Cálculo (UniFatecie)

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Cálculo
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva
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 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP 
 
A663c Araújo, Renã Moreira 
 Cálculo / Renã Moreira Araújo, Arthur Ernandes Torres da 
 Silva. Paranavaí: EduFatecie, 2021. 
 114 p.: il. Color. 
 
 
 
1. Cálculo. 2. Matemática. 3. Funções de variáveis reais. 
I. Silva, Arthur Ernandes Torres da. II. Centro Universitário UniFatecie. 
III. Núcleo de Educação a Distância. IV. Título. 
 
 CDD: 23 ed. 515 
 Catalogação na publicação: Zineide Pereira dos Santos – CRB 9/1577 
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www.unifatecie.edu.br/site
As imagens utilizadas neste
livro foram obtidas a partir 
do site Shutterstock.
AUTORES
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva
● Bacharel em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
● Licenciatura em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
● Mestre em Física pela Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
● Doutorando em Física - Universidade Estadual de Maringá (UEM)
● Professor Formador UniFatecie.
● Professor de Física no Colégio Educacional Noroeste Paranavaí. 
Professor e pesquisador. Tem experiência na área de física da matéria condensa-
da, impedância elétrica (teórica e experimental) e dinâmica de íons em células eletrolíticas. 
Possui experiência como docente no Ensino Médio e Ensino Superior. Nos cursos de 
Engenharia Civil, Engenharia de produção e Arquitetura, já foi professor das disciplinas de 
Cálculo Diferencial e Integral, Física Geral e Laboratório de Física Geral. 
CURRÍCULO LATTES: http://lattes.cnpq.br/4605782782813159
Professor Dr. Renã Moreira Araújo 
 
● Licenciatura em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
● Bacharel em Meteorologia na Universidade Federal de Pelotas (UFPel).
● Mestre em Meteorologia pela Universidade Federal de Pelotas (UFPel).
● Doutor em Ciências - Universidade Federal do Paraná (UFPR).
● Professor universitário - UniFatecie 
● Professor de Matemática e Física no Colégio Fatecie Max e Fatecie Premium. 
● Consultor agrometeorológico. 
CURRÍCULO LATTES: http://lattes.cnpq.br/5333294957135117
 
Professor, pesquisador e consultor. Possui experiência em agrometeorologia, 
relação entre clima e grandes culturas, instalação e calibração de instrumentos agrometeo-
rológicos. Colabora com levantamento sistemático de informações para auxílio na modela-
gem agrícola de cana-de-açúcar. Realiza consultoria agrometeorológica em cooperativas. 
Ministra aulas no Ensino Fundamental, Médio e nas graduações de Engenharia da Produ-
ção, Engenharia Agronômica, Administração e Ciências Contábeis no Centro Universitário 
UNIFATECIE (Universidade de Tecnologia e Ciências do Norte do Paraná).
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
Seja muito bem-vindo(a)!
Prezado(a) aluno(a), se você se interessou pelo assunto desta disciplina, isso já é 
o início de uma grande jornada que vamos trilhar juntos a partir de agora. Neste material 
foram abordados diversos assuntos com muitos exemplos e comentários para facilitar os 
estudos do material de Cálculo Diferencial e Integral.
Proponho, junto a você, construir nosso conhecimento sobre diversos tópicos os 
quais serão essenciais para sua formação acadêmica. A proposta da ementa é trazer se-
gurança em diversos ramos da matemática teórica para aqueles que optarem pela carreira 
acadêmica, assim como para aqueles que atuaram diretamente no mercado de trabalho.
Na Unidade I, começaremos a nossa jornada definindo o conjunto dos números 
que usaremos em nossa disciplina, representação de funções e como analisar o domínio 
e imagem de uma função. Trataremos especificamente algumas funções, como as polino-
miais, tanto de primeiro como de segundo grau, as exponenciais e modulares. Junto com 
a análise algébrica de cada uma delas vamos aprender essas funções do ponto de vista 
gráfico também. Ademais, um novo formalismo matemático, os de limites serão estudados. 
Já na Unidade II, vamos dedicar exclusivamente a matemática dos limites, desde 
os limites laterais, aos limites no infinito e limites infinitos, limites indeterminados e algumas 
propriedades de limites, fechando o capítulo com a ideia de função contínua.
Depois, na Unidade III, estudaremos outra vertente da do cálculo, as derivadas. 
Iremos aprender a interpretar a derivada de uma função do ponto de vista gráfico e algumas 
regras de diferenciação, como a regra da potência, do produto e quociente, as trigonomé-
tricas, exponenciais e logarítmicas, chegando até a regra da cadeia.
Por fim, na Última Unidade, adentramos na ideia de primitivas de uma função. Com 
o auxílio do Teorema fundamental do Cálculo, vamos ver que a derivada e as integrais pos-
suem uma relação. Além disso, iremos aprender a calcular integrais definidas e indefinidas, 
bem como algumas técnicas de integração.
Aproveito para reforçar o convite a você, para junto conosco percorrer esta jornada 
de conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos assuntos abordados em 
nosso material. Esperamos contribuir para seu crescimento pessoal e profissional. 
Muito obrigado e bom estudo!
SUMÁRIO
UNIDADE I ...................................................................................................... 3
Números e Funções Reais
UNIDADE II ................................................................................................... 35
Limite e Continuidade
UNIDADE III .................................................................................................. 57
Derivadas e Aplicações
UNIDADE IV .................................................................................................. 84
Integrais
3
Plano de Estudo:
● Números reais;
● Conceito de função;
● Funções elementares;
● Conceito de limite. 
Objetivos da Aprendizagem:
● Conceituar e contextualizar os conjuntos numéricos, função e funções elementares;
● Compreender os tipos de funções;
● Estabelecer a importância dos conjuntos numéricos e das 
funções elementares para o estudo de cálculo.
● Entender a contextualização de limite de funções de uma variável.
UNIDADE I
Números e Funções Reais
Professor Dr. Renã Moreira Araújo
4UNIDADE I Número e Funções Reais
INTRODUÇÃO
O que seria do mundo sem a matemática?Já tentou imaginar isso? Faça esse 
exercício mentalmente: pare por alguns instantes e tente imaginar como seria o mundo sem 
os números. Seria um caos? Ou seria melhor? 
Por mais que os números e a matemática sejam taxados como complexos, maçan-
tes, e muitas vezes até chatos, nós não conseguimos viver sem. Você por exemplo, neste 
momento, está lendo o material pelo celular, ou impresso, ou pelo computador ou por algum 
leitor digital, está fazendo uso da matemática. Afinal, todos os dispositivos utilizados para 
que você conseguisse ler este material foram usados conceitos matemáticos para serem 
fabricados. Agora vamos pensar em você. Foi preciso separar um tempo do seu dia para 
estudar, aprofundar seus conhecimentos. Olhou as horas antes de começar a ler, se não 
olhou vai olhar, e calma, isso é matemática? Com certeza.
Claro que aqui estamos exagerando no conceito. Mas realmente, nossas vidas não 
têm mais sentido sem a matemática. Seja para calcular um simples troco na padaria da 
esquina, seja para elaborar um programa de mineração de criptomoedas. 
Você está neste momento dando o primeiro passo para o conhecimento da mate-
mática abordada no Cálculo Diferencial e Integral. Esta disciplina é um dos diversos ramos 
na qual a Ciência matemática pode ser aplicada. 
Neste primeiro módulo vamos retomar alguns conceitos básicos de conjuntos numé-
ricos. Em seguida, vamos conceituar função e tipos de função, que vai ser objeto de estudo 
durante todo o nosso curso. Por fim, vamos conceituar o limite de uma função de uma variável. 
Seja muito bem-vindo ao seu primeiro passo para 
esse vasto mundo do conhecimento. 
5UNIDADE I Número e Funções Reais
1. NÚMEROS REAIS
Neste módulo vamos trabalhar os números reais, funções elementares e conceituar 
o limite de uma função com uma variável. Para isto, vamos iniciar com os conceitos de con-
juntos numéricos.
● Conjuntos Numéricos
Conjuntos numéricos é uma coleção de elementos, não importa qual é a ordem ou 
quantas vezes os elementos estarão listados dentro de um conjunto numérico. Em nosso 
curso, vamos listar cinco conjuntos numéricos: conjunto dos números naturais, conjuntos dos 
números inteiros relativos, conjunto dos números racionais, conjunto dos números irracionais 
e conjunto dos números reais. 
● Números naturais
O conjunto no qual compreende números inteiros positivos (incluindo o zero), cha-
mamos de conjunto dos números naturais, representado . São os números utilizados para 
realizar contagem simples: . = {0,1,2,3,4...}
● Números inteiros relativos
Este conjunto numérico compreende os números naturais e os números inteiros ne-
gativos. Também é chamado apenas de conjunto dos números inteiros e é representado pelo 
símbolo . Assim, o conjunto dos números inteiros relativos é: = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }.
6UNIDADE I Número e Funções Reais
● Números racionais
O conjunto dos números racionais são todos os números que podem ser escritos 
em forma de uma razão, com ambos pertencentes ao conjunto dos números inteiros e com 
denominador diferente de zero. É representado pelo símbolo . Portanto, o conjunto dos 
números racionais estão incluídas as frações, os decimais finitos e as dízimas periódicas, 
e é definido da seguinte forma:
● Números irracionais
O conjunto dos números irracionais são todos os números dos quais não é possível 
ser representados da mesma forma que os números racionais, mas que são possíveis 
descrevê-los na reta numérica. É formado apenas por dízimas não periódicas, ou seja, 
decimais infinitos cuja sequência de números após a vírgula não se repete e é representado 
pelo símbolo I. Segue alguns exemplos.
O número = 3,14159... é um número irracional. Mas podemos nos perguntar, 
então é impossível escrever dois números inteiros por uma razão e resultar ? A resposta 
é sim. Podemos tentar a razão e obtemos 3,14285... Note que o valor diverge do valor 
de já na terceira casa decimal. 
Números que são raízes quadradas de números primos são todos irracionais: 
√2, √3,√5,√7,√11, Porém, todo irracional é passível de representação em uma reta numérica.
● Números Reais
Quando fazemos a união dos conjuntos dos números racionais e dos números irra-
cionais obtemos o conjunto dos números reais, representado por . No nosso cotidiano, 
fazemos uso deste conjunto numérico.
