Aula 3 - Probabilidade

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ESTATÍSTICA I
Professora
Kelly Alonso Costa
Probabilidade
Email: kellyalonso@uol.com.br
2
Probabilidade
As origens da matemática da probabilidade são
muito antigas, por volta do século XVI. A palavra
probabilidade significa provar ou testar. Informalmente,
provável é uma das muitas expressões utilizadas para
eventos incertos ou conhecidos. No início, a
probabilidade foi muito utilizada em jogos de azar,
porém atualmente faz parte de planejamentos
estratégicos e avaliações em negócios.
Usamos a probabilidade, principalmente, para
estudar a possibilidade de quantificar quão provável é
determinado EVENTO.
3
Encontramos na natureza dois tipos de
fenômenos: determinísticos e aleatórios.
�Determinísticos: os resultados são sempre os
mesmos, qualquer seja o número de ocorrência dos
mesmos.
�Aleatórios: os resultados não são previsíveis, mesmo
que haja um grande número de repetições do mesmo
fenômeno.
A maioria dos fenômenos de que trata a
estatística é de natureza aleatória ou probabilística.
Probabilidade
Ao descrever um experimento devemos especificar:
� o procedimento a ser realizado,
� aquilo que estamos interessados em observar.
Ex.1): “É provável que o meu time ganhe a partida de hoje!”
Pode resultar:
a) que, apesar do favoritismo, ele perca;
b) que, como foi dito, ele ganhe;
c) que empate.
Ex.2): Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior.
Probabilidade - conceitos
Experimentos ou fenômenos aleatórios são processos
que, mesmo repetidos várias vezes sob condições
semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Ponto Amostral uma das possíveis ocorrências ou resultados do
experimento.
5
Probabilidade - conceitos
Espaço Amostral (Ω ou S): é o conjunto formado por todos os
pontos amostrais de um experimento.
Ex.: Determine o espaço amostral dos seguintes experimentos:
a) lançamento de uma moeda
b) lançamento de um dado
Os dois experimentos citados têm os
seguintes espaços amostrais:
- lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co};
- lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6}.
6
Probabilidade - conceitos
Probabilidade de um ponto amostral
É um número entre 0 e 1 que mede a chance do ponto
amostral ocorrer quando o experimento é realizado. Este número
pode ser aproximado pela frequencia relativa com que o ponto
amostral é observado, quando o experimento é repetido um grande
número de vezes.
Regras para probabilidade de pontos amostrais
� A probabilidade de qualquer ponto amostral de um experimento
deve estar entre 0 e 1.
� A soma das probabilidades de todos os pontos amostrais de
um experimento é 1.
7
Probabilidade - conceitos
Evento é qualquer subconjunto de espaço amostral S de um
experimento aleatório e é denotado por uma letra
maiúscula (A,B,C...). .
Assim, qualquer que seja E, se E C S (E está contido em S),
então E é um evento de S.
Se E = S, E é chamado evento certo; se E C S e E é um
conjunto unitário, E é chamado evento elementar. Se
E=conjunto vazio, então é chamado evento impossível.
8
Probabilidade - conceitos
Exemplo:
No lançamento de um dado, onde S = {1,2,3,4,5,6}, temos:
A = {2,4,6} C S; logo, A é um evento de S;
B = {1,2,3,4,5,6} C S; logo, B é um evento certo de S;
C = {4} C S; logo, C é um evento elementar de S;
D = C S; logo, D é um evento impossível de S.∅
9
Exemplos:
Lançar um dado e registrar os resultados:
Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1) Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e maior
que zero.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Portanto A = Ω , logo o evento é certo.
2) Evento B: Ocorrência de um número maior que 6. 
B = ∅
Não existe número maior que 6 no dado, portanto o evento é
impossível.
10
Probabilidade
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral,
vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de
acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável.
Probabilidade: seja A um evento de um espaço amostral, a
probabilidade do evento A, denotada como P(A) é definida como:
)(
)(
)(
Ω
==
n
An
amostralespaçodoresultadosdenúmero
Aeventodoresultadosdenúmero
AP
Chamamos de probabilidade de um evento A
(A C S) o número real P(A), tal que:
Onde n(A) é o número de elementos de A;
n(S) é o número de elementos de S.
ou
( )
( )
( )Sn
An
AP =
Probabilidade
Exemplos:
1) Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”,
temos:
S = {Ca, Co} n(S)=2
A={Ca} n(A)=1
( )
2
1
=AP
12
2) No lançamento de um dado perfeito, qual é a
probabilidade de sair número maior do que 4?
Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(Ω) = 6
Evento A: A = {5, 6} ⇒ n(A) = 2
3
1
)(
6
2
)(
)(
)(
)( =⇒=⇒
Ω
= APAP
n
An
AP
13
3) No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis,
qual é a probabilidade de serem obtidas:
a) Pelo menos 2 caras?
b) Exatamente 2 caras?
C = cara K = coroa
Ω= {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK} ⇒ n(Ω) = 8
a) A = {CCC, CCK, CKC, KCC} ⇒ n(A) = 4
b) B = {CCK, CKC, KCC} ⇒ n(B) = 3
%50
2
1
8
4
)( ===AP
5,37375,0
8
3
)( ===BP
Probabilidade
( )
( )
( )
1=
Ω
Ω
=Ω
n
n
P
Exemplo…
Probabilidade
Tais eventos podem ser formados de duas maneiras, conforme
abaixo:
� UNIÃO de dois eventos A e B
Eventos compostos – frequentemente, um evento pode ser
visto como uma composição de dois ou mais eventos.
É o evento formado por todos os pontos amostrais que
pertencem ao evento A ou ao evento B ou a ambos.
1) União de eventos:
BA ∪ os elementos que pertencem ao evento A ou ao B.
� INTERSEÇÃO de dois eventos A e B
É o evento formado por todos os pontos amostrais que
pertencem simultaneamente aos dois eventos.
2) Interseção de eventos:
os elementos que pertencem a A e a B.BA ∩
Probabilidade
Eventos complementares – o complemento de um evento A é o
evento formado por todos os pontos do espaço amostral que
não pertencem a A. Denotamos ou .A CA
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a
probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que
ele não ocorra (fracasso), para um mesmo evento existe sempre a
relação:
pqqp −=⇒=+ 11
( ) ( ) 1=+ APAP
( ) 0=∩ AAP
( ) ( ) ( ) ( )APAPouAPAP −=−= 11
Probabilidade
Eventos complementares – o complemento de um evento A é o
evento formado por todos os pontos do espaço amostral que não
pertencem a A. Denotamos ou .A CA
( ) ( ) 1=+ APAP ( ) ( ) ( ) ( )APAPouAPAP −=−= 11
Espaço amostral S
Complemento do evento A
Evento A
A
A área retangular representa o espaço amostral do experimento e
contém todos os possíveis pontos amostrais. O círculo representa o evento
A e contém os pontos amostrais que pertencem a A. A região sombreada do
retângulo contém todos os pontos amostrais que não estão no evento A e é,
por definição, o complemento de A.
Exemplo 1: Um agente de compras declara que há uma probabilidade
de 0,90 de que um fornecedor enviará uma carga livre de peças
defeituosas. Qual a probabilidade de que a carga conterá peças
defeituosas?
( ) ( )
10,0)(
9,01)(
1
=
−=
−=
AP
AP
APAP
*Pode-se concluir que há uma probabilidade de 0,10 de que a carga
conterá peças defeituosas.
Exemplo: 2) Em um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Sendo
retirada uma peça, calcule:
a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa
b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa
( )
3
1
12
4
==AP
( )
( )
3
2
3
1
1
)(1
=−=
−=
AP
AAP
Probabilidade
REGRA DA ADIÇÃO 
Regra da adição: a probabilidade da união de dois eventos A e B é a
soma das probabilidades dos eventos A e B menos a probabilidade da
interseção dos eventos A e B.
A B∪
Exemplo:
Qual a probabilidade 
do objeto selecionado 
ser quadrado ou ser 
vermelho?
( )P Quadrado Vermelho∪ =
8
9
=
( ) ( ) ( )P Quadrado Vermelho P Quadrado P Vermelho∪ = +
5 5 2 8
9 9 9 9
= + − =
( )P Quadrado Vermelho− ∩
Exemplo 2: O registro de um hospital mostra que 12% de todos os
pacientes são internados para tratamento cirúrgico, 16% para tratamento
obstétrico e 2% recebem os dois tratamentos. Se um novo paciente é
internadono hospital, qual é a probabilidade do paciente ser internado
por pelo menos um dos procedimentos.
Sejam os eventos: A – tratamento cirúrgico
B – tratamento obstétrico
( ) ( ) ( ) 02,0;16,0;12,0 =∩== BAPBPAP
( )BAP ∪
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 26,002,016,012,0 =−+=∪
∩−+=∪
BAP
BAPBPAPBAP
Temos que
e queremos descobrir
Pela Regra da Adição:
Logo, a probabilidade do paciente ser internado por pelo menos
um dos procedimentos é de 0,26.
