VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS UNIDIMENSIONAIS

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Profa. Gisele Rodrigues Moreira 
Depto. Eng. Rural. Tel: (28) 3552-8666 
E-mail: gisele.moreira@ufes.br 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS UNIDIMENSIONAIS 
 
1. Para cada uma das situações a seguir, escreva o espaço amostral e conte os seus elementos. a) Cada uma 
das três peças usinadas é classificada como acima (a) ou abaixo (b) da especificação padrão para a peça. 
b) Lança-se um dado até que a face voltada para cima seja o número 5. 
c) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é observada. 
d) Dois dados são lançados simultaneamente e o interesse está na soma das faces observadas. 
e) Uma máquina produz 20 peças por hora, escolhe-se um instante qualquer e observa-se o número de 
peças defeituosas da próxima hora. 
 
2. Para cada um dos seguintes exercícios, determine a faixa (valores possíveis) da variável aleatória: 
a) A variável aleatória é o número de conexões soldadas não-conformes em uma placa de circuito impresso 
com 1000 conexões. 
b) Uma balança eletrônica, que aproxima a leitura de pesos para ao inteiro mais próximo da libra, é usada 
para pesar pacotes. O mostrador apresenta somente cinco algarismos. Qualquer peso maior que aquele 
que o mostrador pode indicar é mostrado como 99999. A variável aleatória é o peso mostrado. 
c) A variável aleatória é o número de falhas na superfície em uma grande serpentina de aço galvanizado. 
 
3. Uma instalação de recondicionamento de automóveis especializada em regulagens de motores sabe que 
45% de todas as regulagens são feitas em automóveis de quatro cilindros, 40% em automóveis de seis 
cilindros e 15% em automóveis de oito cilindros. Seja X = número de cilindros do próximo carro a ser 
preparado: 
a) Qual a função de distribuição de probabilidade de X? 
b) Desenhe o gráfico de distribuição de probabilidade e a tabela da distribuição. 
c) Qual a probabilidade de o próximo carro a ser regulado ter no mínimo seis cilindros? E mais de seis 
cilindros? 
 
Verifique se as seguintes funções são funções de probabilidade e determine as probabilidades requeridas: 
 
4. 
x -2 -1 0 1 2 
f(x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8 
 
a) p(X 2) b) p(X -2) c) p(-1 X 1) d) p(X -1 ou X = 2) 
 
 
5. Seja, f(x) = 
 
 
, x = 0, 1, 2, 3, 4 
Calcular: 
 
a) p(X = 4) b) p(X 1) c) p(2 X 4) d) p(X -10) 
 
6. Uma empresa que oferece computadores pelo correio tem seis linhas telefônicas. Seja X o número de 
linhas em uso em determinado horário. Suponha que a função de distribuição de probabilidade de X seja 
conforme a tabela a seguir: 
 
x 0 1 2 3 4 5 6 
p(x) 0,10 0,15 0,20 0,25 0,20 0,06 0,04 
 
Calcule a probabilidade de cada um dos seguintes eventos. 
a) No máximo três linhas estão em uso. 
b) Menos de três linhas estão em uso. 
c) Pelo menos três linhas estão em uso. 
d) entre duas e cinco linhas, inclusive, estão em uso. 
e) entre duas e quatro linhas, inclusive, estão em uso. 
f) Pelo menos quatro linhas não estão em uso. 
 
Verifique se as seguintes funções são funções de distribuição cumulativa e determine a função de 
probabilidade e as probabilidades requeridas: 
 
7. Seja, F(x) = 
 
 
 
 
 
Calcular: 
a) p(X 3) b) p(X 2) c) p(1 X 2) d) p(X 2) 
e) Plote o gráfico de distribuição acumulada 
 
 
8. Seja, F(x) = 
 
 
 
 
 
 
Calcular: 
a) p(X 50) b) p(X 40) c) p(40 X 60) d) p(X 0) 
e) p(0 X 10) f) p(-10 X 10) g) Plote o gráfico de distribuição acumulada 
 
 
9. Seja uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
xi -2 -1 2 4 Total 
P(X = xi) 1/4 1/8 1/2 1/8 1,0 
 
a) Traças o gráfico de distribuição de probabilidade e de função de distribuição acumulada 
b) Calcular a E(X) 
c) Calcular a V(X) 
d) Calcular a E(X – 2)2 
e) Calcular a V(3X – 4) 
 
10. Após embaralhar um baralho de 52 cartas, um crupiê dá cinco cartas. Seja X = número de naipes 
representados na mão de cinco cartas: 
a) Mostre que a função de distribuição de probabilidade de X é: 
x 1 2 3 4 
p(x) 0,002 0,146 0,588 0,264 
 
b) Calcule E(X), V(X), e DP(X) 
 
11. Suponha que E(X) = 5 e E[X(X – 1)] = 27,5. Qual é: 
a) E(X2) 
b) V(X) 
c) A relação geral entre as quantidades E(X), E[X(X – 1)] e V(X) 
d) Escreva a regra geral para E(X – c) onde c é uma constante. O que acontece quando você assume c = , o 
valor esperado de X? 
 
12. Seja a variável aleatória X igualmente provável de ter valores iguais a 1/8, 1/4 e 3/8. Determine a média 
e a variância de X. 
 