Em nosso curso este é o conjunto numérico mais importante. A seguir temos algu-
mas propriedades ao fazer uso deste conjunto.
Considere os números a, b e c 
P1) Comutativa: 
Essa propriedade infere que a ordem dos números reais nas operações matemáti-
cas não altera o seu resultado final. Assim, Se a, b , então
a + b = b + a e a . b = b . a
7UNIDADE I Número e Funções Reais
P2) Associativa: 
Operações matemáticas que envolvem mais de dois elementos e, por isso, devem 
ser operados dois a dois. No entanto, a forma como estão distribuídos na equação não 
altera o resultado final, como podemos observar nos exemplos a seguir:
Para a soma a + (b + c) = (a + b) + c
Para a multiplicação a . (b . c) = (a . b) . c
P3) Distributividade:
A propriedade da distributividade envolve tanto a soma quanto a multiplicação em 
uma única operação. E, nesse caso, a soma dos produtos será igual ao produto da soma, 
seguindo a operação 
 a · (b + c) = a · b + a · c
P4) Elemento neutro:
Estamos falando agora de um número real que, dentro da operação, não gera 
influência sobre o resultado. No caso da soma, esse elemento corresponde ao número 0 
e, na multiplicação, o elemento neutro é igual a 1, como é possível observar nos seguintes 
exemplos:
Para a soma a + 0 = a 
Para a multiplicação a · 1 = a
P5) Existência de simétricos: 
Todo número a pertence aos números reais possui um número simétrico, chamado 
de –a, de tal maneira que:
a + (−a) = 0
P6) Elemento inverso:
Todo número real tem um elemento inverso. Isso resulta que na operação matemá-
tica entre o elemento e seu inverso o resultado será sempre um elemento neutro. Vamos 
exemplificar:
Ao somar um número real e seu inverso, chegaremos ao seguinte cálculo: a + (- a) = 0;
No caso da multiplicação, temos a seguinte operação: .
Com essas propriedades temos ferramentas suficientes para efetuar os cálculos 
iniciais que vamos precisar ao trabalhar com o limite de funções ao final desse módulo.
8UNIDADE I Número e Funções Reais
2. CONCEITO DE FUNÇÃO
A função é muito importante para diversas áreas do conhecimento, como por 
exemplo, a química, as ciências sociais, econômicas, biológicas e etc. Toda vez em que 
nos deparamos com situações nas quais precisamos relacionar duas ou mais grandezas, 
fazemos uso dos conceitos de função. 
Em nosso curso, a função tem grande relevância pois, através dela, somos capazes 
de descrever fenômenos naturais e situações cotidianas. Por exemplo, podemos aplicar 
o conceito de função para distâncias percorridas e tempo de viagem; distâncias e gasto 
de combustível; quantidade de energia elétrica gasta e o valor a ser pago; quilômetros 
percorridos e o valor da corrida de um táxi; ou ainda a adubação e crescimento de plantas. 
O que queremos deixar claro até aqui é que: quando relacionamos duas ou mais 
grandezas que possuem alguma relação, podemos escrever uma lei matemática para des-
crevê-las, e essa lei é o que conhecemos por função. Agora que entendemos o que é uma 
função, vamos mostrar a definição matemática: 
9UNIDADE I Número e Funções Reais
2.1 Definição de função e propriedades 
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação que a cada elemento de A 
associa um único elemento de B, e é indicada por
f: A→B
A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação 
expressa na forma 
y = f (x) 
Essa regra diz que o elemento x A, chamado de variável independente, está 
relacionado de modo único ao elemento y = f (x) B, chamado de variáveldependente. O 
conjunto A é chamado de domínio e indicamos A = Dom(f) e o conjunto B, de contradomínio.
O conjunto imagem indicado como Im (f) é o conjunto dos elementos de B aos quais 
foram associados elementos de A, isto é,
Im (f) = {y B | y = f (x) para algum x A}
Aqui, o símbolo “|” matemático lê-se “tal que”. 
Para ficar mais claro o dito acima, vamos ver um exemplo:
Dada uma função f de A em B, o conjunto A é chamado de domínio (D) da função 
e o conjunto B é chamado de contradomínio (CD) da função. Os elementos do conjunto 
B que são correspondentes dos elementos do conjunto A são chamamos de conjunto 
imagem (Im) da função. 
FIGURA 1 - RELAÇÃO DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO DE FUNÇÃO
Fonte: O autor (2021). 
10UNIDADE I Número e Funções Reais
Desta forma, podemos afirmar para a relação da Figura 1 que: 
O domínio da função é representado pelos elementos do conjunto A: 
D = {1, 2, 3, 4, 5}
O contradomínio da função é representado pelos elementos do conjunto B:
CD = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
O conjunto imagem da função são os elementos do conjunto B que correspondem 
aos elementos do conjunto A:
Im = {2, 3, 4, 5, 6}
Só foi possível descrever o domínio, contradomínio e imagem pois a relação descri-
ta no diagrama representa uma função. Agora, observe os dois casos abaixo:
FIGURA 2 - EXEMPLO DE NÃO FUNÇÃO
Fonte: O autor (2021). 
Note que na figura 2, o elemento -1 do conjunto A está associado a mais de um 
elemento do conjunto B. Portanto, a relação entre A e B não descreve de fato uma função.
FIGURA 3 - EXEMPLO DE FUNÇÃO
Fonte: O autor (2021). 
11UNIDADE I Número e Funções Reais
Na Figura 3, cada elemento do conjunto A está associado a um único elemento do 
conjunto B, portanto, a relação é uma função. Temos como contradomínio os elementos {e, f, g, 
h} e como imagem os elementos {e, f, g}. Mas aí surge uma pergunta: pode “sobrar” elementos 
no conjunto B? Sim, não tem problema “sobrar” elementos sem corresponde no elemento B. 
O que não poderia acontecer é o contrário, isto é, existir algum elemento de A que não tenha 
nenhum correspondente em B. O diagrama da Figura 4 a seguir ilustra essa situação.
FIGURA 4 - EXEMPLO DE FUNÇÃO
Fonte: O autor (2021). 
Sabemos agora definir se uma relação é função ou não. Sabemos também que fun-
ção possui três constituintes básicos: seu domínio, contradomínio e a regra de associação. 
Isto é importante para entender que quando o domínio e o contradomínio de uma função 
estão contidos no conjunto dos números reais, a função é chamada de uma função real 
de variável real. Ajuda a compreender também que duas funções são consideradas iguais 
somente quando tem o mesmo domínio, contradomínio e regra de associação.
As funções possuem algumas propriedades para caracterizá-la:
Seja a relação f: A→B.
Função sobrejetora: uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto 
imagem for igual ao contradomínio, Im = CD. Por exemplo, se temos uma função f: → → 
 definida por y = x +2 ela é sobrejetora, pois Im = .
Função injetora: uma função é injetora se os elementos distintos do domínio tive-
rem imagens distintas. Por exemplo, dada a função f: A→B, tal que f(x) = 2x.
Função bijetora: uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Por exemplo, 
a função f: A→B, tal que f(x) = 3x + 2.
E por fim, vamos ver o conceito de função inversa.
Função inversa: uma função será inversa se e somente se ela for bijetora. É usado 
a nomenclatura f -1(x). 
Agora que recapitulamos o conceito de função e algumas das suas principais pro-
priedades, estamos preparados para estudarmos funções elementares, que é o assunto do 
nosso próximo tópico. 
12UNIDADE I Número e Funções Reais
3. FUNÇÕES ELEMENTARES
Algumas funções têm características próprias e ocorrem de maneira recorrente no 
cotidiano que é valido estudarmos. Na literatura temos muitas funções elementares. Exis-
tem funções que, apesar de serem chamadas de elementares, é preciso um conhecimento 
avançado em cálculo para conseguir compreendê-las. Aqui em nosso curso vamos ver as 
principais características das funções elementares mais utilizadas.
Veremos a função constante, função afim, função linear, função quadrática, função 
modular, função exponencial, função logarítmica, função par e ímpar, funções trigonométricas.
3.1 Função Constante
A função constante é a que relaciona cada elemento do seu domínio a um mesmo 
elemento do contradomínio. Vamos ver um exemplo:
Considere a função f: [0, ∞)→ , f (x) = 2. Ao fazer a leitura desta função notamos 
que temos um domínio que vai de zero incluso até o infinito positivo. Já a imagem será 
sempre o mesmo valor, neste caso, o número 2. Como temos o mesmo valor de imagem 
para todo o domínio da função, temos aqui uma função constante. Graficamente temos:
FIGURA 5 - EXEMPLO DE FUNÇÃO CONSTANTE
Fonte: O autor (2021). 
13UNIDADE I Número e Funções Reais
3.2 Função Afim
Qualquer função que pode ser escrito na forma f (x) = ax + b, em que a e b perten-
cem aos números reais com a ≠ 0, chamamos de função afim. Alguns autores também 
chamam está função de função da reta, pois o gráfico desta sempre será uma linha reta, 
como veremos a seguir. 
A função afim possui algumas características importantes. Considerando o domínio 
e o contradomínio pertencente aos , o gráfico da função afim é uma linha reta, onde o 
coeficiente b representa o ponto no qual a linha intercepta o eixo y, por isso é chamado 
de coeficiente linear. Já o coeficiente a representa a inclinação da reta, por isso recebe 
o nome de coeficiente angular. Assim, podemos afirmar que os eixo das abscissas (x) é 
interceptado no ponto e o eixo das ordenadas (y) é interceptado no ponto (0, b). 
Vejamos um exemplo:
Seja o gráfico de uma função afim no intervalo de x = [−2, 2], conforme mostrado 
abaixo (Figura 6):
FIGURA 6 - EXEMPLO DE FUNÇÃO AFIM
Fonte: O autor (2021). 
Neste caso, como podemos encontrar a função que descreve o gráfico? 
Lembre-se que uma função afim sempre representa uma reta (ou semirreta) que é 
escrita de forma generalizada f(x) = y = ax + b. Então, para encontrarmos a função afim que 
descreve a reta do gráfico acima, precisamos encontrar os valores de a e b a partir do gráfico.
Precisamos montar um sistema com os pontos que são possíveis observar no 
gráfico. Note que temos os seguintes pares ordenados: (-2, -3), (-1, -1), (0, 1), (1, 3), (2, 5). 
