 0), então a força elétrica �⃗� entre elas será 
de atração e, como �⃗� = 𝑞 ∙ �⃗⃗�, temos que �⃗� e �⃗⃗� terão o mesmo sentido. Dessa forma, podemos 
concluir que para uma carga elétrica puntiforme o campo elétrico está se aproximando. 
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Figura 15.26: Campo elétrico gerado em torno de uma carga puntiforme negativa. 
Dessa forma, em qualquer ponto da região que circunda a carga elétrica 𝑄 < 0, o campo 
elétrico será de aproximação, em outras palavras, �⃗⃗� deverá “apontar” para a carga 𝑄. 
Nesse caso, as linhas de força desse campo são semirretas, radiais, apontando para dentro 
da carga 𝑄 < 0 (se aproximando). 
 
O sentido do campo elétrico não depende do sinal da carga de prova. Ele é função apenas da carga 
que gerou o campo. 
{
𝑄 > 0 → 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑓𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑄 < 0 → 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎çã𝑜
 
 
Figura 15.27: Linhas de força do campo elétrico de uma carga positiva e de uma negativa. 
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4.3.3 - Intensidade do campo elétrico um ponto P devido a uma carga puntiforme 
Em um dado ponto 𝑃 coloca-se uma carga de prova 𝑞𝑝, situada a uma distância 𝑑 de uma 
carga puntiforme 𝑄. Pela Lei de Coulomb, temos que: 
𝐹 =
𝐾 ∙ |𝑄| ∙ |𝑞𝑝|
𝑑2
⇒
𝐹
|𝑞𝑝|
=
𝐾 ∙ |𝑄|
𝑑2
 
Finalmente: 
𝐸 = 𝐾 ∙
|𝑄|
𝑑2
 
Intensidade de um campo elétrico 
gerado por uma carga puntiforme 
[𝐹] = 𝑁/𝐶 [𝐾] = 𝑁 ⋅ 𝑚2/𝐶2 [𝑄] = 𝐶 [𝑑] = 𝑚 
A partir da expressão, é possível notar que o campo elétrico é inversamente proporcional ao 
quadrado da distância 𝐸 ∝
1
𝑑2
. Por esse motivo, ele é conhecido por “campo newtoniano” pois 
existe grande semelhante com a expressão do campo gravitacional de um planeta. 
Quando representamos o gráfico do campo elétrico de uma carga puntiforme em função da 
distância obtemos a curva: 
 
Figura 15.28: Gráfico da intensidade do campo elétrico de uma carga puntiforme em função da distância. 
4.4 - CAMPO ELÉTRICO CRIADO POR 𝒏 CARGAS PUNTIFORMESQuando existem várias cargas puntiformes geradoras de campo em um mesmo ponto 𝑃, 
podemos determinar o campo elétrico resultante dos campos pelo Princípio da Superposição. 
Para isso, vamos considerar 𝑛 cargas puntiformes gerando diversos campos elétricos em 𝑃. 
Se colocarmos uma carga de prova em 𝑃, podemos determinar a força elétrica resultante na carga 
de prova: 
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Figura 15.29: Campo elétrico resultante em 𝑷 da superposição de n cargas. 
Assim, a força resultante em 𝑃 é dada por: 
�⃗�𝑟𝑒𝑠 = �⃗�1 + �⃗�2 + ⋯ + �⃗�𝑛 
Para o caso particular de existirem apenas duas cargas puntiformes, temos que: 
 
Figura 15.30: Campo elétrico resultante gerado por duas cargas puntiformes. 
Podemos escrever que o módulo do campo elétrico resultante, de acordo com a Lei dos 
Cossenos, é: 
𝐸𝑟𝑒𝑠 = √𝐸1
2 + 𝐸2
2 + 2 ∙ 𝐸1 ∙ 𝐸2 ∙ cos 𝛼 
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É evidente que o sentido do campo elétrico resultante depende dos valores das cargas 𝑞1 e 
𝑞2. Assim, depois de obtidos os vetores �⃗⃗�1 e �⃗⃗�2 utilizamos a soma de vetores para determinar o 
sentido e a direção de �⃗⃗�𝑟𝑒𝑠. 
Podemos também determinar as linhas de forças devido às duas cargas. Como vimos, as 
linhas de força “nascem” nas cargas positivas e “morrem” nas cargas negativas. Dessa forma, para 
duas cargas puntiformes temos as seguintes configurações: 
 
Figura 15.31: Possíveis linhas de forças para diferentes configurações de cargas. 
(2019/INÉDITA) 
Duas cargas 𝑞1 e 𝑞2, de mesmo módulo e negativas são posicionadas em conjunto com uma terceira 
carga e 𝑞3, conforme a figura. A relação entre 𝑞3 e 𝑞1 para que o campo elétrico na origem do 
sistema seja paralelo ao eixo 𝑦 é 
 
a) −5√2/4 b) 4/3 c) −4/3 d) 3/4 e) −3/4 
Comentários: 
Seja 𝐸1 o campo que 𝑞1 exerce na origem. Como 𝑞2 tem o mesmo módulo e o dobro da 
distância de 𝑞1 à origem, seu campo será a quarta parte de 𝐸1. 
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Seja 𝜃 o ângulo que o vetor posição de 𝑞1 faz com o eixo x, podemos escrever para o 𝑐𝑜𝑠(𝜃): 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
6
10
=
12
20
= 0,6 
 
Para que não haja resultante na horizontal, devemos ter: 
𝐸3 = (𝐸1 +
𝐸1
4
) ⋅ cos 𝜃 
 
𝐸3 = (
5𝐸1
4
) ⋅ cos 𝜃 
 
𝑘 ⋅ |𝑞3|
102
=
5
4
⋅
𝑘 ⋅ |𝑞1| 
102
⋅
3
5
 
 
𝑘 ⋅ |𝑞3|
102
=
5
4
⋅
𝑘 ⋅ |𝑞1| 
102
⋅
3
5
 
 
|𝑞3| =
3
4
⋅ 𝑞1 
 
Como a força deve ser de atração, temos: 
|𝑞3| = −
3
4
⋅ |𝑞1| 
 
 Gabarito: “e” 
4.5 - INFORMAÇÕES DAS LINHAS DE FORÇA 
Vamos salientar algumas informações que podem ser extraídas de uma configuração de 
linhas de forças do �⃗⃗�: 
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A sua direção é tangente às linhas de força. 
 
Figura 15.32: Linha de Força, direção e sentido do campo elétrico. 
 
A notação de flechas é muito importante para fins de vestibular. Ela serve para representar 
campos entrando ou saindo do plano do papel de prova. 
Imagine uma flecha vista de frente, o ponto único representa o vetor que sai do plano do 
papel. Em oposição o a flecha vista por sua parte traseira mostra um “x”, fazendo referência aos 
dispositivos usados para manter a aerodinâmica da flecha. 
Em suma, podemos representar o campo elétrico saindo ou entrando do plano do papel: 
 
Figura 15.33: Representação de vetores entrando ou saindo do plano. 
4.6 - CAMPO ELÉTRICO DO CONDUTOR ISOLADO EM EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO 
Dizemos que um condutor isolado está em equilíbrio eletrostático quando não existe 
movimento ordenado de cargas elétricas no seu interior e na sua superfície. Dessa forma, os elétrons 
livres encontram-se em movimento aleatório. 
 
Figura 15.34: Condutor isolado em equilíbrio eletrostático, os elétrons livres em movimento aleatório. 
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Note que quando o corpo está em equilíbrio eletrostático ele pode ou não estar eletrizado. 
Uma propriedade interessante de condutores isolados e em equilíbrio eletrostático é a de que no 
interior do condutor o campo elétrico resultante é nulo. 
Observe que se houvesse um campo elétrico resultante, diferente de zero, no interior do 
condutor os elétrons livres teriam um movimento ordenado devido à presença deste campo. Assim, 
o condutor não estaria em equilíbrio eletrostático. 
 
O campo elétrico resultante é nulo apenas no interior do condutor, mas na superfície o campo 
resultante é diferente de zero. 
 
Figura 15.35: Condutor isolado e em equilíbrio eletrostático: campo elétrico resultante é nulo no interior e movimento aleatório dos elétrons livres. 
 
Figura 15.36: Quando o condutor não está em equilíbrio eletrostático, existe movimento ordenado dos elétrons. 
4.7 - BLINDAGEM ELETROSTÁTICA 
Seja um condutor oco (A) que pode estar eletrizado ou não. O corpo A possui todas as 
propriedades de um condutor maciço. Se um corpo B, neutro, for colocado no interior de A, o campo 
elétrico no interior de A será nulo. Ainda que A esteja eletrizado, B não será induzido, pois está no 
interior de A. 
 
Figura 15.37: Blindagem eletrostática. 
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Ao aproximar de A um outro corpo eletrizado C, haverá indução eletrostática em A, mas B 
não sofrerá nenhum efeito. 
 
Figura 15.38: Aproximação de um corpo carregado e nenhum efeito observado em B. 
Com este experimento, vemos que o conduto oco A blinda eletrostaticamente os corpos no 
seu interior. Este feito é chamado de blindagem eletrostática. 
 
Dizemos que a carcaça metálica de um automóvel é uma blindagem eletrostática. 
Em 1836, Faraday criou um experimento para provar esta blindagem eletrostática. Ele 
construiu uma grande “gaiola” metálica e colocou suportes isolantes. Ele entrou na gaiola portando 
diversos dispositivos de detecção da presença de campo elétricos, e mandou que seu assistente 
eletrizassem a caixa intensamente. 
 
Figura 15.39: Representação de uma gaiola de Faraday, experimento realizado pelo próprio Michael Faraday para mostrar a blindagem eletrostática. 
Como já era esperado por Faraday, nenhum dos aparelhos acusavam qualquer existência de 
campo no interior da caixa. Nem mesmo o próprio Faraday não sentiu qualquer efeito, mesmo com 
a caixa altamente eletrizada externamente, com grandes eflúvios elétricos saltando por vários 
pontos de sua superfície externa, palavras do próprio Michael Faraday. 
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4.8 - O PODER DAS PONTAS 
Em um condutor, a densidade superficial 𝜎 é elevada nas pontas e a intensidade do campo 
elétrico é diretamente proporcional a 𝜎. Assim, o campo elétrico nas pontas de um condutor é mais 
intenso. 
 
Figura 15.40: Efeito das pontas na superfície de um condutor, mostrando que |�⃗⃗⃗�𝟐| > |�⃗⃗⃗�𝟏|, já que o raio de curvatura em 2 é menor que em 1, por exemplo. 
Quando o campo elétrico na superfície de um condutor é muito intenso, pode ocorrer a 
ionização das moléculas do isolante que o envolve. Dessa forma, o isolante torna-se um condutor, 
isto é, as cargas de mesmo sinal são repelidas e as cargas de sinais contrários são atraídas, 
descarregando o condutor. 
Chamamos de rigidez dielétrica de um meio o maior valor de campo elétrico que um meio 
isolante pode suportar sem ionizar-se (“dielétrico” é sinônimo de “isolante”). Para o ar, a rigidez 
dielétrica é de 3× 106 𝑁/𝐶. 
4.9 - CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 
Campo elétrico uniforme é aquele cujo vetor �⃗⃗� tem mesmo módulo, direção e sentido em 
todos os pontos. 
 
Figura 15.41: Região do espaço onde existe um campo elétrico uniforme. 
Em um campo elétrico uniforme, representamos as linhas de força por segmentos retos 
paralelos entre si, igualmente espaçados. 
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(2019/INÉDITA) 
Uma pequena partícula eletrizada foi colocada no interior de uma câmara, em vácuo, onde existe 
um campo elétrico uniforme na mesma direção e sentido oposto ao da aceleração da gravidade 
local. 
Se o módulo do campo elétrico for ajustado para 6,25 ⋅ 103 𝑉/𝑚, a partícula adquire aceleração de 
módulo 5,00 𝑚/𝑠2, direção vertical e mesmo sentido do campo elétrico. Se a massa da partícula é 
de 6,00 ⋅ 10−15 𝑘𝑔, podemos afirmar que ela possui 
a) o mesmo número de elétrons e prótons 
b) 90,0 elétrons a mais que prótons 
c) 90,0 elétrons a menos que prótons 
d) 300 elétrons a mais que prótons 
e) 300 elétrons a menos que prótons 
Note e adote: 
Carga do elétron = −1,60 ⋅ 10−19 𝐶 
Carga do próton = +1,60 ⋅ 10−19 𝐶 
Aceleração local da gravidade = 10,0 𝑚/𝑠2 
Comentários 
 Adotando que a aceleração da gravidade seja vertical e com sentido para baixo, teremos o 
campo elétrico com sentido para cima. Para que a aceleração também tenha sentido para cima, a 
carga da partícula deverá ser positiva. Com isso, teremos menos elétrons do que prótons. 
 Podemos escrever a segunda lei de Newton para a situação: 
𝐹𝑒𝑞 − 𝑃 = 𝑚 ⋅ 𝑎 
𝑞 ⋅ 𝐸 − 𝑚 ⋅ 𝑔 = 𝑚 ⋅ 𝑎 
𝑞 ⋅ 𝐸 = 𝑚 ⋅ 𝑎 + 𝑚 ⋅ 𝑔 
𝑞 =
𝑚 ⋅ 𝑎 + 𝑚 ⋅ 𝑔
𝐸
 
 
 Podemos escrever a carga elétrica como um múltiplo da carga fundamental do elétron: 
𝑛 ⋅ 𝑒 =
𝑚 ⋅ 𝑎 + 𝑚 ⋅ 𝑔
𝐸
 
 
𝑛 =
𝑚 ⋅ 𝑎 + 𝑚 ⋅ 𝑔
𝐸 ⋅ 𝑒
 
 
 Agora podemos substituir os valores fornecidos: 
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𝑛 =
6,00 ⋅ 10−15 ⋅ 5 + 6,00 ⋅ 10−15 ⋅ 10
6,25 ⋅ 103 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19
 
 
𝑛 =
3 ⋅ 10−14 + 6,00 ⋅ 10−14
6,25 ⋅ 103 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19
 
 
𝑛 =
9,00 ⋅ 10−14
10 ⋅ 10−16
=
90,0 ⋅ 10−15
10−15
= 90,0 
 
 Gabarito: “c”. 
(2019/INÉDITA) 
Um elétron com velocidade 𝑣0 de 2,00 ⋅ 105 𝑚/𝑠 é projetado em um ângulo de 30° em relação ao 
eixo 𝑥, conforme o esquema abaixo. 
 
Considerando que o elétron se move num campo elétrico constante 𝐸 = 100 𝑁/𝐶, o tempo que o 
elétron levará para cruzar novamente o eixo 𝑥 é, em 𝑛𝑠 de: 
a) 1,40 b) 11,4 c) 7,80 d) 22,4 e) 44,6 
Note e adote: 
Massa do elétron: 9,11 ⋅ 10−31 𝑘𝑔 
Carga elétrica do elétron: −1,60 ⋅ 10−19 𝐶 
Comentários: 
As linhas de campo sempre vão do maior para o menor potencial elétrico. Dessa forma, 
teremos que o elétron será atraído para a parte inferior, fazendo com que a força elétrica seja 
somada à força peso, criando uma aceleração vertical e com sentido para baixo na partícula. 
A segunda lei de Newton diz que: 
�⃗⃗⃗�𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 = 𝒎 ∙ �⃗⃗⃗� 2ª lei de Newton 
�⃗⃗⃗� = 𝒌𝒈 ∙ 𝒎 𝒔𝟐⁄ = 𝑵 [𝑚] = 𝑘𝑔 [�⃗�] = 𝑚 𝑠2⁄ 
Sabemos que a força elétrica gerada por um campo uniforme é dada por: 
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�⃗�𝑒 = 𝑞 ⋅ �⃗⃗� Força elétrica em um campo uniforme 
[�⃗�𝑒] = 𝑁 [𝑞] = 𝐶 [�⃗⃗�] = 𝑁/𝐶 
 
E a força peso por: 
�⃗⃗⃗� = 𝒎 ∙ �⃗⃗⃗� 2ª lei de Newton 
�⃗⃗⃗� = 𝑵 [𝑚] = 𝑘𝑔 [�⃗�] = 𝑚 𝑠2⁄ 
Para a situação em questão, temos: 
�⃗�𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 + �⃗⃗�𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 = 𝑚𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 ⋅ �⃗� 
𝑞 ⋅ �⃗⃗� + 𝑚𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 ∙ �⃗� = 𝑚𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 ⋅ �⃗� 
�⃗� =
𝑞 ⋅ �⃗⃗� + 𝑚𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 ∙ �⃗�
𝑚𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛
 
 
 Para o módulo da aceleração, temos: 
𝑎 =
1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 100 + 9,11 ⋅ 10−31 ∙ 10
9,11 ⋅ 10−31
 
 
𝑎 =
1,6 ⋅ 10−17 + 9,11 ⋅ 10−30
9,11 ⋅ 10−31
 
 
 No numerador o segundo termo é desprezível em relação ao primeiro. Isso fica evidente pela 
diferença entre as ordens de grandeza dos dois. Dessa forma, podemos escrever: 
𝑎 =
1,6 ⋅ 10−17
9,11 ⋅ 10−31
=
16 ⋅ 10−18
9,11 ⋅ 10−31
≅ 1,76 ⋅ 1013 𝑚/𝑠2 
 
 Finalmente, podemos usar a equação horária da velocidade para determinarmos o tempo 
que a partícula leva para cruzar o eixo horizontal: 
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎 ⋅ 𝑡 Equação horária da velocidade 
 A velocidade inicial no eixo vertical é dada pelo produto entre a velocidade inicial e o seno do 
ângulo com a horizontal: 
𝑣0𝑦 = 𝑣0 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(30°) = 2,0 ⋅ 105 ⋅ 0,5 = 1,0 ⋅ 105 𝑚/𝑠 
Sabemos que quando a partícula cruza o eixo horizontal novamente sua velocidade vertical 
deve ter o mesmo módulo que o da componente vertical da velocidade inicial. 
Podemos escrever para a subida, na qual a aceleração age contra o sentido da velocidade: 
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0 = 1,0 ⋅ 105 − 1,8 ⋅ 1013 ⋅ 𝑡 
𝑡 =
1,0 ⋅ 105
1,76 ⋅ 1013
≅ 0,568 ⋅ 10−8 = 5,68 ⋅ 10−9 
 
𝑡𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎 = 5,68 ⋅ 10−9 𝑠 = 5,68 𝑛𝑠 
 Como a subida tem o mesmo tempo da descida, o tempo total será de: 
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ⋅ 𝑡𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎 = 2 ⋅ 5,68 ≅ 11,4 𝑛𝑠 
Gabarito: “b”. 
(2019/INÉDITA) 
Uma gotícula de água, com massa 𝑚 = 8,0 ⋅ 10−12 𝑘𝑔, eletrizada com carga 𝑞 = 1,6 ⋅ 10−18 𝐶 
está em equilíbrio no interior de um capacitor de placas paralelas e horizontais, conforme esquema 
abaixo. 
 
Nestas circunstâncias, o valor do campo elétrico entre as placas, em 𝑁/𝐶, é de: 
a) 5,0 ⋅ 107 b) 2,0 ⋅ 108 c) 6,7 ⋅ 10−29 d) 2,5 ⋅ 10−11 e) 5,7 ⋅ 108 
Note e adote: 
Admita que a aceleração da gravidade vale 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2 
Comentários: 
Aplicando a 2ª Lei de Newton (𝐹 = 𝑚 ⋅ 𝑎) à gota, temos: 
P − Feq = 0 
P = Feq 
m ⋅ g = 𝑞 ⋅ 𝐸 
𝐸 =
𝑚 ⋅ 𝑔
𝑞
=
8,0 ⋅ 10−12 ⋅ 10
1,6 ⋅ 10−18
=
8,0 ⋅ 107
1,6
= 5,0 ⋅ 107 𝑁/𝐶 
 
Gabarito: “a”. 
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5 - POTENCIAL ELÉTRICO 
Já vimos os conceitos de força elétrica e campo elétrico, definições de grandezas vetoriais. 
Neste momento, vamos introduzir o conceito de potencial elétrico. Para isso, vamos estudar o 
trabalho da força elétrica no campo elétrico uniforme. 
5.1 - O TRABALHO NO CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 
Seja 𝐸 a intensidade de um campo elétrico uniforme. Inicialmente, vamos tomar dois pontos 
quaisquer 𝐴 e 𝐵, numa mesma linha de força, separados pela distância 𝑑. 
O trabalho no campo elétrico uniforme, qualquer que seja a trajetória entre dois pontos A e 
B, é dado por: 
(𝑊�⃗�𝑒𝑙𝑒
)
𝐴→𝐵
= 𝐹 ⋅ 𝑑 = 𝑞 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑑 O trabalho no campo elétrico uniforme 
 
Figura 15.42: Carga elétrica se movendo em uma região onde o campo elétrico é uniforme. 
 
