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Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Prof. Ronilson Flávio de Souza Engenheiro Civil Especialista em Estruturas MBA em Construção Civil Bibliografia NBR 6118/2008 – Projeto de estruturas de Concreto Procedimento. NBR 6120/1980 – Cargas para cálculos de estrutura de edificações. NBR 6123/1980 – Forças devidas ao vento em edificações NBR 8953/1992 – Concretos para fins estruturais. 1 CARVALHO, C.R. , Cálculo e detalhamento de Estruturas usuais de Concreto Armado – Vol 1 e 2 - Ed. PINI CLIMACO, J. C. T. S. Estruturas de Concreto Armado. 2ª edição. Editora UNB, 2008. BORGES, A. N. Curso Prático de Cálculo em Concreto Armado. 2ª edição. Editora Imperial Novomilênio, 2010 Concreto Armado 2 Prof. RonilsonParcial 1 – Valor 10 Pontos Dimensionar as três lajes abaixo e verificar a diferença quantitativos (aço e concreto) de cada sistema. O pé-direito é de 3m Distribuição da nota: Apresentar memorial de cálculo contendo: Planta de forma e armadura das três lajes ( 4 pontos); Tabela (Excel) contendo toda memória de cálculo com todas as varáveis explicitadas no cálculo ( 3 pontos). Carga normal (Nsd) em todos os pilares. O trabalho poderá ser encaminhado em pdf para o meu e-mail, ou ser encadernado com capa contendo título da disciplina e Grupo de no máximo 5 alunos 2 O trabalho poderá ser encaminhado em pdf para o meu e-mail, ou ser encadernado com capa contendo título da disciplina e nome dos membros do grupo. O capricho na realização do trabalho será avaliado podendo reduzir a nota em até 50% caso não atenda à parâmetros mínimos de qualidade e asseio. Trabalhos realizados com parâmetros diferentes dos especificados para o grupo terão nota “zero” Data da entrega até o dia da 2ª prova – 100% da nota com atraso multa de 10% da nota por dia Concreto Armado 2 Prof. Ronilson fck (MPa) SC (kN/m 2 ) Piso (kN/m 2 ) Alvenaria (kN/m 2 ) G1 25 1,5 1 1,8 G2 30 2 1,2 1,5 G3 35 3 1,3 1,3 G4 25 3 1,3 1,3 G5 30 1,5 1 1,8 G6 35 2 1,2 1,8 G7 25 2 1,2 1,8 Parametros para o dimensionamento por Grupo 3 G7 25 2 1,2 1,8 G8 30 3 1,3 1,3 G9 35 1,5 1 1,6 G10 25 1,5 1 1,5 G11 30 1,5 1 1,5 G12 35 1,5 1,2 1,8 G13 25 2 1 1,7 G14 30 2 1 1,6 G15 35 2 1 1,7 Nota: o coeficiente de minoração das cargas acidentais em ELS é ψ2 = 0,4 Concreto Armado 2 Prof. Ronilson P1 P2 P3 4 P4 P5 P6 P7 P8 P9 Concreto Armado 2 Prof. Ronilson P1 P2 P3 5 P4 P5 P6 P7 P8 Concreto Armado 2 Prof. Ronilson P1 P2 P3 30x30 6 P4 P5 P6 P7 P8 P9 Concreto Armado 2 Prof. Ronilson AGRESSIVIDADE AMBIENTAL 7 Concreto Armado 2 Prof. Ronilson 8 Concreto Armado 2 Prof. Ronilson 9 Concreto Armado 2 Prof. Ronilson 10 Concreto Armado 2 Prof. Ronilson 11 Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Tabela de cálculo de esforços solicitantes em lajes armadas em uma direção CASO CÁLCULO ELÁSTICO RL RE MX Ma 1 2 wL 8 2wL 2 3 2 8 3wL 8 5wL 2 wL 8 22,14 2wL 8 2wL 24 2wL 12 2wL Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Tabela de cálculo de esforços solicitantes em lajes armadas em uma direção CASO CÁLCULO RÍGIDO PLÁSTICO RL RE MX Ma 1 2 wL 8 2wL 2 3 2 wL387,0 2 wL 8 33,13 2wLMa×5,1 20 2wL wL613,0 Ma×5,1 Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Lajes armadas em duas direções – em regime rígido plástico Teoria das charneiras plásticas Por esta teoria admite-se que a ruína ocorra com a formação de linhas de plastificação que transformam a laje em um sistema hipostático. 45º Laje apoiada em seus 4 lados Concreto Armado 2 Prof. Ronilson A B C a ≤ b a a ≤ b b Tipos de lajes retangulares armadas em cruz D E E a ≤ ba a b Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Reações de apoio laje totalmente apoiada – Tipo A rb ra Reações de apoio laje engastada – Tipo C r’’b r’’a r’b r’a Reações de apoio laje engastada – Tipo C Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Cálculo das reações pela tabela de Bares aprR ××= Onde: r é o valor tirado da tabela de Bares p é a carga distribuída na laje (permanente + acidental) a é o valor do menor vão ou do vão com o maior número de engastes. Cálculo dos momentos fletores Ma e MbCálculo dos momentos fletores Ma e Mb m apM 2× = MM x ×= 5,1 Onde: M é o momento em a ou b Mx é o momento no engastamento da laje ( momento negativo) m é o valor retirado da tabela de Bares em regime rígido-plástico p é a carga distribuída na laje (permanente + acidental) a é o valor do menor vão ou do vão com o maior número de engastes. Concreto Armado 2 Prof. RonilsonTabela de Bares para Tipo de Laje ra = 0,144 ra = 0,25 b/a rb ra r`b r``b r`b r``b rb r`a r``a rb 0,50 - 0,165 0,125 0,217 - - 0,217 0,125 0,217 0,158 0,55 - 0,172 0,138 0,238 - - 0,238 0,131 0,227 0,174 0,60 - 0,177 0,150 0,260 - - 0,259 0,136 0,236 0,190 0,65 - 0,181 0,163 0,281 - - 0,278 0,140 0,242 0,206 0,70 - 0,183 0,175 0,302 - - 0,294 0,143 0,247 0,222 0,75 - 0,183 0,187 0,325 - - 0,308 0,144 0,249 0,238 0,80 - 0,183 0,199 0,344 - - 0,320 0,144 0,250 0,254 0,85 - 0,183 0,208 0,361 - - 0,330 0,144 0,250 0,268 0,90 - 0,183 0,217 0,376 - - 0,340 0,144 0,250 0,281 0,95 - 0,183 0,225 0,390 - - 0,348 0,144 0,250 0,292 1,00 0,250 0,183 0,232 0,402 0,183 0,317 0,356 0,144 0,250 0,303 Tabela - Reações de Apoio em Lajes Retangulares r`a = 0,183 r``a = 0,317 1,00 0,250 0,183 0,232 0,402 0,183 0,317 0,356 0,144 0,250 0,303 1,05 0,262 0,183 0,238 0,413 0,192 0,332 0,363 0,144 0,250 0,312 1,10 0,273 0,183 0,244 0,423 0,200 0,246 0,369 0,144 0,250 0,321 1,15 0,283 0,183 0,250 0,432 0,207 0,358 0,374 0,144 0,250 0,329 1,20 0,292 0,183 0,254 0,441 0,214 0,370 0,380 0,144 0,250 0,336 1,25 0,300 0,183 0,259 0,448 0,220 0,380 0,385 0,144 0,250 0,342 1,30 0,308 0,183 0,263 0,455 0,225 0,390 0,389 0,144 0,250 0,348 1,35 0,315 0,183 0,267 0,462 0,230 0,399 0,393 0,144 0,250 0,354 1,40 0,321 0,183 0,270 0,468 0,235 0,408 0,397 0,144 0,250 0,359 1,45 0,328 0,183 0,274 0,474 0,240 0,415 0,400 0,144 0,250 0,364 1,50 0,333 0,183 0,277 0,479 0,244 0,423 0,404 0,144 0,250 0,369 1,55 0,339 0,183 0,280 0,484 0,248 0,429 0,407 0,144 0,250 0,373 1,60 0,344 0,183 0,282 0,489 0,252 0,436 0,410 0,144 0,250 0,377 1,65 0,348 0,183 0,285 0,493 0,255 0,442 0,413 0,144 0,250 0,381 1,70 0,353 0,183 0,287 0,497 0,258 0,448 0,415 0,144 0,250 0,384 1,75 0,357 0,183 0,289 0,501 0,261 0,453 0,418 0,144 0,250 0,387 1,80 0,361 0,183 0,292 0,505 0,264 0,458 0,420 0,144 0,250 0,390 1,85 0,365 0,183 0,294 0,509 0,267 0,463 0,422 0,144 0,250 0,393 1,90 0,368 0,183 0,296 0,512 0,270 0,467 0,424 0,144 0,250 0,396 1,95 0,372 0,183 0,297 0,515 0,272 0,471 0,426 0,144 0,250 0,399 2,00 0,375 0,183 0,299 0,518 0,275 0,475 0,428 0,144 0,250 0,401 O valor da reação é dado por: R = r.p.a a é o vão com o maior número de engastes. Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão Concreto Armado 2 Prof. RonilsonTabela de Bares para lajes em regime rígido- plástico Tipo de Laje b/a ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb 0,50 - - 122,1 50,9 - - 103,2 64,5 215,6 80,8 - - 0,55 - - 92,2 46,5 - - 81,4 61,6 161,2 73,2 - - 0,60 - - 72,6 43,6 - - 66,9 60,2 125,6 67,8 - - 0,65 - - 59,2 41,7 - - 56,9 60,1 101,4 64,2 - - 0,70 - - 49,7 40,6 - - 49,7 60,8 84,2 61,9 - - 0,75 - - 42,7 40,1 - - 44,3 62,3 71,8 60,6 - - 0,80 - - 37,6 40,1 - - 40,3 64,5 62,5 60,0 - - 0,85 - - 33,6 40,5 - - 37,2 67,2 55,5 60,1 - - 0,90 - - 30,5 41,2 - - 34,8 70,4 50,0 60,8 - - 0,95 - - 28,1 42,3 - - 32,8 74,0 45,7 61,8 - - 1,00 24,0 24,0 26,1 43,6 40,0 40,0 31,2 78,0 42,2 63,3 60,0 60,0 1,05 21,8 24,1 24,5 45,1 36,4 40,1 29,9 82,4 39,4 65,2 54,6 60,2 1,10 20,1 24,3 23,2 46,8 33,5 40,5 28,8 87,1 37,1 67,3 50,2 60,7 1,15 18,6 24,6 22,1 48,8 31,0 41,0 27,9 92,2 35,2 69,8 46,6 61,6 1,20 17,4 25,1 21,2 50,9 29,0 41,8 27,1 97,6 33,5 72,5 43,5 62,7 Tabela - Momentos Fletores, Regime Rígido Plástico 1,20 17,4 25,1 21,2 50,9 29,0 41,8 27,1 97,6 33,5 72,5 43,5 62,7 1,25 16,4 25,6 20,4 53,2 27,3 42,7 26,4 103,2 32,2 75,4 41,0 64,4 1,30 15,5 26,3 19,8 55,6 25,9 43,8 25,9 109,2 31,0 78,6 38,8 65,6 1,35 14,8 27,0 19,258,2 24,7 44,9 25,4 115,5 30,0 82,0 37,0 67,4 1,40 14,2 27,8 18,7 61,0 23,6 46,3 24,9 122,1 29,1 85,6 35,4 69,4 1,45 13,6 28,6 18,2 63,9 22,7 47,7 24,5 128,9 28,4 89,4 34,0 71,6 1,50 13,1 29,6 17,8 66,9 21,9 49,3 24,2 136,1 27,7 93,4 32,8 73,9 1,55 12,7 30,6 17,5 70,1 21,2 50,9 23,9 143,5 27,1 97,6 31,8 76,4 1,60 12,4 31,6 17,2 73,4 20,6 52,7 23,6 151,1 26,6 102,0 30,9 79,0 1,65 12,0 32,7 16,9 76,8 20,0 54,5 23,4 159,1 26,1 106,6 30,0 81,8 1,70 11,7 33,9 16,7 80,3 19,5 56,5 23,2 167,3 25,7 111,3 29,3 84,7 1,75 11,5 35,1 16,5 84,0 19,1 58,5 23,0 175,7 25,3 116,2 28,7 87,8 1,80 11,2 36,4 16,3 87,8 18,7 60,6 22,8 184,5 25,0 121,3 28,1 91,0 1,85 11,0 37,7 16,1 91,7 18,4 62,9 22,6 193,5 24,7 126,6 27,6 94,3 1,90 10,8 39,1 15,9 95,8 18,0 65,2 22,5 202,7 24,4 132,0 27,1 97,7 1,95 10,7 40,5 15,8 99,9 17,8 67,5 22,3 212,2 24,1 137,6 26,6 101,3 2,00 10,5 42,0 15,6 104,2 17,5 70,0 22,2 222,0 23,9 143,3 26,3 105,0 O valor do momento fletor positivo é dado por: O valor do momento fletor negativo na direção de a ou b, se tiver, será dado por: a é o vão com o maior número de engastes. Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão 21 pa m M ×= ii MX .5,1= Concreto Armado 2 Prof. RonilsonTabela de Bares para lajes em regime elástico Tipo de Laje b/a ma mb ma mb na ma mb na nb ma mb na ma mb na nb ma mb na nb 0,50 - - 119,0 44,1 32,8 - - - - 113,6 47,9 33,7 222,2 72,7 49,3 35,2 - - - - 0,55 - - 91,7 40,0 27,6 - - - - 88,5 44,8 28,6 161,3 64,3 40,5 30,7 - - - - 0,60 - - 74,1 37,2 23,8 - - - - 73,0 42,9 25,0 123,5 58,4 34,4 27,2 - - - - 0,65 - - 61,7 35,3 20,9 - - - - 60,2 42,0 22,2 99,0 54,3 29,8 24,6 - - - - 0,70 - - 52,1 34,1 18,6 - - - - 53,5 41,7 20,1 82,0 51,3 26,2 22,5 - - - - 0,75 - - 45,2 33,4 16,8 - - - - 47,2 42,0 18,5 69,0 49,5 23,4 21,0 - - - - 0,80 - - 40,2 33,1 15,4 - - - - 42,9 43,0 17,3 59,2 48,4 21,2 17,7 - - - - 0,85 - - 36,1 33,2 14,2 - - - - 39,4 44,2 16,3 52,4 47,9 19,5 19,2 - - - - Tabela - Momentos Fletores, Regime Rígido PlásticoRegime Elástico 0,85 - - 36,1 33,2 14,2 - - - - 39,4 44,2 16,3 52,4 47,9 19,5 19,2 - - - - 0,90 - - 32,9 33,5 13,3 - - - - 36,5 45,7 15,5 47,4 48,0 18,1 18,7 - - - - 0,95 - - 30,3 33,9 12,5 - - - - 34,2 47,8 14,8 43,1 48,6 17,1 18,4 - - - - 1,00 23,6 23,6 28,2 34,4 11,9 37,2 37,2 14,3 14,3 32,4 49,8 14,3 39,7 49,5 16,2 18,3 49,5 49,5 19,4 19,4 1,10 20,0 23,6 25,1 36,2 10,9 31,3 37,4 12,7 13,6 29,9 54,7 13,5 34,8 52,3 14,8 17,7 41,3 50,4 17,1 18,4 1,20 17,4 23,7 22,8 38,6 10,2 27,4 38,2 11,5 13,1 28,0 61,5 13,0 31,6 56,5 13,9 17,4 34,8 53,0 15,6 17,9 1,30 15,5 24,2 21,2 41,4 9,7 24,6 40,0 10,7 12,8 26,7 67,2 12,6 29,4 61,6 13,2 17,4 32,7 56,4 14,5 17,6 1,40 14,1 25,0 20,0 44,4 9,3 22,6 41,8 10,1 12,6 25,8 75,0 12,3 27,9 68,0 12,8 17,4 30,1 60,7 13,7 17,5 1,50 13,0 25,7 19,1 47,3 9,0 21,1 44,4 9,6 12,4 25,3 83,9 12,3 26,7 74,1 12,5 17,5 28,3 67,3 13,2 17,5 1,60 12,1 26,8 18,4 51,4 8,8 20,0 48,2 9,2 12,3 24,8 93,0 12,1 25,9 81,4 12,3 17,7 27,1 73,7 12,8 17,5 1,70 11,4 27,9 17,8 55,8 8,6 19,2 52,4 9,0 12,3 24,4 101,8 12,0 25,3 88,7 12,1 17,9 26,1 82,4 12,5 17,5 1,80 10,9 28,8 17,4 59,4 8,4 18,5 56,1 8,7 12,2 24,2 110,2 12,0 24,9 99,6 12,0 18,0 25,5 88,2 12,3 17,5 1,90 10,5 30,4 17,1 63,0 8,3 18,0 60,2 8,6 12,2 24,0 120,4 12,0 24,5 106,5 12,0 18,0 25,1 98,9 12,1 17,5 2,00 10,1 31,6 16,8 67,6 8,2 17,5 62,5 8,4 12,2 24,0 131,6 12,0 24,3 113,6 12,0 18,0 24,7 104,2 12,0 17,5 O valor do momento fletor positivo é dado por: O valor do momento fletor negativo na direção de a ou b, se tiver, será dado por: a é o vão com o maior número de engastes. Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão m paM 2 = n pa X 2 = Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Deformação em lajes armadas e cruz O valor da flecha imediata é obtido utilizando a tabela de flecha de Bares para lajes retangulares. )( 23 4 qgp hE apff cs i ψ+=→ × × ×= Onde: fi é o valor tirado da tabela de Bares p é a carga distribuída na laje (g+0,3q para edifícios residenciais e g+0,4q edifícios comerciais) a é o valor do menor vão ou do vão com o maior número de engastes; (*)Ecs é o modulo de elasticidade secante do concreto;(*)Ecs é o modulo de elasticidade secante do concreto; h é a altura da laje O valor do módulo de elasticidade, irá depender do mesmo critério de vigas, ou seja se o momento solicitante for maior que o momento de fissuração a laje estará no estádio I e o Ecs será igual ao valor de cálculo (0,85x5600x√fck) , para o caso contrário, ou seja, a laje estando no estádio II, calcula inércia no Estádio II puro e a rigidez equivalente de Branson rFlecha diferida no tempo ( NBR 6118 - 17.3.2.1.2 ) Para cargas aplicadas aos 14 dias e estruturas simplesmente armadas, basta substituir o valor de p na equação por: ( )qgp 246,2 ψ+=∞ Concreto Armado 2 Prof. Ronilson No estádio II a equação da flecha para utilização da tabela de bares é igual a : ( ) C EQ cs i I I hE apff ×× × ×= 3 4 Fórmula da inércia equivalente de Branson (NBR 6118) II a r c a r EQ IM MI M MI −+ = 33 1 3 2 , , 3,0 fckf y If Mr mct t mct =→ ×× = α αααα é igual a 1,5 para seção retangular e 1,2 para seções T yt é a distância da linha neutra na seção no estádio I até a fibra mais tracionada Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Cálculo da inércia no Estádio II puro A posição da linha neutra XII é determinada pela equação: ( ) 1 31 2 22 2 4 a aaaa xII × ××−+− = Sendo: 21 bf a = Asa e ×=α2 Asda e ××−= α3 23 O momento de inércia III ( com a seção no estádio II puro) 2 3 )( 3 )( IIe II II xdAs xbfI −×+= α fckE E cs s e ×× →= 560085,0 210000 α Concreto Armado 2 Prof. RonilsonTipo de Laje b/a fi fi fi fi fi fi 0,55 - 0,009 - 0,008 0,005 - 0,60 - 0,011 - 0,010 0,006 - 0,65 - 0,014 - 0,012 0,007 - 0,70 - 0,017 - 0,014 0,009 - 0,75 - 0,020 - 0,015 0,011 - 0,80 - 0,022 - 0,017 0,012 - 0,85 - 0,025 - 0,019 0,014 - 0,90 - 0,031 - 0,020 0,015 - 0,95 - 0,030 - 0,021 0,017 - 1,00 0,048 0,033 0,025 0,023 0,018 0,015 1,05 0,053 0,035 0,027 0,024 0,020 0,016 1,10 0,057 0,037 0,029 0,024 0,021 0,018 1,15 0,062 0,039 0,032 0,025 0,022 0,019 1,20 0,066 0,041 0,034 0,026 0,023 0,020 Tabela - Flecha Elástica em Lajes Retangulares (Bares) 1,20 0,066 0,041 0,034 0,026 0,023 0,020 1,25 0,071 0,043 0,036 0,027 0,024 0,021 1,30 0,075 0,044 0,038 0,027 0,025 0,022 1,35 0,079 0,046 0,040 0,028 0,026 0,023 1,40 0,083 0,047 0,041 0,028 0,026 0,024 1,45 0,087 0,049 0,043 0,029 0,027 0,025 1,50 0,090 0,050 0,045 0,029 0,027 0,026 1,55 0,094 0,051 0,046 0,029 0,028 0,027 1,60 0,097 0,052 0,047 0,029 0,028 0,027 1,65 0,100 0,053 0,048 0,030 0,028 0,027 1,70 0,103 0,053 0,049 0,030 0,028 0,028 1,75 0,106 0,054 0,050 0,030 0,028 0,028 1,80 0,109 0,055 0,050 0,030 0,028 0,028 1,85 0,112 0,056 0,051 0,030 0,029 0,029 1,90 0,114 0,056 0,052 0,030 0,029 0,029 1,95 0,116 0,057 0,054 0,030 0,029 0,029 2,00 0,119 0,058 0,055 0,030 29,000 0,029 O valor da flecha é dada por: a é o vão com o maior número de engastes. Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão × ×= 3 4 hE paff cs i Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Laje nervurada É chamada de laje nervurada a laje cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais podem ser colocados materiais não estruturais. 25 Grandes vãos entre 7 e 15m Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Prescrições da norma NBR 6118 I. A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, deverá ser sempre maior ou igual a 1/15 da distancia entre as nervuras e não menor que 3cm. O valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser de 4 cm quando existirem tubulações embutidas de diâmetro máximo de 12,5mm. II. A espessura das nervuras não devem ser inferiores a 5 cm. Nervuras com espessura menor que 8 cm não devem conter armadura de compressão. III. Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser dispensada a verificação daflexão da mesa. 26 verificação da flexão da mesa. IV. Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, exige-se a verificação da flexão da mesa a as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se esta verificação como lajes (item 19.4.1 NBR 6118/2003), se o espaçamento entre eixos de nervuras for menor que 90 cm e a espessura média das nervuras for maior que 12 cm. V. Para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas. VI. As lajes nervuradas armadas em uma só direção devem ser analisadas segundo a direção das nervuras desprezando-se a rigidez transversal e a rigidez à torção. VII. As lajes nervuradas armadas em cruz podem ser calculadas, para efeito da determinação dos esforços como laje maciça. Concreto Armado 2 Prof. RonilsonAnálise de Lajes Nervuradas Bidirecionais Caso 1 – Laje nervurada com inércias iguais Neste caso a laje pode ser resolvida por tabelas em regime elástico (tab. Bares por exemplo) 27 Caso 2 – Laje nervurada com inércias desiguais Atenção: Lajes unidirecionais devem ser calculadas como vigas, desprezando-se os efeitos da rigidez a torção e transversal Concreto Armado 2 Prof. RonilsonDimensionamento das Lajes Nervuradas Momento Fletor Positivo Neste caso o dimensionamento é feito considerando as nervuras como sendo vigas de seção “T”. 28 ≤ 2 1 5,0 10,0 b a b ≤ 4 3 5,0 10,0 b a b 12bbb wf += 31 bbbb wf ++= Viga interna Viga de borda Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Segundo a NBR 6118 , no item 14.6.2.2, a largura colaborante bf deve ser dada pela largura bw acrescida de no máximo 10% da distancia “a” entre os pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga que houver laje colaborante. Simplificadamente, a distância “a” pode ser estimada, em função do comprimento L do tramo da laje na direção considerada, como se apresenta abaixo: Lajes simplesmente apoiada.............................................a = L Lajes com momento em uma só extremidade................ a= 0,75L Lajes com momento nas duas extremidades ...................a = 0,6L Momento Fletor negativo 29 Neste caso o dimensionamento é feito considerando as nervuras como vigas de seção retangular com largura bw. Verificação do ELS 1) Definir as características geométricas da seção da nervura, em função da flecha admissível; Utilizar a tabela de flecha de Bares. A flecha na laje nervurada é dada pela expressão )( )( )()( nervurada maciça maciçareal I Iff ×= Concreto Armado 2 Prof. Ronilson A flecha deve ser verificada diferida no tempo (f∞), segundo NBR 6118/2003. Para efeito de simplificação, considerando a retirada do cimbramento com 14 dias e seções simplesmente armadas, como é o caso típico vigotas da laje nervurada, basta multiplicar o valor da flecha imediata por 2,46. 46,2 )( )( )()( ××=∞ nervurada maciça maciça I Iff 250)( af adm = 350 chaContra Fle )( a máx = 30 350 No ELS a carga “p” deve ser dada pela expressão: )( 2qgp ψ+= Onde ψ2 é o coeficiente de minoração da sobrecarga ( 0,3 para projetos residenciais e 0,4 para comerciais) O momento de inércia da laje maciça é dado considerando um bw igual a bf e a altura total da nervura No caso da laje nervurada é o momento de inércia da seção T em relação ao seu centro de gravidade. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Verificação de Cisalhamento em Laje As lajes maciças ou nervuradas, não precisam ter armadura de cisalhamento se for atendida a verificação abaixo: Sendo: τsd a tensão de cisalhamento solicitante de cálculo iguala a ( )[ ]11 402,1 ρττ +×= kRdRd Sendo: τRd= 0,25 fctd ( fctd = 0,21fck2/3/γc) que é a tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento; 1RdSd ττ < db V w d Sd =τ 31 τRd= 0,25 fctd ( fctd = 0,21fck2/3/γc) que é a tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento; 02,01 ≤ × = dbw Asρ k é um coeficiente que tem os seguintes valores: ⎯ para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: k = 1; ⎯ para os demais casos: k = 1,6 – d, não menor que 1, com d em metros; Concreto Armado 2 Prof. RonilsonTabela de Bares para lajes em regime elástico Tipo de Laje b/a ma mb ma mb na ma mb na nb ma mb na ma mb na nb ma mb na nb 0,50 - - 119,0 44,1 32,8 - - - - 113,6 47,9 33,7 222,2 72,7 49,3 35,2 - - - - 0,55 - - 91,7 40,0 27,6 - - - - 88,5 44,8 28,6 161,3 64,3 40,5 30,7 - - - - 0,60 - - 74,1 37,2 23,8 - - - - 73,0 42,9 25,0 123,5 58,4 34,4 27,2 - - - - 0,65 - - 61,7 35,3 20,9 - - - - 60,2 42,0 22,2 99,0 54,3 29,8 24,6 - - - - 0,70 - - 52,1 34,1 18,6 - - - - 53,5 41,7 20,1 82,0 51,3 26,2 22,5 - - - - 0,75 - - 45,2 33,4 16,8 - - - - 47,2 42,0 18,5 69,0 49,5 23,4 21,0 - - - - 0,80 - - 40,2 33,1 15,4 - - - - 42,9 43,0 17,3 59,2 48,4 21,2 17,7 - - - - 0,85 - - 36,1 33,2 14,2 - - - - 39,4 44,2 16,3 52,4 47,9 19,5 19,2 - - - - Tabela - Momentos Fletores, Regime Rígido Plástico 0,85 - - 36,1 33,2 14,2 - - - - 39,4 44,2 16,3 52,4 47,9 19,5 19,2 - - - - 0,90 - - 32,9 33,5 13,3 - - - - 36,5 45,7 15,5 47,4 48,0 18,1 18,7 - - - - 0,95 - - 30,3 33,9 12,5 - - - - 34,2 47,8 14,8 43,1 48,6 17,1 18,4 - - - - 1,00 23,6 23,6 28,2 34,4 11,9 37,2 37,2 14,3 14,3 32,4 49,8 14,3 39,7 49,5 16,2 18,3 49,5 49,5 19,4 19,4 1,10 20,0 23,6 25,1 36,2 10,9 31,3 37,4 12,7 13,6 29,9 54,7 13,5 34,8 52,3 14,8 17,7 41,3 50,4 17,1 18,4 1,20 17,4 23,7 22,8 38,6 10,2 27,4 38,2 11,5 13,1 28,0 61,5 13,0 31,6 56,5 13,9 17,4 34,8 53,0 15,6 17,9 1,30 15,5 24,2 21,2 41,4 9,7 24,6 40,0 10,7 12,8 26,7 67,2 12,6 29,4 61,6 13,2 17,4 32,7 56,4 14,5 17,6 1,40 14,1 25,0 20,0 44,4 9,3 22,6 41,8 10,1 12,6 25,8 75,0 12,3 27,9 68,0 12,8 17,4 30,1 60,7 13,7 17,5 1,50 13,0 25,7 19,1 47,3 9,0 21,1 44,4 9,6 12,4 25,3 83,9 12,3 26,7 74,1 12,5 17,5 28,3 67,3 13,2 17,5 1,60 12,1 26,8 18,4 51,4 8,8 20,0 48,2 9,2 12,3 24,8 93,0 12,1 25,9 81,4 12,3 17,7 27,1 73,7 12,8 17,5 1,70 11,4 27,9 17,8 55,8 8,6 19,2 52,4 9,0 12,3 24,4 101,8 12,0 25,3 88,7 12,1 17,9 26,1 82,4 12,5 17,5 1,80 10,9 28,8 17,4 59,4 8,4 18,5 56,1 8,7 12,2 24,2 110,2 12,0 24,9 99,6 12,0 18,0 25,5 88,2 12,3 17,5 1,90 10,5 30,4 17,1 63,0 8,3 18,0 60,2 8,6 12,2 24,0 120,4 12,0 24,5 106,5 12,0 18,0 25,1 98,9 12,1 17,5 2,00 10,1 31,6 16,8 67,6 8,2 17,5 62,5 8,4 12,2 24,0 131,6 12,0 24,3 113,6 12,0 18,0 24,7 104,2 12,0 17,5 O valor do momento fletor positivo é dado por: O valor do momento fletor negativo na direção de a ou b, se tiver, será dado por: a é o vão com o maior número de engastes. Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão m paM 2 = n pa X 2 = Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Complemento lajes com inércias diferentes Teoria das Grelhas EI qLCf 4 1max ×= Onde: fmax = flecha máxima da viga; C1 = fator que depende das condições de apoio da viga; q = carga uniformemente distribuída que atua na viga; L = vão da viga; EI = rigidez a flexão da viga. 33 Tipo de Apoio C1 Momento fletor positivo máximo Momento fletor negativo máximo 384 5 8 2qL 0 384 1,2 22,14 2qL 8 2qL 384 1 24 2qL 12 2qL Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Cálculo dos quinhões de carga 34 Flecha da faixa a : aa a aa IE aqCf 4 = Flecha da faixa b : bb b bb IE bqCf 4 = Por hipótese, ba ff = bb b b aa a a IE bqC IE aqC 44 =Então: Concreto Armado 2 Prof. RonilsonComo: ba qqq += ba EE = qKq bb =e Vem, se fizermos ( )4ba I I K b a = e a b C C n = temos que nK Kb + = 1 1 Calculando qb temos que ba qqq −= 35 Concreto Armado 2 Prof. RonilsonExercício 1 Calcular a laje nervurada com inércias iguais para um edifício comercial. 36 Dados fck = 25Mpa Sc = 2kN/m2 Piso 1,2kN/m2 Alvenaria = 1,6kN/m2 Fôrma de EPS 10kg/m3 Não há tubulações embutidas na mesa Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Lajes sem vigas - lisas e cogumelos 37 Lajes lisa Se apoia diretamente nos pilares Lajes Cogumelo Se apoia em capitéis sobre os pilaresConcreto Armado 2 Prof. Ronilson Lajes lisas Vantagens 1. Adaptabilidade a diversas formas ambientais; 2. Simplificação das fôrmas e do cimbramento; 3. Simplificação das armaduras; 4. Simplificação da concretagem; 5. Melhoria da qualidade final e diminuição de revestimentos; 6. Redução da altura total do edifício; 7. Simplificação das instalações prediais; 8. Redução do tempo de execução; 38 Desvantagens 1. Elevados esforços de punção; 2. Baixa rigidez do pórtico as ações horizontais; 3. Elevado Custo; Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Lajes lisas O cálculo de lajes lisas deve ser realizado por processo numérico, como por exemplo elementos finitos, porém, para os casos abaixo é possível realizar um cálculo aproximado para obtenção dos esforços solicitantes: a) Os pilares devem estar dispostos em filas ortogonais; b) Os vão não podem ser muito diferentes uns dos outros; c) O cálculo deverá ser feito por processo elástico aproximado; d) Espessura da laje h ≥ 16cm e) a dimensão mínima de pilares deve ser 30 x30 não podem ser menores que 1/20 Método dos pórticos equivalentes - NBR 6118 39 e) a dimensão mínima de pilares deve ser 30 x30 não podem ser menores que 1/20 da distância entre eixos de pilares ou 1/15 da altura do pilar; f) Para melhor eficiência do método a relação entre vãos ortogonais deve ficar entre 0,75 < Lx/Ly < 1,33 Divisão dos momentos nos pórticos equivalentes I. 45% dos momentos positivos para as duas faixas internas (faixas centrais) II. 27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas III. 25% dos momentos negativos para as duas faixas internas (faixas centrais) IV. 37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson f a i x a d e c á l c u l o 40 f a i x a d e c á l c u l o Concreto Armado 2 Prof. RonilsonExemplo da distribuição de momentos por faixa Valores em negrito são os 41 negrito são os momentos positivos Concreto Armado 2 Prof. RonilsonDetalhamento da armadura de flexão I. Diâmetro máximo da armadura h/8; II. Espaçamento máximo da armadura 2h ou 20cm; III. Armaduras secundárias de flexão deve ter seção transversal de área igual ou superior a 20% da área da armadura principal, com espaçamento entre barras não maior que 33cm; IV. As armaduras positivas e negativas nas direções menos solicitadas não podem ter seção inferior a 25% das armadura das direções mais solicitadas; V. Não utilizar diâmetro da armadura principal menor que 10mm VI. Deverão haver no mínimo 2 barras passando sobre os apoios, alem das barras contra colapso progressivo; VII. O comprimento das barras da armadura negativa deve ser no mínimo 0,35L para cada lado dos pilares; 42 lado dos pilares; VIII. A armadura negativa de reforço das bordas deve ser no mínimo 0,25L alem do eixo do pilar. Para garantir a segurança da estrutura contra colapso progressivo, é obrigatório uma armadura inferior que passa pelo pilar atravessando o contorno C, que deve estar devidamente ancorada além do ponto C’. yd sd CLP f FAs = Sendo Fsd o valor da força concentrada no ponto de apoio. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Detalhe da armadura contra colapso progressivo 43 Concreto Armado 2 Prof. RonilsonAltura mínima da laje Para atender a NBR 6118, no item 14.6.4.3 (ductilidade da seção), a profundidade relativa da linha neutra x/d deve ser no máximo 0,5. Este requisito da norma é atendido quando utilizamos o k limite de 0,32 para concretos até 35MPa, sendo assim, para concretos dentro desta faixa, o valor de dmin é igual: 32,0 =→=→= MddMdMdk 44 32,0 32,0 (min)2 min 2 ×× =→ ×× =→ ×× = bwfcdddbwfcddbwfcdk Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Punção 45 Ruína por punção a força cortante é predominante, a laje se rompe por cisalhamento antes que a capacidade da laje a flexão seja atingida. É um tipo de colapso frágil, acontece abruptamente sem aviso e é extremamente perigoso. Possíveis soluções: I. Aumentar a espessura da laje ( toda) ou na região dos apoios; II. Utilização de capitel; III. Colocar armaduras específicas (estribos) para combater a punção. Concreto Armado 2 Prof. RonilsonMétodo de verificação da punção de acordo com a NBR 6118 Determinação dos contornos críticos 46 Dimensão dos contornos para pilares internos: Contorno C � u = perímetro do pilar Contorno C’� u’ = perímetro do pilar + 4pid Contorno C’’� u’’ = perímetro do pilar + 4pid+ 4pip ( “p” é a distância da face do pilar até a última linha de estribos. Concreto Armado 2 Prof. RonilsonTensão de verificação nos contornos críticos A tensão resistente da compressão na diagonal do concreto é verificada indiretamente na superfície C. A tensão atuante τsd deverá ser menor que as tensões limites para cada caso: ( ) 311 10020113,0 fckdRd ××× += ρτ O fck em MPa τRd1 – Tensão de cisalhamento resistente de cálculo limite, para que uma laje possa prescindir de armadura transversal para resistir a força cortante; τRd2 – Tensão de cisalhamento resistente de cálculo limite, para verificação da compressão diagonal do concreto da laje; τRd3 – Tensão de cisalhamento resistente de cálculo; 47 d ρ é a taxa de armadura nas duas direções ortogonais sobre o pilar fcdvRd ατ 27,02 = −= 250 1 fckvα Com fck em MPa Concreto Armado 2 Prof. Ronilson ( ) × ×× ×+××× += du senfA S dfck d ywdsw r Sd ' 5,110020110,0 31 αρτ += 5,11 f A ywdRdττ 3,1 1Rdτ Cálculo da armadura Asw Simplificando a equação para estribos a 90°, temos: 48 Onde: Sr é o espaçamento radial entre linhas da armadura de punção, e deve ser ≤ 0,75d; Asw é a área da armadura de punção em um contornos paralelos a C’; u' é o perímetro critico (C’); fywd é a resistência de cálculo para a armadura de punção, variando de 260 a 435MPa em função da altura da laje ( de 16 a 35cm) Com τSd, τRd1, fck e fywd em MPa × += ' 5,1 3,1 1 uS f A r ywd sw Rd Sd τ τ Concreto Armado 2 Prof. RonilsonTensão Solicitante dW Mk du F p SdSd Sd × × + × =τ Onde: Msd é o momento solicitante de cálculo; Wp é o módulo de resistência elástico no contorno crítico; K é um coeficiente que fornece a parcela do momento que produz cisalhamento na seção crítica C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0 k 0,45 0,6 0,7 0,8 Valores de k em função de C1/C2 49 ( )21 2 2 1 CC C CW p ×+= Para Pilares RetangularesWp é dado por No contorno C ( ) ( ) ( ) ( )122121 2 2 1 2164 CddCCCCC C CW p ×++×+×+×+= pi No contorno C’ k 0,45 0,6 0,7 0,8 Concreto Armado 2 Prof. RonilsonConsiderações de Vigas Contínuas segundo NBR 6118 Pode ser utilizado um modelo clássico de viga contínua simplesmente apoiadas nos pilares, para o estudo das cargas verticais, com as seguintes observações: a) Não se pode admitir momento positivo menor que: 24 2 )( wLM sd ≥+ a) Momento negativo em pilares largos: 50 )( ≥−sdM 4 Hh ≥ Momento de engastamento perfeito Concreto Armado 2 Prof. Ronilson c) Quando não for utilizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve ser considerado nos apoios extremos, momento fletor igual ao de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes : supinf sup rrr r vig ++ 51 supinf inf rrr r vig ++ )( )( )( i i i L I r = Concreto Armado 2 Prof. RonilsonExercício 1 Dimensionar a armadura da laje lisa abaixo, verificar a punção nos apoios Dados: Prédio comercial 52 Prédio comercial fck 35MPa Sc= 2,5kN/m2 Piso = 1,1 kN/m2 Alvenaria = 1,85kN/m2 Pilares 30 x 30 Concreto Armado 2 Prof. Ronilson PILARES A seção transversal de pilares e pilares-parede maciços, qualquer que seja a sua forma, não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional γn, de acordo oindicado na tabela 13.1 e na seção 11 da NBR 6118/2003. Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10mm e nem superior a 1/8 da menor dimensão da seção A armadura longitudinal mínima deve ser: As min = (0,15 Nd/fyd) ≥ 0,004 Ac Asmáx = 8,0% Ac A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição ARMADURA LONGITUDINAL A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda. As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: ⎯ 20 mm; ⎯ diâmetro da barra, do feixe ou da luva; ⎯ 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo. Para feixes de barras, deve-se considerar o diâmetro do feixe: Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras. nn φφ = Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras. Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado, sem exceder 400 mm. e eixo × ≤ seção da dimensão menor2 400 mm e Concreto Armado 2 Prof. Ronilson ARMADURA TRANSVERSAL A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. → ≥ LL t mm φφφ 4 1 5 O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a ¼ do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal. O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras = diâmetro da barra longitudinal posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores: ⎯ 200 mm; ⎯ menor dimensão da seção; ⎯ 24 φ para CA-25, 12 φ para CA-50. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson ARMADURA TRANSVERSAL Os estribos garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à uma distância de 20φt do canto, se nesse trecho de comprimento 20φt, não houver mais de duas barras, não contando a do canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou fora dele, deve haver estribos suplementares ( grampos) ≤ 20φt ≤ 20φt ≤ 20φt ≤ 20φt grampo Concreto Armado 2 Prof. Ronilson IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS Imperfeições Globais Na análise global das estruturas deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme a figura Onde: θ1min = 1/400 para estruturas de nós fixos; θ1min = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais; θ1máx=1/200; H é a altura total da edificação em metros Concreto Armado 2 Prof. Ronilson IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS O desaprumo não deve ser sobreposto ao carregamento de vento, entre os dois, vento e desaprumo, deve ser considerado apenas o mais desfavorável. Ou seja, aquele que provoca o maior momento total na base do edifício. Cargas externas equivalentes às imperfeições geométricas Globais O valor da força (F) horizontal, devido ao desaprumo pode ser, simplificadamente, considerada igual ao produto do ângulo de desaprumo θa pelo peso do pavimento considerado: PF a ∆×= φ Onde: F = Força horizontal equivalente ao desaprumo θa = ângulo de desaprumo em radianos ∆P= peso do pavimento considerado F F F F aa tgP F φφ ≅= ∆ Concreto Armado 2 Prof. Ronilson IMPERFEIÇÕES LOCAIS No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar 200 1 100 1 1 ≤≅ iH φ � Hi = altura do pilar em metros Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Momento Mínimo O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado a seguir: ( )hNdM d 03,0015,0min,1 += Nd é a força normal solicitante de cálculo. h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. Nota: a este momento ainda deverão ser acrescidos os esforços globais de 2ª ordem e os locais também de 2ª ordem. ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS E ESTRUTURAS DE NÓS MÓVEIS São consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, as estruturas cujos deslocamentos horizontais são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem. As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos, e em decorrências dos efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Análise de estruturas de nós móveis Na análise estrutural de estrutura de nós móveis, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos da não linearidade geométrica e da não linearidade física, e portanto, no dimensionamento devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos globais e locais de 2ª ordem. Consideração aproximada da não linearidade física Para análise dos esforços globais de 2ª ordem, em estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares, pode ser considerada a não linearidade física de uma maneira aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes: ⎯⎯ Lajes: (EI)sec= 0,3EciIc ⎯ Vigas: (EI)sec= 0,4EciIc para A’s ≠ As e (EI)sec = 0,5 EciIc para A’s = As ⎯ Pilares: (EI)sec =0,8ECi.IC Onde: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto (estádio I) , incluindo, quando for o caso, as mesas colaborantes; e Eci é o módulo de elasticidade tangente na origem do concreto igual a : fckEci 5600= Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Coeficienteα � para edificações de até de 4 pavimentos Para edificações de pequeno porte com até 4 pavimentos a NBR 6118 permite a solução aproximada através do parâmetro α. CCS K TOTAL IE NH=α Onde: Htotal é a altura total da edificação a partir da cota de arrasamento da fundação; Nk é somatória de todas as cargas verticais na edificação com seu valor característico; Dispensa da consideração dos efeitos globais de 2ª ordem Nk é somatória de todas as cargas verticais na edificação com seu valor característico; Ecs é módulo de elasticidade secante do concreto = Ic é a somatória dos momentos de inércia dos pilares na direção considerada, podendo ser utilizado a riidez de um pilar equivalente. fck560085,0 × O parâmetro α deve ser comparado com o valor de α1, que varia em função do número de pavimentos: =≥ = = = = 6,04 5,03 4,02 3,01 1α Se o valor de α for menor que o valor de α1 a estrutura pode serconsiderada de nós fixos. Caso contrário deve ser levado em consideração os esforços oriundos dos efeitosde 2ª ordem. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Exercício 1 Para a edificação abaixo verificar se trata-se de uma estrutura de nós fixos ou móveis utilizando-se do parâmetro α da NBR 6118 Dados a. Peso da Alvenaria 18kN/m3 b. Piso 1 kN/m2 c. Cobertura 1,6 kN/m2 d. Sobrecarga 2º Piso 1,5 kN/m2 e. Sobrecarga Forro 0,5 kN/m2 f. Peso próprio do concreto 25 kN/m3f. Peso próprio do concreto 25 kN/m g. Pilares 15x20 h. Vigas 15x40 1º piso e 15x30 2º piso i. Laje maciça de h = 10cm j. Paredes de e = 15cm k. fck do concreto 25MPa Concreto Armado 2 Prof. Ronilson 1º Piso 2º Piso Corte C-C Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Concreto Armado 2 Prof. RonilsonCálculo da inércia equivalente Verificação do deslocamento máximo para uma carga horizontal de 30kN Concreto Armado 2 Prof. Ronilson ( ) ( ) ( ) 967.123.785.1 21,13 60030 33 3 33 = × × = × × =→ × = EQ pórtico EQ EQ pórtico EI HFEI EI HF δδ Deslocamento máximo 1,21cm Cálculo de α 52,0 967.123.785.1 33,1333600 ==α Cálculo de α ααα <=→ =≥ = = = = 4,01 6,04 5,03 4,02 3,01 1 Neste caso deve ser considerado nos cálculos os efeitos de 2ª ordem globais. Porem na prática basta enrijecer um pouco os pilares. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Efeitos Globais de 2ª ordem Coeficiente γz � para edificações acima de 4 pavimentos O coeficiente γz é obtido a partir da aplicação do método geral ( método não aproximado para análise não linear de segunda ordem de elementos isolados) P F L P F L δ1 P F L δ1+δ2 M1 = FL L M2 = M1+(Pδ1) L M1+(Pδ1+ Pδ2+...+ Pδn) L Momento de segunda ordem = M2 = M1+(Pδ1+ Pδ2)Momento de 1ª ordem Concreto Armado 2 Prof. Ronilson ++++ − = 1 3211 ª2 ....1 1 M PPPPM M nδδδδ Considerando uma condição de equilíbrio da estrutura na posição deformada, sabendo-se que o valor de r nestas condições será sempre menor que 1, caso contrário a estrutura estaria instável e os deslocamentos tenderiam a infinito, deduz-se para uma relação entre o momento de 2ª ordem e o momento de 1ª ordem a seguinte equação: z dtot dtot M MM M γ= ∆ − = ,,1 ,1 ª2 1 1 Concreto Armado 2 Prof. Ronilson O coeficiente γz de avaliação da importância dos esforços de 2ª ordem global é válido para estruturas reticuladas de no mínimo 4 andares. ∆ − = dtot dtot z M M ,,1 ,1 1γ Onde: M1,tot,d = momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais daM1,tot,d = momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura. ∆M ,tot,d = soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura , na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos na análise de 1ª ordem. considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γz ≤ 1,1, e neste caso pode ser dispensada a consideração dos esforços globais de 2ª ordem. Para estruturas com γz até 1,3 os esforços de 2ª ordem são muito significativos e por consequência devem ser levados em consideração nos cálculos. Neste caso o valor dos esforços em 1ª ordem devem ser majorados em 95% do valor de γz. Para estruturas com γz maiores que 1,3 esta solução aproximada não pode ser utilizada, devendo para tal ser feito uma análise rigorosa dos reais efeitos de 2ª ordem. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Determinação dos esforços globais de 2ª ordem Uma solução aproximada a determinação dos esforços globais de 2ª ordem consiste na avaliação dos esforços finais ( 1ª ordem + 2ª ordem ) a partir da majoração dos esforços horizontais da combinação de carregamentos considerada, por 0,95 γz. esse processo só é válido para γz ≤ 1,3 Análise dos efeitos locais de 2ª ordem A análise global de 2ª ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras, devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem, ao longo dos eixos das barras comprimidas. Os elementos isolados, para fim de verificação local, devem ser formados pelas barras comprimidas, retiradas da estrutura com comprimento le, porém, aplicando-se às duas extremidades os esforços obtidos através da análise global de 2ª ordem. Podemos ter, então, as três situações distintas que podem ocorrer no pilares:Podemos ter, então, as três situações distintas que podem ocorrer no pilares: P P P P P P a b a b a b (a) (b) (c) Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Para as três situações acima, constata-se que o caso (a) é a pior situação. para este caso, o maior deslocamento transversal do eixo ocorre na seção central. Para o pilar do caso (b), o deslocamento máximo ocorre em uma seção mais próxima do extremo a , No caso (c), o deslocamento da seção central é nulo e, provavelmente, a ruína ocorrerá na seção de extremidade, sendo desprezível o efeito de segunda ordem local. O comprimento equivalente le, do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores: + = l l l ho eOnde: lo = distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar;lo = distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar; h = altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo; l = distância entre eixos dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar; Viga Viga h lo l Nota: No caso de pilar engastado na base e livre no topo le = 2 l Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem Os esforços locais de 2ª ordem (flambagem) em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o limite λ1. onde: bh I el =λ h bh bh ee ll 46,3 123 =→ ÷ = λλ, para uma seção usual retangular de concreto � O valor de λ1 depende de: - A excentricidade relativa de 1ª ordem - A vinculação dos extremos da coluna isolada; - A forma do diagrama de momento fletor de 1ª ordem; h e1 O valor de λ1 é dado pela expressão: 90 5.1225 35 1 1 ≤ + =≤ b h e α λ Concreto Armado 2 Prof. RonilsonOnde: 9035 1 ≤≤ λ e1 é a excentricidade inicial ( não inclui a excentricidade acidental) h = dimensão da seção na direção considerada. O valor de αb é dado pela expressão: 40,00,140,04,06,0 ≥≥→≥+= b A B b M M αα MA e MB são momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar e para M o sinal positivo se tracionar a mesma face do pilar e negativo emabsoluto ao longo do pilar e para MB o sinal positivo se tracionar a mesma face do pilar e negativo em caso contrário: Para pilares biapioados com cargas transversais significativas ao longo da altura, ou submetidos a momentos menores ou iguais ao momento mínimo: αb = 1,0 Para pilares em balanço: 85,00,185,02,080,0 ≥≥→≥+= b A C b M M αα MA é o momento no engaste e MC é o momento de 1ª ordem no meio do pilar. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Determinação dos efeitos locais de 2ª ordem Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada se λ1 ≤ λ ≤ 90 , deve se considerar uma excentricidade de segunda ordem e2 ( flambagem), sendo: ( ) r e e 1 10 2 2 ×= l , sendo 1/r o valor da curvatura na seção crítica, dado por: ( ) hvhr 005,0 5,0 005,01 ≤ + = 5,0 . ≥= cdc sd fA N ve, . cdc fA h = dimensão da seção na direção considerada Para pilares com esbeltez acima de 90 e inferiores a 200 deve ser feito um estudo de instabilidade através de algum processo rigoroso. Pilares com esbeltez acima de 200 não são permitidos Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Situações usuais de projeto para pilares Dependendo do seu posicionamento na estrutura, os pilares podem ser classificados como piares intermediários,pilares de extremidade ou pilares de canto Pilar de Canto Pilar Intermediário Pilar de extremidade Pilar Intermediário: Os momentos que as vigas transmitem a esses pilares são pequenos e, em geral, podem ser desprezados. Quando os vãos da viga , adjacente ao pilar, forem muito diferentes entre si, ou quando houver significativa diferença no carregamento desses vãos, pode ser necessário considerar os momentos iniciais transmitidos pelas vigas. Dessa forma um pilar intermediário está em uma situação de projeto de compressão centrada, a menos que por razoes construtivas, a força de compressão não atue no seu eixo. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Pilar de extremidade: Neste caso, os momentos transmitidos pelas vigas devem ser considerados. Dessa maneira , a situação de projeto é de flexo-compressão normal. Pilar de canto: Neste caso, os momentos são transmitidos pelas duas vigas que chegam ao pilar. Dessa maneira , a situação de projeto é de flexo-compressão oblíqua. Cálculo dos Pilares Pilares Intermediários: Mesmo sabendo que neste caso admiti-se, para efeito de projeto, que a força normal atuante é aplicada no centroide da seção, a NBR 6118/2003, exige a verificação da seção através de umatuante é aplicada no centroide da seção, a NBR 6118/2003, exige a verificação da seção através de um momento total máximo no pilar, dado pela expressão : 2min,1, eNMM ddtotd ×+= Onde: ( )0,03h0,015NM dmin1d, += e2 é a excentricidade de 2ª ordem (flambagem) h = altura total da seção na direção considerada, em metros. Concreto Armado 2 Prof. RonilsonPilar Intermediário DMF “Esta situação só é válida para casos de carregamento e inércias parecidas nas quatro direções” Modelo em elementos finitos mostra que não há momento fletor no pilar Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Pilar Intermediário Mesmo estando em uma situação de projeto de compressão centrada, pilares intermediários devem ser dimensionados à flexo-compressão normal. y xx x y y ex eyNd Nd Onde: xddtotd d totd x eNMMN M e 2min,1, , ×+=→= yddtotd d totd y eNMMN M e 2min,1, , ×+=→= Momento total máximo na direção x ( em torno de y) Momento total máximo na direção y ( em torno de x) ( )xdmin1d, 0,03h0,015NM += ( )ydmin1d, 0,03h0,015NM += hx e hy são as dimensões da seção na direção considerada em metros e2x e e2y são as excentricidades de 2ª ordem em cada direção , sendo� ( ) r e e 1 10 2 2 ×= l Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Exercício 