EP10-MB-2014-1

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Matemática Básica 2014-1  EP 10 (Gabarito do EP 09) 
Prezado aluno, 
estamos entrando no assunto Trigonometria. Este estudo deve ser dividido nas próximas duas 
semanas. Você pode seguir a apostila da disciplina ou o livro. Pela apostila, você tem a unidade 
8, disponível na plataforma. Esta unidade é composta de vários exercícios propostos, assim 
nesse EP não incluímos novos exercícios. Nessa semana, esperamos que você estude ao menos 
até a atividade 4 na página 12 da apostila, fazendo os exercícios ali propostos. No livro, você 
deve estudar as aulas 20, 21, 22, 23, 24 e 26, incluindo exercícios. Faça o maior número de 
exercícios possível, de preferência os da unidade e também do livro. 
Bom estudo! 
Coordenadores da disciplina 
 Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
Miriam Abdón 
Respostas do EP 9 
 
1) Resolva, se possível, as equações em ℝ. 
a) 𝑥2 + 6𝑥 + 2 = −3 
b) 5𝑥2 + 3𝑥 = 𝑥 − 1 
c) 𝑥 −
3
𝑥
= 1 
d) 𝑥2 − √2𝑥 +
1
2
= 0 
Solução: 
a) 𝑥2 + 6𝑥 + 2 = −3 ⇔ 𝑥2 + 6𝑥 + 5 = 0 ⇔ 𝑥 =
−6±√36−20
2
⇔ 𝑥 = −5 𝑜𝑢 𝑥 =
−1. 
b) 5𝑥2 + 3𝑥 = 𝑥 − 1 ⇔ 5𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0, como na última equação Δ = 4 −
20 = −16 < 0, não há raiz real. Portanto, a equação dada não possui solução 
real. 
c) 𝑥 −
3
𝑥
= 1 ⇔ 𝑥2 − 3 = 𝑥, 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 0. Mas, 𝑥2 − 3 = 𝑥 ⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0 ⇔
𝑥 =
1±√1+12
2
=
1±√13
2
. 
d) 𝑥2 − √2𝑥 +
1
2
= 0 ⟺ 𝑥 =
√2±√2−2
2
= √2/2. 
 
 
2) O número de diagonais de um polígono convexo de 𝑥 lados é dado por 𝐷(𝑥) =
𝑥(𝑥−3)
2
=
𝑥2−3𝑥
2
. 
a) Se o polígono possui 9 diagonais, quantos lados tem o polígono? 
b) Determine o polígono, cujo número de diagonais é igual ao triplo do número de 
lados. 
Solução: 
a) Devemos resolver a equação 
𝑥2−3𝑥
2
= 9 ⟺ 𝑥2 − 3𝑥 = 18 ⟺ 𝑥2 − 3𝑥 − 18 =
0, 𝑐𝑢𝑗𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 6 𝑒 − 3. Assim, descartamos a raiz negativa e temos x= 6, 
ou seja, o polígono é um hexágono. 
b) Devemos resolver a equação 
𝑥2−3𝑥
2
= 3𝑥 ⟺ 𝑥2 − 3𝑥 = 6𝑥 ⟺ 𝑥2 − 9𝑥 =
0, 𝑐𝑢𝑗𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 0 𝑒 9. Assim, descartamos a raiz nula e temos x= 9, ou seja, 
o polígono é um eneágono. 
 
