2-CCTB-2_2-Estatística Aplicada a Contabilidade-Aula 2-Un 2

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UNISEB
Centro Universitário
Estatística 
Aplicada a 
Contabilidade
24/4/2013
Prof. Me. André Luís 
Corte Brochi
Módulo
UNISEB
Centro Universitário
Probabilidade
Unidade 2
2.2
Objetivos da aula
• Definir e calcular a probabilidade de 
ocorrência de eventos, bem como 
apresentar propriedades que facilitem tais 
cálculos.
• Utilizar o cálculo de probabilidades como 
ferramenta na previsão de eventos e 
tomada de decisões.
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Probabilidade
• Número de zero e um, associado a um 
evento aleatório, que se mede pela 
frequência relativa da sua ocorrência 
numa longa sucessão de eventos. 
Exemplo 1:
• vida útil de componentes/produtos;
• padrão de falhas de equipamentos;
• tempos de percurso em operações de 
entrega;
• volume diário de vendas;
• tempos de espera em uma fila de banco.
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Conceitos básicos
• Experimento aleatório
Situação ou acontecimento cujo resultado 
não pode ser previsto com certeza.
• Espaço amostral ()
Conjunto de resultados possíveis de um 
experimento aleatório.
• Evento
Subconjunto do espaço amostral.
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Exemplo 2
• Experimento: observar o volume de 
vendas de uma loja diariamente.
• Espaço amostral: conjunto de valores 
entre 0 e um valor máximo x.
• Eventos: observou-se um volume:
entre R$ 200,00 e R$ 400,00
acima de R$ 500,00
abaixo de R$ 200,00
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Exemplo 3
• Experimento: observar a movimentação 
diária de pessoas em uma agência 
bancária.
• Espaço amostral: conjunto de valores 
inteiros entre 0 e um valor máximo x.
• Eventos: observou-se movimentação:
entre 850 e 950 pessoas
inferior a 1000 pessoas
superior a 1200 pessoas
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Exemplo 4
• Experimento: lançamento de um dado e 
observação do resultado.
• Espaço amostral:  = {1,2,3,4,5,6}
• Eventos: 
A: “ocorreu valor par”  A = {2,4,6}
B: “ocorreu valor ímpar”  B = {1,3,5}
C: “ocorreu valor maior que 6”  C = 
D: “ocorreu valor menor que 2”  D = {1}
E: “ocorreu valor menor ou igual a 6” 
 E = {1,2,3,4,5,6}
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Mais conceitos básicos
• Complemento de um evento
Consiste em todos os outros resultados 
do espaço amostral.
• Eventos mutuamente exclusivos
Eventos que não possuem elementos 
em comum.
• Eventos coletivamente exaustivos
Eventos que, conjuntamente, possuem 
todos os elementos do espaço amostral.
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Exemplo 5
• Experimento: lançamento de um dado e 
observação do resultado.
• Eventos: 
A: “ocorreu valor par”  A = {2,4,6}
B: “ocorreu valor ímpar”  B = {1,3,5}
Os eventos A e B são:
– mutuamente exclusivos;
– complementares;
– coletivamente exaustivos.
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Exemplo 6
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Figura 2.1 – Diagramas de Venn ilustrando os conceitos de espaço amostral, 
complemento de um evento e eventos mutuamente exclusivos e coletivamente 
exaustivos.
Operações com Eventos
União ()
A união de dois eventos A e B é um evento 
que contém os pontos amostrais (resultados) 
que pertencem a A ou a B ou a ambos.

A B
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Exemplo 6
• Experimento: lançamento de um dado.
• Espaço amostral:  = {1,2,3,4,5,6}
• Eventos: 
A: “ocorreu valor par”  A = {2,4,6}
B: “ocorreu valor maior que 2”  B = {3,4,5,6}
C: “ocorreu valor menor ou igual a 2”C = {1,2}
A  B = {2,3,4,5,6}
A  C = {1,2,4,6}
B  C = {1,2,3,4,5,6} = 
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Intersecção ()
A intersecção de dois eventos A e B é um 
evento que contém os pontos amostrais 
(resultados) de A que também são pontos 
amostrais de B.

A B
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Exemplo 7
• Experimento: lançamento de um dado.
• Espaço amostral:  = {1,2,3,4,5,6}
• Eventos: 
A:“ocorreu valor par”  A = {2,4,6}
B:“ocorreu valor maior que 2”  B = {3,4,5,6}
C:“ocorreu valor menor ou igual a 2”C = {1,2}
A  B = {4,6}
A  C = {2}
B  C =  (B e C são mutuamente 
exclusivos)
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Complementação
O evento complementar de A (denotado 
por Ac) é o evento que contém todos os 
elementos do espaço amostral  que não 
pertencem a A.