Para determinar a equação da reta são suficientes dois pontos diferentes. Vamos usar aqui 
os pontos (0, 1) e (1, 3). 
14UNIDADE I Número e Funções Reais
O ponto (0, 1) nos diz que quando x = 0, y = 1. Substituindo essas informações na 
equação da reta temos 1 = a · 0 + b. O ponto (1, 3) nos informa que quando x = 1, y = 3, subs-
tituindo na equação da reta temos 3 = a · 1 + b. Vamos agora montar o sistema de equações:
A equação (I) nos mostra que b = 1. Substituindo este valor na equação (II) verifica-
mos que a = 2. Portanto, a equação da reta descrita no gráfico acima é 
f(x) = 2x + 1
Este procedimento é válido para qualquer função afim. Precisamos de apenas dois 
pontos distintos para encontrar a função que descreve a reta de um gráfico qualquer.
3.3 Função Linear
A função linear é uma particularidade da função afim. Dada a função na forma f(x) 
= ax + b, onde a e b pertencem aos números reais com a ≠ 0, e b = 0, temos a função 
linear. Podemos generalizar dizendo que toda função do tipo (x) = ax, definida no conjunto 
dos números reais é função linear. Graficamente, temos uma linha reta que passa pela 
origem do plano cartesiano (Figura 7). 
FIGURA 7 - EXEMPLO DE FUNÇÃO LINEAR
Fonte: O autor (2021). 
3.4 Função Quadrática
Toda função que pode ser escrito na forma f (x) = ax2 + bx + c, onde a, b, c e a ≠ 0, é 
uma função quadrática, ou função de 2° grau. Esta função descreve uma curva característica 
chamada de parábola. Vamos ver alguns conceitos importantes desta função elementar:
15UNIDADE I Número e FunçõesReais
Coeficiente a: O valor do coeficiente a determina se a parábola possui concavidade 
voltada para cima ou voltada para baixo. Se a > 0, temos concavidade voltada para cima; se 
a < 0, teremos uma parábola com concavidade voltada para baixo. E se a = 0? Não temos 
uma função quadrática e sim uma função afim. 
Discriminante: O discriminante de uma função quadrática é o famoso delta (, cal-
culado pela fórmula matemática Δ = b2 - 4 a c, onde a, b e c são os coeficientes da função 
quadrática. O discriminante pode assumir três valores distintos:
> 0; a função possui duas raízes distintas, isto é, existem dois valores diferentes 
para x nos quais a função resulta em zero. Graficamente, estes são os pontos que intercep-
tam o eixo x.
= 0; a função possui uma única raiz, ou seja, existem apenas um valor para x no 
qual a função resulta em zero. Graficamente, este é o ponto onde a parábola toca o eixo x.
< 0; a função não possui raiz. Isso significa que não existe nenhum valor para x no 
qual a função resulta em zero e a parábola não irá passar pelo eixo.
As figuras 8 e 9 seguir descrevem o que foi dito até o momento.
FIGURA 8 - ESBOÇO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA 
COM CONCAVIDADE VOLTADA PARA CIMA
Coeficiente a > 0  concavidade voltada para cima
 > 0 = 0 < 0
Fonte: O autor (2021). 
16UNIDADE I Número e Funções Reais
FIGURA 9 - ESBOÇO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA 
COM CONCAVIDADE VOLTADA PARA BAIXO
Coeficiente a < 0  concavidade voltada para baixo
 > 0 = 0 < 0
Fonte: O autor (2021). 
Vértices da parábola: o ponto que define o vértice da parábola é descrito por pelo 
par ordenado V = (xv, yv), onde:
Note que caso a concavidade seja voltada para cima (a > 0), o vértice da parábola 
indicará o ponto de mínimo. Caso a concavidade seja voltada para baixo, (a < 0), o vértice 
indicará o ponto de máximo da função. 
Zero da função: Zero da função é(são) o(s) ponto(s) em que a parábola intercepta 
o eixo x. Após o cálculo do discriminante, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar o 
zero da função:
É importante lembrar que caso o discriminante Δ for menor que zero, a função não 
possui raiz e não passa pelo eixo x.
Coeficiente b: O coeficiente b indica se a parábola intercepta o eixo y no momento 
em que a parábola está no ramo crescente ou decrescente. Quando b > 0, intercepta o eixo 
y no ramo crescente; quando b < 0, intercepta o eixo y no ramo decrescente.
Coeficiente c: O coeficiente c nos informa onde a parábola intercepta o eixo y. É o 
mesmo que acontece com o coeficiente b da equação afim.
Vamos ver alguns exemplos.
17UNIDADE I Número e Funções Reais
Sem fazer o gráfico, faça uma análise dos casos abaixo, indique se a parábola in-
tercepta o eixo x em dois pontos distintos, em um único ponto ou não intercepta e encontre 
o vértice da função, nos casos abaixo:
a) f(x) = –2x2 + 8x – 8
Como o coeficiente a < 0, temos uma parábola com concavidade voltada para baixo, 
com coeficiente a = -2, b = 8 e c = -8. Calculando o discriminante:
O discriminante é nulo, então temos um único ponto que toca o eixo x. Vamos 
calculá-lo:
Portanto, temos o ponto (2, 0). 
Coincidentemente, este mesmo ponto é o vértice da função, no caso, um ponto de 
máximo, pois a parábola é voltada para cima. Vamos confirmar o resultado usando o xv e yv:
 yv = 0
Assim, verificamos que o vértice ocorre em (2, 0). 
18UNIDADE I Número e Funções Reais
Podemos tirar mais duas informações. Como o coeficiente b > 0, o eixo y é inter-
ceptado no ramo crescente da parábola e, como isso ocorre em y = -8, que é o valor do 
coeficiente c. 
b) f(x) = x2 - 4x + 8
Como o coeficiente a > 0, temos uma parábola com concavidade voltada para cima, 
com coeficiente a = 1, b = -4 e c = 8. Calculando o discriminante:
O discriminante é menor que zero, portanto, não possui raízes, ou seja, não pos-
suem ponto que intercepta o eixo y. Contudo, a parábola possui um valor de mínimo, uma 
vez que a > 0, dado por:
O vértice ocorre em (4, -1). 
Analisando o coeficiente b notamos que o mesmo é menor que zero, então a pará-
bola corta eixo y no ramo decrescente, e acontece em y = 8, que é o valor do coeficiente c.
No dia a dia muitas são as aplicações da equação do segundo grau. Nos próximos 
módulos, vamos voltar a falar dela e realizar outras analises utilizando novos conceitos que 
iremos aprender. 
19UNIDADE I Número e Funções Reais
3.5 Função Modular
A função modular é descrita por:
Graficamente (Figura 10), o que vamos obter é que independente do domínio, o 
valor da imagem será o valor positivo, isto é, o valor absoluto. 
FIGURA 10 - EXEMPLO DE FUNÇÃO MODULAR
Fonte: O autor (2021). 
3.6 Função exponencial
Seja a função descrita por f(x) = ax, com a positivo x ≠ 1, temos a chamada função 
exponencial. Neste caso, o termo a é chamado de base do expoente e x é o expoente. 
Abaixo temos os gráficos característicos dessa função (Figura 11). Note que a imagem 
dessa função fica no intervalo (0, + ∞ ). 
FIGURA 11 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Fonte: Guerra e Costa (2009).
20UNIDADE I Número e Funções Reais
Considere valores de a, b, x e y , com a>0 e b>0. Temos as seguintes proprie-
dades das funções exponenciais:
Essas propriedades facilitam diversos cálculos que envolve funções exponenciais 
e podem ser combinadas. Vejamos alguns exemplos:
5 3 ∙ 5 2 , pela propriedade 1 temos 53+2 = 55 = 3125 
(23)2 segundo a propriedade 2 temos (23)2 = 22∙3 = 26 = 64 
 pela propriedade 5, podemos escrever 
3.7 Função Logarítmica
A função exponencial possui uma função inversa que é a função logarítmica. Por 
definição:
aloga 
x = x e loga(a x) = x 
Assim, fazendo uso da relação acima, temos que para x = 0 e x =1:
loga1 = 0 e logaa = 1
Ao plotarmos o gráfico da função logarítmica, temos duas situações, a >1 e 0 < a <1 
(Figura 12). 
FIGURA 12 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Fonte: Guerra e Costa (2009).
21UNIDADE I Número e Funções Reais
Assim como a função exponencial, a função logarítmica possui propriedades. Va-
mos ver as mais importantes:
Quando a base a não é indicada em um log, subentende-se que a base seja 10. 
Quando na base a é utilizada o número neperiano e , ao invés de escrevermos log, escre-
ve-se ln(x).
3.8 Função Par e Função Ímpar
Uma função é dita função par quando para todo x ocorre f(x) = f(-x). Vejamos 
um exemplo.
Seja a f(x) = x2 com x , temos:
Para x = 1; f(x) = f(1) = (1)2 = 1 = (-1)2 = f(-1) = f(-x)
Para x = 3; f(x) = f(3) = (3)2 = 9 = (-3)2 = f(-3) = f(-x)
Para x = 7; f(x) = f(7) = (7)2 = 49 = (-7)2 = f(-7) = f(-x)
Portanto, a função f(x) = x2 é uma função par. Uma característica da função par é que 
no plano cartesiano existe uma simetria em relação ao eixo y, como mostra a figura abaixo:
FIGURA 13 - EXEMPLO DE FUNÇÃO PAR
Fonte: O autor (2021).
22UNIDADE I Número e Funções Reais
Já uma função é ímpar quando para todo x ocorre f(x) = -f(-x). Por exemplo:
Seja a f(x) = x3 com x , temos:
Para x = 1; f(x) = f(1) = (1)3 = 1 = -(-1)3 = -f(-1) = -f(-x)
Para x = 5; f(x) = f(5) = (5)3 = 125 = -(-5)3 = -f(-5) = -f(-x)
Para x = 7; f(x) = f(7) = (7)3 = 343 = -(-7)3 = -f(-7) = -f(-x)
Podemos então concluir que a função f(x) = x3 é uma função ímpar. Na função 
ímpar também temos uma simetria, mas nesse caso a função é simétrica em relação a 
origem. O Figura 14 mostra como fica a função f(x) = x3 no plano cartesiano, observe a 
simetria em relação a origem.