O trabalho realizado por uma força elétrica para ir de 𝐴 até 𝐵 não depende da trajetória. 
Como vimos, forças conservativas possuem como propriedade o fato do trabalho por ela 
realizado não depender da trajetória. Por isso, dizemos que a força elétrica é uma força 
conservativa. 
5.2 - O POTENCIAL ELÉTRICO 
Definimos potencial elétrico associado ao ponto 𝐴, denotado por 𝑉𝐴, a razão entre a energia 
potencial elétrica da carga em 𝐴 ((𝐸𝑝𝑜𝑡)
𝐴
) e o valor da carga (𝑞), ou seja: 
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𝑉𝐴 =
(𝐸𝑝𝑜𝑡)
𝐴
𝑞
 
[𝑉] = 𝑉 = 𝑉𝑜𝑙𝑡 [𝐸𝑝𝑜𝑡] = 𝐽 [𝑞] = 𝐶 
 
Da definição, temos que o potencial elétrico em 𝐴 como é quociente de duas grandezas 
escalares, notoriamente, o potencial também será um escalar e a sua unidade no SI é o Volt, 
indicado pela letra 𝑉. Assim, temos que: 
1 𝐽
1 𝐶 
= 1 𝑉 
A unidade volt é dada em homenagem ao físico italiano Alessandro Volta (1745-1827).5.3 - O POTENCIAL ELÉTRICO DE CARGA ELÉTRICA PUNTIFORME 
Considere uma carga 𝑄 , fixa em um certo ponto do espaço, gerando um campo elétrico à 
sua volta. Seja a carga 𝑞 trazida do infinito até um ponto 𝑃. 
O potencial elétrico de uma carga puntiforme 𝑄 em um ponto 𝑃 que dista 𝑟 da carga fonte é 
dado por: 
𝑉𝑃 =
𝐾 ⋅ 𝑄
𝑑
 
[𝑉𝑝] = 𝑉 = 𝑉𝑜𝑙𝑡 [𝐾] = 𝑁 ⋅ 𝑚2/𝐶2 [𝑄] = 𝐶 [𝑑] = 𝑚 
Lembre-se que a constante eletrostática de um meio, representada pela 𝐾 (maiúscula) vale 
para o vácuo: 
𝐾0 ≅ 9 × 109
𝑁 ∙ 𝑚2
𝐶2
 
Constante elétrica para o vácuo 
É importante ressaltar que 𝑉𝑃 é uma grandeza escalar e que depende da carga fonte 𝑄, 
geradora do campo elétrico no ponto 𝑃. 
 
O valor de 𝑉𝑃 gerado pela carga puntiforme 𝑄 possui o mesmo sinal que a carga: 
{
𝑄 > 0 ⇒ 𝑉 > 0
𝑄 < 0 ⇒ 𝑉 < 0
 
(2019/INÉDITA) 
Na figura mostra-se o valor do potencial elétrico para diferentes pontos A (26 V), B (12 V), C (10 V) 
e D (24 V) situados no plano 𝑥𝑦. Considere o campo elétrico uniforme nessa região e o comprimento 
dos segmentos OA, OB, OC e OD igual a 2,0 𝑚. 
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Pode-se afirmar que a magnitude do campo elétrico é igual a 
a) 2,0 𝑉/𝑚 b) 5,0 𝑉/𝑚 c) 7,0 𝑉/𝑚 d) 12,0 𝑉/𝑚 e) 13,0 𝑉/𝑚 
Comentários 
As componentes do campo elétrico são calculadas pela equação 𝑉 = 𝐸 ⋅ 𝑑. Para a horizontal, 
podemos escrever: 
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 = 𝐸𝑋 ⋅ (𝑥𝐴 − 𝑥𝐶) 
26 − 10 = 𝐸𝑋 ⋅ (2 − (−2)) 
16 = 𝐸𝑋 ⋅ 4 
𝐸𝑋 = 4 𝑉/𝑚 
Para a componente vertical: 
𝑉𝐷 − 𝑉𝐵 = 𝐸𝑦 ⋅ (𝑥𝐷 − 𝑥𝐵) 
24 − 12 = 𝐸𝑦 ⋅ (2 − (−2)) 
12 = 𝐸𝑦 ⋅ 4 
𝐸𝑦 = 3 𝑉/𝑚 
Finalmente, devemos usar a relação de Pitágoras para determinar o módulo do campo 
elétrico resultante: 
𝐸2 = (𝐸𝑥)2 + (𝐸𝑦)
2
 
𝐸2 = (4)2 + (3)2 
𝐸 = 5,0 𝑉/𝑚 
Gabarito: “b”. 
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5.4 - POTENCIAL ELÉTRICO GERADO POR VÁRIAS CARGAS PUNTIFORMES 
Sejam 𝑛 cargas elétricas gerando um campo elétrico em um dado ponto 𝑃 do espaço. Cada 
uma das cargas gera um potencial em 𝑃 dado por: 
𝑉1 = 𝐾
𝑄1
𝑟1
, 𝑉2 = 𝐾
𝑄2
𝑟2
, … , 𝑉𝑖 = 𝐾
𝑄𝑖
𝑟𝑖
, … , 𝑉𝑛 = 𝐾
𝑄𝑛
𝑟𝑛
 
 
Pelo Princípio da Superposição, temos que o potencial elétrico resultante é dado pela soma 
algébrica dos potenciais parciais: 
𝑉𝑟𝑒𝑠 = 𝑉1 + 𝑉2 + ⋯ + 𝑉𝑛 
𝑉𝑟𝑒𝑠 = 𝐾
𝑄1
𝑟1
+ 𝐾
𝑄2
𝑟2
+ ⋯ + 𝐾
𝑄𝑛
𝑟𝑛
 
𝑉𝑟𝑒𝑠 = 𝐾 (
𝑄1
𝑟1
+
𝑄2
𝑟2
+ ⋯ +
𝑄𝑛
𝑟𝑛
) 
 Finalmente: 
𝑉𝑟𝑒𝑠 = 𝐾 (
𝑄1
𝑟1
+
𝑄2
𝑟2
+ ⋯ +
𝑄𝑛
𝑟𝑛
) 
 
(2019/QUESTÃO) 
O gráfico abaixo mostra o potencial gerado por uma carga elétrica puntiforme, em função da 
distância. 
 
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Calcule: 
a) o potencial elétrico 𝑉. 
b) a distância 𝑑. 
Comentários: 
a) Vamos pegar dois pontos do gráfico de forma estratégica: 
{
𝑉(2) =
𝐾𝑄
2
= 80
𝑉(1) =
𝐾𝑄
1
= 𝑉
 
Portanto: 
𝑉
80
=
𝐾𝑄
1
𝐾𝑄
2
 
𝑉
80
=
𝐾𝑄
1
𝐾𝑄
2
 
𝑉 = 80 ⋅ 2 = 160 𝑉 
b) novamente, podemos repetir a ideia e pegar dois pontos estratégicos: 
{
𝑉(2) =
𝐾𝑄
2
= 80
𝑉(𝑑) =
𝐾𝑄
𝑑
= 20
 
Logo: 
𝐾𝑄
2
𝐾𝑄
𝑑
=
80
20
 
𝑑 = 4 ⋅ 2 = 8 𝑚 
 Gabarito: a) 𝑽 = 𝟏𝟔𝟎 𝑽 b) 𝒅 = 𝟖 𝒎. 
(2019/QUESTÃO) 
Determine a razão 𝑎/𝑏 para que o potencial resultante seja nulo no ponto 𝑃. 
 
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Comentários: 
𝑉𝑃 = 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 
Como queremos 𝑉𝑃 = 0, então: 
0 = 𝐾
𝑄𝐴
𝑟𝐴
+ 𝐾
(−𝑄𝐵)
𝑟𝐵
 
𝐾
(𝑄𝐵)
𝑟𝐵
= 𝐾
𝑄𝐴
𝑟𝐴
 
𝐾
(𝑄𝐵)
𝑟𝐵
= 𝐾
𝑄𝐴
𝑟𝐴
 
(𝑄𝐵)
𝑟𝐵
=
𝑄𝐴
𝑟𝐴
 
𝑟𝐴
𝑟𝐵
=
𝑄𝐴
𝑄𝐵
 
𝑎
𝑏
=
3
4
 
Gabarito: 𝒂/𝒃 = 𝟑/𝟒. 
(2019/QUESTÃO) 
Considere duas cargas elétricas puntiformes fixas em 𝐴 e 𝐵 sobre um segmento orientado 𝑥, como 
na figura: 
 
Determine as abscissas onde o potencial é nulo. 
Comentários: 
Podemos escrever os potenciais para cada carga da seguinte forma: 
𝑉𝐴 = 𝐾
𝑄𝐴
𝑟𝐴
 𝑒 𝑉𝐵 = 𝐾
𝑄𝐵
𝑟𝐵
 
Desenvolvendo as expressões: 
𝑉𝐴 = 𝐾.
3𝜇𝐶
𝑟𝐴
 𝑒 𝑉𝐵 = 𝐾.
(−4𝜇𝐶)
𝑟𝐵
 
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Repare que em módulo, o numerador de 𝑉𝐵 > 𝑉𝐴, portanto, devem existir pontos próximos 
de 𝑄𝐴, onde a distância 𝑟𝐴 é menor, para que 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0. Vamos supor um ponto 𝑃1 a direita de A 
onde o potencial é nulo, então: 
 
Para que o potencial elétrico no ponto 𝑃1 seja nulo, temos: 
𝑉𝑃1
= 0 ⇒ 𝐾.
3𝜇𝐶
𝑥1
+ 𝐾
(−4𝜇𝐶)
𝑑 − 𝑥1
= 0 
3
𝑥1
=
4
𝑑 − 𝑥1
 
𝑥1 =
3𝑑
7
=
3
7
∙ 7 = 3 𝑚 
Agora, vamos procurar um ponto 𝑃2 à esquerda de 𝐴, no qual o potencial elétrico também 
seja nulo: 
 
Para que o potencial elétrico no ponto 𝑃1 seja nulo, devemos ter: 
𝑉𝑃2
= 0 ⇒ 𝐾.
3𝜇𝐶
|𝑥2|
+ 𝐾
(−4𝜇𝐶)
𝑑 + |𝑥2|
= 0 
3𝑑 + 3|𝑥2| = 4|𝑥2| 
|𝑥2| = 3𝑑 = 21 𝑚 
Como a abscissa 𝑥2 está à esquerda da origem do segmento orientado, sabemos 𝑥2 < 0. 
Portanto: 
𝑥2 = −21 𝑚 
Gabarito: 𝒙𝟏 = 𝟑 𝒎 𝒆 𝒙𝟐 = −𝟐𝟏 𝒎. 
5.5 - AS PROPRIEDADES DO POTENCIAL ELÉTRICO 
As linhas de força do campo elétrico orientam-se do maior para o menor potencial. 
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Figura 15.43: Linha de força de um campo elétrico qualquer. 
Se desejarmos levar uma carga elétrica positiva 𝑞 > 0 de 1 para 2, sabemos que o trabalho 
realizado pela força elétrica é positivo, pois a força elétrica tem a mesma direção do deslocamento: 
𝑊1→2 = 𝑞. (𝑉1 − 𝑉2) 
Como 𝑊1→2 > 0 e 𝑞 > 0, então 𝑉1 − 𝑉2 > 0, logo: 
𝑉1 > 𝑉2 
 Também é importante destacar que as linhas de força de um campo elétrico não podem sair 
e retornar ao mesmo ponto, isto é, as linhas de campo gerado por uma carga elétrica em repouso 
não podem ser linhas fechadas. 
Se tomarmos um ponto 𝑃 e percorrermos no sentido da linha de força, de acordo com a 
propriedade anterior, os potenciais seriam cada vez menor que os anteriores. Desse modo, quando 
retornamos ao ponto 𝑃 (a linha de força é fechada), o potencial em 𝑃 seria menor que o inicial. 
Claramente, chegamos a um absurdo. 
5.6 - SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS 
Chamamos de superfícies equipotenciais o lugar geométrico dos pontos que apresentam um 
mesmo potencial elétrico. Exemplo: seja a carga puntiforme 𝑞 > 0, em repouso, criando um campo 
elétrico, onde as linhas de força são representadas na figura abaixo: 
 
Figura 15.44: Campo elétrico de uma carga positiva tem direção radial, "saindo" da carga. 
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Dado que o potencial de uma carga puntiforme é dado por: 
𝑉 = 𝐾 ⋅
𝑞
𝑟
 
Quando ponto do espaço a uma distância 𝑟1 bem definida terá o mesmo potencial. Em outras 
palavras, criamos uma superfície esférica de centro em 𝒒 e raio 𝒓𝟏. Nessa superfície, teremos o 
mesmo potencial em todos os pontos. 
 
Figura 15.45: Superfície esférica equipotencial a uma distância 𝒓𝟏. 
Quando variamos a distância 𝑟 em relação à carga 𝑞, estamos criando várias superfícies 
esféricas equipotenciais. Dizemos que geramos uma família de superfícies equipotenciais. 
 
Figura 15.46: Família de superfícies equipotenciais. 
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Em uma superfície equipotencial, o trabalho da força elétrica ao longo de um deslocamentoé nulo. 
Saiba também que as superfícies equipotenciais são ortogonais ao vetor campo elétrico, �⃗⃗�. 
 
Figura 15.47: Superfície equipotencial ortogonal ao vetor �⃗⃗⃗�. 
Existem exemplos de aplicações de superfícies equipotenciais perpendiculares as linhas de 
campo que costumam ser cobrados em prova. O primeiro é o campo elétrico uniforme. 
Nesse caso, sabemos que as linhas de força constituem um feixe de retas paralelas e, 
portanto, as superfícies equipotenciais são planos perpendiculares as retas. 
 
Figura 15.48: Linhas de campo perpendiculares às superfícies equipotenciais. 
Para um campo gerado por carga puntiforme, sabemos que as linhas de força nesse caso são 
radiais para fora (𝑞 > 0), portanto, as superfícies equipotenciais são superfícies esféricas centradas 
na carga geradora do campo. 
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Figura 15.49: Superfícies equipotenciais geradas por uma carga puntiforme positiva. 
(UFCE) 
Considere três partículas de mesma massa 𝑀, eletricamente carregadas e dispostas no plano 𝑋 − 𝑌, 
como mostra a figura. 
 
Duas delas, ambas com carga positiva +𝑄, estão fixadas, uma na posição (−3,0) e a outra na posição 
(3,0). A terceira, de carga negativa −𝑄 e originalmente na posição (0,4), quando abandonada 
desloca-se ao longo do eixo 𝑌 devido à ação das partículas fixas, positivamente carregadas. Sabendo 
que |+𝑄| = |−𝑄| = 5 × 10−6𝐶, 𝑀 = 1,2 × 10−3𝑘𝑔 e 𝐾0 = 9 × 109𝑁𝑚2/𝐶2, determine o módulo 
da velocidade, em 𝑚/𝑠, com a qual a partícula de carga −𝑄 passa pela origem (0,0). Despreze 
atritos e efeitos de forças gravitacionais. 
Comentários: 
Devido ao fato de somente agir no corpo a força elétrica e sabendo que essa força e 
conservativa, podemos utilizar o teorema da enérgica cinética. 
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𝑊𝐹𝑅𝑒𝑠
= Δ𝐸𝑐 
Como a resultante é a força elétrica, temos que: 
𝑊𝐹𝑒𝑙𝑒
= (−𝑄). (𝑉(0,4) − 𝑉(0,0)) 
O potencial no ponto (0,4) é dado por: 
𝑉(0,4) = 𝐾0
𝑄
√(−3 − 0)2 + (0 − 4)2
+ 𝐾0
𝑄
√(3 − 0)2 + (0 − 4)2
 
𝑉(0,4) = 2.9 ⋅ 109 ⋅
5 ⋅ 10−6
5
= 18 ⋅ 103𝑉 
Já no ponto (0,0): 
𝑉(0,0) = 2.9 ⋅ 109 ⋅
5 ⋅ 10−6
3
= 30 ⋅ 103𝑉 
Portanto, utilizando o teorema, lembrando que a carga é abandonada no ponto (0,4), temos: 
(−5 ⋅ 10−6) ⋅ (18 ⋅ 103 − 30 ⋅ 103) =
1
2
⋅ 1,2 ⋅ 10−3 ⋅ 𝑣2 
𝑣2 = 100 ⇒ 𝑣 = 10 𝑚/𝑠 
Gabarito: 𝒗 = 𝟏𝟎 𝒎/𝒔. 
(FUVEST) 
Duas cargas −𝑞 distam 𝑎 do ponto 𝐴, como indicado na figura. 
 
a) A que distância de A, sobre a reta 𝐴𝑥, devemos colocar uma carga +𝑞 para que o potencial 
eletrostático em 𝐴 seja nulo? 
b) É este o único ponto do plano da figura em que a carga +𝑞 pode ser colocada para anular o 
potencial em 𝐴? Justifique a resposta. 
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Comentários: 
a) O potencial elétrico gerado pelas cargas −𝑞 em 𝐴 são dados por: 
𝑉1 = 𝐾
(−𝑞)
𝑎
 𝑒 𝑉2 = 𝐾
(−𝑞)
𝑎
 
𝑉1 + 𝑉2 = −2𝐾
𝑞
𝑎
 
Assim, devemos colocar uma carga +𝑞 a uma distância 𝑑 igual a: 
𝑉𝐴 = 0 
𝐾
𝑞
𝑑
− 2𝐾
𝑞
𝑎
= 0 
𝑑 =
𝑎
2
 
b) Quando fomos encontrar a distância 𝑑 sobre a reta 𝐴𝑥 onde o potencial é nulo, nós não 
restringimos apenas para pontos na reta 𝐴𝑥. Apenas colocamos a carga +𝑞 a uma distância 𝑑, pois 
dessa forma garantimos que o potencial em 𝐴 será nulo. Dessa forma, basta que a carga +𝑞 esteja 
a uma distância 𝑑 do ponto 𝐴 que o potencial em 𝐴 será nulo. Em outras palavras, qualquer ponto 
da circunferência, com centro em 𝐴 e raio 𝑑 =
𝑎
2
, fará com que a carga +𝑞 anule o potencial elétrico 
em 𝐴. 
Portanto, o ponto encontrado no item a) não é único. O lugar geométrico dos pontos onde 
podemos colocar a carga +𝑞 para zerar o potencial em 𝐴 é uma circunferência centrada em 𝐴 e raio 
𝑑 =
𝑎
2
. 
Gabarito: a) 𝒅 = 𝒂/𝟐 b) Não. Qualquer ponto que faça parte da circunferência centrada em 
A e de raio 𝒅 = 𝒂/𝟐 fará com que a carga +𝒒 anule o potencial elétrico em 𝑨. 
5.7 - POTENCIAL DE UM CONDUTOR ESFÉRICO 
O campo elétrico de um condutor esférico para regiões externas, isto é, pontos fora da esfera, 
se passa como se o campo fosse gerado por uma carga puntiforme colocada no centro da esfera. 
Dessa forma, para pontos exteriores da esfera ocorrerá o mesmo para o potencial: 
𝑉𝑃 = 𝐾 ⋅
𝑞
𝑟
 
 
Figura 15.50: Potencial elétrico de um condutor esférico em função da distância ao centro dela. 
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Pode-se demonstrar que para pontos na superfície do condutor, o potencial é dado por: 
𝑉𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = 𝐾 ⋅
𝑞
𝑅
 
Como vimos agora a pouco, o potencial é o mesmo em qualquer ponto da esfera, portanto: 
𝑉𝑒𝑠𝑓 = 𝑉𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = 𝐾 ⋅
𝑞
𝑅
 
Assim, temos os seguintes gráficos para os potenciais das esferas condutoras em função da 
distância: 
 
Figura 15.51: Potencial elétrico de um condutor esférico carregado com carga elétrica positiva em função da distância. 
 
Figura 15.52: Potencial elétrico de um condutor esférico carregado com carga elétrica negativa em função da distância. 
Embora tenhamos tirados conclusões para um condutor carregado, isolado e em equilíbrio 
eletrostático, podemos tomar como validas para cargas uniformemente distribuídas em uma 
superfície esférica qualquer, ainda que a superfície externa seja de um material isolante. 
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Não podemos esquecer que o campo elétrico de condutor carregado e em equilíbrio 
eletrostático é dado por: 
 
Figura 15.53: Campo elétrico em função da distância de um condutor carregado e em equilíbrio eletrostático. 
 
5.8 - O POTENCIAL DA TERRA 
A Terra pode ser considerada um grande condutor esférico negativamente eletrizada com 
carga próxima de -580 000 C. Quando ligamos à Terra um condutor carregado negativamente, 
notamos que haverá fluxo de elétrons do condutor para a Terra, até o momento em que se anule a 
carga elétrica do corpo. Como visto anteriormente, os elétrons procuram, espontaneamente, 
potenciais maiores. 
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Figura 15.54: Carga negativa ligada à Terra. 
No momento em que o condutor se neutralizar, seu potencial será o mesmo que o da Terra. 
Em contrapartida, quando ligamos à Terra um condutor carregado positivamente, notamos que 
haverá fluxo de elétrons da Terra para o condutor, até o momento em que se anule a carga elétrica 
do corpo. Novamente, os elétrons (cargas negativas) procuram, espontaneamente, potenciais 
maiores. 
 