1 Dimensionar o pilar intermediário 5 0 x y Nc= 875kN 20 Dados: fck = 30MPa – aço CA50 Classe de agressividade II – moderada ambientes internos e secos 4 0 0 Seção Elevação Planta Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Pilar de extremidade DMF Modelo em elementos finitos mostra que há momento fletor em uma das direções do pilar situação de flexo-compressão normal Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Pilar de extremidade As situação de projeto é a indicada na figura abaixo, onde se admite que a força normal de cálculo atuando no eixo X com uma excentricidade inicial eix. essa excentricidade é devida aos momentos fletores transmitidos pela viga. y y Nh eix x x ex Nd hx hy d d x N M e = Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Neste caso deve ser feito o dimensionamento para o momento máximo no pilar, verificando as extremidades e a seção intermediária, adotando o maior momento fletor encontrado. Verificação da seção de extremidade AAd MM ×= 4,1,1 BA MM ≥com Verificação da seção intermediária Situação (a) míndAd MM ,1,1 ≥e MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar 1λλ ≤ Neste caso não é necessário considerar os efeitos locais de segunda ordem (flambagem) e o momento máximo na seção intermediária será: ( ) min,1, * dimpTotald MeeNdM ≥+= ≥ + = d A d B d A N M N M N M e 4,04,06,0* MA MB Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo em caso contrário Concreto Armado 2 Prof. Ronilson MA MB MACaso em que o sinal de MB deve ser tomado como NEGATIVO MB tomado como NEGATIVO Caso em que o sinal de MB deve ser tomado como POSITIVO Concreto Armado 2 Prof. Ronilson = 21 H eimp θ (exceto no caso de pilares em balanço) ≤→ × = 200 1 100 1 15,01 θθ H sendo H igual a altura total do pilar em metros (pé- direito) ( )xd hNdM 03,0015,0min,1 += com hx em metros Situação (b) 901 ≤≤ λλ 901 ≤≤ λλ Neste caso deve ser considerado os efeitos locais de segunda ordem (flambagem) e o momento máximo na seção intermediária será: ( ) xdimpdTotald eNeeNM 2, * ×++= sendo maior que o momento mínimo M1d,min( )impd eeN +* e2x é a excentricidade de 2ª ordem ( ) r e exx 1 10 2 2 ×= l ( ) xx hvhr 005,0 5,0 005,01 ≤ + = 5,0 . ≥= cdc sd fA N vonde : e Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Direção y ( eixo sobre o qual não existe excentricidade inicial) A NBR 6118/2003 exige a verificação da seção nessa direção, através de um momento total máximo no pilar, dado pela expressão: yddtotald eNMM 2min,1, ×+= e2y é a excentricidade de 2ª ordem (flambagem) na direção y ( )hNdM 03,0015,0 += onde, hy é a altura total da seção na direção y em metros( )yd hNdM 03,0015,0min,1 += onde, hy é a altura total da seção na direção y em metros Observe que a seção do pilar é dimensionada à flexo-compressão normal nas duas direções de cálculo. A armadura a ser adotada deve atender as duas situações acima, não é feita a superposição das armaduras. Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Exercício 2 Dimensionar o pilar de extremidade 6 0 x y Nc= 1070kN MA= 25kN.m 20 Dados: fck = 25MPa – aço CA50 Classe de agressividade II – moderada ambientes externos não revestidos 4 0 0 Seção Elevação Planta MB= 12kN.m Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Pilar de Canto DMF Modelo em elementos finitos mostra que há momento fletor em duas direções do pilar situação de flexo-compressão obliqua Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Pilar de Canto As situação de projeto é a indicada na figura abaixo, onde se admite que a força normal de cálculo atuando no eixo X e Y com uma excentricidade inicial eix e eiy essas excentricidades é são devidas aos momentos fletores transmitidos pelas vigas. y y e Nd h eix eiy ex x x ey hx hy d dx x N M e = d dy y N M e = Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Em virtude a forma do diagrama de momentos iniciais, não se sabe a priori qual é a seção do pilar que é a mais solicitada. Deve ser feito um dimensionamento para o momento total máximo no pilar, verificando as extremidades e a seção intermediária, adotando a maior armadura encontrada. Verificação da seção de extremidade de topo (parte superior) AAd MM ×= 4,1,1 Momento aplicado na direção X em torno do eixo Y Direção X 1ª SITUAÇÃO DE CÁLCULO MA míndAd MM ,1,1 ≥ onde, ( )xdd hNM 03,0015,0min,1 += com hx em metros AAd MM ×= 4,1,1 Momento aplicado na direção Y em torno do eixo X Direção Y míndAd MM ,1,1 ≥ onde, ( )ydd hNM 03,0015,0min,1 += com hy em metros Com os momentos encontrados é feito o dimensionamento a flexo-compressão obliqua Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Verificação da seção de extremidade de base (parte inferior) BAd MM ×= 4,1,1 Momento aplicado na direção X em torno do eixo Y Direção X míndBd MM ,1,1 ≥ onde, 2ª SITUAÇÃO DE CÁLCULO ( )xdd hNM 03,0015,0min,1 += com hx em metros ×= Direção Y BBd MM ×= 4,1,1 Momento aplicado na direção Y em torno do eixo X míndBd MM ,1,1 ≥ onde, ( )ydd hNM 03,0015,0min,1 += com hy em metros MB Com os momentos encontrados é feito o dimensionamento a flexo-compressão obliqua Concreto Armado 2 Prof. Ronilson Verificação da seção de intermediária do pilar (centro) Direção X 3ª SITUAÇÃO DE CÁLCULO M ( ) xdimpdTotald eNeeNM 2, * ×++= Momento aplicado na direção X em torno do eixo Y sendomaior que o momento mínimo M1d,min( )impd eeN +* ( ) min,1, * dimpTotald MeeNdM ≥+= Mi ≥ + = d A d B d A N M N M N M e 4,04,06,0* = 21 H eimp θ (exceto no caso de pilares em balanço) ≤→ × = 200 1 100 1 15,01 θθ H sendo H igual a altura total do pilar (pé-direito) ( )xd hNdM 03,0015,0min,1 += com hx em metros Concreto Armado 2 Prof. Ronilson e2x é a excentricidade de 2ª ordem ( ) r e exx 1 10 2 2 ×= l ( ) xx hvhr 005,0 5,0 005,01 ≤ + = 5,0 . ≥= cdc sd fA N vonde : e Direção Y ( ) ydimpdTotald eNeeNM 2, * ×++= Momento aplicado na direção Y em torno do eixo X sendo maior que o momento mínimo M1d,min( )impd eeN +* ( ) min,1, * dimpTotald MeeNdM ≥+= ≥ + = d A d B d A N M N M N M e 4,04,06,0* Concreto Armado 2 Prof. Ronilson = 21 H eimp θ (exceto no caso de pilares em balanço) ≤→ × = 200 1 100 1 15,01 θθ H sendo H igual a altura total do pilar (pé-direito) ( )yd hNdM 03,0015,0min,1 += com hy em metros e2y é a excentricidade de 2ª ordem ( ) r e ey x 1 10 2 2 ×= l ( ) yy hvhr 005,0 5,0 005,01 ≤ + = 5,0 . ≥= cdc sd fA N vonde : e Concreto Armado 2 Prof. RonilsonExercício 3 Dimensionar o pilar de extremidade 6 5 x y Nc= 2000kN MA= 46kN.m 25 Dados: fck = 30MPa – aço CA50 Classe de agressividade II – moderada ambientes externos não revestidos 4 5 0 Seção Elevação Planta MB= 22kN.m
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