FIGURA 14 - EXEMPLO DE FUNÇÃO ÍMPAR
 
Fonte: O autor (2021).
3.9 Funções Trigonométricas
Na natureza alguns fenômenos possuem comportamento cíclico ou periódicos. 
Alguns exemplos de fenômenos cíclicos são as ondas de rádio, o movimento periódico 
dos planetas, as vibrações dos átomos, os batimentos cardíacos ou ainda, as oscilações 
descritas pelos braços de um atleta durante uma corrida. Para explicitar esses fenômenos 
fazemos uso de funções trigonométricas.
Vamos definir a função periódica:
Uma função f(x) é considerada periódicae de período t, com t>0, quando todo x ∈ 
Dom f ( x ), x+t ∈ Dom f( x ) e f ( x ) = f ( x + t ).
A principal característica gráfica de funções periódicas é que a cada intervalo de 
comprimento t o comportamento da função se repete. Vamos agora apresentar funções de 
natureza cíclica e as principais funções trigonométricas.
23UNIDADE I Número e Funções Reais
3.9.1 Função Seno e Cosseno
Considere a circunferência de raio unitário e centro na origem do sistema ortogonal 
de coordenadas, chamada de círculo trigonométrico (Figura 15). Vamos fixar o ponto A = 
(1, 0) em tal círculo considerando como sentido positivo o sentido anti-horário, consequen-
temente, sentido negativo é o sentido horário.
FIGURA 15 - CÍRCULO UNITÁRIO
Fonte: Adaptado de: Nunes (2021).
Para cada x associamos um ponto P de tal forma que:
Se −2 π < x < 0, partimos de A e percorremos o círculo no sentido negativo até obter 
um arco cujo comprimento seja dado pelo |x|. O ponto onde o arco termina é P.
Se 0 < x < 2 π, partimos de A e percorremos o círculo no sentido positivo até obter 
um arco cujo comprimento seja x. O ponto onde o arco termina será P e cada número real 
corresponde a um ponto P da circunferência.
Agora, se x > 2 π, vamos precisar dar mais de uma volta no círculo e nesse caso, 
no sentido positivo, até atingir a extremidade P do arco. A mesma lógica ocorre para caso 
formos dar a volta quando x < - 2 π
Baseado nesse raciocínio, podemos afirmar que a cada volta na circunferência 
unitária temos que x + 2kπ (k ∈ ) irá corresponder a um ponto P da circunferência.
Por definição, temos que:
Função seno é a ordenada do ponto P:
f(x) = sen(x)
24UNIDADE I Número e Funções Reais
Função cosseno é a abscissa do ponto P:
f(x) = cos(x)
Os gráficos das funções seno e cosseno estão indicados a seguir (Figura 16). 
Observe que a imagem de ambas as funções fica no intervalo [-1,1]. Portanto, podemos 
verificar que todos os valores de x são -1 sen x ≤1 e -1 cos x ≤1.
FIGURA 16 - GRÁFICOS DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO
Função seno Função Cosseno
Fonte: Guerra e Costa (2009).
Outro fato importante, como já comentado, é que as funções seno e cosseno são 
periódicas e possuem período de 2π. Isso nos permite dizer que, para x , sen(x+2π)=sen 
x e cos(x+2π)=cos x 
E pelo gráfico, podemos observar que o f(x) = cos x possui simetria em relação 
ao eixo x, o que é característica de uma função par, então cos(−x) = cos x. Já a função 
f(x) = sen x possui simetria em relação a origem, comportamento de função ímpar, logo 
sen(−x)=(−1) sen(x). Portanto, além de funções periódicas, a função f(x) = cos x é uma 
função par e a função f(x) = sen x é uma função ímpar. 
Abaixo temos algumas relações das funções cos x e sem x.
25UNIDADE I Número e Funções Reais
Todas as propriedades possuem demonstração matemática. Vamos realizar a de-
monstração da propriedade (7) fazendo uso da propriedade (5) e (6).
A função seno e cosseno possuem diversas aplicações nas áreas do conhecimento, 
desde física na modelagem de fenômenos até na área de economia.
3.9.2 Função tangente e função secante
Por definição e com x | x ≠ 0 a função tangente é dada por (STEWART, 2017).
A Figura 17 mostra o gráfico da função tangente. Note que é uma função com simetria 
em relação a origem, logo é uma função ímpar. O período da função tangente é de 2π. 
FIGURA 17 - GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
Fonte: Guerra e Costa (2009).
A função secante por definição é dada por (STEWART, 2017):
com x | x ≠ 0 . Note pelo gráfico (Figura 18) que temos agora uma função par 
com período . 
26UNIDADE I Número e Funções Reais
FIGURA 18 - GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE
Fonte: Guerra e Costa (2009).
Essas duas funções possuem o mesmo domínio, dado por Dom (f ) = 
. .Já o conjunto imagem das funções são diferentes. 
A função tangente possui imagem Im(tg) = e da função secante a imagem é 
Im(sec)=(-∞,-1] ∪ [1,+∞].
3.10 Outras funções elementares
No estudo de matemática, existem infinitas funções com características próprias. 
Em nosso curso não vamos nos aprofundar em muitas funções. Nos módulos seguintes, 
descreveremos mais algumas quando for oportuno. 
Vale citar que temos ainda como funções elementares que descrevem situações do 
dia a dia, como por exemplo as funções trigonométricas e suas inversas, funções hiperbó-
licas e suas inversas. Em estudos avançados são estudas a função sigmoide, função beta, 
função gama e etc. 
27UNIDADE I Número e Funções Reais
4. O CONCEITO DE LIMITE
Algumas funções variam continuamente, enquanto outras funções podem variar 
independentemente de como se controla as variáveis. Entender o conceito de limite fornece 
o método para compreender o comportamento das funções.
Vamos de forma intuitiva iniciar o conceito de limite, para que ao fim do módulo 
você seja capaz de ao analisar uma função f (x), definir quando x tende para mais ou 
menos infinito ou se tende para um número real a. Iremos usar essa noção de limite para 
compreender o conceito dos próximos módulos, derivada e integral. Vamos lá!
Considere uma função f, e que você quer saber o que acontece com os valores da 
função quando a variável em questão, x, se aproxima de um determinado ponto, a. Vamos 
ver um exemplo para ficar claro. Seja a função descrita abaixo:
Observe que a função é definida para qualquer valor de x, com exceção de x = 1 
(se x = 1, teremos 0 no denominador e matematicamente não se pode dividir algo por zero). 
Então, para qualquer x ≠ 1 podemos dividir o denominador e o numerador da função acima 
por (x-1), restando desta forma f(x) = (3x + 2) para x ≠ 1. O que acontece com a função, caso 
utilizemos valores bem próximos de 1? 
28UNIDADE I Número e Funções Reais
Verificando valores que se aproximam de 1, com x>1, vamos obter o resultado abaixo:
X > 1 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,0000001
f(x) = 3x + 2 8 7,25 6,5 5,75 5,3 5,03 5,003 5,00003 5,0000003
E para os valores que se aproximam cada vez mais de 1, mas agora com x <1, 
obtemos:
X <1 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,999 0,99999
f(x) = 3x + 2 2 2,75 3,5 4,25 4,7 4,97 4,997 4,9997 4,99997
Fica evidente com os cálculos acima que quanto mais o valor de x se aproxima do 
número 1, mais próxima à função se aproxima do número 5. Assim, podemos definir que o 
valor da função f(x) será tão próxima de 5 quando desejamos, desde que tomentos o valor 
de x próximo o suficiente de 1. Graficamente (Figura 19), temos a equação de uma reta, 
afinal estamos usando uma função de primeiro grau como exemplo.
FIGURA 19 - GRÁFICO DA FUNÇÃO 
Fonte: O autor (2021).
Assim, quanto mais próximo x for do número 1, mais próximo estaremos do número 
5, e podemos escrever uma expressão matemática para descrever essa situação:
Isso quer dizer que o valor de (3x+2) será cada vez mais próximo de 5 à medida 
que se x se aproxima de 1, isto é, quando x→1, f (x) → 5. A maneira correta de fazer a 
leitura da expressão acima é “o limite de f(x) quando x tende a 1 é 5” ou “o limite da função 
f(x) quando x aproxima-se de 1 é 5.
29UNIDADE I Número e Funções Reais
Vamos ver um segundo exemplo. Considere a função . Note que a 
função está definida para qualquer número pertencente aos números reais, com exceção 
do número 0. O que acontece com a função f(x) quando o x tende para + ∞ e para - ∞?
Abaixo temos os valores da função f(x) para quando x tende para x→ - ∞
X -1 -2 -4 -100 -1000 -10000 -100000 ...
 0,0 0,5 0,75 0,99 0,999 0,9999 0,99999
Quando o valor de x se torna cada vez mais negativo, isto quer dizer, quando x 
tende para − ∞, a função f (x) fica cada vez mais próximo do número 1. Vamos verificar 
agora o que acontece quando x tende a + ∞.
X 1 2 4 100 1000 10000 100000 ...
2,0 1,5 1,25 1,01 1,001 1,0001 1,00001
Fica evidente que quanto maior o valor de x, mais a função se aproxima de 1. Com 
essas duas análises, podemos afirmarque para a função em questão, quando x tende para 
+ ∞ e quando x tende para - ∞, a função tende para 1. Podemos escrever matematicamente:
A leitura é: “quando x→−∞, f (x)→1 e quando x→+, f (x)→1”.
Elaborando o gráfico da função (Figura 20), podemos observar o que o limite está 
nos dizendo:
FIGURA 20 - GRÁFICO DA FUNÇÃO 
 
Fonte: Guerra e Costa (2009).
30UNIDADE I Número e Funções Reais
- Quando x aproxima-se cada vez mais de 0 pela esquerda, ou melhor, para valores 
de x < 0, a função f cresce cada vez em valores absolutos da função f e são negativos. 
Podemos concluir que a função f(x) tende para -∞. Portanto, quando x tende a 0 pela 
esquerda, x→0- , f (x) → -∞. Algebricamente:
- Quando x aproxima-se cada vez mais de 0 pela direita, ou melhor, para valores 
de x > 0, a função f cresce cada vez mais com valores positivos. Podemos afirmar que a 
função f(x) tende para + ∞. Portanto, quando x tende a 0 pela direita, x→0+ , f (x)→ + ∞. 