Figura 15.55: Carga positiva ligada à Terra. 
Da mesma forma, quando o condutor se neutralizar, seu potencial será o mesmo que o da 
Terra. Sendo assim, é muito importante para o homem usar ligações à Terra para descarregar os 
corpos. Utilizamos esse artificio para descarregar corpos que foram atingidos por raios, por exemplo. 
Em vias de regra, sempre que ligamos um corpo metálico à Terra, asseguramos que o seu potencial 
elétrico se anule. 
(UNICAMP) 
Duas esferas condutoras A e B distantes possuem o mesmo raio 𝑅 e estão carregadas com cargas 
𝑄𝐴 = −𝑞 e 𝑄𝐵 = +2𝑞, respectivamente. Uma terceira esfera condutora C, de mesmo raio 𝑅 porém 
descarregada, é trazida desde longe e é levada a tocar primeiramente a esfera A, depois a esfera B 
e em seguida é levada novamente para longe. 
a) qual é a diferença de potencial entre as esferas A e B antes de a esfera C tocá-las? 
b) qual é a carga final da esfera C? 
Comentários: 
a) antesdo contato, os potenciais são: 
𝑉𝐴 = 𝐾 ⋅
𝑞𝐴
𝑟𝐴
= −𝐾 ⋅
𝑞
𝑅
 
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E para a esfera B: 
𝑉𝐵 = 𝐾 ⋅
𝑞𝐵
𝑟𝐵
= +2 ⋅ 𝐾 ⋅
𝑞
𝑅
 
Portanto, a diferença de potencial 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 é de: 
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = −𝐾 ⋅
𝑞
𝑅
− 2 ⋅ 𝐾 ⋅
𝑞
𝑅
= −3 ⋅ 𝐾 ⋅
𝑞
𝑅
 
b) A carga da esfera C quando entra em contato com a esfera A é: 
𝑄𝐶
′ = 𝑅𝐶 (
𝑄𝐴 + 𝑄𝐶
𝑅𝐴 + 𝑅𝐶
) = 𝑅 (
−𝑞 + 0
𝑅 + 𝑅
) = −
𝑞
2
 
E quando a Esfera C, carregada com carga −
𝑞
2
, é colocada em contato com B: 
(𝑄𝐶)𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑅𝐶 (
𝑄𝐶
′ + 𝑄𝐵
𝑅𝐶 + 𝑅𝐵
) = 𝑅 (
−
𝑞
2
+ 2𝑞
𝑅 + 𝑅
) =
3
4
𝑞 
 Gabarito: a) 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩 = −𝟑 ⋅ 𝑲 ⋅
𝒒
𝑹
 e b) (𝑸𝑪)𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 =
𝟑
𝟒
𝒒 
(PUC – SP) 
O sistema de condutores perfeitos da figura consta de duas esferas de raios 𝑟1 = 𝑎 e 𝑟2 = 2𝑎, 
interligados por um fio condutor de capacidade nula. Quando o sistema é eletrizado com carga 
positiva 𝑄, após o equilíbrio eletrostático ser alcançado, o condutor de raio 𝑟1 apresenta densidade 
superficial de carga 𝜎1 e o de raio 𝑟2 apresenta densidade superficial de carga 𝜎2. Nessa situação, a 
relação 𝜎1/𝜎2 vale: 
 
a) zero b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 
Comentários: 
Os dois condutores possuem o mesmo potencial após o equilíbrio eletrostático: 
𝑉1 = 𝑉2 ⇒ 𝐾
𝑄1
𝑟1
= 𝐾
𝑄2
𝑟2
⇒
𝑄1
𝑄2
=
𝑟1
𝑟2
 
As densidades superficiais de carga são dadas pela razão entre a carga e a área superficial: 
𝜎1 =
𝑄1
4𝜋𝑟1
2 𝑒 𝜎2 =
𝑄2
4𝜋𝑟2
2 
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Portanto a razão entre as duas será de: 
𝜎1
𝜎2
=
𝑄1
4𝜋𝑟1
2
𝑄2
4𝜋𝑟2
2
=
𝑄1 ∙ 𝑟2
2
𝑄2 ∙ 𝑟1
2 
Mas como 
𝑄1
𝑄2
=
𝑟1
𝑟2
, então: 
𝜎1
𝜎2
=
𝑟1 ∙ 𝑟2
2
𝑟2 ∙ 𝑟1
2 
Finalmente: 
𝜎1
𝜎2
=
𝑟2
𝑟1
 
Com isso, vemos que se 𝑟2 > 𝑟1, a esfera de raio menor possui maior densidade de cargas. 
Este fato evidencia nosso resultado acerca do poder das pontas: 
Se tomarmos um condutor não esférico, as cargas em excesso concentram-se mais nas regiões de 
menores raios de curvatura. 
Para o nosso caso, 𝑟1 = 𝑎 e 𝑟2 = 2𝑎, logo: 
𝜎1
𝜎2
=
𝑟2
𝑟1
=
2𝑎
𝑎
⇒
𝜎1
𝜎2
= 2 
Gabarito: “e”. 
 
 
 
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6 - RESUMO DA AULA EM MAPAS MENTAIS 
 Atenção: use o(s) mapa(as) mental(ais) como forma de fixar o conteúdo e para 
consulta durante a resolução das questões, não tente decorar as fórmulas específicas para 
cada situação, ao invés disso entenda como deduzi-las. 
 Tente elaborar os seus mapas mentais, eles serão de muito mais fácil assimilação do 
que um montado por outra pessoa. Além disso, leia um mapa mental a partir da parte 
superior direita, e siga em sentido horário. 
 
 
 
 
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7 - LISTA DE QUESTÕES 
7.1 - JÁ CAIU NA FUVEST 
1. (2019/FUVEST) 
Três pequenas esferas carregadas com carga positiva 𝑄 ocupam os vértices de um triângulo, 
como mostra a figura. Na parte interna do triângulo, está afixada outra pequena esfera, com 
carga negativa q. As distâncias dessa carga às outras três podem ser obtidas a partir da figura. 
 
Sendo 𝑄 = 2 𝑥 10−4 𝐶, 𝑞 = −2 𝑥 10−5 𝐶 e 𝑑 = 6 𝑚, a força elétrica resultante sobre a 
carga 𝑞 
a) é nula. 
b) tem direção do eixo 𝑦, sentido para baixo e módulo 1,8 𝑁. 
c) tem direção do eixo 𝑦, sentido para cima e módulo 1,0 𝑁. 
d) tem direção do eixo 𝑦, sentido para baixo e módulo 1,0 𝑁. 
e) tem direção do eixo 𝑦, sentido para cima e módulo 0,3 𝑁. 
Note e adote: 
A constante 𝑘0 da Lei de Coulomb vale 9 ⋅ 109 𝑁𝑚2/𝐶2 
 
2. (2015/FUVEST) 
Três grandes placas 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3, com, respectivamente, cargas +𝑄, −𝑄 e +2𝑄, geram campos 
elétricos uniformes em certas regiões do espaço. A figura 1 abaixo mostra intensidade, direção 
e sentido dos campos criados pelas respectivas placas 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3, quando vistas de perfil. 
Colocando-se as placas próximas, separadas pela distância D indicada, o campo elétrico 
resultante, gerado pelas três placas em conjunto, é representado por: 
 
Nota: onde não há indicação, o campo elétrico é nulo. 
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a) b) c) 
d) e) 
 
3. (2007/FUVEST) 
Duas barras isolantes, A e B, iguais, colocadas sobre uma mesa, têm em suas extremidades, 
esferas com cargas elétricas de módulos iguais e sinais opostos. A barra A é fixa, mas a barra B 
pode girar livremente em torno de seu centro O, que permanece fixo. Nas situações I e II, a 
barra B foi colocada em equilíbrio, em posições opostas. Para cada uma dessas duas situações, 
o equilíbrio da barra B pode ser considerado como sendo, respectivamente, 
 
SITUAÇÕES DE EQUILÍBRIO - após o sistema ser levemente deslocado de sua posição inicial. 
Estável = tende a retornar ao equilíbrio inicial. 
Instável = tende a afastar-se do equilíbrio inicial. 
Indiferente = permanece em equilíbrio na nova posição. 
a) indiferente e instável. b) instável e instável. 
c) estável e indiferente. d) estável e estável. 
e) estável e instável. 
 
4. (1997/FUVEST) 
Duas cargas pontuais positivas 𝑞1 e 𝑞2 = 4𝑞1 são fixadas a uma distância d uma da outra. Uma 
terceira carga negativa 𝑞3 é colocada no ponto 𝑃, com 𝑞1 e 𝑞2, a uma distância 𝑥 da carga 𝑞1, 
conforme mostra a figura. 
 
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a) Calcule o valor de 𝑥 para que a força eletrostática resultante sobre a carga 𝑞3 seja nula. 
b) Verifique se existe um valor de 𝑞3 para o qual tanto a carga 𝑞1 como a 𝑞2, permanecem em 
equilíbrio, nas posições do item a, sem a necessidade de nenhuma outra força além das 
eletrostáticas entre as cargas. Caso exista, calcule este valor 𝑞3. 
 
5. (1997/FUVEST) 
Quando se aproxima um bastão B, eletrizado positivamente, de uma esfera metálica, isolada e 
inicialmente descarregada, observa-se a distribuição de cargas representada na Figura 1. 
 
Mantendo o bastão na mesma posição, a esfera é conectada à terra por um fio condutor que 
pode ser ligado a um dos pontos P, R ou S da superfície da esfera. Indicando por (→) o sentido 
do fluxo transitório (∅) de elétrons (se houver) e por (+), (–) ou (0) o sinal da carga final (Q) da 
esfera, o esquema que representa ∅ e Q é 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
6. (1996/FUVEST) 
O Módulo 𝐹 da força eletrostática entre duas cargas elétricas pontuais 𝑞1 e 𝑞2, separadas por 
uma distância d, é 𝐹 = 𝑘
|𝑞1||𝑞2|
𝑑2
 onde 𝑘 é uma constante. Considere as três cargas pontuais 
representadas adiante por +𝑄, − 𝑄 e 𝑞. o Módulo da força eletrostática total que age sobre a 
carga 𝑞 será? 
 
𝑎) 
2𝑘𝑄𝑞
𝑅2
 𝑏) 
√3𝑘𝑄𝑞
𝑅2
 𝑐) 
𝑘𝑄2𝑞
𝑅2
 𝑑) [
√3
2
]
𝑘𝑄𝑞
𝑅2
 𝑒) [
√3
2
]
𝑘𝑄2𝑞
𝑅2
 
 
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7. (1996/FUVEST) 
Aproximando-se uma barra eletrizada de duas esferas condutoras, inicialmente descarregadas 
e encostadas uma na outra, observa-se a distribuição de cargas esquematizada na figura 
abaixo. 
 
Em seguida, sem tirar do lugar a barra eletrizada, afasta-se um pouco uma esfera da outra. 
Finalmente, sem mexer mais nas esferas, remove-se a barra, levando-a para muito longe das 
esferas. Nessa situação final, a figura que melhor representa a distribuição de cargas nasduas 
esferas é: 
a)
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
8. (1995/FUVEST) 
Um sistema formado por três cargas puntiformes iguais, colocadas em repouso nos vértices de 
um triangulo equilátero, tem energia potencial eletrostática igual a 𝑈. Substitui-se uma das 
cargas por outra, na mesma posição, mas com o dobro do valor. A energia potencial 
eletrostática do novo sistema será igual a: 
𝑎) 
4
3
𝑈 𝑏) 
3
2
𝑈 𝑐) 
5
3
𝑈 𝑑) 2𝑈 𝑒) 3𝑈 
 
9. (1993/FUVEST) 
Dispõe-se de uma placa metálica M e de uma esferinha metálica P, suspensa por um fio 
isolante, inicialmente neutras e isoladas. Um feixe de luz violeta é lançado sobre a placa 
retirando partículas elementares da mesma. As figuras (1) a (4) adiante, ilustram o desenrolar 
dos fenômenos ocorridos. 
 
Podemos afirmar que na situação (4): 
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a) M e P estão eletrizadas positivamente. 
b) M está negativa e P Neutra. 
c) M está neutra e P positivamente eletrizada 
d) M e P estão eletrizadas negativamente 
e) M e P foram eletrizadas por indução. 
 
10. (1992/FUVEST) 
Têm-se 3 esferas condutoras idênticas A, B e C. As esferas A (positiva) e B (negativa) estão 
eletrizadas com cargas de mesmo módulo 𝑄, e a esfera C está inicialmente neutra. São 
realizadas as seguintes operações: 
1) toca-se C em B, com A mantida a distância, e em seguida separa-se C de B; 
2) toca-se C em A, com B mantida a distância, e em seguida separa-se C de A; 
3) toca-se A em B, com C mantida a distância, e em seguida separa-se A de B, 
Podemos afirmar que a carga final da esfera A vale: 
a) zero b) +
𝑄
2
 c) −
𝑄
4
 d) +
𝑄
6
 e) −
𝑄
8
 
 
11. (1990/FUVEST) 
Uma esfera condutora A, de peso P, eletrizada positivamente é presa a um fio isolante que 
passa por uma roldana. A esfera se aproxima de B, com velocidade constante, de uma esfera 
B, idêntica a interior, mas neutra isolada. A esfera A toca em B e, em seguida é puxada para 
cima, com velocidade também constante. 
 
Quando A passa pelo ponto M, a tração no fio é 𝑇1 na descida e 𝑇2 na subida. Podemos afirmar 
que: 
a) 𝑇1 < 𝑇2 < 𝑃 b) 𝑇1 < 𝑃 < 𝑇2 c) 𝑇2 < 𝑇1 < 𝑃 d) 𝑇2 < 𝑃 < 𝑇1 e) 𝑃 < 𝑇1 < 𝑇2 
 
12. (1987/FUVEST) 
Uma gotícula de água, com massa 𝑚 = 0,80 ⋅ 10⁻⁹ 𝑘𝑔, eletrizada com carga 𝑞 = 16 ⋅ 10⁻¹⁹ 
está em equilíbrio no interior de um capacitor de placas paralelas e horizontais, conforme 
esquema abaixo. 
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Nestas circunstâncias, o valor do campo elétrico entre as placas é: 
a) 5 × 109 𝑁/𝐶 b) 2 × 10−10 𝑁/𝐶 c) 12,8 × 10−29 𝑁/𝐶 
d) 2 × 10−11 𝑁/𝐶 e) 5 × 108 𝑁/𝐶 
 
13. (FUVEST) 
A figura representa algumas superfícies equipotenciais de um campo eletrostático e os valores 
dos potenciais correspondentes. 
 
a) Copie a figura, representando o vetor campo elétrico nos pontos a e b. 
b) Qual é o trabalho realizado pela força elétrica para levar uma carga 𝑞, de 2 × 10–6𝐶, do 
ponto a ao ponto b? 
 
7.2 - JÁ CAIU NOS PRINCIPAIS VESTIBULARES 
1. (2018/UNESP) 
Suponha uma pequeníssima esfera contendo 12 nêutrons, 11 prótons e 10 elétrons, ao redor 
da qual gira um elétron a 1,6 ⋅ 10−10 𝑚 de seu centro, no vácuo. 
Considerando a carga elementar 𝑒 = 1,6 ⋅ 10−19 𝐶 e a constante eletrostática do vácuo 𝐾0 =
9 ⋅ 109 𝑁 ⋅ 𝑚2/𝐶2, a intensidade da força elétrica entre a esfera e o elétron é 
a) 5,6 ⋅ 10−10 𝑁. b) 9,0 ⋅ 10−9 𝑁. c) 1,4 ⋅ 10−9 𝑁. 
d) 1,4 ⋅ 10−12 𝑁. e) 9,0 ⋅ 10−12 𝑁. 
 
2. (2017/UNESP) 
Três esferas puntiformes, eletrizadas com cargas elétricas 𝑞1 = 𝑞2 = +𝑄 e 𝑞3 =– 2𝑄, estão 
fixas e dispostas sobre uma circunferência de raio 𝑟 e centro 𝐶, em uma região onde a 
constante eletrostática é igual a 𝑘0, conforme representado na figura. 
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Considere 𝑉𝐶 o potencial eletrostático e 𝐸𝐶 o módulo do campo elétrico no ponto C devido às 
três cargas. Os valores de 𝑉𝐶 e 𝐸𝐶 são, respectivamente, 
a) zero e 
4 ⋅ 𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟2
 
b) 
4 ⋅ 𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟
 e 
𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟2
 
c) zero e zero 
d) 
2 ⋅ 𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟
 e 
2 ⋅ 𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟2
 
e) zero e 
2 ⋅ 𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟2
 
 
3. (AFA) 
Duas esferas condutoras idênticas muito pequenas, de mesma massa 𝑚 = 0,4 𝑔, encontram-
se no vácuo, suspensas por meio de dois fios leves, isolantes, de comprimentos iguais a 𝐿 =
1,00 𝑚, presos a um mesmo ponto de suspensão 𝑂. 
 
Estando as esferas separadas, eletriza-se uma delas com carga 𝑄, mantendo-se a outra neutra. 
Em seguida, elas são colocadas em contato e, depois, abandonadas, verificando-se que na 
posição de equilíbrio a distância entre elas é 𝑑 = 1,20 𝑚. Considere 𝑄 > 0. 
Nessa situação, o valor de 𝑄 é? 
Dados: 𝑔 = 10𝑚/𝑠2 e 𝐾 = 9 × 109𝑁𝑚2/𝐶2 
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4. (2015/UNESP) 
Em um experimento de eletrostática, um estudante dispunha de três esferas metálicas 
idênticas, A, B e C, eletrizadas, no ar, com cargas elétricas 5𝑄, 3𝑄 e – 2𝑄, respectivamente. 
 
Utilizando luvas de borracha, o estudante coloca as três esferas simultaneamente em contato 
e, depois de separá-las, suspende A e C por fios de seda, mantendo-as próximas. Verifica, 
então, que elas interagem eletricamente, permanecendo em equilíbrio estático a uma 
distância d uma da outra. Sendo k a constante eletrostática do ar, assinale a alternativa que 
contém a correta representação da configuração de equilíbrio envolvendo as esferas A e C e a 
intensidade da força de interação elétrica entre elas. 
 
 
 
 
5. (1998/UNICAMP) 
Considere uma esfera de massa 𝑚 e carga 𝑞 pendurada no teto e sob a ação da gravidade e do 
campo elétrico E como indicado na figura a seguir. 
 
a) Qual é o sinal da carga 𝑞? Justifique sua resposta. 
b) Qual é o valor do ângulo 𝜃 no equilíbrio. 
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6. (FEI-SP/MODIFICADA) 
Duas esferas condutoras concêntricas A e B possuem raios 𝑅1 = 10 𝑐𝑚, 𝑅2 = 20 𝑐𝑚 e 𝑅3 =
25 𝑐𝑚 e estão eletrizadas de forma que a diferença de potencial entre elas é 𝑉𝐴 – 𝑉𝐵 = 9 𝑘𝑉 
e a carga total da esfera 𝐵 é de 0,3 𝜇𝐶. Determine as cargas 𝑄1, 𝑄2 e 𝑄3 existentes nas 
superfícies dessas esferas. 
Dado: 𝐾 = 9 ⋅ 109 𝑁𝑚2𝐶–2. 
OBS: o meio entre as esferas é o vácuo. 
 
 
7. (2005/MACKENZIE) 
Uma partícula de massa igual a 2cg e carga de +1𝜇𝐶 é lançada com velocidade de 300 𝑚/𝑠, 
em direção a uma carga fixa de +3 𝜇𝐶. O lançamento é feito no vácuo de um ponto bastante 
afastado da carga fixa. Desprezando ações gravitacionais, qual a mínima distância entre as 
cargas? 
Adote: 𝐾0 = 9,0 × 109 𝑁. 𝑚2/𝐶2. 
 
8. (1975/UnB) 
Qualquer que seja a situação física envolvendo campo elétrico e potencial elétrico, podemos 
afirmar que: 
a) quando o campo elétrico for nulo num ponto, o potencial necessariamente também o será; 
b) quando o campo elétrico for diferente de zero num ponto, o potencial necessariamente 
também o será; 
c) quando o campo elétrico for constante numa região, o potencial necessariamente também 
o será; 
d) quando o campo elétrico for nulo numa região, o potencial será necessariamente constante 
nessa região. 
 
9. (1975/UnB) 
Na figura ao lado vemos uma pequena esfera metálica de carga 𝑞, presa à extremidade inferior 
de uma haste de vidro e situada entre duas placas condutoras. A extremidade superior da haste 
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está presa a uma mola e todo o sistema pode oscilar verticalmente. A diferença de potencial 
entre as placas é 𝑉12. A mola fica: 
 
a) comprimida quando q < 0 e V1 2 < 0; 
b) comprimida quando q = 0 e V1 2 > 0; 
c) distendida quando q > 0 e V1 2 < 0; 
d) nenhuma dessas. 
 
10. (E. Naval) 
𝐴, 𝐵 e 𝐶 são os vértices de um triângulo equilátero de 3 metros de lado e 𝐷 é o ponto médio 
do lado 𝐵𝐶. Em cada um dos vértices 𝐵 e 𝐶 há uma carga elétrica puntiforme, positiva, fixa, de 
1,0 nanocoulomb (1 𝑛𝑎𝑛𝑜 = 10−9). Uma terceira carga, puntiforme, positiva, de 1,0 
nanocoulomb é lançada, com energia cinética de 10 nanojoules, do vértice 𝐴 em direção ao 
ponto 𝐷. Considerando que a constante eletrostática do meio (vácuo) seja 9 × 109 uSI e que 
as únicas forças atuantes na carga móvel sejam as decorrentes da interação elétrica com as 
duas cargas fixas mencionadas, a energia cinética da carga móvel, em nanojoules, ao passar 
pelo ponto 𝐷 é: 
a) 0 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16 
 
11. (1975/ITA) 
Três cargas 𝑞1 e 𝑞2 (iguais e positivas) e 𝑞3, estão dispostas conforme a figura. Calcule a relação 
entre 𝑞3 e 𝑞1 para que o campo elétrico na origem do sistema seja paralelo a 𝑦. 
a) −
5
4
 
b) 
5√2
8
 
c) −
3
4
 
d) 
4
3
 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
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12. (1985/ITA) 
Considere um campo eletrostático cujas linhas de força são curvilíneas. Uma pequena carga de 
prova, cujo efeito sobre o campo é desprezível, é abandonada num ponto do mesmo, no qual 
a intensidade do vetor campo elétrico é diferente de zero. Sobre o movimento ulterior dessa 
partícula podemos afirmar que: 
a) Não se moverá porque o campo é eletrostático. 
b) Percorrerá necessariamente uma linha de força. 
c) Não percorrerá uma linha de força. 
d) Percorrerá necessariamente uma linha reta. 
e) Terá necessariamente um movimento oscilatório. 
 