Exemplo 3: Uma pequena fábrica de montagem possui 50
empregados. Espera-se que cada trabalhador complete as atribuições
do trabalho no horário e de tal modo que o produto montado passe
numa inspeção final. Em certas ocasiões, alguns dos trabalhadores
não têm êxito em satisfazer os padrões de desempenho, completando
o trabalho mais tarde e/ou montando produtos com defeito. No fim de
um período de avaliação de desempenho, o gerente de produção
descobriu que 5 dos 50 trabalhadores tinham completado o trabalho
mais tarde, que 6 dos 50 trabalhadores tinham montado produtos com
defeito, e que 2 dos 50 trabalhadores tinham tanto completado o
trabalho mais tarde como montado produtos defeituosos. Depois de
rever os dados de performance, o gerente de produção decidiu atribuir
uma avaliação de desempenho fraco a qualquer empregado cujo
trabalho foi tanto terminado mais tarde como defeituoso. Qual a
probabilidade de que o gerente de produção tenha atribuído a um
empregado uma avaliação de desempenho fraco?
( ) 18,0=∪ BAP
Probabilidade
Eventos mutuamente exclusivos: Dizemos que dois ou mais eventos
são mutuamente exclusivos se eles não têm pontos amostrais em
comum. Ou ainda, dizemos que dois ou mais eventos são
mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a
realização do(s) outro(s).
Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o
evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar
um deles, o outro não se realiza.
Exemplo 5: Se A é o evento “extração de um ás de um baralho”e B o da
“extração de um rei”. Então, a probabilidade de se extrair ou um ás, ou
um rei, em um lance único é:
Probabilidade
( )
13
2
13
1
13
1
13
1
)(
52
4
)(
13
1
)(
52
4
)(
)()(
=⇒+=
=⇒=
=⇒=
+=∪
PP
BPBP
APAP
BPAPBAP
Visto que ambos, ás e rei, não podem ser extraídos ao mesmo
tempo e por isso são eventos mutuamente exclusivos.
Probabilidade
INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS 
Independência de eventos: Dizemos que dois eventos são
independentes quando a realização ou a não-realização de um dos
eventos não afeta a probabilidade de realização do outro e vice-versa.
Ou ainda quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do
fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que
eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das
probabilidades de realização dos dois eventos.
Probabilidade
Exemplo 6: Sejam A e B os eventos “cara na quinta jogada”e “cara na
sexta jogada”de uma moeda, respectivamente.
Então, A e B são eventos independentes, de modo que a probabilidade
de ocorrer cara em ambas as jogadas, quinta e sexta, é, admitindo-se
que a moeda é “honesta”:
( )
4
1
2
1
2
1
2
1
)(
2
1
)(
)()(
=⇒×=
=
=
•=∩
PP
BP
AP
BPAPBAP
Probabilidade
Exemplo 7: No lançamento de dois dados, sejam A e B os eventos
“obtermos 1 na face superior no primeiro dado”e “obtermos 5 na face
superior no segundo dado”, respectivamente.
( )
36
1
6
1
6
1
6
1
)(
6
1
)(
)()(
=⇒×=
=
=
•=∩
PP
BP
AP
BPAPBAP
Exemplo 8:
1) Se uma caixa contém 10 lâmpadas boas e 5 defeituosas e 3 dentre 
essas lâmpadas forem selecionadas, qual a probabilidade que:
a) Sejam todas defeituosas.
b) Duas sejam boas e 1 defeituosa. 
c) Pelo menos 1 seja defeituosa.
Probabilidade
Solução:
Para encontrarmos o número de elementos do espaço amostral 
fazemos uma combinação simples:
( ) 455
3
15
3
15 =





==Ω Cn
( ) 






=
−
=
x
n
xnx
n
C xn
!!
!
Probabilidade
10
3
5 =C 91
2
455
10
==P
a) Selecionamos 3 lâmpadas defeituosas num total de 5:
Então a probabilidade é de 
225
1
5
2
10 =×CC
91
45
455
225
==P
b) Selecionamos 2 lâmpadas boas num total de 10 e mais uma lâmpada 
defeituosa num total de 5:
Então a probabilidade é de 
Probabilidade
c) Selecionamos 2 lâmpadas boas e uma defeituosa ou selecionamos
uma lâmpada boa e duas defeituosas ou selecionamos apenas
lâmpadas defeituosas, ou seja:
91
67
455
335
455
3
5
2
5
1
10
1
5
2
10 ==
+×+×
=
CCCCC
P
Probabilidade Condicional
Muitas vezes, queremos calcular a probabilidade de
ocorrência de um evento A, dada a ocorrência de um evento B.