Algebricamente:
Agora que vimos alguns exemplos de limites, vamos para a definição formal.
A partir do gráfico abaixo (Figura 21), suponha que a função não fosse contínua em 
a e tivesse a forma: 
FIGURA 21 - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DESCONTÍNUA
Fonte: Guidorizzi (2001).
Onde as constantes (épsilon) e (delta) são pequenas variações, para mais ou 
para menos, dos valores de L e a respectivamente. É possível notar que no ponto a, a 
função f não está definida, porém existe um limite L que satisfaz uma determinada condição 
específica que veremos ademais. Agora, observe o próximo gráfico (Figura 22).
31UNIDADE I Número e Funções Reais
FIGURA 22 - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO CONTÍNUA
Fonte: Guidorizzi (2001).
Como f é contínua em a, então existe um valor L = f(a). Esses dois casos apresen-
tados obedecem a definição formal de limite, ou seja, obedecem a uma condição específica 
de limites.
Seja f uma função e a um ponto contido no domínio de f. Dizemos que f tem limite 
L, no ponto a, se dado qualquer > 0, exista um > 0 tal que, para qualquer x pertencente 
ao domínio de f, satisfaça a seguinte condição:
Assim, quando existe limite ele será único e representado por 
Esta definição é importante para entender os estudos sobre limites laterais, limites 
infinitos e limites no infinito que veremos no próximo módulo. 
32UNIDADE I Número e Funções Reais
SAIBA MAIS
Durante toda a nossa História a Espécie Humana luta para entender as leis fundamen-
tais do mundo material. Desbravando as regras e padrões que determinam as qualida-
des dos objetos que nos rodeiam e sua complexa relação conosco e entre si.
A História da Matemática é um documentário produzido pela BBC e apresentado 
pelo professor de Matemática da Universidade de Oxford, Marcus du Sautoy, um cien-
tista conhecido pelo seu esforço para popularizar a Matemática ao redor do mundo.
Em quatro episódios o professor Sautoy viaja ao redor do mundo analisando milhares 
de anos da história da matemática, buscando simplificar as complexidades aparentes 
do mundo à nossa volta. Na busca pelo padrão e a ordem ele irá analisar o trabalho de 
grandes matemáticos.
O documentário dublado está disponível no Youtube. O link do primeiro episódio: https://
www.youtube.com/watch?v=Ztz6VX0kIPc.
Fonte: AZEVEDO, Edson. A História da Matemática completo. Youtube. Disponível em: https://www.you-
tube.com/watch?v=Ztz6VX0kIPc . Acesso em: 20 out. 2021.
REFLITA
“A matemática é o alfabeto no qual Deus escreveu o universo”. 
Fonte: Galileu Galilei (1564-1642).
https://www.bbc.com/portuguese
https://www.youtube.com/watch?v=Ztz6VX0kIPc
https://www.youtube.com/watch?v=Ztz6VX0kIPc
https://www.youtube.com/watch?v=Ztz6VX0kIPc
https://www.youtube.com/watch?v=Ztz6VX0kIPc
33UNIDADE I Número e Funções Reais
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Finalizamos a primeira parte de nossa apostila, no qual aprendemos os conceitos de 
conjuntos numéricos e entendemos o que são os números reais. Compreendemos também 
os conceitos de função e suas propriedades, e vimos as funções elementares. Finalizamos 
o módulo com o conceito de limite de uma função de variável real.
Agora, vamos estudar propriedades e tipos de limites, pois essa parte do apren-
dizado se torna imprescindível para o entendimento do terceiro módulo, em que vamos 
estudar derivadas. 
Siga firme e forte, conhecimento está aberto para todos, mas sua internalização é 
para os persistentes. 
34UNIDADE I Número e Funções Reais
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: O homem que calculava
Autor: Malba Tahan.
Editora: Record.
Sinopse: Envolvendo matemática de forma leve cativante, O 
homem que calculava que vem sendo consumido com rara avidez 
há gerações. A matemática recreativa apresentada em O homem 
que calculava é, certamente, menos dolorosa que a fria e doutoral 
ensinada nos colégios. Malba Tahan (pseudônimo do professor 
Júlio César de Mello e Souza) conseguiu realizar quase que um 
milagre, uma mágica: unir ciência e ficção e acertar. Seu talento 
e sua prodigiosa imaginação são capazes de criar personagens e 
situações de grande apelo popular, o que explica seu imenso su-
cesso. O homem que calculava é uma oportunidade para os aficio-
nados dos algarismos e jogos matemáticos se deliciarem com os 
vários capítulos lúdicos da obra. Tahan narra a história de Bereniz 
Samir, um viajante com o dom intuitivo da matemática, manejando 
os números com a facilidade de um ilusionista. Problemas aparen-
temente sem solução tornam-se de uma transparente simplicidade 
quando expostos a ele. Gráficos facilitam ainda mais a leitura do 
livro. Uma pequena obra-prima da literatura infanto-juvenil.
FILME / VÍDEO 
Título: Uma mente brilhante
Ano: 2001.
Sinopse: Uma Mente Brilhante conta a história de John Forbes 
Nash Jr. Ele foi reconhecido como gênio da matemática aos 21 
anos. Casou-se com uma bela mulher, mas logo começou a dar 
sinais de esquizofrenia. Ele aprendeu a conviver com essa enorme 
dificuldade, usando suas adversidades a seu favor, chegando a 
ser aclamado com um Prêmio Nobel. O filme não se trata de uma 
ficção, onde os gênios e heróis passam por dificuldades mirabo-
lantes para terem um final. 
35
Plano de Estudo:
● Limites laterais;
● Limites no infinito e limites infinitos;
● Limites indeterminados;
● Propriedades dos limites e limites fundamentais;
● Função contínua.
Objetivos da Aprendizagem:
● Compreender os tipos de limites e suas propriedades;
● Estabelecer a importância do limite para compreender 
o comportamento de uma função contínua.
UNIDADE II
Limite e Continuidade
Professor Dr. Renã Moreira Araújo
36UNIDADE I Número e Funções Reais 36UNIDADE II Limite e Continuidade
INTRODUÇÃO
No primeiro módulo, ao trabalharmos funções fomos preparados para estudar o 
conceito de limite de funções de uma variável. Agora neste módulo vamos aprofundar os 
conhecimentos sobre limites. 
Iremos estudar os conceitos de limites no infinito e limites infinitos, conceitos que 
são diferentes, mas costuma confundir os estudantes. Após, vamos ver os casos de cálcu-
los matemáticos indeterminados dos quais se faz necessário manipulações matemáticas 
para conseguir encontrar os resultados. Com essa bagagem será apresentado a você as 
principais propriedades de limites, que visam facilitar a resolução de exercícios. Iremos 
também apresentar os limites fundamentais e fecharemos o módulo com o conceito de 
função contínua em um ponto. São vários conceitos novos e interessantes, mas então, 
por que estudar limites?
 Nos próximos módulos, vamos estudar derivadas e integrais, e para entender estes 
novos conceitos matemáticos, precisamos entender o que são funções contínuas, que por 
sua vez é a partir do conceito de limite que verificamos a continuidade. Derivadas e inte-
grais são utilizadas em diversos ramos da Ciência, como Física, Economia, Engenharias, 
Química e etc. e também são utilizadas para cálculo de volumes e áreas. 
Será preciso entender o que acontece com uma determinada função quando a 
variável tende a um valorreal, ou até mesmo quando a variável tende para mais ou 
menos infinito. E esta compreensão, para ser aplicada derivadas e integrais, é fornecida 
pelo conceito de limite. 
Assim meu caro leitor, a primeiro momento talvez não fique tão evidente a necessi-
dade prática de entender limite, mas isso com certeza ficará evidente nos próximos módu-
los. Desejamos uma boa leitura e seja bem-vindo ao conhecimento de uma matemática, já 
não considerada básica.
37UNIDADE I Número e Funções Reais 37UNIDADE II Limite e Continuidade
1. LIMITES LATERAIS
No módulo anterior, mostramos dois exemplos de limites, no segundo exemplo, 
fizemos uma análise da tendência da função ao se aproximar de valores pela esquerda 
e pela direita de zero. Até aquele momento você não sabia, mas já estava fazendo uma 
análise de limites laterais. Vamos aprofundar este conceito.
Calcular os limites laterais significa calcular o limite em um determinado pon-
to a aproximando-se por ambos os lados. Isto quer dizer que fazemos aproximações pela 
direita (valores maiores que a) e aproximações pela esquerda (valores menores que a). 
Escrevendo em linguagem matemática temos:
Pela esquerda: 
Pela direita: 
Vamos analisar cada um dos casos.
● LIMITE A DIREITA: Se f(x) tende para L1 quando x → a através de valores maiores 
que a diz-se que L1 é o limite de f(x) quando x tende para a pela direita. Isso é indicado por:
38UNIDADE I Número e Funções Reais 38UNIDADE II Limite e Continuidade
● LIMITE A ESQUERDA: Se f(x) tende para L2 quando x→a através de valores 
menores que a diz-se que L2 é o limite de f(x) quando x tende para a pela esquerda:
Temos que compreender ainda a existência do limite. O limite da função f(x) com 
x → a existe, se e somente se, os limites laterais forem iguais. Matematicamente, temos, 
portanto, a seguinte condição:
Se os limites laterais no ponto a forem diferentes, podemos afirmar que o limite 
neste ponto não existe. 
Analisaremos um exemplo para ficar mais claro. 
Considere a função:
Vamos calcular os limites de x →1 pela direita e pela esquerda.
Calculando o limite pela esquerda, utilizamos valores cada vez mais próximo de 1, 
mas sem chegar a 1 (0,99, 0,9999, 0,999999):
Já pela direita, o processo é similar, usamos valores próximos de 1, sem chegar ao 
número 1 (1,01, 1,0001, 1,0000001).
Ao elaborar o gráfico da função, teremos o seguinte (Figura 1):
FIGURA 1 - GRÁFICO DA FUNÇÃO USADA NO EXEMPLO DE LIMITES LATERAIS
Fonte: Adaptado de Guidorizzi (2001).