13. (1991/ITA) 
Em uma região do espaço onde existe um campo elétrico uniforme �⃗⃗�, dois pêndulos 
simples de massas 𝑚 = 0,20 𝑘𝑔 e comprimento 𝐿 são postos a oscilar. A massa do primeiro 
pêndulo está carregada com 𝑞1 = 0,20 𝐶 e a massa do segundo pêndulo com 𝑞2 = −0,20 𝐶. 
São dados que a aceleração da gravidade local é 𝑔 = 10,0 𝑚/𝑠2, que o campo elétrico 
tem mesma direção e mesmo sentido que �⃗� e sua intensidade é 𝐸 = 6,0𝑉/𝑚. A razão (𝑝1/𝑝2), 
entre os períodos 𝑝1 e 𝑝2 dos pêndulos 1 e 2, é: 
a) 
1
4
 b) 
1
2
 c) 1 d) 2 e) 4 
 
14. (1993/ITA) 
Duas placas planas e paralelas, de comprimento 𝑙, estão carregadas e servem como 
controladoras de elétrons em um tubo de raios catódicos. A distância das placas até a tela do 
tubo é 𝐿. Um feixe de elétrons (cada um de massa 𝑚 e carga elétrica de módulo 𝑒) penetra 
entre as placas com uma velocidade 𝑣0, como mostra a figura. Qual é a intensidade do campo 
elétrico entre as placas se o deslocamento do feixe na tela do tubo é igual a 𝑑? 
 
𝒂) 𝑬 =
𝒎𝒗𝟎
𝟐𝒅
𝒆𝒍 (𝑳 −
𝒍
𝟐
)
 𝒃) 𝑬 =
𝒎𝒗𝟎
𝟐
𝒆𝒍 (𝑳 +
𝒍
𝟐
)
 𝒄) 𝑬 =
𝒎𝒗𝟎
𝟐𝒅
𝒆𝒍 (𝑳 +
𝒍
𝟐
)
 
𝑑) 𝐸 =
𝑚𝑣0
2𝑑
𝑒𝑙 (𝑚𝐿 +
𝑙
2
)
 𝑒) 𝐸 =
𝑚𝑣0
2𝑑
𝑒𝑙 (𝑚𝐿 −
𝑙
2
)
 
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15. (1994/ITA) 
Numa região onde existe um campo elétrico uniforme 𝐸 = 1,0 ⋅ 102 𝑁/𝐶 dirigido 
verticalmente para cima, penetra um elétron com velocidade inicial 𝑣0 = 4,0 ⋅ 105𝑚/𝑠, 
seguindo uma direção que faz um ângulo de 30° com a horizontal, como mostra a figura. 
 
Sendo a massa do elétron 9,1 ⋅ 10−31 𝑘𝑔 e a carga do elétron −1,6 ⋅ 10−19 𝐶, podemos afirmar 
que: 
a) O tempo de subida do elétron será 1,14 ⋅ 10−8 𝑠. 
b) O alcance horizontal do elétron será 5,0 ⋅ 10−1 𝑚. 
c) A aceleração do elétron será 2,0 𝑚/𝑠2. 
d) O elétron será acelerado continuamente para cima até escapar do campo elétrico. 
e) O ponto mais elevado alcançado pelo elétron será 5,0 ⋅ 10−1 𝑚. 
 
16. (1995/ITA) 
Um pêndulo simples é construído com uma esfera metálica de massa 𝑚 = 1,0 × 10−4𝑘𝑔, 
carregada com uma carga elétrica 𝑞 = 3,0 × 10−5𝐶 e um fio isolante de comprimento 𝐿 =
1,0 𝑚, de massa desprezível. Este pêndulo oscila com período P num local onde 𝑔 =
10,0 𝑚/𝑠2. Quando um campo elétrico uniforme e constante �⃗⃗� é aplicado verticalmente em 
toda a região do pêndulo o seu período dobra de valor. A intensidade E do campo elétrico é 
de: 
a) 6,7 × 103 𝑁/𝐶. b) 42 𝑁/𝐶. c) 6,0 × 10−6 𝑁/𝐶. d) 33 𝑁/𝐶. e) 25 𝑁/𝐶. 
 
17. (1999/ITA) 
Uma esfera homogênea de carga 𝑞 e massa 𝑚 de 2𝑔 está suspensa por um fio de massa 
desprezível em um campo elétrico uniforme cujas componentes em 𝑥 e 𝑦 têm intensidades 
𝐸𝑥 = √3 ⋅ 105 𝑁/𝐶 e 𝐸𝑦 = 1 ⋅ 105 𝑁/𝐶, respectivamente, como mostra a figura. 
 
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Considerando que a esfera está em equilíbrio para 𝜃 = 60°, qual é a intensidade da força de 
tração no fio? 
Considere 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2. 
a) 9,80 ⋅ 10−3 𝑁. b) 1,96 ⋅ 10−2 𝑁. c) Nula. 
d) 1,70 ⋅ 10−3 𝑁. e) 7,17 ⋅ 10−3 𝑁. 
 
18. (1999/ITA) 
No instante 𝑡 = 0 𝑠, um elétron é projetado em um ângulo de 30° em relação ao eixo 𝑥, com 
velocidade 𝑣0 de 4 ⋅ 105 𝑚/𝑠, conforme o esquema abaixo. 
 
A massa do elétron é 9,11 ⋅ 10−31 𝑘𝑔 e a sua carga elétrica é igual a −1,6 ⋅ 10−19 𝐶. 
Considerando que o elétron se move num campo elétrico constante 𝐸 = 100 𝑁/𝐶, o tempo 
que o elétron levará para cruzar novamente o eixo 𝑥 é de: 
a) 10 ns. b) 15 ns. c) 23 ns. 
d) 12 ns. e) 18 ns. 
 
19. (2005/ITA) 
Considere um pêndulo de comprimento 𝑙, tendo na sua extremidade uma esfera de massa 𝑚 
com uma carga positiva 𝑞. A seguir, esse pêndulo é colocado num campo elétrico uniforme 
�⃗⃗� que atua na mesma direção e sentido da aceleração da gravidade �⃗�. Deslocando-se essa 
carga ligeiramente de sua posição de equilíbrio e soltando-a, ela executa um movimento 
harmônico simples, cujo período é: 
 
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𝒂) 𝑻 = 𝟐𝝅√
𝒍
𝒈
 𝒃) 𝑻 = 𝟐𝝅√
𝒍
𝒈 + 𝒒
 𝒄) 𝑻 = 𝟐𝝅√
𝒎𝒍
𝒈𝑬
 
𝑑) 𝑇 = 2𝜋√
𝑚𝑙
𝑚𝑔 − 𝑞𝐸
 𝑒) 𝑇 = 2𝜋√
𝑚𝑙
𝑚𝑔 + 𝑞𝐸
 
 
20. (2005/ITA) 
Em uma impressora a jato de tinta, gotas de certo tamanho ejetadas de um pulverizador em 
movimento, passam por uma unidade eletrostática onde perdem alguns elétrons, adquirindo 
uma carga 𝑞, e, a seguir, deslocam-se no espaço entre placas planas paralelas eletricamente 
carregadas, pouco antes da impressão. Considere gotas de raio 10 𝜇𝑚 lançadas com 
velocidade de módulo 𝑣 = 20 𝑚/𝑠 entre as placas de comprimento igual a 2,0 𝑐𝑚, no interior 
das quais existe um campo elétrico uniforme de módulo 𝐸 = 8,0 × 104 𝑁/𝐶, como mostra a 
figura. 
 
Considerando que a densidade da gota seja 1000 𝑘𝑔/𝑚3 e sabendo-se que a mesma sofre um 
desvio de 0,30 𝑚𝑚 ao atingir o final do percurso, o módulo de sua carga elétrica é de: 
a) 𝟐, 𝟎 × 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝐂 b) 𝟑, 𝟏 × 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝐂 c) 𝟔, 𝟑 × 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝐂 
d) 3,1 × 10−11 C e) 1,0 × 10−1 C 
 
21. (1983/ITA) 
Entre duas placas planas e paralelas, existe um campo elétrico uniforme. Devido a uma 
diferença de potencial 𝑉 aplicada entre elas. Um feixe de elétrons é lançado entre as placas 
com velocidade inicial 𝑣0. A massa do elétron é 𝑚 e 𝑞 é o módulo de sua carga elétrica. 𝐿 é a 
distância horizontal que o elétron percorre para atingir uma das placas e 𝑑 é a distância entre 
as placas. 
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Dados: 𝑣0, 𝐿, 𝑑 e 𝑉, a razão entre o módulo da carga e a massa do elétron 
𝑞
𝑚
 é dada por: 
𝐚) 
𝐕𝐝
𝐋𝐯𝟎
 𝐛) 
𝟐𝐋𝟐𝐯𝟎
𝐕𝐝
 𝐜) 
𝐕𝟐𝐋
𝐝𝟐𝐯𝟎
 
d) 
d2v0
2
VL2
 e) 
VL
d2v0
2 
 
22. (1971/ITA) 
Um elétron de massa 𝑚 e carga −𝑞 penetra com velocidade 𝑣𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 entre as placas 
de um capacitor plano. Neste há uma diferença de potencial 𝑉 orientada de modo a fazer o 
elétron subir. 
 
Deduza a expressão da componente 𝑣𝑦 da velocidade que o elétron possui ao deixar o 
capacitor e assinale-a entre as opções abaixo. Despreze a atração gravitacional sobre o elétron. 
𝐚) 𝐯𝐲 =
𝐪𝐕𝐋
𝐦𝐝𝐯𝐱
 𝐛) 𝐯𝐲 =
𝐪𝐦𝐋
𝐕𝐝𝐯𝐱
 𝐜) 𝐯𝐲 = 𝐯𝐱 
d) vy =
L
d
∙ vx e) nenhuma das opções é correta. 
 
23. (1969/ITA) 
Três superfícies planas circulares isoladas possuem cargas distribuídas conforme indica a 
figura: 
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Pode-se afirmar que: 
a) O campo elétrico na região compreendida entre a e b é nulo. 
b) O campo elétrico apresenta valores mínimos na região entre b e c. 
c) No centro geométrico de b, o campo elétrico é equivalente àquele determinado pelas cargas 
de a e c. 
d) Entre c e b o sentido do campo elétrico é de c para b. 
e) Nenhuma das afirmações anteriores é correta. 
 
24. (1981/ITA) 
Uma partícula de massa 𝑚 e outra de massa 2𝑚 tem cargas elétricas 𝑞 de mesmo módulo, 
mas de sinais opostos. Estando inicialmente separadas de uma distância 𝑅, são soltas a partir 
do repouso. Nestas condições, quando a distância entre as partículas for 𝑅/2, desprezando a 
ação gravitacional terrestre, se 𝐾 =
1
4𝜋𝜀0
, pode-se afirmar que: 
a) Ambas terão a mesma velocidade 𝑣 = 𝑞 (
𝐾
3𝑚𝑅
)
1/2
. 
b) Ambas terão a mesma velocidade 𝑣 = 𝑞 (
𝐾
𝑚𝑅
)
1/2
. 
c) Ambas terão a mesma velocidade 𝑣 = 2𝑞 (
𝑘
3𝑚𝑅
)
1/2
. 
d) uma terá velocidade 𝑣 = 𝑞 (
𝐾
𝑚𝑅
)
1/2
 e a outra terá velocidade de 𝑣 = 2𝑞 (
𝐾
3𝑚𝑅
)
1/2
. 
e) uma terá velocidade 𝑣 = 𝑞 (
𝐾
3𝑚𝑅
)
1/2
 e a outra terá velocidade de 𝑣 = 2𝑞 (
𝐾
3𝑚𝑅
)
1/2
. 
 
25. (1985/ITA) 
Uma esfera condutora de raio 0,50 𝑐𝑚 é elevada a um potencial de 10,0𝑉. Uma segunda 
esfera, bem afastada da primeira, tem raio 1,00 𝑐𝑚 e está ao potencial 15,0𝑉. Elas são ligadas 
por um fio de capacitância desprezível. Sabendo-se que o meio no qual a experiência é 
realizada é homogêneo e isotrópico, podemos afirmar que os potenciais finais das esferas 
serão: 
a) 12,5𝑉 e 12,5𝑉. 
b) 8,33𝑉 para a primeira e 16,7𝑉 para a segunda. 
c) 16,7𝑉 para a primeira e 8,33𝑉 para a segunda. 
d) 13,3𝑉 e 13,3𝑉. 
e) Zero para a primeira e 25,0𝑉 para a segunda. 
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26. (1986/ITA) 
Duas esferas metálicas, 𝐴 e 𝐵, de raios 𝑅 e 3𝑅, respectivamente, são postas em contato. 
Inicialmente 𝐴 possui carga elétrica positiva +2𝑄 e 𝐵, carga −𝑄. Após atingir o equilíbrio 
eletrostático, as novas cargas de 𝐴 e 𝐵 passam a ser, respectivamente: 
a) 𝑄/2, 𝑄/2. b) 3𝑄/4, 𝑄/4. c) 3𝑄/2, 𝑄/2. 
d) 𝑄/4, 3𝑄/4. e) 4𝑄/3 𝑒 − 𝑄/3. 
 
27. (1988/ITA) 
A, B e C são superfícies que se acham, respectivamente, a potenciais +20V, 0V e + 4,0V. Um 
elétron é projetado a partir da superfície C no sentido ascendente com uma energia cinética 
inicial de 9,0 eV (Um elétronvolt é a energia adquirida por um elétron quando submetido a 
uma diferença de potencial de um volt). A superfície B é porosa e permite a passagem de 
elétrons. Podemos afirmar que: 
 
a) Na região entre C e B o elétron será acelerado pelo campo elétrico até atingir a superfície B 
com energia cinética de 33,0 eV Uma vez na região entre B e A, será desacelerado, atingindo a 
superfície A com energia cinética de 13,0 eV 
b) Entre as placas C e B o elétron será acelerado atingindo a placa B com energia cinética igual 
a 13,0 eV, mas não atinge a placa A. 
c) Entre C e B o elétron será desacelerado pelo campo elétrico aí existente e não atingirá a 
superfície B. 
d) Na região entre C e B o elétron será desacelerado, mas atingirá a superfície B com energia 
cinética de 5,0 eV Ao atravessar B, uma vez na região entre B e A será acelerado, até atingir a 
superfície A com uma energia cinética de 25,0 eV 
e) Entre as placas C e B o elétron será desacelerado, atingindo a superfície B com energia 
cinética de 5,0 eV. Uma vez na região entre B e A, será desacelerado, até atingir a superfície A 
com energia cinética de 15,0 eV. 
 
28. (1988/ITA) 
Na figura, C é um condutor em equilíbrio eletrostático, que se encontra próximo de 
outros objetos eletricamente carregados. Considere a curva tracejada L que une os pontos A e 
B da superfície do condutor. 
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Podemos afirmar que: 
a) A curva L não pode representar uma linha de força do campo elétrico. 
b) A curva L pode representar uma linha de força, sendo que o ponto B está a um potencial 
mais baixo que o ponto A. 
c) A curva L pode representar uma linha de força, sendo que o ponto B está a um potencial 
mais alto que o ponto A. 
d) A curva L pode representar uma linha de força, desde que L seja ortogonal à superfície do 
condutor nos pontos A e B. 
e) A curva L pode representar uma linha de força, desde que a carga total do condutor seja 
nula. 
 
29. (1990/ITA) 
Num tubo de raios catódicos tem-se um filamento F que libera elétrons quando aquecido, e 
uma placa aceleradora P que é mantida a um potencial mais alto que o filamento. O filamento 
fica a uma distância d da placa. A placa tem, ainda, um orifício que permite a passagem dos 
elétrons que vão se chocar com uma tela que fica fluorescente quando os mesmos a atingem. 
 
Nestas condições: 
a) Se aumentarmos a distância d entre o filamento e a placa, a energia cinética com que os 
elétrons chegam à placa aumenta. 
b) O aumento da distância d faz com que a energia cinética dos elétrons diminua. 
c) A energia cinética dos elétrons não depende da distância entre o filamento e a placa, mas 
só da diferença de potencial U entre o filamento e a placa aceleradora. 
d) A energia cinética dos elétrons só depende da temperatura do filamento. 
e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira. 
 
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30. (1993/ITA) 
Entre as armaduras de um capacitor plano com placas horizontais, existe uma diferença de 
potencial 𝑉. A separação entre as armaduras é 𝑑. Coloca-se uma pequena carga 𝑄 > 0, de 
massa m entre as armaduras e esta fica em equilíbrio. A aceleração da gravidade é 𝑔. Qual é o 
valor da carga 𝑄? 
a) 𝑄 = 𝑚𝑔𝑑−1/𝑉. b) 𝑄 = 𝑉𝑑/𝑚. c) 𝑄 = 𝑚𝑔𝑑/𝑉. 
d) 𝑄 = 𝑉𝑔𝑑/𝑚. e) 𝑄 = 𝑔𝑑/𝑉𝑚. 
 
31. (2001/ITA) 
Uma esfera de massa 𝑚 e carga 𝑞 está suspensa por um fio frágil e inextensível, feito de um 
material eletricamente isolante. A esfera se encontra entre as placas paralelas de um capacitor 
plano, como mostra a figura. A distância entre as placas é 𝑑, a diferença de potencial entre as 
mesmas é 𝑉 e o esforço máximo que o fio pode suportar é igual ao quádruplo do peso da 
esfera. Para que a esfera permaneça imóvel, em equilíbrio estável, é necessário que: 
 
a) (
𝑞𝑉
𝑑
)
2
≤ 15 𝑚𝑔 b) (
𝑞𝑉
𝑑
)
2
≤ 4 (𝑚𝑔)2 
c) (
𝑞𝑉
𝑑
)
2
≤ 15 (𝑚𝑔)2 d) (
𝑞𝑉
𝑑
)
2
≥ 15 𝑚𝑔 
e) (
𝑞𝑉
𝑑
)
2
≤ 16 (𝑚𝑔)2 
 
32. (2002/ITA) 
Uma esfera metálica isolada, de raio 𝑅1 = 10,0 𝑐𝑚 é carregada no vácuo até atingir o potencial 
𝑈 = 9,0𝑉. Em seguida, ela é posta em contato com outra esfera metálica isolada, deraio 𝑅2 =
5,0 𝑐𝑚, inicialmente neutra. Após atingir o equilíbrio eletrostático, qual das alternativas 
melhor descreve a situação física? É dado que 
1
4𝜋𝜀0
= 9,0 × 109 𝑁𝑚2/𝐶2. 
a) A esfera maior terá uma carga de 0,66. 10-10 C. 
b) A esfera maior terá um potencial de 4,5V. 
c) A esfera menor terá uma carga de 0,66. 10-10 C. 
d) A esfera menor terá um potencial de 4,5V. 
e) A carga total é igualmente dividida entre as duas esferas. 
 
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33. (2005/ITA) 
Em uma impressora a jato de tinta, gotas de certo tamanho ejetadas de um pulverizador em 
movimento, passam por uma unidade eletrostática onde perdem alguns elétrons, adquirindo 
uma carga 𝑞, e, a seguir, deslocam-se no espaço entre placas planas paralelas eletricamente 
carregadas, pouco antes da impressão. Considere gotas de raio 10 𝜇𝑚 lançadas com 
velocidade de módulo 𝑣 = 20 𝑚/𝑠 entre as placas de comprimento igual a 2,0 𝑐𝑚, no interior 
das quais existe um campo elétrico uniforme de módulo 𝐸 = 8,0 × 104 𝑁/𝐶, como mostra a 
figura. 
 
Considerando que a densidade da gota seja 1000 𝑘𝑔/𝑚3 e sabendo-se que a mesma sofre um 
desvio de 0,30 𝑚𝑚 ao atingir o final do percurso, o módulo de sua carga elétrica é de: 
a) 𝟐, 𝟎. 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝑪. b) 𝟑, 𝟏. 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝑪. c) 𝟔, 𝟑. 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝑪. 
d) 3,1. 10−11 𝐶. e) 1,1. 10−10 𝐶. 
 
34. (2009/ITA) 
Três esferas condutoras, de raio a e carga 𝑄, ocupam os vértices de um triângulo equilátero de 
lado 𝑏 ≫ 𝑎, conforme mostra a figura (1). Considere as figuras (2), (3) e (4), em que, 
respectivamente, cada uma das esferas se liga e desliga da Terra, uma de cada vez. Determine, 
nas situações (2), (3) e (4), a carga das esferas 𝑄1, 𝑄2 e 𝑄3, respectivamente, em função de 𝑎, 𝑏 
e 𝑄. 
 
 
35. (2010/ITA) 
Considere as cargas elétricas 𝑞1 = 1 𝐶, situada em 𝑥 = – 2𝑚, e 𝑞2 = – 2 𝐶, situada em 𝑥 =
 – 8 𝑚. Então, o lugar geométrico dos pontos de potencial nulo é 
a) uma esfera que corta o eixo x nos pontos 𝑥 = – 4 𝑚 e 𝑥 = 4𝑚. 
b) uma esfera que corta o eixo x nos pontos 𝑥 = – 16 𝑚 e 𝑥 = 16 𝑚. 
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c) um elipsoide que corta o eixo x nos pontos 𝑥 = – 4 𝑚 e 𝑥 = 16 𝑚. 
d) um hiperboloide que corta o eixo x no ponto 𝑥 = – 4 𝑚. 
e) um plano perpendicular ao eixo x que o corta no ponto 𝑥 = – 4 𝑚. 
8 - GABARITO DAS QUESTÕES SEM COMENTÁRIOS 
 
8.1 - JÁ CAIU NA FUVEST 
1. E 2. E 3. E 
4. a) 𝑥 =
𝑑
3
 b) 𝑞3 = −
4
9
𝑞1 5. E 6. B 
7. A 8. C 9. A 
10. E 11. D 12. A 
13. a) Vide figura. 
b) 𝑊𝑎→𝑏 = 6 ⋅ 10−5 𝐽 
 
8.2 - JÁ CAIU NOS PRINCIPAIS VESTIBULARES 
1. B 2. E 3. 𝑄 = 1,38 𝜇𝐶 
4. B 
5. a) negativa 
b) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
|𝑞|𝐸
𝑚𝑔
) 
6. 𝑄1 = +0,2𝜇𝐶, 
 𝑄2 = −0,2𝜇𝐶 
𝑄3 = +0,5𝜇𝐶 
7. 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 3 𝑐𝑚 8. D 9. D 
10. B 11. C 12. C 
13. B 14. C 15. A 
16. E 17. B 18. C 
19. E 20. B 21. D 
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22. A 23. C 24. E 
25. D 26. D 27. D 
28. A 29. C 30. C 
31. C 32. A 33. B 
34. 𝑄1 = −
2𝑄𝑎
𝑏
, 
𝑄2 =
𝑄 ∙ 𝑎
𝑏
(
2𝑎
𝑏
− 1) 
𝑄3 =
𝑄𝑎2
𝑏2
(3 −
2𝑎
𝑏
) 
35. A 
9 - QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 
9.1 - JÁ CAIU NA FUVEST 
1. (2019/FUVEST) 
Três pequenas esferas carregadas com carga positiva 𝑄 ocupam os vértices de um triângulo, 
como mostra a figura. Na parte interna do triângulo, está afixada outra pequena esfera, com 
carga negativa q. As distâncias dessa carga às outras três podem ser obtidas a partir da figura. 
 