A
Ac
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Exemplo 8
• Experimento: lançamento de um dado.
• Espaço amostral:  = {1,2,3,4,5,6}
• Eventos: 
A: “ocorreu valor par”  A = {2,4,6}
B: “ocorreu valor maior que 2”  B = {3,4,5,6}
C: “ocorreu valor menor ou igual a 2”  C = {1,2}
Ac = {1,3,5}
Bc = {1,2}
Cc = {3,4,5,6} (B e C são eventos 
complementares)
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Probabilidade
Definição clássica
Dado um evento A de um espaço amostral , 
a probabilidade de ocorrência de A é dada por
Em que:
• n(A) é o número de elementos do evento A;
• n() é o número de elementos do espaço
amostral.
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Exemplo 9
Experimento: lançamento de um dado.
Espaço amostral: ={1,2,3,4,5,6}  n()=6
Eventos e suas probabilidades: 
A = {2,4,6}  n(A) = 3
B = {3,4,5,6} n(B) = 4
C = {1,2} n(C) = 2
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Probabilidade
Definição frequencial
Dado um evento A de um espaço amostral ,
a probabilidade de ocorrência de A é dada por
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Em que:
• n(A) é o número de vezes que o evento A
ocorreu;
• n() é o número de repetições do espaço
amostral.
Propriedades
Sejam A e B dois eventos de .
a)
b)
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Exemplo 10
Uma loja de varejo tem registrado em seus 
arquivos que, dos 2.000 televisores, de 
determinada marca, vendidos em certo período, 
400 precisaram de reparos dentro da garantia de 
um ano. Qual é a probabilidade de que um 
consumidor que compre uma televisão dessa 
marca não precise utilizar a garantia?
n(A): quantidade de televisores que não 
precisaram de reparos dentro da garantia. 
n(A) = 2000 – 400 = 1600 
Portanto,
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Exemplo 11
O Departamento Pessoal de uma certa empresa 
fez um levantamento dos salários dos 120 
funcionários do setor administrativo, obtendo os 
resultados (em salários mínimos) da tabela 
abaixo:
Qual é a probabilidade de um funcionário 
selecionado aleatoriamente ter salário inferior a 
seis salários mínimos?
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ou
0
10
20
30
40
50
60
1 3 5 7
Faixa salarial
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
0 2 4 6 8
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Probabilidade Condicional
Objetivo
Calcular a probabilidade de ocorrência de um 
evento A levando em conta que o evento B já 
ocorreu.
Definição
Dados dois eventos A e B, a probabilidade 
condicional de A dado que B ocorreu é 
representada por P(A|B) e calculada por
, P(B) > 0
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Exemplo 12
Em uma urna, há 6 bolas numeradas de 1 
a 6. Sejam os eventos: 
A: “ocorrer par”  A = {2, 4, 6}
B: “ocorrer múltiplo de 3”  B = {3, 6}
Uma bola sorteada é par (evento A). Qual 
a probabilidade de o número ser múltiplo 
de 3?
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Regra da adição
Sejam A e B dois eventos de . A 
probabilidade de ocorrer A ou B é dada por:
Se A e B são eventos mutuamente 
exclusivos, então:
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Exemplo 13
Considere a urna do exemplo 12. 
A e B não são mutuamente exclusivos.
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Regra da multiplicação
Dois eventos A e B, de um espaço amostral 
, são considerados independentes se a 
probabilidade de ocorrência de um não é 
afetada pela ocorrência do outro. Ou seja:
ou
Se A e B são independentes, então:
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Exemplo 14
Em dois lançamentos seguidos de uma 
moeda honesta, qual a probabilidade de se 
obterem 2 caras?
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Suponha que 10.000 bilhetes 
sejam vendidos em uma loteria A e 5.000 
em outra loteria B, cada uma tendo apenas 
um ganhador. Um homem tem 100 bilhetes 
de cada. Qual é a probabilidade de que ele 
ganhe os dois prêmios?
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PRÓXIMA AULA
Análise combinatória
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Referências
KAZMIER, Leonard J. Estatística aplicada à 
economia e administração. São Paulo: Mc-
Graw-Hill, 1982,
LAPONI, Juan Carlos. Estatística usando o 
Excel. São Paulo: Laponi, 1997.
MEDEIROS DA SILVA, Ermes.; et al. 
Estatística. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
MILONE, Giuseppe; ANGELINI, Flávio. 
Estatística geral: descritiva, probabilidades, 
distribuição. São Paulo: Atlas, 1992.
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Referências
STEVENSON, William J. Estatística aplicada 
à administração. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1995.
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