39UNIDADE I Número e Funções Reais 39UNIDADE II Limite e Continuidade
Neste caso, seria possível definir os limites pela esquerda e pela direita com a 
análise gráfica. Portanto, quando x→1, os valores que vem pela esquerda possuem limite 3, 
e quando os valores vem pela direita, possui limite 2. E como os valores dos limites laterais 
são diferentes, podemos afirmar que o limite em 1 não existe, ou seja, a função possui 
limites laterais, mas não possui limite no ponto.
40UNIDADE I Número e Funções Reais 40UNIDADE II Limite e Continuidade
2. LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS
Outro conceito muito importante no estudo de limites de funções são os limites no 
infinito e limites infinitos. Apesar de soar ser a mesma coisa, são conceitos distintos. Para não 
confundir, vamos ver cada um separadamente. Começaremos com os limites no infinito.
Limites no infinito, também chamado de limite tendendo ao infinito, são aqueles 
com nos quais a variável da função tende ao infinito. Isto pode acontecer de duas formas: a 
função pode tender para +∞ ou para -∞. Algebricamente estamos dizendo o seguinte: 
A definição formal para limites tendendo para menos infinito está descrita a seguir.
Seja f uma função e a um ponto que pertence ao intervalo ]a, +∞[, contido no 
domínio de f. Para > 0 existe >0, com > tal que:
O limite L quando existir será único e dado por:
E para mais infinito temos:
Seja f uma função e a um ponto que pertence ao intervalo ]−∞,a[, contido no domínio 
de f. Para qualquer >0 existe >0, com − < a tal que:
41UNIDADE I Número e Funções Reais 41UNIDADE II Limite e Continuidade
E assim como foi para a definição anterior, temos que se o limite L existir, será único 
e representado por:
Vamos ver alguns exemplos para aplicar o conceito:
Considere a função . Vamos calcular o limite para .
Temos aqui o caso de uma constante que será dividida por um número muito gran-
de, positivo (+ ∞ ) e negativo (-∞). Então, quanto maior for o número mais próximo de 0 será 
o resultado da divisão. Ao aplicar o limite, temos, portanto:
Sempre que tivermos uma constante no numerador e variável no denominador, 
similar ao exemplo mostrado acima, o limite tenderá a 0. Vamos para mais um exemplo.
Considere a função . Vamos calcular o limite para . 
Note que temos uma constante no numerador e quanto mais alto o valor da variável 
x, isto é, quando x→+∞ , mais próximo de zero se aproxima o resultado. Assim:
O que acontece quando x→-∞? Ficará para o leitor analisar.
Neste momento vamos para outro tipo de limite, os limites infinitos. Limite infinitos 
são aqueles em que o limite é infinito. Começaremos pelas definições formais:
Seja f uma função e a um ponto que pertence ao intervalo ]a, b[, contido no domínio 
de f. Para qualquer > 0 existe > 0, com a + < b tal que:
O limite L, quando existir, será único e representamos por:
Ou podemos escrever:
Se:
42UNIDADE I Número e Funções Reais 42UNIDADE II Limite e Continuidade
E também:
Se:
Vamos aos exemplos.
Considere a função vista anteriormente . Vamos calcular o limite para x→0. 
Uma atenção deve ser dada quando o denominador da função tende a 0. Isso 
porque valores pela esquerda e pela direita possuem sinais diferentes, e isso pode mudar 
o sinal do limite. Não é o caso em questão pois o denominador está elevado a dois, e todo 
expoente par torna os valores sempre positivos. Assim, ao dividir uma constante positiva 
por um número que tende a 0, o resultado tende a + ∞.
Outros exemplos:
E o limite de f(x) = (3x2-5x+2) ?
Neste caso, vamos fazer algumas manipulações matemáticas, acompanhe:
Vamos nesse momento entender o conceito de assíntota de uma função.
Podemos dizer de forma simples que assíntota da curva de uma função real con-
siste em uma reta na qual a curva se aproxima conforme é percorrida, no entanto a curva 
nunca encosta na reta. 
Temos basicamente dois tipos de assíntotas, a vertical e a horizontal.
No caso da assíntota horizontal: seja uma reta de equação y=b, onde b é um nú-
mero pertencente ao conjunto dos , a reta será uma assíntota horizontal do gráfico da 
função real se b for o valor finito no qual tende a expressão analítica da função, quando o 
valor de x tende para + ∞ ou - ∞.
43UNIDADE I Número e Funções Reais 43UNIDADE II Limite e Continuidade
Já para a assíntota vertical: seja uma reta de equação x=a, em que a é um número 
pertencente ao conjunto dos reais, será uma assíntota vertical do gráfico de uma função 
real se ao menos um dos limites laterais da função for um valor infinitamente grande, quan-
do x tende para o valor de a, ou melhor, será uma assíntota vertical se ao menos uma das 
seguintes condições for verificada: 
Vamos à um exemplo:
Seja a função definida por , quais são suas assíntotas?
Primeiro vamos calcular o limite da função tendendo para ±∞ :
Assim, podemos afirmar que y =1 é a assíntota horizontal, pois quando x tende para 
+∞ ou -∞, +1 é o valor finito no qual a expressão tende. Portanto, quando x tender para 
±∞,a função chegará próxima a +1, mas não tocará a reta definida por y=1. 
Agora, calculando o limite com x→1:
Assim, temos o valor da assíntota vertical.
O gráfico dessa função pode ser esboçado levando em consideração os cálculos 
realizados acima: o gráfico tende a + ∞ quando x → 1+ tende a -∞ quando x→1- ; e se 
aproxima da assíntotahorizontal quando x→±∞ (Figura 2).
FIGURA 2 – EXEMPLO DE ASSÍNTOTA VERTICAL E ASSÍNTOTA HORIZONTAL
Fonte: Friedli (2013).
 
Surge então uma indagação quando fazemos operações envolvendo números infi-
nitos. Será que toda operação matemática tem um resultado? É o que vamos compreender 
no próximo tópico.
44UNIDADE I Número e Funções Reais 44UNIDADE II Limite e Continuidade
3. LIMITES INDETERMINADOS
Em algumas funções, ao calcular o limite, chegaremos a algum dos resultados 
descritos na tabela abaixo:
Quando chegamos a algum desses resultados, dizemos que temos uma indetermi-
nação no cálculo do limite. Um exemplo de quando ocorre é:
Isso não significa que é impossível resolver o limite. O que precisamos fazer é 
usar alguma manipulação matemática para escrever a função de outra maneira que seja 
possível encontrar o valor do limite. 
Existem quatro principais técnicas que são comumente usadas: Fatoração usando 
o algoritmo de Briot-Rufini, racionalizar a expressão, fazer uma mudança de variável ou 
para alguns casos, usar a regra de L´Hospital. 
Vamos mostrar exemplos da fatoração com uso do Algoritmo de Briot-Rufini. Con-
sidere o limite:
45UNIDADE I Número e Funções Reais 45UNIDADE II Limite e Continuidade
Note que a expressão x 2 - 4 pode ser escrita. Isto é o que seria usar o algoritmo de 
Briot-Rufini, que podemos simplificar dizendo que é a redução da ordem de um polinômio. 
Temos assim:
Portanto:
Outro exemplo:
Aplicando a redução de polinômio no numerador (Algoritmo de Briot-Rufini), 
ficamos com:
Assim, 
No nosso curso vamos ver também a Regra de L´Hospital, mas para usar essa 
técnica é preciso ter um conhecimento a respeito de derivadas, conteúdo do nosso próximo 
módulo (Derivadas e aplicações).
46UNIDADE I Número e Funções Reais 46UNIDADE II Limite e Continuidade
4. PROPRIEDADES DOS LIMITES E LIMITES FUNDAMENTAIS
Na resolução de exercícios envolvendo limites é possível utilizar algumas pro-
priedades para facilitar os cálculos. Vamos mostrar aqui dez das principiais propriedades. 
Existem outras, que são importantes caso o leitor queira aprofundar seus conhecimentos 
de limites (STEWART, 2017).
● 1ª Unicidade do limite
● 2ª Limite de uma função constante.
Se f(x) = C para todo x real, então para qualquer a real, tem-se:
● 3ª Multiplicação por um escalar do limite
Seja C uma constante e , temos que
● 4ª Subtração ou soma de limites
Se , então:
47UNIDADE I Número e Funções Reais 47UNIDADE II Limite e Continuidade
● 5ª Multiplicação de limites
Se , então:
● 6ª Divisão de limites
Se , com M ≠ 0, temos que:
● 7ª Potência de limites
Se , tem-se
● 8ª Exponencial do limite
Se 
● 9ª Raiz do limite
Se , então quando n for par
● 10ª Logaritmo do limite
Se , então
Conforme já foi comentado, existem outras propriedades. Apresentamos as mais 
comumente utilizadas nos exercícios que envolvem limites de uma variável.
Iremos ver os limites fundamentais, no qual são considerados aqueles que apa-
recem com frequência na resolução de exercícios (STEWART, 2017).
● 1° Limite Fundamental
48UNIDADE I Número e Funções Reais 48UNIDADE II Limite e Continuidade
● 2° Limite Fundamental
● 3° Limite Fundamental
Agora que vimos as propriedades dos limites e os limites fundamentais, estamos 
preparados para o último tópico do módulo - verificar a continuidade de uma função qualquer. 
49UNIDADE I Número e Funções Reais 49UNIDADE II Limite e Continuidade
5. FUNÇÃO CONTÍNUA
Quando se deseja saber se uma função é contínua ou não é preciso verificar a 
existência do limite. Por essa razão é preciso saber calcular limites para conseguir estudar 
continuidade de funções.
Mas, afinal de contas, o que vem a ser uma função contínua? De maneira simples, 
podemos dizer que uma função contínua é aquela na qual quando desenhamos o gráfico, a 
função não possui saltos ou quebras em seu domínio, ou ainda, função contínua é quando 
conseguimos desenhar o gráfico completo sem precisar interromper a linha desenhada. 
Uma função f(x) é contínua em x= a se satisfazer as três condições a seguir:
Quando pelo menos uma destas condições não for satisfeita, a função f(x) é des-
contínua em x= a.
Exemplo:
Verifique a continuidade da função f(x) em x = 1
50UNIDADE I Número e Funções Reais 50UNIDADE II Limite e Continuidade
Está função possui valor quando x = 1, pois f(1) = 1. Então, a primeira condição de 
continuidade foi satisfeita, pois é definida no ponto. Precisamos agora determinar o limite 
para quando x→1.