Sendo 𝑄 = 2 𝑥 10−4 𝐶, 𝑞 = −2 𝑥 10−5 𝐶 e 𝑑 = 6 𝑚, a força elétrica resultante sobre a 
carga 𝑞 
a) é nula. 
b) tem direção do eixo 𝑦, sentido para baixo e módulo 1,8 𝑁. 
c) tem direção do eixo 𝑦, sentido para cima e módulo 1,0 𝑁. 
d) tem direção do eixo 𝑦, sentido para baixo e módulo 1,0 𝑁. 
e) tem direção do eixo 𝑦, sentido para cima e módulo 0,3 𝑁. 
Note e adote: 
A constante 𝑘0 da Lei de Coulomb vale 9 ⋅ 109 𝑁𝑚2/𝐶2 
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Comentários: 
 
A resultante das forças está na vertical. Consideraremos o sentido para cima como positivo: 
𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝐹′ − 2𝐹 cos 45° 
𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝑘
𝑞𝑄
𝑑2
− √2𝑘
𝑞𝑄
(𝑑√2)
2 
𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝑘
𝑞𝑄
𝑑2
(1 −
√2
2
) > 0(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎) 
𝐹𝑒𝑙𝑒 =
9 × 109 ∙ 2 × 10−4 ∙ 2 × 10−5
62
∙ (1 −
√2
2
) = 1 ∙ (1 −
√2
2
) ≅ 0,3 𝑁 
Gabarito: “e”. 
2. (2015/FUVEST) 
Três grandes placas 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3, com, respectivamente, cargas +𝑄, −𝑄 e +2𝑄, geram campos 
elétricos uniformes em certas regiões do espaço. A figura 1 abaixo mostra intensidade, direção 
e sentido dos campos criados pelas respectivas placas 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3, quando vistas de perfil. 
Colocando-se as placas próximas, separadas pela distância D indicada, o campo elétrico 
resultante, gerado pelas três placas em conjunto, é representado por: 
 
Nota: onde não há indicação, o campo elétrico é nulo. 
a) b) c) 
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d) e) 
Comentários: 
Vamos convencionar o sentido positivo para a direita. Pelo princípio da superposição, temos: 
𝐸(−𝑖𝑛𝑓, 𝑃1) = 𝐸1(−𝑖𝑛𝑓, 𝑃1) + 𝐸2(−𝑖𝑛𝑓, 𝑃1) + 𝐸3(−𝑖𝑛𝑓, 𝑃1) 
𝐸(−𝑖𝑛𝑓, 𝑃1) = (−𝐸0) + 𝐸0 + (−2𝐸0) 
𝐸(−𝑖𝑛𝑓, 𝑃1) = −2𝐸0 
Para o campo elétrico entre 𝑃1 e 𝑃2: 
𝐸(𝑃1, 𝑃2) = 𝐸1(𝑃1, 𝑃2) + 𝐸2(𝑃1, 𝑃2) + 𝐸3(𝑃1, 𝑃2) 
𝐸(𝑃1, 𝑃2) = (𝐸0) + 𝐸0 + (−2𝐸0) 
𝐸(𝑃1, 𝑃2) = 0 
Para o campo elétrico entre 𝑃2 e 𝑃3: 
𝐸(𝑃2, 𝑃3) = 𝐸1(𝑃2, 𝑃3) + 𝐸2(𝑃2, 𝑃3) + 𝐸3(𝑃2, 𝑃3) 
𝐸(𝑃2, 𝑃3) = 𝐸0 + (−𝐸0) + (−2𝐸0) 
𝐸(𝑃2, 𝑃3) = −2𝐸0 
E para o campo elétrico à direita de 𝑃3: 
𝐸(𝑃3, +𝑖𝑛𝑓) = 𝐸1(𝑃3, +𝑖𝑛𝑓) + 𝐸2(𝑃3, +𝑖𝑛𝑓) + 𝐸3(𝑃3, +𝑖𝑛𝑓) 
𝐸(𝑃3, +𝑖𝑛𝑓) = 𝐸0 + (−𝐸0) + 2𝐸0 
𝐸(𝑃3, +𝑖𝑛𝑓) = 2𝐸0 
Gabarito: “e”. 
3. (2007/FUVEST) 
Duas barras isolantes, A e B, iguais, colocadas sobre uma mesa, têm em suas extremidades, 
esferas com cargas elétricas de módulos iguais e sinais opostos. A barra A é fixa, mas a barra B 
pode girar livremente em torno de seu centro O, que permanece fixo. Nas situações I e II, a 
barra B foi colocada em equilíbrio, em posições opostas. Para cada uma dessas duas situações, 
o equilíbrio da barra B pode ser considerado como sendo, respectivamente, 
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SITUAÇÕES DE EQUILÍBRIO - após o sistema ser levemente deslocado de sua posição inicial. 
Estável = tende a retornar ao equilíbrio inicial. 
Instável = tende a afastar-se do equilíbrio inicial. 
Indiferente = permanece em equilíbrio na nova posição. 
a) indiferente e instável. 
b) instável e instável. 
c) estável e indiferente. 
d) estável e estável. 
e) estável e instável. 
Comentários: 
Situação I: Estável 
Considere um pequeno deslocamento de 𝐵 no sentido horário. As cargas negativas ficarão 
mais próximas e as positivas mais distantes, assim a força agindo do lado esquerdo ficará maior que 
a força do lado direito (ambas direcionadas para baixo) gerando torque de sentido anti-horário, 
favorecendo o retorno à posição de equilíbrio horizontal. 
Situação II: Instável 
Considere um pequeno deslocamento de 𝐵 no sentido horário. As cargas do lado esquerdo 
ficarão mais próximas e as do lado direito mais distantes, assim a força agindo do lado esquerdo 
ficará maior que a força do lado direito (ambas direcionadas para cima) gerando torque de sentido 
horário, favorecendo o afastamento em relação à posição de equilíbriohorizontal. 
Gabarito: “e”. 
4. (1997/FUVEST) 
Duas cargas pontuais positivas 𝑞1 e 𝑞2 = 4𝑞1 são fixadas a uma distância d uma da outra. Uma 
terceira carga negativa 𝑞3 é colocada no ponto 𝑃, com 𝑞1 e 𝑞2, a uma distância 𝑥 da carga 𝑞1, 
conforme mostra a figura. 
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a) Calcule o valor de 𝑥 para que a força eletrostática resultante sobre a carga 𝑞3 seja nula. 
b) Verifique se existe um valor de 𝑞3 para o qual tanto a carga 𝑞1 como a 𝑞2, permanecem em 
equilíbrio, nas posições do item a, sem a necessidade de nenhuma outra força além das 
eletrostáticas entre as cargas. Caso exista, calcule este valor 𝑞3. 
Comentários: 
a) Aplicando 𝐹𝑅 = 𝑚𝑎 em 𝑞3; 
𝑘𝑞1𝑞3
𝑥2
=
𝑘𝑞3𝑞2
𝑦2
 
𝑞1
𝑥2
=
4𝑞1
(𝑑 − 𝑥)2
 
𝑑
𝑥
− 1 = 2 
𝑥 =
𝑑
3
 
b) Pela terceira Lei de Newton sabemos que as forças que 𝑞3 exerce em 𝑞1 e 𝑞2 são iguais em 
módulo, assim basta analisarmos uma dessas cargas. Aplicando 𝐹𝑅 = 𝑚𝑎 a 𝑞1: 
𝑘𝑞1𝑞3
𝑥2
=
𝑘𝑞1𝑞2
𝑑2
 
𝑞3 =
4
9
𝑞1 
Gabarito: a) 𝒙 =
𝒅
𝟑
 b) 𝒒𝟑 = −
𝟒
𝟗
𝒒𝟏 
5. (1997/FUVEST) 
Quando se aproxima um bastão B, eletrizado positivamente, de uma esfera metálica, isolada e 
inicialmente descarregada, observa-se a distribuição de cargas representada na Figura 1. 
 
Mantendo o bastão na mesma posição, a esfera é conectada à terra por um fio condutor que 
pode ser ligado a um dos pontos P, R ou S da superfície da esfera. Indicando por (→) o sentido 
do fluxo transitório (∅) de elétrons (se houver) e por (+), (–) ou (0) o sinal da carga final (Q) da 
esfera, o esquema que representa ∅ e Q é 
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a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
Comentários: 
Antes de ser ligada à terra a esfera metálica não acumulava mais carga negativa no seu lado 
esquerdo devido à repulsão entre as cargas de mesmo sinal, em ambos os seus lados. Ao ser ligada 
à terra, mais carga negativa pôde ser trazida que não fosse de uma região saturada de cargas 
positivas (lado direito da esfera). 
Gabarito: “e”. 
6. (1996/FUVEST) 
O Módulo 𝐹 da força eletrostática entre duas cargas elétricas pontuais 𝑞1 e 𝑞2, separadas por 
uma distância d, é 𝐹 = 𝑘
|𝑞1||𝑞2|
𝑑2
 onde 𝑘 é uma constante. Considere as três cargas pontuais 
representadas adiante por +𝑄, − 𝑄 e 𝑞. o Módulo da força eletrostática total que age sobre a 
carga 𝑞 será? 
 
𝑎) 
2𝑘𝑄𝑞
𝑅2
 𝑏) 
√3𝑘𝑄𝑞
𝑅2
 𝑐) 
𝑘𝑄2𝑞
𝑅2
 𝑑) [
√3
2
]
𝑘𝑄𝑞
𝑅2
 𝑒) [
√3
2
]
𝑘𝑄2𝑞
𝑅2
 
Comentários: 
Fazendo o diagrama de forças em 𝑞, temos que: 
 
𝐹𝑒 = 2𝐹 cos 30° 
𝐹𝑒 =
√3𝑘𝑄𝑞
𝑅2
 
Gabarito: “b”. 
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7. (1996/FUVEST) 
Aproximando-se uma barra eletrizada de duas esferas condutoras, inicialmente descarregadas 
e encostadas uma na outra, observa-se a distribuição de cargas esquematizada na figura 
abaixo. 
 
Em seguida, sem tirar do lugar a barra eletrizada, afasta-se um pouco uma esfera da outra. 
Finalmente, sem mexer mais nas esferas, remove-se a barra, levando-a para muito longe das 
esferas. Nessa situação final, a figura que melhor representa a distribuição de cargas nas duas 
esferas é: 
a)
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
Comentários: 
Enquanto as esferas estão em contato, logo, podemos considerá-las como um só condutor 
neutro, com distribuição não uniforme de cargas. Quando as esferas são separadas na presença 
desse desequilíbrio de cargas, resulta nessas mantendo as cargas que tinham logo antes da perda 
de contato. Assim, a esfera da esquerda possuirá carga negativa e a da direita positiva. 
Essas cargas se atrairão, como mostrado na alternativa “a”. 
Gabarito: “a”. 
8. (1995/FUVEST) 
Um sistema formado por três cargas puntiformes iguais, colocadas em repouso nos vértices de 
um triangulo equilátero, tem energia potencial eletrostática igual a 𝑈. Substitui-se uma das 
cargas por outra, na mesma posição, mas com o dobro do valor. A energia potencial 
eletrostática do novo sistema será igual a: 
𝑎) 
4
3
𝑈 𝑏) 
3
2
𝑈 𝑐) 
5
3
𝑈 𝑑) 2𝑈 𝑒) 3𝑈 
Comentários: 
Adotando 𝑎 como o lado do triângulo equilátero, podemos calcular a energia potencial 
eletrostática para o sistema, fazendo a soma de todas as energias tomando as cargas em 
combinações 2 a 2, da seguinte forma: 
𝑈 =
𝐾. 𝑞1. 𝑞2
𝑎
+
𝐾. 𝑞1. 𝑞3
𝑎
+
𝐾. 𝑞2. 𝑞3
𝑎
 
Como as cargas são iguais, a energia 𝑈 pode ser escrita como: 
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𝑈 =
3𝑘𝑞2
𝑎
 
Se uma das cargas dobra de valor, por exemplo a carga 𝑞1 passa a ser 2 ⋅ 𝑞, então temos a 
nova energia potencial eletrostática dada por: 
𝑈′ =
𝐾. 𝑞′1. 𝑞2
𝑎
+
𝐾. 𝑞′1. 𝑞3
𝑎
+
𝐾. 𝑞2. 𝑞3
𝑎
 
𝑈′ =
𝐾. 2𝑞. 𝑞
𝑎
+
𝐾. 2𝑞. 𝑞
𝑎
+
𝐾. 𝑞. 𝑞
𝑎
 
𝑈′ =
5𝐾𝑞2
𝑎
 
Fazendo 𝑈′/𝑈, vem: 
𝑈′
𝑈
=
5𝐾𝑞2
𝑎
 
3𝐾𝑞2
𝑎
 
𝑈′ =
5
3
𝑈 
Gabarito: “c”. 
9. (1993/FUVEST) 
Dispõe-se de uma placa metálica M e de uma esferinha metálica P, suspensa por um fio 
isolante, inicialmente neutras e isoladas. Um feixe de luz violeta é lançado sobre a placa 
retirando partículas elementares da mesma. As figuras (1) a (4) adiante, ilustram o desenrolar 
dos fenômenos ocorridos. 
 
Podemos afirmar que na situação (4): 
a) M e P estão eletrizadas positivamente. 
b) M está negativa e P Neutra. 
c) M está neutra e P positivamente eletrizada 
d) M e P estão eletrizadas negativamente 
e) M e P foram eletrizadas por indução. 
 
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Comentários: 
Em (1) ambos os corpos estão neutros. 
Em (2) as partículas retiradas são elétrons, assim 𝑀 está negativamente carregado no seu 
lado esquerdo. 
Em (3) 𝑃 sofre indução de cargas negativas e é atraído até o contato com 𝑀, no qual recebe 
parte de sua carga positiva. 
Em (4) os corpos são repelidos por apresentarem cargas de mesmo sinal. 
Gabarito: “a”. 
10. (1992/FUVEST) 
Têm-se 3 esferas condutoras idênticas A, B e C. As esferas A (positiva) e B (negativa) estão 
eletrizadas com cargas de mesmo módulo 𝑄, e a esfera C está inicialmente neutra. São 
realizadas as seguintes operações: 
1) toca-se C em B, com A mantida a distância, e em seguida separa-se C de B; 
2) toca-se C em A, com B mantida a distância, e em seguida separa-se C de A; 
3) toca-se A em B, com C mantida a distância, e em seguida separa-se A de B, 
Podemos afirmar que a carga final da esfera A vale: 
a) zero b) +
𝑄
2
 c) −
𝑄
4
 d) +
𝑄
6
 e) −
𝑄
8
 
Comentários: 
Vamos aplicar o Princípio da Conservação das Cargas nesse sistema eletrostaticamente 
isolado para cada etapa do processo: 
Etapa 1: 
∑ 𝑄𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = ∑ 𝑄𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 
0 + (−𝑄) = 𝑄𝐵1 + 𝑄𝐶1 
Mas como as esferas são idênticas, temos que ao final da primeira eletrização por contato a 
relação 𝑄𝐵1 = 𝑄𝐶1. Portanto: 
𝑄𝐵1 = 𝑄𝐶1 = −
𝑄
2
 
Etapa 2: 
∑ 𝑄𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = ∑ 𝑄𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 
𝑄𝐴 + 𝑄𝐶1 = 𝑄𝐴2 + 𝑄𝐶2 
Mas como as esferas são idênticas, temos que ao final da primeira eletrização por contato a relação 
𝑄𝐴2 = 𝑄𝐶2. Portanto: 
+𝑄 + (−
𝑄
2
) = 𝑄𝐴2 + 𝑄𝐴2 
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𝑄𝐴2 = 𝑄𝐶2 = +
𝑄
4
 
Etapa 3: 
∑ 𝑄𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = ∑ 𝑄𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 
𝑄𝐴2 + 𝑄𝐵1 = 𝑄𝐴3 + 𝑄𝐵3 
Mas como as esferas são idênticas, temosque ao final da primeira eletrização por contato a 
relação 𝑄𝐴3 = 𝑄𝐵3. Portanto: 
+
𝑄
4
−
𝑄
2
= 2𝑄𝐴3 
𝑄𝐴3 = 𝑄𝐵3 = −
𝑄
8
 
Cargas finais: 
𝑄𝐴𝑓 = 𝑄𝐵𝑓 = −
𝑄
8
 𝑒 𝑄𝐶𝑓 = +
𝑄
4
 
Gabarito: “e”. 
11. (1990/FUVEST) 
Uma esfera condutora A, de peso P, eletrizada positivamente é presa a um fio isolante 
que passa por uma roldana. A esfera se aproxima de B, com velocidade constante, de 
uma esfera B, idêntica a interior, mas neutra isolada. A esfera A toca em B e, em 
seguida é puxada para cima, com velocidade também constante. 
Quando A passa pelo ponto M, a tração no fio é 𝑇1 na descida e 𝑇2 na subida. Podemos 
afirmar que: 
a) 𝑇1 < 𝑇2 < 𝑃 b) 𝑇1 < 𝑃 < 𝑇2 c) 𝑇2 < 𝑇1 < 𝑃 d) 𝑇2 < 𝑃 < 𝑇1 e) 𝑃 < 𝑇1 < 𝑇2 
Comentários: 
A esfera A induz carga de sentido oposto em B. Aplicando 𝐹 = 𝑚𝑎 ao corpo A na descida: 
𝑇1 = 𝑃 −
𝑘𝑞𝐴(−𝑞𝐴)
𝑑2
= 𝑃 +
𝑘𝑞𝐴
2
𝑑2
> 𝑃 
Os corpos trocam carga no contato e, como são idênticos, adquirem a mesma carga final: 
𝑞 =
𝑞𝐴 + 0
2
=
𝑞𝐴
2
 
Aplicando 𝐹 = 𝑚𝑎 ao corpo A na subida: 
𝑇2 = 𝑃 −
𝑘𝑞𝐴
2
4𝑑2
< 𝑃 
Logo: 
𝑇2 < 𝑃 < 𝑇1 
Gabarito: “d”. 
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12. (1987/FUVEST) 
Uma gotícula de água, com massa 𝑚 = 0,80 ⋅ 10⁻⁹ 𝑘𝑔, eletrizada com carga 𝑞 = 16 ⋅ 10⁻¹⁹ 
está em equilíbrio no interior de um capacitor de placas paralelas e horizontais, conforme 
esquema abaixo. 
 
Nestas circunstâncias, o valor do campo elétrico entre as placas é: 
a) 5 × 109 𝑁/𝐶 
b) 2 × 10−10 𝑁/𝐶 
c) 12,8 × 10−29 𝑁/𝐶 
d) 2 × 10−11 𝑁/𝐶 
e) 5 × 108 𝑁/𝐶 
Comentários: 
Aplicando a 2ª Lei de Newton (𝐹 = 𝑚𝑎) à gota, vem: 
𝑚𝑔 − 𝑞𝐸 = 0 ⇒ 𝐸 = 5 ⋅ 108𝑁/𝐶 
Gabarito: “a”. 
13. (FUVEST) 
A figura representa algumas superfícies equipotenciais de um campo eletrostático e os valores 
dos potenciais correspondentes. 
 
a) Copie a figura, representando o vetor campo elétrico nos pontos a e b. 
b) Qual é o trabalho realizado pela força elétrica para levar uma carga 𝑞, de 2 × 10–6𝐶, do 
ponto a ao ponto b? 
Comentários: 
a) sabemos que em cada ponto da superfície equipotencial, o vetor campo elétrico é 
perpendicular ao plano tangente à superfície no ponto. Além disso, como visto em teoria orientamos 
o campo no sentido decrescentes dos potenciais. Logo, a representação é dada por: 
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b) o trabalho realizado pela carga elétrica 𝑞 = 2 × 10–6𝐶, conhecendo os potenciais nos 
pontos desejado é dado por: 
𝑊𝑎→𝑏 = 𝑞 ⋅ (𝑉𝑎 − 𝑉𝑏) = 2 ⋅ 10–6𝐶 ⋅ (20 − (−10)) = 6 ⋅ 10−5𝐽 
 Gabarito: a) Vide figura. b) 𝑾𝒂→𝒃 = 𝟔 ⋅ 𝟏𝟎−𝟓 𝑱. 
9.2 - JÁ CAIU NOS PRINCIPAIS VESTIBULARES 
1. (2018/UNESP) 
Suponha uma pequeníssima esfera contendo 12 nêutrons, 11 prótons e 10 elétrons, ao redor 
da qual gira um elétron a 1,6 ⋅ 10−10 𝑚 de seu centro, no vácuo. 
Considerando a carga elementar 𝑒 = 1,6 ⋅ 10−19 𝐶 e a constante eletrostática do vácuo 𝐾0 =
9 ⋅ 109 𝑁 ⋅ 𝑚2/𝐶2, a intensidade da força elétrica entre a esfera e o elétron é 
a) 5,6 ⋅ 10−10 𝑁. b) 9,0 ⋅ 10−9 𝑁. c) 1,4 ⋅ 10−9 𝑁. 
d) 1,4 ⋅ 10−12 𝑁. e) 9,0 ⋅ 10−12 𝑁. 
Comentários: 
Se a esfera possui 11 prótons e 10 elétrons, a sua carga efetiva será de uma carga elementar 
positiva: 𝑄2 = +1,6 ⋅ 10−19 𝐶. Podemos calcular a força pedida a partir da lei de Coulomb: 
𝐹 = 𝐾 ∙
𝑄1 ⋅ 𝑄2
𝑑2
 
Lei de Coulomb 
[𝐹] = 𝑁 [𝐾] = 𝑁 ⋅ 𝑚2/𝐶2 [𝑄] = 𝐶 [𝑑] = 𝑚 
Para a situação, temos a segunda carga como o elétron que gira ao redor da esfera: 
𝐹 = 𝐾 ⋅
𝑄 ⋅ 𝑒
𝑑2
 
 
Como queremos a intensidade da força, devemos substituir os módulos das cargas: 
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𝐹 = 9 ⋅ 109 ⋅
1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19
(1,6 ⋅ 10−10)2
 
 
𝐹 = 9 ⋅ 109 ⋅
1,6 ⋅ 1,6 ⋅ 10−38
1,6 ⋅ 1,6 ⋅ 10−20
 
 
𝐹 = 9 ⋅ 109 ⋅ 10−18 = 9 ⋅ 10−9 𝑁 
 Gabarito: “b”. 
2. (2017/UNESP) 
Três esferas puntiformes, eletrizadas com cargas elétricas 𝑞1 = 𝑞2 = +𝑄 e 𝑞3 =– 2𝑄, estão 
fixas e dispostas sobre uma circunferência de raio 𝑟 e centro 𝐶, em uma região onde a 
constante eletrostática é igual a 𝑘0, conforme representado na figura. 
 