Qual é a probabilidade de chover amanhã em São Paulo, sabendo
que choveu hoje?
Frequentemente, a probabilidade de um evento é
influenciada pela ocorrência de um evento paralelo. Em outras
palavras, queremos calcular a probabilidade de ocorrência de A
condicionada à ocorrência prévia de B e representamos por P(A / B).
A notação / é usada para denotar o fato de que estamos
considerando a probabilidade do evento A com a condição de que o
evento B tenha ocorrido. Portanto, a notação P(A / B) é lida como “a
probabilidade de A dado B”.
PROBABILIDADE CODICIONAL E TEOREMA DO PRODUTO
( ) .0>BP
( )
( )
( )BP
BAP
BAP
∩
=/
-Probabilidade Condicional: Sejam dois eventos A e B com
A probabilidade de ocorrência do evento A, dado que o evento B
ocorreu é calculada pela seguinte expressão:
É a probabilidade de A dado que B
ocorreu ou é a probabilidade de ocorrer A quando
se sabe que o resultado pertence a B.
( )
( )
( )BP
BAP
BAP
∩
=/
( )
( )
( )AP
ABP
ABP
∩
=/
( ) ( ) ( ) ( ) ( )APABPBPBAPBAP // ==∩
- Teorema do Produto: temos que , observe
PROBABILIDADE CODICIONAL E TEOREMA DO PRODUTO
também que .
Logo o Teorema do produto é:
( )BAP / ( )ABP /
Exemplo: Sejam A e B dois eventos independentes. Determine 
e 
.
Solução:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )BP
AP
APBP
AP
ABP
ABP
AP
BP
BPAP
BP
BAP
BAP
=
×
=
∩
=
=
×
=
∩
=
/
/
OBS.
P(A / B) = P(A)
P (B / A) = P (B)
Exemplo.: Os dados , a seguir, representam o sumário de um dia de
observação em um posto de qualidade, em que se avalia o peso dos
pacotes de leite produzidos num laticínio.
Condição do peso Tipo do leite
B (B) C (C) UHT (U) Total
Dentro das especificações (D) 500 4500 1500 6500
Fora das especificações (F) 30 270 50 350
Total 530 4770 1550 6850
Retira-se, ao acaso, um pacote de leite da população de 6850 unidades.
Sejam D e F os eventos que representam se o pacote retirado está dentro
ou for a das especificações, respectivamente. Da mesma forma, B, C e U
são eventos que representam o tipo de leite.
a) Qual a probabilidade de o pacote de leite retirado estar fora das
especificações, sabendo-se que é do tipo UHT?
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 032,0/
6850
1550
6850
50
/
/
/
=
=
∩
=
∩
=
UFP
UFP
UP
UFP
UFP
BP
BAP
BAP
Solução:
Condição do peso Tipo do leite
B (B) C (C) UHT (U) Total
Dentro das especificações (D) 500 4500 1500 6500
Fora das especificações (F) 30 270 50 350
Total 530 4770 1550 6850
Exemplo.: Seja o lançamento de 2 dados não viciados e a observação das
faces voltadas para cima. Suponha que haja interesse nas probabilidades
dos seguintes eventos:
a) Faces iguais, sabendo que a soma é menor ou igual a 5
b) Soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais
Inicialmente, encontramos o espaço amostral: 36 possíveis
combinações de resultados dos dois dados.
( ) 361
6
1
6
=×=Ω CCn
Considere os eventos:
E1 = faces iguais = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
E2 = soma das faces é menor ou igual a 5= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2),
Solução:
(2,3), (3,1), (3,2), (4,1) }
Portanto, E1 ∩ E2 = { (1,1), (2,2) }
( )
( )
( )
( )
( )
5
1
2/1
36
10
36
2
2/1
2
21
2/1
=
=⇒
∩
=
EEP
EEP
EP
EEP
EEP
a) Faces iguais, sabendo que a soma é menor ou igual a 5
b) Soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais( )
( )
( )
( )
( )
3
1
2/1
36
6
36
2
1/2
1
12
1/2
=
=⇒
∩
=
EEP
EEP
EP
EEP
EEP