Encontramos uma das situações na qual o limite é indeterminado. Precisamos 
usar alguma das técnicas para conseguir calcular o limite. Neste caso, vamos escrever o 
numerador de outra maneira e encontrar o limite:
Portanto, o limite de , isto é, existe limite, satisfazendo a segunda 
condição.
Por fim, precisamos verificar a terceira e última condição .
No exemplo, 
Como a última condição de continuidade não é satisfeita, podemos concluir que 
a função f(x) é descontinua em x=1. Uma maneira conforme foi dito no início do tópico é 
desenhar o gráfico da função. Ao fazê-lo ficará evidente que no ponto em que x=1, a função 
possui uma descontinuidade. A Figura 3 ilustra esse fato.
FIGURA 3 - GRÁFICO DA FUNÇÃO USADA NO EXEMPLO DE LIMITES LATERAIS
Fonte: Adaptado de Guidorizzi (2001).
Exemplo:
Verifique a continuidade da função f(x) em x= -1.
51UNIDADE I Número e Funções Reais 51UNIDADE II Limite e Continuidade
A primeira condição é que a função deve estar definida no ponto analisado. Aqui, 
quando x = -1, temos:
Assim, a função satisfaz a primeira condição de continuidade.
Para verificar a segunda condição, vamos analisar os limites laterais.
Pela esquerda
Pela direita
Note que os limites laterais existem e resultam no mesmo valor, isto quer dizer que:
E para finalizar, verificamos a terceira condição. Temos:
Portanto, a função analisada é sim uma função contínua em x = -1. Para ficar mais 
evidente, temos o gráfico da função a seguir (Figura 4).
FIGURA 4 - GRÁFICO DA FUNÇÃO USADA NO EXEMPLO DE LIMITES LATERAIS
Fonte: Adaptado de Guidorizzi (2001).
Com estes dois exemplos, tivemos condições e compreender o que é uma função 
contínua em um ponto e uma função não contínua. Fazer este tipo de análise é importante 
para entender o comportamento das funções e conseguir calcular derivadas, que é o as-
sunto do nosso próximo módulo.
52UNIDADE I Número e Funções Reais 52UNIDADE II Limite e Continuidade
SAIBA MAIS
Augustin Louis Cauchy (1789-1857) foi um matemático francês do século XIX que for-
mulou as noções de limites e continuidade, obtendo resultados que marcaram a Análise 
Matemática. No link abaixo você encontra uma matéria a respeito da vida desse gênio 
da matemática. 
Fonte: UNIVERSIDADE D COIMBRA. Augustin Louis Cauchy. Disponível em: https://www.uc.pt/fctuc/
dmat/departamento/bibliomat/servicos/matematicos/Cauchy-AL. Acesso em: 27 set. 2021. 
REFLITA 
“De que irei me ocupar no céu, durante toda a eternidade, se não me derem uma infini-
dade de problemas de matemática para resolver”
“O homem morre mas suas obras ficam”
Fonte: Augustin Louis Cauchy (1789-1857).
https://www.uc.pt/fctuc/dmat/departamento/bibliomat/servicos/matematicos/Cauchy-AL.
https://www.uc.pt/fctuc/dmat/departamento/bibliomat/servicos/matematicos/Cauchy-AL.
53UNIDADE I Número e Funções Reais 53UNIDADE II Limite e Continuidade
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Agora conhecemos o que são limites indeterminados, limites infinitos e no infinito, 
os limites fundamentais e as principais propriedades de limites. Chegamos ao fim do nosso 
módulo e somos capazes de calcularo limite de uma função em um determinado ponto, e 
também verificar se existe continuidade da função ou não.
No próximo módulo vamos usar os conceitos estudados para começar os estudos de 
derivadas, e no quarto módulo para estudar integrais. Chegamos ao que podemos chamar de 
clímax ou de principal objetivo de estudo da nossa disciplina de cálculo, que são as derivas. 
Aguardamos você no próximo módulo. Até mais. 
54UNIDADE I Número e Funções Reais 54UNIDADE II Limite e Continuidade
LEITURA COMPLEMENTAR
Deixamos como leitura complementar a monografia de Bocker (2017). Trabalho que 
discute sobre a gênese do conceito de limite e suas implicações na resolução de diversos 
paradoxos. Mostra a definição formal de limite e alguns resultados importantes associados 
a este conceito. Apresenta ainda aplicações de limites à algumas áreas do conhecimento 
e, em particular, à própria matemática. 
Fonte: BOCKER, R. K. D. Limites: aplicações e uma extensão do contexto. 2017. 58 f. Monografia 
(Graduação). Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Aplicadas e Educação Departamento de 
Ciências Exatas, Rio Tinto, 2017. Disponível em: https://repositorio.ufpb.br/jspui/bitstream/123456789/3243/1/
RKDB18122017.pdf . Acesso em: 27 set. 2021.
https://repositorio.ufpb.br/jspui/bitstream/123456789/3243/1/RKDB18122017.pdf
https://repositorio.ufpb.br/jspui/bitstream/123456789/3243/1/RKDB18122017.pdf
55UNIDADE I Número e Funções Reais 55UNIDADE II Limite e Continuidade
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Em busca do Infinito
Autor: Ian Stewart.
Editora: Zahar.
Sinopse: O autor apresenta a história da matemática de forma 
clara e simples, passando dos primeiros símbolos numéricos 
da Mesopotâmia aos grandes problemas ainda insolúveis que 
desafiam a mente dos maiores cientistas de nosso tempo. Com 
ajuda de mais de 100 ilustrações, desmistifica ideias essenciais da 
matemática, explicando um tema de cada vez. 
FILME / VÍDEO 
Título: Gênio Indomável
Ano: 1997.
Sinopse: Em Boston, um jovem de 20 anos servente de uma uni-
versidade que já teve algumas passagens pela polícia, revela-se 
um gênio em matemática e, por determinação legal, precisa fazer 
terapia, mas nada funciona, pois ele debocha de todos os analis-
tas, até se identificar com um deles.
56UNIDADE I Número e Funções Reais 56UNIDADE II Limite e Continuidade
WEB 
No link abaixo temos uma tabela com os limites fundamentais e os resultados de 
diversos limites.
• Link de Acesso: 
https://www.feg.unesp.br/Home/PaginasPessoais/profernestovieiraneto/tabela01.pdf.
https://www.feg.unesp.br/Home/PaginasPessoais/profernestovieiraneto/tabela01.pdf
57
Plano de Estudo:
● Derivada e Interpretação Geométrica; 
● Derivadas trigonométricas, exponenciais e logarítmicas;
● Regra do Produto e Quociente;
● Regra da Cadeia.
Objetivos da Aprendizagem:
● Interpretar o significado da derivada de uma função;
● Estudar as principais regras de derivadas;
● Compreender a derivada de funções trigonométricas, 
exponenciais, logarítmicas e a regra da cadeia.
UNIDADE III
Derivadas e Aplicações
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva
58UNIDADE III Derivadas e Aplicações
INTRODUÇÃO
Prezado(a) aluno(a), nesta unidade, vamos dedicar nossa atenção ao estudo do 
cálculo diferencial. Um belíssimo formalismo matemático que é de extrema importância 
para qualquer área das ciências exatas e suas aplicações. Desde matemática, física, eco-
nomia, engenharias, arquitetura e entre outros ramos.
No primeiro tópico vamos compreender graficamente o que é a derivada e como 
derivar funções polinomiais. Na sequência, iremos aprender as regras de derivadas trigono-
métricas, exponenciais a logarítmicas, em especial nessa última classe o logaritmo natural
O terceiro tópico será direcionado a derivada do produto e quociente e funções e 
por fim, mas não menos importante, a regra da cadeia que abre nosso leque de aplicações 
das derivadas. 
Esperamos que esta unidade seja imensamente proveitosa e seja de bom uso na 
sua formação acadêmica.
Bons estudos!
59UNIDADE III Derivadas e Aplicações
1. DERIVADA E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
Suponha que uma dada função seja expressada graficamente da seguinte forma:
FIGURA 1 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
Fonte: STEWART, 2016.
Observe que a função faz um movimento de altos e baixos, porém existem pontos 
específicos dessa curva, aquelas em que ela inverte seu movimento. Estudamos no capítulo 
de funções qualquer curva tem uma taxa de inclinação, descrita pelo coeficiente angular da 
função. Quanto maior o coeficiente angular de uma função, mais inclinada é a curva, caso o 
coeficiente angular seja igual a zero, então a curva não possui inclinação e, se o coeficiente 
de inclinação for negativo, então a curva é orientada para baixo. Tome como exemplo o 
gráfico da função afim (função de primeiro grau):
60UNIDADE III Derivadas e Aplicações
FIGURA 2 – DIFERENTES VALORES PARA O COEFICIENTE ANGULAR DA RETA
Fonte: PHET Colorado. Inclinação e Intersecção no Eixo Y. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/
html/graphing-slope-intercept/latest/graphing-slope-intercept_pt_BR.html. Acesso em: 01 dez. 2021.
O ponto destacado em rosa indica onde a curva toca o eixo das coordenadas, no 
exemplo é no ponto y=2 . Como mencionado, no primeiro caso f(x)=y=2x+2 , ou seja, o coe-
ficiente angular é positivo. No segundo gráfico f(x)=y=-2x+2 , logo a inclinação é negativa e 
a reta aponta para baixo. No terceiro caso, não há inclinação f(x)=y=0.x+2→f(x)=y=2 . 
Entretanto, como uma curva que possui vários altos e baixos pode ser descrita 
como crescente ou decrescente?? Vamos ver um exemplo:
FIGURA 3 – RETA TANGENTE DE INCLINAÇÃO NULA
Fonte: STEWART, 2016.
61UNIDADE III Derivadas e Aplicações
Ao longo da curva da figura anterior, em alguns pontos, foram traçadas retas tan-
gentes, que nada mais são do que retas que tocam em um único ponto. Logo, uma reta 
tangente foi traçada no ponto A, em B, no ponto C e em P. Note que nos três primeiros 
casos a inclinação da reta tangente é igual a zero e no ponto P a inclinação é positiva, pois 
é direcionada para cima. Sendo assim, ao traçar uma reta tangente em um ponto, calcu-
lando a inclinação da reta tangente, podemos dizer que a função localmente é crescente, 
decrescente ou é um ponto de máximo e mínimo.