Considere 𝑉𝐶 o potencial eletrostático e 𝐸𝐶 o módulo do campo elétrico no ponto C devido às 
três cargas. Os valores de 𝑉𝐶 e 𝐸𝐶 são, respectivamente, 
a) zero e 
4 ⋅ 𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟2
 
b) 
4 ⋅ 𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟
 e 
𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟2
 
c) zero e zero 
d) 
2 ⋅ 𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟
 e 
2 ⋅ 𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟2
 
e) zero e 
2 ⋅ 𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟2
 
Comentários: 
Para determinarmos o potencial elétrico resultante no centro C da circunferência devemos 
efetuar a soma escalar dos potenciais originados pelas três cargas pontuais: 
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𝑉𝐶 =
𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟
+
𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟
+
𝑘0 ⋅ (−2𝑄)
𝑟
= 0 
 
O campo elétrico, por sua vez, é uma grandeza vetorial. Note as cargas 𝑞1 e 𝑞2 geram, no 
centro C, campos vetoriais opostos e de mesmo módulo. Dessa forma, o campo resultante no ponto 
C será originado pela carga 𝑞3, com sentido para essa carga, já que ela é negativa. O seu módulo 
pode ser calculado por: 
𝐸𝐶 = 𝐸3 =
𝑘0 ⋅ |𝑞3|
𝑟2
=
𝑘0 ⋅ |−2𝑄|
𝑟2
=
2 ⋅ 𝑘0 ⋅ 𝑄
𝑟2
 
 
 Gabarito: “e”. 
3. (AFA) 
Duas esferas condutoras idênticas muito pequenas, de mesma massa 𝑚 = 0,4 𝑔, encontram-
se no vácuo, suspensas por meio de dois fios leves, isolantes, de comprimentos iguais a 𝐿 =
1,00 𝑚, presos a um mesmo ponto de suspensão 𝑂. 
 
Estando as esferas separadas, eletriza-se uma delas com carga 𝑄, mantendo-se a outra neutra. 
Em seguida, elas são colocadas em contato e, depois, abandonadas, verificando-se que na 
posição de equilíbrio a distância entre elas é 𝑑 = 1,20 𝑚. Considere 𝑄 > 0. 
Nessa situação, o valor de 𝑄 é? 
Dados: 𝑔 = 10𝑚/𝑠2 e 𝐾 = 9 × 109𝑁𝑚2/𝐶2 
Comentários: 
Para a determinação da carga 𝑄, podemos analisar a posição de equilíbrio do corpo A. Para 
isso, vamos fazer o diagrama de forças de A: 
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Após o contato das esferas, cada esfera tem carga 𝑄/2. Pela geometria do problema, temos 
que: 
𝑡𝑔𝜃 =
𝐹𝑒𝑙𝑒
𝑃
 
0,6
0,8
=
9 × 109 (
𝑄
2
) (
𝑄
2
)
(1,2)2
4 × 10−4 ∙ 10
 
𝑄 = 2 ∙ √
6 ∙ 4 × 10−4 ∙ 10 ∙ 1,22
8 ∙ 9 × 109
= 2 ∙
2 × 10−2 ∙ 1,2
3 × 104
∙ √
6
8
= 1,38 × 10−6𝐶 
𝑄 = 1,38 𝜇𝐶 
 Gabarito: 𝑸 = 𝟏, 𝟑𝟖 𝝁𝑪. 
4. (2015/UNESP) 
Em um experimento de eletrostática, um estudante dispunha de três esferas metálicas 
idênticas, A, B e C, eletrizadas, no ar, com cargas elétricas 5𝑄, 3𝑄 e – 2𝑄, respectivamente. 
 
Utilizando luvas de borracha, o estudante coloca as três esferas simultaneamente em contato 
e, depois de separá-las, suspende A e C por fios de seda, mantendo-as próximas. Verifica, 
então, que elas interagem eletricamente, permanecendo em equilíbrio estático a uma 
distância d uma da outra. Sendo k a constante eletrostática do ar, assinale a alternativa que 
contém a correta representação da configuração de equilíbrio envolvendo as esferas A e C e a 
intensidade da força de interação elétrica entre elas. 
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Comentários: 
Se o estudante colocou as três esferas simultaneamente em contato, podemos calcular a 
carga de cada uma das esferas ao ser separadas, já que são idênticas: 
𝑄𝐴
′ = 𝑄𝐵
′ = 𝑄𝐶
′ = 𝑄′ =
𝑄𝐴 + 𝑄𝐵 + 𝑄𝐶
3
=
5𝑄 + 3𝑄 − 2𝑄
3
 
 
𝑄′ =
6𝑄
3
= 2𝑄 
 
A intensidade da força de interação elétrica pode sercalculada pela lei de Coulomb: 
𝐹 = 𝐾 ⋅
|𝑄𝐴
′ | ⋅ |𝑄𝐶
′ |
𝑑2
= 𝐾 ⋅
2𝑄 ⋅ 2𝑄
𝑑2
=
4 ⋅ 𝐾 ⋅ 𝑄2
𝑑2
 
 
 Gabarito: “b”. 
5. (1998/UNICAMP) 
Considere uma esfera de massa 𝑚 e carga 𝑞 pendurada no teto e sob a ação da gravidade e do 
campo elétrico E como indicado na figura a seguir. 
 
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Qual é o sinal da carga 𝑞? Justifique sua resposta. 
b) Qual é o valor do ângulo 𝜃 no equilíbrio. 
Comentários: 
Diagrama de forças na carga: 
 
a) Negativo. Cargas negativas sentem forças no sentido oposto ao do campo elétrico que as 
geram. 
b) Aplicando �⃗� = 𝑚�⃗� à esfera: 
�⃗�𝑒𝑙𝑒 + �⃗⃗� + �⃗⃗� = 0 
Assim os vetores mostrados acima devem formar um triângulo, do qual tiramos a relação: 
tan 𝜃 =
𝐹𝑒𝑙𝑒
𝑃
 
𝜃 = arctan (
|𝑞|𝐸
𝑚𝑔
) 
Gabarito: a) negativa b) 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
|𝒒|𝑬
𝒎𝒈
) 
6. (FEI-SP/MODIFICADA) 
Duas esferas condutoras concêntricas A e B possuem raios 𝑅1 = 10 𝑐𝑚, 𝑅2 = 20 𝑐𝑚 e 𝑅3 =
25 𝑐𝑚 e estão eletrizadas de forma que a diferença de potencial entre elas é 𝑉𝐴 – 𝑉𝐵 = 9 𝑘𝑉 
e a carga total da esfera 𝐵 é de 0,3 𝜇𝐶. Determine as cargas 𝑄1, 𝑄2 e 𝑄3 existentes nas 
superfícies dessas esferas. 
Dado: 𝐾 = 9 ⋅ 109 𝑁𝑚2𝐶–2. 
OBS: o meio entre as esferas é o vácuo. 
 
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Comentários: 
Usaremos o fato de o potencial causado pela carga na superfície de um condutor ser 
constante no seu interior e igual a: 
𝑉(𝑟) =
𝑘𝑄
𝑅
, ∀𝑟 < 𝑅 
No exterior temos: 
𝑉(𝑟) =
𝑘𝑄
𝑟
, ∀𝑟 ≥ 𝑅 
Por indução temos: 𝑄2 = −𝑄1 (𝑒𝑞. 1) 
Pela carga total de 𝐵, temos: 
𝑄3 + 𝑄2 = 3 ⋅ 106 𝐶 
𝑄3 − 𝑄1 = 3 ⋅ 106 𝐶 (𝑒𝑞. 2) 
Calculando a d.d.p. entre 𝐴 e 𝐵, obtemos: 
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = (
𝑘𝑄3
𝑅3
+
𝑘𝑄2
𝑅2
+
𝑘𝑄1
𝑅1
) − (
𝑘𝑄3
𝑅3
+
𝑘𝑄2
𝑅2
+
𝑘𝑄1
𝑅2
) 
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = (
𝑘𝑄3
𝑅3
−
𝑘𝑄1
𝑅2
+
𝑘𝑄1
𝑅1
) − (
𝑘𝑄3
𝑅3
−
𝑘𝑄1
𝑅2
+
𝑘𝑄1
𝑅2
) 
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑘𝑄1 (
1
𝑅1
−
1
𝑅2
) 
9 ⋅ 103 = 9 ⋅ 109𝑄1(
1
0.1
−
1
0.2
) 
𝑄1 = 0,2 𝜇𝐶 
Substituindo o resultado acima em (1) e (2), obtemos: 
𝑄2 = −0,2 𝜇𝐶 
𝑄3 = 0,5 𝜇𝐶 
Gabarito: 𝑸𝟏 = +𝟎, 𝟐𝝁𝑪, 𝑸𝟐 = −𝟎, 𝟐𝝁𝑪 e 𝑸𝟑 = +𝟎, 𝟓𝝁𝑪 
7. (2005/MACKENZIE) 
Uma partícula de massa igual a 2cg e carga de +1𝜇𝐶 é lançada com velocidade de 300 𝑚/𝑠, 
em direção a uma carga fixa de +3 𝜇𝐶. O lançamento é feito no vácuo de um ponto bastante 
afastado da carga fixa. Desprezando ações gravitacionais, qual a mínima distância entre as 
cargas? 
Adote: 𝐾0 = 9,0 × 109 𝑁. 𝑚2/𝐶2. 
Comentários: 
Inicialmente, vamos considerar que a energia potencial eletrostática é nula, já que a carga no 
momento do lançamento está muito afastada. Como apenas a força elétrica é considerada no 
problema, temos um sistema conservativo. Logo, a energia mecânica é conservada: 
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(𝐸𝑀)𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = (𝐸𝑀)𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 ⇒
1
2
𝑚𝑣0
2 =
1
2
𝑚𝑣2 +
(𝐾𝑞1𝑞2)
𝑑
 
Notamos que devido ao fato de as duas cargas serem positivas, a força elétrica está freando 
a carga. Dessa forma, a distância será mínima quando a velocidade for nula, marcando a inversão 
do movimento. Portanto: 
1
2
𝑚𝑣0
2 =
(𝐾𝑞1𝑞2)
𝑑𝑚𝑖𝑛 
⇒ 𝑑𝑚𝑖𝑛 =
2𝐾𝑞1𝑞2
𝑚𝑣0
2 
Substituindo valores, temos que: 
𝑑𝑚𝑖𝑛 =
2.9 × 109. 1 × 10−6. 3 × 10−6
1 × 10−5. (300)2
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 3 𝑐𝑚 
Gabarito: 𝒅𝒎𝒊𝒏 = 𝟑 𝒄𝒎 
8. (1975/UnB) 
Qualquer que seja a situação física envolvendo campo elétrico e potencial elétrico, podemos 
afirmar que: 
a) quando o campo elétrico for nulo num ponto, o potencial necessariamente também o será; 
b) quando o campo elétrico for diferente de zero num ponto, o potencial necessariamente 
também o será; 
c) quando o campo elétrico for constante numa região, o potencial necessariamente também 
o será; 
d) quando o campo elétrico for nulo numa região, o potencial será necessariamente constante 
nessa região. 
Comentários: 
a) Incorreta. Se o campo elétrico é nulo, quer dizer que o potencial é constante, basta 
lembrarmos que 𝐸 = −
𝑑𝑉
𝑑𝑟
. O potencial é constante, mas não necessariamente nulo. 
b) Incorreta. Basta pegarmos o exemplo do dipolo elétrico: 
 
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c) Incorreta. Basta lembrarmos do campo elétrico uniforme. O campo é invariante, mas os 
potenciais são cada vez menores à medida que caminhamos no sentido das linhas de campo. 
d) Correta. Essa alternativa corrige o texto escrito na alternativa a. Quando o campo é nulo, 
o potencial é constante podendo ser nulo ou não. 
Gabarito: “d”. 
9. (1975/UnB) 
Na figura ao lado vemos uma pequena esfera metálica de carga 𝑞, presa à extremidade inferior 
de uma haste de vidro e situada entre duas placas condutoras. A extremidade superior da haste 
está presa a uma mola e todo o sistema pode oscilar verticalmente. A diferença de potencial 
entre as placas é 𝑉12. A mola fica: 
 
a) comprimida quando q < 0 e V1 2 < 0; 
b) comprimida quando q = 0 e V1 2 > 0; 
c) distendida quando q > 0 e V1 2 < 0; 
d) nenhuma dessas. 
Comentários: 
a) Incorreta. Se 𝑉12 = 𝑉1 − 𝑉2 < 0, então 𝑉1 < 𝑉2 ou 𝑉2 > 𝑉1. Portanto, o campo elétrico está 
orientado da placa 2 para a placa 1. Por isso, a força elétrica na carga 𝑞 < 0, estará orientada para 
baixo, portanto, a mola está sendo alongada e não comprimida. 
b) Incorreta. Se 𝑞 = 0, não existe força elétrica atuando na carga. Como é desconsiderado o efeito 
da força peso, a mola não sofrerá ação de mais nenhuma força. 
c) Incorreta. Semelhante ao item a, 𝑉2 > 𝑉1, campo orientado da placa 2 para a placa 1. Assim, 
quando colocamos uma carga positiva entre as placas, a força elétrica está orientada para cima. 
Portanto, a mola está sendo comprimida. 
d) Correta. Nenhuma das anteriores estão corretas. 
Gabarito: “d”. 
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10. (E. Naval) 
𝐴, 𝐵 e 𝐶 são os vértices de um triângulo equilátero de 3 metros de lado e 𝐷 é o ponto médio 
do lado 𝐵𝐶. Em cada um dos vértices 𝐵 e 𝐶 há uma carga elétrica puntiforme, positiva, fixa, de 
1,0 nanocoulomb (1 𝑛𝑎𝑛𝑜 = 10−9). Uma terceira carga, puntiforme, positiva, de 1,0 
nanocoulomb é lançada, com energia cinética de 10 nanojoules, do vértice 𝐴 em direção ao 
ponto 𝐷. Considerando que a constante eletrostática do meio (vácuo) seja 9 × 109 uSI e que 
as únicas forças atuantes na carga móvel sejam as decorrentes da interação elétrica com as 
duas cargas fixas mencionadas, a energia cinética da carga móvel, em nanojoules, ao passar 
pelo ponto 𝐷 é: 
a) 0 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16 
Comentários: 
Vamos construir uma figura que representa a disposição física das cargas: 
 
Novamente, devido ao fato de as forças atuantes serem apenas da interação elétrica, 
podemos utilizar o teorema da energia cinética: 
𝜏𝐹𝑟𝑒𝑠
= Δ𝐸𝑐 
𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒
= (𝐸𝑐)𝐷 − (𝐸𝑐)𝐴 
𝑞. (𝑉𝐴 − 𝑉𝐷) = (𝐸𝑐)𝐷 − (𝐸𝑐)𝐴 
Calculamos os potenciais em 𝐴 e em 𝐷 pela expressão: 
𝑉𝐴 = 𝐾0
𝑞𝐵
𝑑
+ 𝐾0
𝑞𝐶
𝑑
=
9 × 109. 2 × 10−9
3
= 6 𝑉 
𝑉𝐷 = 𝐾0
𝑞𝐵
𝑑
2
+ 𝐾0
𝑞𝐶
𝑑
2
= 2 (𝐾0
𝑞𝐵
𝑑
+ 𝐾0
𝑞𝐶
𝑑
) = 2𝑉𝐴 = 12 𝑉 
Logo, a energia cinética no ponto 𝐷, em nanojoules (𝑛𝐽), é de: 
(𝐸𝑐)𝐷 = 𝑞. (𝑉𝐴 − 𝑉𝐷) + (𝐸𝑐)𝐴 
(𝐸𝑐)𝐷 = 1 × 10−9(6 − 12) + 10 × 10−9 = 4 × 10−9 = 4 𝑛𝐽 
Gabarito: “b”. 
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11. (1975/ITA) 
Três cargas 𝑞1 e 𝑞2 (iguaise positivas) e 𝑞3, estão dispostas conforme a figura. Calcule a relação 
entre 𝑞3 e 𝑞1 para que o campo elétrico na origem do sistema seja paralelo a 𝑦. 
a) −
5
4
 
b) 
5√2
8
 
c) −
3
4
 
d) 
4
3
 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
Comentários: 
Seja 𝐸 o campo que 𝑞1 exerce na origem. Como 𝑞2 tem o mesmo módulo e o dobro da 
distância de 𝑞1 à origem, seu campo será 
𝐸
4
. Seja 𝜃 o ângulo que o vetor posição de 𝑞1 faz com o eixo 
x. 
Para que não haja resultante na horizontal, devemos ter: 
𝐸3 = (𝐸 +
𝐸
4
) cos 𝜃 ⇒
𝑘|𝑞3|
52
=
5
4
𝑘𝑞1
52
3
5
 
|𝑞3| =
3
4
𝑞1 
Como a força deve ser de atração, temos: 
𝑞3 = −
3
4
𝑞1 
Gabarito: “c”. 
12. (1985/ITA) 
Considere um campo eletrostático cujas linhas de força são curvilíneas. Uma pequena carga de 
prova, cujo efeito sobre o campo é desprezível, é abandonada num ponto do mesmo, no qual 
a intensidade do vetor campo elétrico é diferente de zero. Sobre o movimento ulterior dessa 
partícula podemos afirmar que: 
a) Não se moverá porque o campo é eletrostático. 
b) Percorrerá necessariamente uma linha de força. 
c) Não percorrerá uma linha de força. 
d) Percorrerá necessariamente uma linha reta. 
e) Terá necessariamente um movimento oscilatório. 
 
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Comentários: 
Uma linha de força gera força na partícula apenas na sua direção. Para que a partícula 
descreva a trajetória curvilínea de qualquer linha de força, precisaria sentir uma resultante 
centrípeta perpendicular a essa trajetória, o que é impossível. 
Gabarito: “c”. 
13. (1991/ITA) 
Em uma região do espaço onde existe um campo elétrico uniforme �⃗⃗�, dois pêndulos 
simples de massas 𝑚 = 0,20 𝑘𝑔 e comprimento 𝐿 são postos a oscilar. A massa do primeiro 
pêndulo está carregada com 𝑞1 = 0,20 𝐶 e a massa do segundo pêndulo com 𝑞2 = −0,20 𝐶. 
São dados que a aceleração da gravidade local é 𝑔 = 10,0 𝑚/𝑠2, que o campo elétrico 
tem mesma direção e mesmo sentido que �⃗� e sua intensidade é 𝐸 = 6,0𝑉/𝑚. A razão (𝑝1/𝑝2), 
entre os períodos 𝑝1 e 𝑝2 dos pêndulos 1 e 2, é: 
a) 
1
4
 b) 
1
2
 c) 1 d) 2 e) 4 
Comentários: 
Calculando a gravidade aparente para os pêndulos: 
𝑔𝑎𝑝𝑎,1 = 𝑔 +
𝑞1𝐸
𝑚
 (𝑒𝑞. 1) 
𝑔𝑎𝑝𝑎,2 = 𝑔 −
𝑞2𝐸
𝑚
 (𝑒𝑞. 2) 
Lembre-se que o período de oscilação de um pêndulo é dado por: 
𝑇 = 2𝜋√
𝑙
𝑔
 
Assim, temos: 
𝑃1
𝑃2
= √
𝑔 −
𝑞2𝐸
𝑚
𝑔 +
𝑞1𝐸
𝑚
 
Substituindo (1) e (2) na equação acima, obtemos: 
𝑃1
𝑃2
= √
10 − 6
10 + 6
=
1
2
 
Gabarito: “b”. 
14. (1993/ITA) 
Duas placas planas e paralelas, de comprimento 𝑙, estão carregadas e servem como 
controladoras de elétrons em um tubo de raios catódicos. A distância das placas até a tela do 
tubo é 𝐿. Um feixe de elétrons (cada um de massa 𝑚 e carga elétrica de módulo 𝑒) penetra 
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entre as placas com uma velocidade 𝑣0, como mostra a figura. Qual é a intensidade do campo 
elétrico entre as placas se o deslocamento do feixe na tela do tubo é igual a 𝑑? 
 