3) (UFF-adaptado) O custo, em reais, de fabricação de x peças em determinada fábrica é 
𝐶(𝑥) = 𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑝 . Sabe-se que: 
I) Se nenhuma peça for produzida, o custo fixo é de 80 reais. 
II) Se forem produzidas 30 peças, o custo é de 50 reais. 
III) Se forem produzidas 50 peças, o custo é de 130 reais. 
a) Determine as constantes m ,n e p. 
b) Calcule o custo da produção de 60 peças. 
c) Quantas peças produzidas levam a um custo de 290 reais? (errata) 
Solução: 
a) De I, temos que 80 = 𝐶(0) = 𝑚. 02 + 𝑛. 0 + 𝑝 = 𝑝, portanto 𝑝 =80. 
De II, 50 = 𝐶(30) = 𝑚. 302 + 𝑛. 30 + 80 = 900𝑚 + 30𝑛 + 80 ⇒ 900𝑚 +
30𝑛 = −30 ⇒ 30𝑚 + 𝑛 = −1.* 
De III, , 130 = 𝐶(50) = 𝑚. 502 + 𝑛. 50 + 80 = 2500𝑚 + 50𝑛 + 80 ⇒
2500𝑚 + 50𝑛 = 50 ⇒ 50𝑚 + 𝑛 = 1. ** 
Resolvendo o sistema formado por * e **, temos 𝑚 =
1
10
= 0,1 e 𝑛 =-4. 
b) De a), 𝐶(𝑥) = 0,1𝑥2 − 4𝑥 + 80, donde 𝐶(60) = 0,1 × 3600 − 4 × 60 +
80 = 200 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
c) Devemos resolver a equação 𝐶(𝑥) = 0,1𝑥2 − 4𝑥 + 80 = 290, ou seja 0,1𝑥2 −
4𝑥 − 210 = 0 ⟺ 𝑥 =
4±√16+84
0,2
=
4±10
0,2
=
4±10
2
10
=
(4±10)10
2
= 70 ou −
30. Assim, o número de peças é igual a 70. 
 
4) Determine o conjunto dos números reais onde a expressão está bem definida . 
a) 𝐸(𝑥) =
1
𝑥
2𝑥2+𝑥−1
 
b) 𝐸(𝑥) =
𝑥
2𝑥2+𝑥+1
 
c) 𝐸(𝑥) =
2
3𝑥2+𝑥
𝑥2+2𝑥+1
 
Solução: 
a) Devemos ter 𝑥 ≠ 0 e 2𝑥2 + 𝑥 − 1 ≠ 0. Resolvendo a equação 2𝑥2 + 𝑥 − 1 =
0, temos x= 𝑥 =
−1±√1+8
4
=
−1±3
4
= −1 𝑜𝑢 1/2. Assim, a expressão está bem 
definida em ℝ ∖ {−1,0,1/2}. 
b) O que não pode ocorrer nesta expressão é zerar o denominador. Observe que 
para qualquer x real, 2𝑥2 + 𝑥 + 1 ≠ 0, pois Δ < 0. Logo, a expressão está 
bem definida em ℝ. 
c) Devemos ter 3𝑥2 + 𝑥 ≠ 0 e 𝑥2 + 2𝑥 + 1 ≠ 0. Resolvendo cada equação 
3𝑥2 + 𝑥 = 0 e 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0, temos x=0 e x=-1/3 como raízes da 1ª e x=-1 
raiz da 2ª(Δ = 0).Portanto, , a expressão está bem definida em ℝ ∖
{−1, −1/3,0 }. 
 
 
5) Determine dois números inteiros consecutivos cuja soma de seus inversos seja 
9
20
. 
Solução: Os números inteiros consecutivos serão x e x+1. Assim, 
1
𝑥
+
1
𝑥+1
=
9
20
⟺
20(𝑥 + 1) + 20𝑥 = 9𝑥(𝑥 + 1) ⟺ 9𝑥2 − 31𝑥 − 20 = 0 ⟺ 𝑥 = 4 𝑜𝑢 𝑥 = −5/9. 
Como x é inteiro, segue que x=4. 
 
6) Simplifique: 
 
a) 
(2𝑥+1)3+(2𝑥+1)2
(𝑥2−1)
 
b) 
𝑥2(3𝑥−1)2+(3𝑥2+𝑥)2
𝑥2 
 
Solução: 
a) 
(2𝑥+1)3+(2𝑥+1)2
(𝑥2−1)
= 
(2𝑥+1)2(2𝑥+1+1)
(𝑥2−1)
=
(2𝑥+1)2(2𝑥+2)
( 𝑥−1)(𝑥+1)
= 2
(2𝑥+1)2(𝑥+1)
( 𝑥−1)(𝑥+1)
= 2
(2𝑥+1)2
( 𝑥−1)
 
b) 
𝑥2(3𝑥−1)2+(3𝑥2+𝑥)2
𝑥2 
=
𝑥2(3𝑥−1)2+𝑥2(3𝑥+1)2
𝑥2 
=
𝑥2[(3𝑥−1)2+(3𝑥+1)2]
𝑥2 
= (3𝑥 − 1)2 +
(3𝑥 + 1)2 = 18𝑥2 + 2. 
 