Porém, o que é um ponto de máximo e mínimo? O ponto de B é um ponto de má-
ximo e o ponto A e C são de mínimo, já o ponto P não é nenhum dos dois casos. Outro fato 
importante, é que na maioria dos casos, os pontos de máximos e mínimos são de reversão.
Assim, vamos definir a derivada de um ponto em uma função como a variação ins-
tantânea da função em relação a nesse ponto. Sendo assim, a derivada mede a inclinação 
da curva em um dado ponto. Em nosso exemplo, a derivada nos pontos A, B e C é nula, por 
outro lado, no ponto P ela é positiva.
Quando que uma função não é diferenciável? Quando a reta tangente possui tal 
inclinação que fica posicionada na vertical.
FIGURA 4 – EXEMPLO DE FUNÇÃO NÃO DIFERENCIÁVEL
]
Fonte: STEWART, 2016.
Outro cenário é se a função é descontínua em um ponto. Logo, nesse valor, a 
derivada não é bem definida.
62UNIDADE III Derivadas e Aplicações
FIGURA 5 – EXEMPLO DE FUNÇÃO DESCONTÍNUA
Fonte: STEWART, 2016.
Matematicamente como é escrita a derivada de uma função?
A notação de derivada é essa e o termo não é um valor d dividido por d vezes x. 
É um operador e o x em baixo indica a variável em que estamos derivando. Ou seja, é a 
derivada da função em relação a z , a derivada da função em relação a e assim pode ser 
feito para qualquer função em relação a qualquer variável.
Contudo, existem casos particulares, um deles é quando derivamos um número em 
relação a uma variável ou uma função que depende de outra variável. Nesse caso é dito 
que estamos derivando uma constante!
Nesse caso, todas as derivadas são nulas pois os termos a serem derivadas são 
constantes em relação as variáveisem questão.
Outro caso bem definido é quando temos a variável derivada em relação a ela 
mesma, ou seja:
63UNIDADE III Derivadas e Aplicações
Vamos agora aprender a primeira regra de derivada.
1.1 Regra da Potência
Essa regra é atribuída para funções do tipo polinomiais. Considere n um número 
inteiro positivo, então:
No ditado popular, essa regra é conhecida como regra do tombo, pois seu princípio 
é baseado em tombar o número do expoente para frente da base, passando a multiplica-la 
e quando ele “cai”, o número do expoente perde uma unidade. Vamos entender isso com 
alguns exemplos:
Ex. 01
Calcule a derivada f(x) = x 4. 
Resolução:
Ex. 02
Determine a derivada de f(y) = 3y2 - 5y3..
Resolução:
Quando há um termo elevado ao expoente 1 é o mesmo que não o escrever.
Em alguns casos, ao invés representarmos a derivada em sua forma por exem-
plo, podemos apenas escrever . Vamos para mais alguns exemplos:
64UNIDADE III Derivadas e Aplicações
Ex. 03
Calcule a derivada da função
Resolução:
Nesse exemplo, o terceiro termo é nulo pois estamos derivando um valor que 
depende de x em relação a r , ou seja, é mesmo que derivar uma constante em relação a 
variável, e isso vale zero.
Ex. 04
Determine a derivada da função:
Resolução:
Observe que o segundo e o terceiro termo estão elevados à um expoente negativo, 
isso significa que, quando o expoente tombar, então ela ficará mais negativo ainda - 3 -1 = 
-4 e - 2 - 1 = -3. Ademais, atente-se ao jogo de sinais quando o expoente é negativo e passa 
multiplicar a base. O segundo termo ficou positivo pois (-3) multiplicou - x-4.
Ex. 05
Calcule a derivada da função:
Resolução:
Primeiro, nesse caso, é preciso carregar a variável que está no denominado no 
segundo caso para o numerador. Porém, lembre-se de que ao fazer esse procedimento o 
sinal do expoente se altera. Assim:
Agora vamos derivar a função:
65UNIDADE III Derivadas e Aplicações
2. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
Existem várias famílias de funções que possuem regras específicas de derivação. 
Aprendemos até o momento as derivadas do tipo funções polinomiais, aquelas em que a 
variável está elevada a algum número, seja ele positivo ou negativo. Nesse capítulo vamos 
dedicar nossos esforços a três classes de derivadas.
2.1 Derivadas Trigonométricas
Na trigonometria, existem algumas funções bem definidas como sen(x),cos(x),t-
g(x),cotg(x),sec(x),cossec(x), entre outras. As derivadas base são as do seno e cosseno, as 
quais são calculadas usando os conceitos de limites. Entretanto, não vamos entrar nessas 
deduções matemáticas, uma vez que será de grande aplicabilidade para você saber lidar 
com as derivadas e não como deduzi-las.
Deste modo, existe uma tabela das derivadas trigonométricas:
66UNIDADE III Derivadas e Aplicações
TABELA 1 – DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
Fonte: STEWART, 2016.
Outro detalhe importante é a periodicidade das derivadas trigonométricas. Veja que 
quando f(x) = sen(x), então:
f ’ (x) = cos(x)
Consequentemente 
A terceira derivada é:
Logo, se uma função for trigonométrica, a sua segunda derivada é igual ao mesmo 
valor da função a menos de um sinal, bem como para retornar à função primária sem alterar 
o sinal é precisar derivar pela quarta vez. Veja alguns exemplos:
Ex. 01
Calcule a derivada da função
Resolução:
67UNIDADE III Derivadas e Aplicações
Ex. 02
Calcule a derivada de
Resolução:
Veja que não é tão complicado trabalhar com derivadas trigonométricas, mas faça 
dessa tabela como seu principal apoio na resolução de exercícios.
2.2 Derivada da função exponencial 
A função exponencial natural é escrita na forma f (x) = e x 
FIGURA 6 – RETA TANGENTE NA CURVA EXPONENCIAL
Fonte: STEWART, 2016.
E a sua derivada é dada por:
Note então que a derivada da função exponencial é ela mesma. Vamos fazer alguns 
exemplos:
Ex. 03
Calcule a derivada da função
f (x) = e x - x 2
Resolução:
f ’ (x) = e x - 2x
A derivada do primeiro termo é ele mesmo, pois é uma função exponencial e a do 
segundo termo usamos a regra do expoente.
68UNIDADE III Derivadas e Aplicações
Ex. 04
Determine a derivada da função
f (θ) = 3eθ + cossec (θ)
Resolução:
f ’ (θ)=3eθ - cossec (θ) cotg(θ)
2.3 Derivadas de funções logarítmicas
Vamos estudar em particular a função logarítmica natural escrita como:
y(a) = ln(a)
A derivada dessa função obedece a seguinte regra:
Vamos entender isso na prática.
Ex. 05
Derive f(x) = ln (x 3+2)
Resolução:
Usando a regra de derivada temos:
Ex. 06
Calcule a derivada da função y(x) = ln[sen(x)]
Resolução:
69UNIDADE III Derivadas e Aplicações
Ex. 07
Derive a função f (x) = cos(x) + ln( 8 x 2)
Resolução:
Ex. 08
Calcule a derivada da função y( x ) = ln( √x )
Resolução:
Primeiro, vamos reescrever a raiz quadrada como sendo um expoente
Agora, vamos aplicar as regras de derivada:
Nesse caso, a regra do tombo no expoente resulta em .
Podemos reescrever a resposta como sendo:
70UNIDADE III Derivadas e Aplicações
3. REGRA DO PRODUTO E QUOCIENTE 
Nesse tópico vamos estudar dois casos de derivadas, o primeiro trata-se da multi-
plicação de duas funções, já o segundo da razão entre duas funções distintas.
3.1 Regra do Produto
Em um determinado exercício você tem que fazer a derivada da seguinte função:
y(x) = ex.sen(x)
Como derivamos essa função? A multiplicação desses dois termos não pode ser 
representada por um único valor e não podemos derivar apenas um deles pois ambos 
dependem da variável. Então como fazemos? Observe que é a multiplicação, ou seja, o 
produto de duas funções de famílias diferentes. Caso seja algo do tipo:
y(x) = x 2 . x 4
Podemos simplificar por um termo
y(x) = x 6
E assim usamos a regra do tombo. Mas retornando ao caso em que não sabemos 
resolver, a multiplicação de duas funções de classes diferentes que dependem da mesma 
variável, usaremos a regra do produto, dada por:
71UNIDADE III Derivadas e Aplicações
Em outras palavras, a Regra do Produto diz que a derivada de um produto de duas 
funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função 
vezes a derivada da primeira função. Vamos entender isso com alguns exemplos:
Ex. 01
Calcule a derivada da função y(x) = e x. sen(x)
Resolução:
Logo
Em ordem, fizemos primeiro a derivada da segunda função e multiplicamos pela 
primeira, depois somamos com a derivada do primeiro, que é a própria função exponencial 
com a segunda função.
Ex. 02
Derive y(x) = x4.cos(x)
Resolução:
Logo
Caso você prefira um resultado ainda mais compacto e, do ponto de vista matemá-
tico mais requintado, coloque x3 em evidência, pois é o termo em comum nos dois termos:
Ex. 03
Calcule a derivada da função:
Resolução:
Então
Não há a necessidade de fazer a distributiva.
72UNIDADE III Derivadas e Aplicações
Ex. 04
Determine a derivada da função y(x) = (x3 + 2x). ex
Resolução:
Então
Observe que a ordem das derivadas não altera o resultado. Portanto você pode 
começar derivando a primeira função, manter a segunda constante e somar com a derivada 
da segunda mantendo a primeira constante e vice versa.
Ex. 05
Calcule a derivada da função
Resolução:
Então
A resposta pode ser colocada de outras formas também, como por exemplo 
3.2 Regra do Quociente
Vamos escrever a receita para calcular a derivada de uma função que é escrita em 
termos da divisão de duas funções entre si, ou seja:
Nesse caso, necessariamente, as derivadas devem aparecer nessa ordem, ou seja, 
pela regra do quociente a derivada de um quociente é o denominador vezes a derivada do 
numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, todos divididos pelo 
quadrado do denominador. Caso você, por algum descuido faça
73UNIDADE III Derivadas e Aplicações
Então o resultado será errado.
Vamos fazer alguns exemplos:
Ex. 06
Determine a derivada da função
Resolução:
Usando a regra do quociente
Ex. 07
Derive a função