𝒂) 𝑬 =
𝒎𝒗𝟎
𝟐𝒅
𝒆𝒍 (𝑳 −
𝒍
𝟐
)
 𝒃) 𝑬 =
𝒎𝒗𝟎
𝟐
𝒆𝒍 (𝑳 +
𝒍
𝟐
)
 𝒄) 𝑬 =
𝒎𝒗𝟎
𝟐𝒅
𝒆𝒍 (𝑳 +
𝒍
𝟐
)
 
𝑑) 𝐸 =
𝑚𝑣0
2𝑑
𝑒𝑙 (𝑚𝐿 +
𝑙
2
)
 𝑒) 𝐸 =
𝑚𝑣0
2𝑑
𝑒𝑙 (𝑚𝐿 −
𝑙
2
)
 
Comentários: 
Calculando a aceleração dos elétrons no tubo: 
𝐹 = 𝑚𝑎 
𝑎 = −
𝐸𝑒
𝑚
 
O movimento horizontal tem velocidade constante, logo: 
𝑣0 =
𝑙
𝑡𝑡𝑢𝑏𝑜
 
𝑡𝑡𝑢𝑏𝑜 =
𝑙
𝑣0
 (𝑒𝑞. 1) 
A distância vertical que percorrem, enquanto ainda se encontram no tubo, é dada por: 
𝑦𝑡𝑢𝑏𝑜 =
𝑎𝑡𝑡𝑢𝑏𝑜
2
2
=
(−
𝐸𝑒
𝑚
) 𝑡𝑡𝑢𝑏𝑜
2
2
 (𝑒𝑞. 2) 
Substituindo (2) em (1), temos: 
𝑦𝑡𝑢𝑏𝑜 = −
𝐸𝑒𝑙2
2𝑚𝑣0
2 (𝑒𝑞. 3) 
Após sair do tubo os elétrons se movem com velocidade constante. Calculando sua 
velocidade vertical nesse momento: 
𝑣𝑦 = 𝑣𝑦0
+ 𝑎𝑡 = 0 −
𝐸𝑒
𝑚
𝑡𝑣𝑜𝑜 
𝑣𝑦 = −
𝐸𝑒𝑙
𝑚𝑣0
 
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Após sair do tubo os elétrons manterão a velocidade calculada acima: 
𝑦𝑎𝑝ó𝑠
𝑡𝑎𝑝ó𝑠
= −
𝐸𝑒𝑙
𝑚𝑣0
 (𝑒𝑞. 4) 
Os elétrons também possuem velocidade horizontal constante após saírem do tubo, assim: 
𝑡𝑎𝑝ó𝑠 =
𝐿
𝑣0
 (𝑒𝑞. 5) 
Substituindo (5) em (4), temos: 
𝑦𝑎𝑝ó𝑠 = −
𝐸𝑒𝑙𝐿
𝑚𝑣0
2 (𝑒𝑞. 6) 
A distância vertical total percorrida pelos elétrons é dada pelo enunciado: 
𝑦𝑡𝑢𝑏𝑜 + 𝑦𝑎𝑝ó𝑠 = −𝑑 (𝑒𝑞. 7) 
Substituindo (3) e (6) em (7), obtemos: 
𝐸𝑒𝑙
𝑚𝑣0
2 (
𝑙
2
+ 𝐿) = 𝑑 
𝐸 =
𝑚𝑣0
2𝑑
𝑒𝑙 (
𝑙
2
+ 𝐿)
 
Gabarito: “c”. 
15. (1994/ITA) 
Numa região onde existe um campo elétrico uniforme 𝐸 = 1,0 ⋅ 102 𝑁/𝐶 dirigido 
verticalmente para cima, penetra um elétron com velocidade inicial 𝑣0 = 4,0 ⋅ 105𝑚/𝑠, 
seguindo uma direção que faz um ângulo de 30° com a horizontal, como mostra a figura. 
 
Sendo a massa do elétron 9,1 ⋅ 10−31 𝑘𝑔 e a carga do elétron −1,6 ⋅ 10−19 𝐶, podemos afirmar 
que: 
a) O tempo de subida do elétron será 1,14 ⋅ 10−8 𝑠. 
b) O alcance horizontal do elétron será 5,0 ⋅ 10−1 𝑚. 
c) A aceleração do elétron será 2,0 𝑚/𝑠2. 
d) O elétron será acelerado continuamente para cima até escapar do campo elétrico. 
e) O ponto mais elevado alcançado pelo elétron será 5,0 ⋅ 10−1 𝑚. 
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Comentários: 
Aplicando �⃗� = 𝑚�⃗� ao elétron, temos: 
�⃗� = 𝑚�⃗� 
�⃗� =
𝐸𝑒
𝑚
�̂� − 𝑔�̂� 
�⃗� = (
−1,6 ⋅ 10−17
9,1 ⋅ 10−31
− 10) �̂� 
�⃗� ≈ −1,76 ⋅ 1013 𝑚/𝑠2�̂� 
Como o movimento vertical do elétron tem aceleração constante, podemos escrever: 
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑡 
0 = 𝑣0 sen 𝛼 − 1,76 ⋅ 1013 ⋅ 𝑡𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎 
𝑡𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎 ≈ 1,14 ⋅ 10−8 𝑠 
Gabarito: “a”. 
16. (1995/ITA) 
Um pêndulo simples é construído com uma esfera metálica de massa 𝑚 = 1,0 × 10−4𝑘𝑔, 
carregada com uma carga elétrica 𝑞 = 3,0 × 10−5𝐶 e um fio isolante de comprimento 𝐿 =
1,0 𝑚, de massa desprezível. Este pêndulo oscila com período P num local onde 𝑔 =
10,0 𝑚/𝑠2. Quando um campo elétrico uniforme e constante �⃗⃗� é aplicado verticalmente em 
toda a região do pêndulo o seu período dobra de valor. A intensidade E do campo elétrico é 
de: 
a) 6,7 × 103 𝑁/𝐶. b) 42 𝑁/𝐶. c) 6,0 × 10−6 𝑁/𝐶. d) 33 𝑁/𝐶. e) 25 𝑁/𝐶. 
Comentários: 
O período de um pêndulo simples é dado por: 
𝑃 = 2𝜋√
𝑙
𝑔
 
Calculando a gravidade aparente do problema: 
𝑔𝑎𝑝𝑎 = 𝑔 −
𝐸𝑞
𝑚
 
Logo, a razão entre os períodos pode ser escrita como: 
𝑃𝑓
𝑃0
=
2𝜋√
𝑙
𝑔𝑎𝑝𝑎
2𝜋√
𝑙
𝑔
= √
𝑔
𝑔 −
𝐸𝑞
𝑚
= 2 
𝐸𝑞
𝑚
=
3𝑔
4
 
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𝐸 =
3𝑚𝑔
4𝑞
= 25 𝑁/𝐶 
Gabarito: “e”. 
17. (1999/ITA) 
Uma esfera homogênea de carga 𝑞 e massa 𝑚 de 2𝑔 está suspensa por um fio de massa 
desprezível em um campo elétrico uniforme cujas componentes em 𝑥 e 𝑦 têm intensidades 
𝐸𝑥 = √3 ⋅ 105 𝑁/𝐶 e 𝐸𝑦 = 1 ⋅ 105 𝑁/𝐶, respectivamente, como mostra a figura. 
 
Considerando que a esfera está em equilíbrio para 𝜃 = 60°, qual é a intensidade da força de 
tração no fio? 
Considere 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2. 
a) 9,80 ⋅ 10−3 𝑁. b) 1,96 ⋅ 10−2 𝑁. c) Nula. 
d) 1,70 ⋅ 10−3 𝑁. e) 7,17 ⋅ 10−3 𝑁. 
Comentários: 
Calculando o ângulo do vetor campo elétrico com a vertical: 
tan 𝛼 =
𝐸𝑥
𝐸𝑦
= √3 
𝛼 = 60° 
Observe o esquema das forças agindo na esfera: 
 
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www.estrategiavestibulares.com.brComo a partícula está em equilíbrio a soma vetorial das forças agindo sobre ela deve resultar 
em um polígono fechado. (Como são três, é um triângulo) 
Note que o triângulo mostrado na figura é equilátero, logo: 
𝑇 = 𝑚𝑔 = 2 ⋅ 10−3 ⋅ 9,8 = 1,96 ⋅ 10−2 𝑁 
Gabarito: “b”. 
18. (1999/ITA) 
No instante 𝑡 = 0 𝑠, um elétron é projetado em um ângulo de 30° em relação ao eixo 𝑥, com 
velocidade 𝑣0 de 4 ⋅ 105 𝑚/𝑠, conforme o esquema abaixo. 
 
A massa do elétron é 9,11 ⋅ 10−31 𝑘𝑔 e a sua carga elétrica é igual a −1,6 ⋅ 10−19 𝐶. 
Considerando que o elétron se move num campo elétrico constante 𝐸 = 100 𝑁/𝐶, o tempo 
que o elétron levará para cruzar novamente o eixo 𝑥 é de: 
a) 10 ns. b) 15 ns. c) 23 ns. 
d) 12 ns. e) 18 ns. 
Comentários: 
Aplicando �⃗� = 𝑚�⃗� ao elétron, temos: 
𝑞�⃗⃗� + 𝑚�⃗� = 𝑚�⃗� 
�⃗� =
−100 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19
9,11 ⋅ 10−31
�̂� − 10�̂� ≈ −1,76 ⋅ 1013 �̂� 𝑚/𝑠2 
Como o movimento vertical tem aceleração constante, podemos escrever: 
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑡 
Quando a partícula cruza o eixo horizontal novamente sua velocidade vertical deve ser a 
mesma, com sentido invertido: 
−𝑣0𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑡𝑣𝑜𝑜 
𝑡𝑣𝑜𝑜 =
2𝑣0 sen 30°
−𝑎
=
4 ⋅ 105
1,76 ⋅ 1013
≈ 22,7 𝑛𝑠 
Gabarito: “c”. 
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19. (2005/ITA) 
Considere um pêndulo de comprimento 𝑙, tendo na sua extremidade uma esfera de massa 𝑚 
com uma carga positiva 𝑞. A seguir, esse pêndulo é colocado num campo elétrico uniforme 
�⃗⃗� que atua na mesma direção e sentido da aceleração da gravidade �⃗�. Deslocando-se essa 
carga ligeiramente de sua posição de equilíbrio e soltando-a, ela executa um movimento 
harmônico simples, cujo período é: 
 
𝒂) 𝑻 = 𝟐𝝅√
𝒍
𝒈
 𝒃) 𝑻 = 𝟐𝝅√
𝒍
𝒈 + 𝒒
 𝒄) 𝑻 = 𝟐𝝅√
𝒎𝒍
𝒈𝑬
 
𝑑) 𝑇 = 2𝜋√
𝑚𝑙
𝑚𝑔 − 𝑞𝐸
 𝑒) 𝑇 = 2𝜋√
𝑚𝑙
𝑚𝑔 + 𝑞𝐸
 
Comentários: 
Calculando a gravidade aparente para o movimento: 
𝑔𝑎𝑝𝑎 = 𝑔 +
𝐹𝑒𝑙𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑚
= 𝑔 +
𝑞𝐸
𝑚
 
Lembrando da expressão para o período de um pêndulo simples: 
𝑇 = 2𝜋√
𝑙
𝑔
 
Devemos substituir a gravidade pela gravidade aparente do movimento considerado: 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚𝑙
𝑚𝑔 + 𝑞𝐸
 
Gabarito: “e”. 
20. (2005/ITA) 
Em uma impressora a jato de tinta, gotas de certo tamanho ejetadas de um pulverizador em 
movimento, passam por uma unidade eletrostática onde perdem alguns elétrons, adquirindo 
uma carga 𝑞, e, a seguir, deslocam-se no espaço entre placas planas paralelas eletricamente 
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carregadas, pouco antes da impressão. Considere gotas de raio 10 𝜇𝑚 lançadas com 
velocidade de módulo 𝑣 = 20 𝑚/𝑠 entre as placas de comprimento igual a 2,0 𝑐𝑚, no interior 
das quais existe um campo elétrico uniforme de módulo 𝐸 = 8,0 × 104 𝑁/𝐶, como mostra a 
figura. 
 
Considerando que a densidade da gota seja 1000 𝑘𝑔/𝑚3 e sabendo-se que a mesma sofre um 
desvio de 0,30 𝑚𝑚 ao atingir o final do percurso, o módulo de sua carga elétrica é de: 
a) 𝟐, 𝟎 × 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝐂 b) 𝟑, 𝟏 × 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝐂 c) 𝟔, 𝟑 × 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝐂 
d) 3,1 × 10−11 C e) 1,0 × 10−1 C 
Comentários: 
Calculando a massa da gota: 
𝑚 = 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑉 = 103 ⋅
4
3
𝜋(10−5)3 =
4
3
𝜋10−12 𝑘𝑔 
Aplicando �⃗� = 𝑚�⃗� à partícula, temos; 
𝑞�⃗⃗� = 𝑚�⃗� 
�⃗� = −
𝑞𝐸
𝑚
�̂� 
Perceba que a partícula sofre uma aceleração vertical constante e horizontal nula, de modo 
idêntico a um lançamento horizontal. A equação da parábola para um lançamento horizontal é dada 
por: 
𝑦 = −
𝑔𝑥2
2𝑣0
2 
Basta substituirmos a aceleração da gravidade pela aceleração encontrada no movimento 
acima: 
𝑦 = −
(
𝑞𝐸
𝑚
) 𝑥2
2𝑣0
2 
O desvio total ocorrera em 𝑥 = 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 2 𝑐𝑚: 
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3 ⋅ 10−4 =
1
2
(𝑞 ⋅ 8 ⋅ 104)
(
4
3
𝜋10−12) ⋅ (20)2
⋅ 4 ⋅ 10−4 
𝑞 = 𝜋 ⋅ 10−14 𝐶 
Gabarito: “b”. 
21. (1983/ITA) 
Entre duas placas planas e paralelas, existe um campo elétrico uniforme. Devido a uma 
diferença de potencial 𝑉 aplicada entre elas. Um feixe de elétrons é lançado entre as placas 
com velocidade inicial 𝑣0. A massa do elétron é 𝑚 e 𝑞 é o módulo de sua carga elétrica. 𝐿 é a 
distância horizontal que o elétron percorre para atingir uma das placas e 𝑑 é a distância entre 
as placas. 
 
Dados: 𝑣0, 𝐿, 𝑑 e 𝑉, a razão entre o módulo da carga e a massa do elétron 
𝑞
𝑚
 é dada por: 
𝐚) 
𝐕𝐝
𝐋𝐯𝟎
 𝐛) 
𝟐𝐋𝟐𝐯𝟎
𝐕𝐝
 𝐜) 
𝐕𝟐𝐋
𝐝𝟐𝐯𝟎
 
d) 
d2v0
2
VL2
 e) 
VL
d2v0
2 
Comentários: 
O movimento do elétron é semelhante a um lançamento horizontal, de velocidade 𝒗𝟎 e campo de 
aceleração vertical dado por: 
𝑔𝑎𝑝𝑎 =
𝐸𝑒𝑙𝑒𝑞
𝑚
=
𝑉𝑞
𝑚𝑑
 
Lembrando da equação da parábola de um lançamento horizontal: 
𝑦(𝑥) = −
𝑔𝑥2
2𝑣0
2 
𝑑
2
=
𝑔𝑎𝑝𝑎𝑥2
2𝑣0
2 
𝑞
𝑚
=
𝑑2𝑣0
2
𝐿2𝑉
 
Gabarito: “d”. 
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22. (1971/ITA) 
Um elétron de massa 𝑚 e carga −𝑞 penetra com velocidade 𝑣𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 entre as placas 
de um capacitor plano. Neste há uma diferença de potencial 𝑉 orientada de modo a fazer o 
elétron subir. 
 
Deduza a expressão da componente 𝑣𝑦 da velocidade que o elétron possui ao deixar o 
capacitor e assinale-a entre as opções abaixo. Despreze a atração gravitacional sobre o elétron. 
𝐚) 𝐯𝐲 =
𝐪𝐕𝐋
𝐦𝐝𝐯𝐱
 𝐛) 𝐯𝐲 =
𝐪𝐦𝐋
𝐕𝐝𝐯𝐱
 𝐜) 𝐯𝐲 = 𝐯𝐱 
d) vy =
L
d
∙ vx e) nenhuma das opções é correta. 
Comentários: 
Aplicando 𝐹 = 𝑚𝑎 ao elétron, na direção vertical, temos: 
𝑎 =
𝐸𝑞
𝑚
=
𝑉𝑞
𝑚𝑑
 
Como se trata de um movimento com aceleração constante, podemos escrever: 
𝑣𝑦 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 ⇒ 𝑣𝑦 =
𝑉𝑞𝑡𝑓
𝑚𝑑
 (𝑒𝑞. 1) 
O movimento horizontal tem velocidade constante, logo: 
𝑣𝑥 =
𝐿
𝑡𝑓
⇒ 𝑡𝑓 =
𝐿
𝑣𝑥
 
Substituindo (2) em (1), obtemos: 
𝑣𝑦 =
𝑉𝑞𝐿
𝑚𝑑𝑣𝑥
 
Gabarito: “a”. 
23. (1969/ITA) 
Três superfícies planas circulares isoladas possuem cargas distribuídas conforme indica a 
figura: 
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Pode-se afirmar que: 
a) O campo elétrico na região compreendida entre a e b é nulo. 
b) O campo elétrico apresenta valores mínimos na região entre b e c. 
c) No centro geométrico de b, o campo elétrico é equivalente àquele determinado pelas cargas 
de a e c. 
d) Entre c e b o sentido do campo elétrico é de c para b. 
e) Nenhuma das afirmações anteriores é correta. 
Comentários: 
a) Incorreto. Como as placas são finitas temos o chamado efeito de bordas, de modo que as 
linhas de campo saindo das placas não são perpendiculares e, portanto, não se cancelam. Além 
disso, temos o campo gerado pela placa C, que contribui para que o campo elétrico resultante na 
região não seja nulo. 
b) Incorreto. O campo tem intensidade crescente de c para b, logo não pode ter um mínimo 
naquele intervalo. 
c) Correto. Considere uma porção arbitrária de b. Essa porção possuirá uma outra, simétrica 
em relação ao centro da superfície, de modo que o campo resultante desse par de cargas, no centro, 
é nulo. A superfície é composta por pares como o descrito acima, logo gera campo resultante nulo 
no centro. 
d) Incorreto. Cargas negativas geram campos que apontam em sua direção e positivas, o 
oposto. 
Gabarito: “c”. 
24. (1981/ITA) 
Uma partícula de massa 𝑚 e outra de massa 2𝑚 tem cargas elétricas 𝑞 de mesmo módulo, 
mas de sinais opostos. Estando inicialmente separadas de uma distância 𝑅, são soltas a partir 
do repouso. Nestas condições, quando a distância entre as partículas for 𝑅/2, desprezando a 
ação gravitacionalterrestre, se 𝐾 =
1
4𝜋𝜀0
, pode-se afirmar que: 
a) Ambas terão a mesma velocidade 𝑣 = 𝑞 (
𝐾
3𝑚𝑅
)
1/2
. 
b) Ambas terão a mesma velocidade 𝑣 = 𝑞 (
𝐾
𝑚𝑅
)
1/2
. 
c) Ambas terão a mesma velocidade 𝑣 = 2𝑞 (
𝑘
3𝑚𝑅
)
1/2
. 
d) uma terá velocidade 𝑣 = 𝑞 (
𝐾
𝑚𝑅
)
1/2
 e a outra terá velocidade de 𝑣 = 2𝑞 (
𝐾
3𝑚𝑅
)
1/2
. 
e) uma terá velocidade 𝑣 = 𝑞 (
𝐾
3𝑚𝑅
)
1/2
 e a outra terá velocidade de 𝑣 = 2𝑞 (
𝐾
3𝑚𝑅
)
1/2
. 
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Comentários: 
Vamos fazer um desenho representativo do nosso sistema: 
 
O sistema é isolado, já que não existe forças externas atuando nele e a força elétrica de 
atração as cargas é interna, podemos dizer que a quantidade de movimento do sistema se conserva, 
logo: 
�⃗⃗�𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = �⃗⃗�𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 
𝑚. 0 + 𝑚. 0 = 𝑚. 𝑣1 − 2𝑚. 𝑣2 
𝑣1 = 2𝑣2 𝑒𝑞 1 
Dado que o sistema é conservativo, temos que a energia mecânica se conserva, portanto: 
(𝐸𝑀)𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = (𝐸𝑀)𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 
𝐾𝑞(−𝑞)
𝑅
=
1
2
𝑚𝑣1
2 +
1
2
2𝑚𝑣2
2 +
𝐾𝑞(−𝑞)
𝑅
2
 𝑒𝑞 2 
Substituindo 1 em 2 e manipulando algebricamente, temos que: 
𝐾𝑞2
𝑅
= 3𝑚𝑣2
2 ⇒ 𝑣2 = 𝑞√
𝐾
3𝑚𝑅
 