 
7) Determine a soma dos valores de y que pertencem ao conjunto solução do sistema 
abaixo: 
{
𝑥𝑦2 − 𝑥2 = 8𝑥
𝑦 + 2𝑥 = 5
 
Solução: Se x=0, temos que a 1ª equação é satisfeita e a 2ª implica que y=5. Assim, temos 
uma solução x=0 e y=5. 
Se 𝑥 ≠ 0, dividimos a 1ª equação por x e obtemos x=𝑦2 − 8, que substituindo na 2ª nos dá 
𝑦 + 2(𝑦2 − 8) = 5, donde 2𝑦2 + 𝑦 − 21 = 0. Portanto,y=3 ou y=-7/2.. Assim, a soma dos 
valores de y que pertencem ao conjunto solução do sistema é igual a 5+3-7/2=9/2. 
 
8) Determine os valores que a constante 𝑚 pode assumir, tais que a equação 𝑚𝑥2 +
(𝑚 + 2)𝑥 +
𝑚
4
= 0, tenha: 
a) duas raízes reais distintas; 
b) uma raiz real com multiplicidade 2; 
c) uma raiz real com multiplicidade 1. 
Solução: 
a) Devemos ter 𝑚 ≠ 0 𝑒 ∆= (𝑚 + 2)2 − 𝑚2 = 4𝑚 + 4 > 0, donde m>-1 e 𝑚 ≠ 0. 
b) Devemos ter 𝑚 ≠ 0 𝑒 ∆= (𝑚 + 2)2 − 𝑚2 = 4𝑚 + 4 = 0, donde m=-1. 
c) Devemos ter uma equação do 1º grau, donde m=0. Nesse caso a raiz é x=0. 
 
9) Determine o valor de m, tal que a equação 𝑥2 + 𝑚𝑥 + 3𝑚2 + 9𝑚 − 30 = 0 , possua 
uma raiz nula e a outra negativa. 
Solução: Uma raiz será nula se o termo constante da equação for nulo, ou seja, se 
3𝑚2 + 9𝑚 − 30 = 0 ⟺ 𝑚2 + 3𝑚 − 10 = 0. Resolvendo esta equação do 2º grau em 
m, obtemos m= -5 ou m=2. Assim,a equação dada é 𝑥2 + 𝑚𝑥 =0 e para que a 2ª raiz 
desta equação seja negativa o valor de m é 2. 
 
 
10) A idade de uma criança daqui a 17 anos será o quadrado da idade que tinha há 3 anos 
atrás. Qual é a idade da criança? 
Solução: Seja x a idade da criança hoje, então pelos dados do problema, temos 
𝑥 + 17 = (𝑥 − 3)2 ⇔ 𝑥2 − 7𝑥 − 8 = 0, cujas raízes são x=8 e x=-1. Assim, a idade da 
criança hoje é 8 anos. 
 
11) Se 𝑥 − 𝑦 = 7 e 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2 = 210 , determine o valor numérico de 𝑥𝑦 . 
Solução: Observe que 210= 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2 = 𝑥𝑦(𝑥 − 𝑦) = 𝑥𝑦. 7, portanto xy=210/7=30. 
 
12) Se 𝑥 − 𝑦 = 7 e 𝑥𝑦 = 60, determine o valor numérico de 𝑥2 + 𝑦2 e de 
𝑥2(𝑦 − 𝑥) + 𝑦2(𝑦 − 𝑥). 
Solução: Observe que 72 = (𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑦2 − 120. Logo, 
 𝑥2 + 𝑦2 = 120 + 49 = 169. 
 
13) Se 𝑎 + 𝑏 = 10 e 𝑎𝑏 = 24 , determine o valor numérico de 
𝑎3𝑏 + 2𝑎2𝑏2 + 𝑎𝑏3. 
Solução: Observe que 𝑎3𝑏 + 2𝑎2𝑏2 + 𝑎𝑏3 = 𝑎𝑏(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)2 =
24. 100 = 2400. 
14) Qual o valor numérico de 5399992 − 4600012 . 
 (Sugestão: use a fatoração 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏).) 
Solução: 5399992 − 4600012 = ( 539999 − 460001 )( 539999 + 460001 ) =
(79.998)(1.000.000)= 79.998.000.000