Então: 
𝑣1 = 2𝑣2 = 2𝑞√
𝐾
3𝑚𝑅
 
Gabarito: “e”. 
25. (1985/ITA) 
Uma esfera condutora de raio 0,50 𝑐𝑚 é elevada a um potencial de 10,0𝑉. Uma segunda 
esfera, bem afastada da primeira, tem raio 1,00 𝑐𝑚 e está ao potencial 15,0𝑉. Elas são ligadas 
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por um fio de capacitância desprezível. Sabendo-se que o meio no qual a experiência é 
realizada é homogêneo e isotrópico, podemos afirmar que os potenciais finais das esferas 
serão: 
a) 12,5𝑉 e 12,5𝑉. 
b) 8,33𝑉 para a primeira e 16,7𝑉 para a segunda. 
c) 16,7𝑉 para a primeira e 8,33𝑉 para a segunda. 
d) 13,3𝑉 e 13,3𝑉. 
e) Zero para a primeira e 25,0𝑉 para a segunda. 
Comentários: 
Calculando a carga na primeira esfera: 
𝑉1 =
𝑘𝑄1
𝑟1
⇒ 𝑄1 =
𝑟1𝑉1
𝑘
 (𝑒𝑞. 1)(𝑟1 = 0,5 𝑐𝑚) 
Do mesmo modo: 
𝑄2 =
𝑟2𝑉2
𝑘
 (𝑒𝑞. 2)(𝑟1 = 1 𝑐𝑚) 
Quando as duas são ligadas a carga se distribui de modo que as duas esferas possuam o 
mesmo potencial: 
𝑉𝑓 =
𝑘𝑄1
′
𝑟1
=
𝑘𝑄2
′
𝑟2
⇒ 𝑄1
′ =
𝑟1𝑉𝑓
𝑘
 (𝑒𝑞. 3) e 𝑄2
′ =
𝑟2𝑉𝑓
𝑘
 (𝑒𝑞. 4) 
A carga total do sistema se mantém constante: 
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 = 𝑄1
′ + 𝑄2
′ (𝑒𝑞. 5) 
Substituindo (1), (2), (3) e (4) em (5), obtemos: 
𝑟1𝑉1
𝑘
+
𝑟2𝑉2
𝑘
=
𝑟1𝑉𝑓
𝑘
+
𝑟2𝑉𝑓
𝑘
⇒ 𝑉𝑓 =
𝑟1𝑉1 + 𝑟2𝑉2
𝑟1 + 𝑟2
 
𝑉𝑓 =
0,5 ⋅ 10 + 1 ⋅ 1,5
1,5
=
20
1,5
= 13,3 𝑉 
Gabarito: “d”. 
26. (1986/ITA) 
Duas esferas metálicas, 𝐴 e 𝐵, de raios 𝑅 e 3𝑅, respectivamente, são postas em contato. 
Inicialmente 𝐴 possui carga elétrica positiva +2𝑄 e 𝐵, carga −𝑄. Após atingir o equilíbrio 
eletrostático, as novas cargas de 𝐴 e 𝐵 passam a ser, respectivamente: 
a) 𝑄/2, 𝑄/2. b) 3𝑄/4, 𝑄/4. c) 3𝑄/2, 𝑄/2. 
d) 𝑄/4, 3𝑄/4. e) 4𝑄/3 𝑒 − 𝑄/3. 
Comentários: 
Quando as duas são postas em contato a carga se distribui de modo que as duas esferas 
possuam o mesmo potencial: 
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𝑉𝑓 =
𝑘𝑄𝐴
′
𝑟𝐴
=
𝑘𝑄𝐵
′
𝑟𝐵
⇒ 𝑄𝐵
′ =
𝑟𝐵
𝑟𝐴
𝑄𝐴
′ = 3𝑄𝐴
′ (𝑒𝑞. 1) 
A carga total do sistema se mantém constante: 
𝑄𝑡𝑜𝑡 = 2𝑄 + (−𝑄) = 𝑄𝐴
′ + 𝑄𝐵
′ (𝑒𝑞. 2) 
Substituindo (1) em (2), obtemos: 
𝑄 = 𝑄𝐴
′ + 3𝑄𝐴
′ ⇒ 𝑄𝐴
′ =
𝑄
4
 
𝑄𝐵
′ = 3𝑄𝐴
′ =
3𝑄
4
 
Gabarito: “d”. 
27. (1988/ITA) 
A, B e C são superfícies que se acham, respectivamente, a potenciais +20V, 0V e + 4,0V. Um 
elétron é projetado a partir da superfície C no sentido ascendente com uma energia cinética 
inicial de 9,0 eV (Um elétronvolt é a energia adquirida por um elétron quando submetido a 
uma diferença de potencial de um volt). A superfície B é porosa e permite a passagem de 
elétrons. Podemos afirmar que: 
 
a) Na região entre C e B o elétron será acelerado pelo campo elétrico até atingir a superfície B 
com energia cinética de 33,0 eV Uma vez na região entre B e A, será desacelerado, atingindo a 
superfície A com energia cinética de 13,0 eV 
b) Entre as placas C e B o elétron será acelerado atingindo a placa B com energia cinética igual 
a 13,0 eV, mas não atinge a placa A. 
c) Entre C e B o elétron será desacelerado pelo campo elétrico aí existente e não atingirá a 
superfície B. 
d) Na região entre C e B o elétron será desacelerado, mas atingirá a superfície B com energia 
cinética de 5,0 eV Ao atravessar B, uma vez na região entre B e A será acelerado, até atingir a 
superfície A com uma energia cinética de 25,0 eV 
e) Entre as placas C e B o elétron será desacelerado, atingindo a superfície B com energia 
cinética de 5,0 eV. Uma vez na região entre B e A, será desacelerado, até atingir a superfície A 
com energia cinética de 15,0 eV. 
Comentários: 
Utilizando o teorema da energia cinética, podemos determinar a energia cinética na 
superfície B: 
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(𝑊𝐹𝑒𝑙𝑒
)
𝐶→𝐵
= (−𝑒). (𝑉𝐶 − 𝑉𝐵) = Δ𝐸𝑐 = (𝐸𝑐)𝐵 − (𝐸𝑐)𝐶 
(−𝑒)(4 − 0) = (𝐸𝑐)𝐵 − 9𝑒𝑉 
(𝐸𝑐)𝐵 = 5 𝑒𝑉 
Novamente, pelo teorema da energia cinética, temos que a energia cinética com que o 
elétron chegará na placa é de: 
(𝑊𝐹𝑒𝑙𝑒
)
𝐵→𝐴
= (−𝑒). (𝑉𝐵 − 𝑉𝐴) = Δ𝐸𝑐 = (𝐸𝑐)𝐴 − (𝐸𝑐)𝐵 
(−𝑒). (0 − 20) = (𝐸𝑐)𝐴 − 5𝑒𝑉 
(𝐸𝑐)𝐴 = 25 𝑒𝑉 
Gabarito: “d”. 
28. (1988/ITA) 
Na figura, C é um condutor em equilíbrio eletrostático, que se encontra próximo de 
outros objetos eletricamente carregados. Considere a curva tracejada L que une os pontos A e 
B da superfície do condutor. 
 
Podemos afirmar que: 
a) A curva L não pode representar uma linha de força do campo elétrico. 
b) A curva L pode representar uma linha de força, sendo que o ponto B está a um potencial 
mais baixo que o ponto A. 
c) A curva L pode representar uma linha de força, sendo que o ponto B está a um potencial 
mais alto que o ponto A. 
d) A curva L pode representar uma linha de força, desde que L seja ortogonal à superfície do 
condutor nos pontos A e B. 
e) A curva L pode representar uma linha de força, desde que a carga total do condutor seja 
nula. 
Comentários: 
Um condutor em equilíbrio eletrostático apresenta o mesmo potencial em toda sua extensão. 
Assuma, por absurdo, que existe uma linha de força ligando dois pontos, A e B, desse condutor. 
Considere uma região bem pequena dessa linha, de comprimento Δ𝑙, de modo que podemos 
considerar a direção do campo constante nesse trecho: 
Δ𝑉 = −𝐸 Δ𝑙 
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 A linha como um todo pode ser considerar uma some de trechos, logo: 
∑Δ𝑉 = −𝐸∑Δ𝑙 = −𝐸𝑙 ≠ 0 
O que é um absurdo, pois não existe diferença de potencial entre os pontos do condutor. 
Gabarito: “a”. 
29. (1990/ITA) 
Num tubo de raios catódicos tem-se um filamento F que libera elétrons quando aquecido, e 
uma placa aceleradora P que é mantida a um potencial mais alto que o filamento. O filamento 
fica a uma distância d da placa. A placa tem, ainda, um orifício que permite a passagem dos 
elétrons que vão se chocar com uma tela que fica fluorescente quando os mesmos a atingem. 
 
Nestas condições: 
a) Se aumentarmos a distância d entre o filamento e a placa, a energia cinética com que os 
elétrons chegam à placa aumenta. 
b) O aumento da distância d faz com que a energia cinética dos elétrons diminua. 
c) A energia cinética dos elétrons não depende da distância entre o filamento e a placa,mas 
só da diferença de potencial U entre o filamento e a placa aceleradora. 
d) A energia cinética dos elétrons só depende da temperatura do filamento. 
e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira. 
Comentários: 
Como a única força que atua nos elétrons é a força elétrica e ela é conservativa, podemos 
usar o teorema da energia cinética nesse caso: 
𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒
= Δ𝐸𝑐 
Onde o trabalho da força elétrica pode ser dado por: 
𝜏𝐹𝑒𝑙𝑒
= 𝑞(𝑉𝐹 − 𝑉𝑃) 
Portanto: 
𝑞(𝑉𝐹 − 𝑉𝑃) =
1
2
𝑚𝑣𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
2 −
1
2
𝑚𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
2 
O enunciado deixa claro que o potencial da placa P é maior que o potencial do filamento, 
como esperado, os elétrons (cargas negativas) procuram, espontaneamente, potenciais maiores. 
a) Incorreto. Como vimos, a velocidade final dos elétrons ao chegar na placa não depende da 
distância 𝑑. 
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b) Incorreto. Novamente, a distância 𝑑 não interfere na variação da energia cinética dos 
elétrons. 
c) Correto. Como mostramos a variação da energia cinética dos elétrons é função exclusiva 
da diferença de potencial das placas: 
1
2
𝑚𝑣𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
2 −
1
2
𝑚𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
2 = 𝑞(𝑉𝐹 − 𝑉𝑃) 
d) Incorreto. Conforme vimos no item c. 
e) Incorreto. O item c está correto. 
Gabarito: “c”. 
30. (1993/ITA) 
Entre as armaduras de um capacitor plano com placas horizontais, existe uma diferença de 
potencial 𝑉. A separação entre as armaduras é 𝑑. Coloca-se uma pequena carga 𝑄 > 0, de 
massa m entre as armaduras e esta fica em equilíbrio. A aceleração da gravidade é 𝑔. Qual é o 
valor da carga 𝑄? 
a) 𝑄 = 𝑚𝑔𝑑−1/𝑉. b) 𝑄 = 𝑉𝑑/𝑚. c) 𝑄 = 𝑚𝑔𝑑/𝑉. 
d) 𝑄 = 𝑉𝑔𝑑/𝑚. e) 𝑄 = 𝑔𝑑/𝑉𝑚. 
Comentários: 
Nessa configuração temos um campo uniforme e perpendicular às placas do capacitor. 
Equilibrando as forças agindo na carga: 
 
𝐹𝑒𝑙𝑒 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 ⇒ 𝐸𝑞 = 𝑚𝑔 ⇒ 𝑄 =
𝑚𝑔𝑑
𝑉
 
Gabarito: “c”. 
31. (2001/ITA) 
Uma esfera de massa 𝑚 e carga 𝑞 está suspensa por um fio frágil e inextensível, feito de um 
material eletricamente isolante. A esfera se encontra entre as placas paralelas de um capacitor 
plano, como mostra a figura. A distância entre as placas é 𝑑, a diferença de potencial entre as 
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mesmas é 𝑉 e o esforço máximo que o fio pode suportar é igual ao quádruplo do peso da 
esfera. Para que a esfera permaneça imóvel, em equilíbrio estável, é necessário que: 
 
a) (
𝑞𝑉
𝑑
)
2
≤ 15 𝑚𝑔 b) (
𝑞𝑉
𝑑
)
2
≤ 4 (𝑚𝑔)2 
c) (
𝑞𝑉
𝑑
)
2
≤ 15 (𝑚𝑔)2 d) (
𝑞𝑉
𝑑
)
2
≥ 15 𝑚𝑔 
e) (
𝑞𝑉
𝑑
)
2
≤ 16 (𝑚𝑔)2 
Comentários: 
Considere o esquema de forças agindo sobre a carga: 
 
Pelo equilíbrio, temos: 
𝑇2 = (𝑚𝑔)2 + (𝑞𝐸)2 
Lembrando que esforço máximo é tal que 𝑇 ≤ 4𝑚𝑔, então: 
(𝑞𝐸)2 ≤ 15(𝑚𝑔)2 
(
𝑞𝑉
𝑑
)
2
≤ 15(𝑚𝑔)2 
Gabarito: “c”. 
32. (2002/ITA) 
Uma esfera metálica isolada, de raio 𝑅1 = 10,0 𝑐𝑚 é carregada no vácuo até atingir o potencial 
𝑈 = 9,0𝑉. Em seguida, ela é posta em contato com outra esfera metálica isolada, de raio 𝑅2 =
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5,0 𝑐𝑚, inicialmente neutra. Após atingir o equilíbrio eletrostático, qual das alternativas 
melhor descreve a situação física? É dado que 
1
4𝜋𝜀0
= 9,0 × 109 𝑁𝑚2/𝐶2. 
a) A esfera maior terá uma carga de 0,66. 10-10 C. 
b) A esfera maior terá um potencial de 4,5V. 
c) A esfera menor terá uma carga de 0,66. 10-10 C. 
d) A esfera menor terá um potencial de 4,5V. 
e) A carga total é igualmente dividida entre as duas esferas. 
Comentários: 
Calculando a carga na primeira esfera: 
𝑉1 =
𝑘𝑄1
𝑅1
⇒ 𝑄1 =
𝑅1𝑉1
𝑘
 (𝑒𝑞. 1)(𝑅1 = 10 𝑐𝑚) 
Quando as duas são ligadas a carga se distribui de modo que as duas esferas possuam o 
mesmo potencial: 
𝑉𝑓 =
𝑘𝑄1
′
𝑅1
=
𝑘𝑄2
′
𝑅2
⇒ 𝑄1
′ =
𝑅1𝑉𝑓
𝑘
 (𝑒𝑞. 2) e 𝑄2
′ =
𝑅2𝑉𝑓
𝑘
 (𝑒𝑞. 3) 
Pelo Princípio da Conservação das Cargas, temos: 
𝑄 = 𝑄1 = 𝑄1
′ + 𝑄2
′ (𝑒𝑞. 4) 
Substituindo (1), (2), (3) em (4), obtemos: 
𝑅1𝑈
𝑘
=
𝑅1𝑉𝑓
𝑘
+
𝑅2𝑉𝑓
𝑘
⇒ 𝑉𝑓 =
𝑅1𝑈
𝑅1 + 𝑅2
⇒ 𝑉𝑓 =
2
3
9 = 6 𝑉 (𝑒𝑞. 5) 
Substituindo (5) em (2) e (3), obtemos: 
𝑄1 = 0,66 ⋅ 10−10 𝐶 (𝑔𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑜) 
𝑄2 = 0,33 ⋅ 10−10 𝐶 
Gabarito: “a”. 
33. (2005/ITA) 
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movimento, passam por uma unidade eletrostática onde perdem alguns elétrons, adquirindo 
uma carga 𝑞, e, a seguir, deslocam-se no espaço entre placas planas paralelas eletricamente 
carregadas, pouco antes da impressão. Considere gotas de raio 10 𝜇𝑚 lançadas com 
velocidade de módulo 𝑣 = 20 𝑚/𝑠 entre as placas de comprimento igual a 2,0 𝑐𝑚, no interior 
das quais existe um campo elétrico uniforme de módulo 𝐸 = 8,0 × 104 𝑁/𝐶, como mostra a 
figura. 
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Considerando que a densidade da gota seja 1000 𝑘𝑔/𝑚3 e sabendo-se que a mesma sofre um 
desvio de 0,30 𝑚𝑚 ao atingir o final do percurso, o módulo de sua carga elétrica é de: 
a) 𝟐, 𝟎. 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝑪. b) 𝟑, 𝟏. 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝑪. c) 𝟔, 𝟑. 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝑪. 
d) 3,1. 10−11 𝐶. e) 1,1. 10−10 𝐶. 
Comentário: 
Aplicando 𝐹 = 𝑚𝑎 à gota, temos: 
𝑎𝑦 =
𝐸𝑞
𝑚
 (1)(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜) 
O movimento é análogo a um lançamento horizontal com campo gravitacional igual a (1). A 
equação da parábola para lançamentos horizontais é dada por: 
𝑦(𝑥) = 𝑦0 −
𝑔𝑥2
2𝑣0
2 ⇒ Δ𝑦 = −
𝑔𝑎𝑝𝑎𝑥2
2𝑣2
⇒ ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =
(
𝐸𝑞
𝑚
) 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
2
2𝑣2
 
𝑞 =
2ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑣2𝑚
𝐸𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
2 =
2ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑣2(𝜌𝑔𝑜𝑡𝑎 ⋅
4
3
𝜋𝑟𝑔𝑜𝑡𝑎
3 )
𝐸𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
2 
𝑞 = 𝜋 ⋅ 10−14 𝐶 
Gabarito: “b”. 
34. (2009/ITA) 
Três esferas condutoras, de raio a e carga 𝑄, ocupam os vértices de um triângulo equilátero de 
lado 𝑏 ≫ 𝑎, conforme mostra a figura (1). Considere as figuras (2), (3) e (4), em que, 
respectivamente, cada uma das esferas se liga e desliga da Terra, uma de cada vez. Determine, 
nas situações (2), (3) e (4), a carga das esferas 𝑄1, 𝑄2 e 𝑄3, respectivamente, em função de 𝑎, 𝑏 
e 𝑄. 
 
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Comentários: 
Em (2) o condutor ligado à Terra deve ter potencial nulo, logo: 
𝑉1 =
𝑘𝑄1
𝑎
+
𝑘𝑄
𝑏
+
𝑘𝑄
𝑏
= 0 ⇒ 𝑄1 =
2𝑎𝑄
𝑏
 
Em (3) o condutor ligado à Terra deve ter potencial nulo, assim: 
𝑉2 =
𝑘𝑄2
𝑎
+
𝑘𝑄1
𝑏
+
𝑘𝑄
𝑏
= 0 ⇒ 𝑄2 = −
𝑎𝑄
𝑏
(1 −
2𝑎
𝑏
) 
Do mesmo modo, em (4) o condutor ligado à Terra deve ter potencial nulo: 
𝑉3 =
𝑘𝑄3
𝑎
+
𝑘𝑄2
𝑏
+
𝑘𝑄1
𝑏
= 0 ⇒ 𝑄3 =
𝑄𝑎2
𝑏2
(3 −
2𝑎
𝑏
) 
Gabarito: 𝑸𝟏 = −
𝟐𝑸𝒂
𝒃
, 𝑸𝟐 =
𝑸∙𝒂
𝒃
(
𝟐𝒂
𝒃
− 𝟏) e 𝑸𝟑 =
𝑸𝒂𝟐
𝒃𝟐
(𝟑 −
𝟐𝒂
𝒃
) 
35. (2010/ITA) 
Considere as cargas elétricas 𝑞1 = 1 𝐶, situada em 𝑥 = – 2𝑚, e 𝑞2 = – 2 𝐶, situada em 𝑥 =
 – 8 𝑚. Então, o lugar geométrico dos pontos de potencial nulo é 
b) uma esfera que corta o eixo x nos pontos 𝑥 = – 4 𝑚 e 𝑥 = 4𝑚. 
b) uma esfera que corta o eixo x nos pontos 𝑥 = – 16 𝑚 e 𝑥 = 16 𝑚. 
c) um elipsoide que corta o eixo x nos pontos 𝑥 = – 4 𝑚 e 𝑥 = 16 𝑚. 
d) um hiperboloide que corta o eixo x no ponto 𝑥 = – 4 𝑚. 
e) um plano perpendicular ao eixo x que o corta no ponto 𝑥 = – 4 𝑚. 
Comentários: 
Calculando o potencial de um ponto arbitrário (𝑥, 𝑦, 𝑧) (considere o eixo 𝑧 saindo do plano 
da folha): 
 
𝑉(𝑥, 𝑦) =
𝑘𝑞1
√(2 + 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑧2
+
𝑘𝑞2
√(8 + 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑧2
= 0 
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√(8 + 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2√(2 + 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑧2 
(8 + 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4[(2 + 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑧2] 
3𝑥2 + 3𝑦2 + 3𝑧2 = 48 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 16 
A equação representa uma esfera centrada em (0,0,0) de raio 4, cortando o eixo 𝑥 em 4 e 
−4. 
Gabarito: “a”. 
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10 - CONSIDERAÇÕES FINAIS 
“O segredo do sucesso é a constância no objetivo” 
 
 Parabéns por mais uma aula concluída. Ela significa menos um degrau até a sua aprovação. 
É importante frisar que um dos principais diferencias do Estratégia é o famoso fórum de dúvidas. O 
fórum é um ambiente no qual, prevalecendo o respeito, ocorre a troca de informações e o 
esclarecimento das dúvidas dos alunos. 
 Para acessar o fórum de dúvidas faça login na área do aluno, no site do Estratégia 
Vestibulares. Pelo link https://www.estrategiavestibulares.com.br/ e busque pela opção “Fórum de 
Dúvidas”. 
11 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
[1] Calçada, Caio Sérgio. Física Clássica volume 5. 2. Ed. Saraiva Didáticos, 2012. 576p. 
[2] Newton, Gualter, Helou. Tópicos de Física volume 3. 11ª ed. Saraiva, 1993. 303p. 
[3] Toledo, Nicolau, Ramalho. Os Fundamentos da Física volume 3. 9ª ed. Moderna. 490p. 
[4] Resnick, Halliday, Jearl Walker. Fundamentos de Física volume 3. 10ª ed. LTC. 365p. 
12 - VERSÃO DE AULA 
Versão Data Modificações 
1.0 29/06/2020 Primeira versão do texto. 
1.1 09/07/2020 Correções nos exercícios inéditos.