13. As árvores são sujeitas a diferentes níveis de atmosfera de dióxido de carbono com 6% das árvores em 
uma condição de crescimento mínimo a 350 ppm de CO2, 10% a 450 ppm (crescimento lento) de CO2, 47% 
a 550 ppm (crescimento moderado) de CO2 e 37% a 650 ppm (crescimento rápido) de CO2. Qual é a média e 
o desvio padrão da atmosfera de CO2 (em ppm) para essas árvores? 
 
14. Uma loja de eletrodomésticos vende três modelos diferentes de freezers verticais com 13,5, 15,9 e 19,1 
pés cúbicos de espaço, respectivamente. Seja X = volume de armazenagem comprado pelo próximo cliente 
a comprar um freezer. Suponha que a função de distribuição de probabilidade de X seja: 
 
x 13,5 15,9 19,1 
p(x) 0,2 0,5 0,3 
 
a) Calcule E(X), E(X2) e V(X) 
b) Se o preço de um freezer com X pés cúbicos de capacidade for 25X – 8,5 qual será o preço esperado pago 
pelo próximo cliente a comprar um freezer? 
c) Qual é a variância do preço 25X – 8,5 pago pelo próximo cliente? 
d) Suponha que, apesar de a capacidade nominal de um freezer ser X, a capacidade real seja h(X) = X – 
0,01X2. Qual é a capacidade real esperada do freezer comprado pelo próximo cliente? 
 
15. Um indivíduo que possua um seguro de automóvel de uma determinada empresa é selecionado 
aleatoriamente. Seja Y o número de infrações ao código de transito para as quais o indivíduo foi reincidente 
nos últimos 3 anos. A função de probabilidade de Y é: 
Y 0 1 2 3 4 
p(Y) 0,08 0,15 0,45 0,27 0,05 
 
a) Calcule o valor esperado de número de infrações 
b) Suponha que em indivíduo qualquer com Y infrações reincidentes incorra em uma multa de US$ 100Y2. 
Calcule valor esperado da multa. 
 
16. Um fabricante produz peças tais que 10% delas são defeituosas e 90% são perfeitas. Se uma peça 
defeituosa for produzida o fabricante perde R$ 2,00, enquanto uma peça não defeituosa lhe dá um lucro de 
R$ 10,00. Seja a variável aleatória discreta LUCRO LÍQUIDO POR PEÇA. Calcular a média do lucro líquido. 
 
17. Uma máquina de apostar tem 2 discos independentes. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs, 3 bananas, 2 
peras e 1 laranja. Se paga 80 para acionar a máquina. Se aparecem 2 maçãs ganha-se R$ 40,00; 2 bananas 
R$ 80,00; 2 peras R$ 140,00 e 2 laranjas R$ 180,00. Qual o lucro esperado após inúmeras jogadas? 
 
18. Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas uma após outra dessa urna, 
com reposição. Se ganharmos R$ 200,00 por bola branca retirada e perdemos R$ 100,00 por bola preta 
retirada, qual será o lucro esperado? 
 
19. Uma moeda honesta é lançada sucessivamente até sair cara ou até serem feitos 3 lançamentos. 
Obtenha a distribuição de probabilidade da v. a. X NÚMERO DE LANÇAMENTOS e calcule sua média e 
variância. 
 
20. Em um determinado jogo de apostas, um par de dados é jogado uma vez, e a soma resultante 
determina se o jogador ganha ou perde a aposta. Por exemplo, o jogador pode apostar $1,00 que a soma 
será inferior a sete, ou seja, 2, 3, 4 5 ou 6. Para esse tipo de aposta, o jogador perderá $1,00 se o resultado 
for igual ou exceder a sete, ou ganhará R$1,00 se o resultado for inferior a 7. De modo semelhante, o 
jogador pode apostar $1,00 que a soma será superior a sete, ou seja, 8, 9, 10, 11 ou 12. Nesse caso, o 
jogador ganha$1,00 se o resultado for superior a 7, mas perde $1,00 se o resultado for inferior a 7 ou igual 
a 7. Um terceiro método de jogar consiste em apostar $1,00 no resultado 7. Para essa aposta o jogador irá 
ganhar $4,00 se o resultado da jogada for 7 e perderá $1,00 caso isso não ocorra. Seja X a variável aleatória 
discreta LUCRO (ou perda) na aposta, obter: 
a) A distribuição de probabilidade dos diferentes resultados possíveis para uma aposta de $1,00 na soma 
inferior a 7. 
b) A distribuição de probabilidade dos diferentes resultados possíveis para uma aposta de $1,00 na soma 
superior a 7. 
c) A distribuição de probabilidade dos diferentes resultados possíveis para uma aposta de $1,00 na soma 
igual a 7. 
d) Mostre que o lucro (ou perda) esperado [E(X)] de longo prazo para o jogador é igual, 
independentemente do método utilizado. 
 
Respostas: 
 
1. a) S={aaa, aab, aba, baa,. bbb, bba, bab, bbb} ns=8; 
b) S={(5), (5’,5), (5’,5’,5), ...} ns= ; 
c) S={PP, PI, IP, II}; 
d) S={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} ns=11; 
e) S={X ϵ R | 0≤X≤20} ns=21 
 
2. a) {0, 1, 2, ..., 1000}; b) {0, 1, 2, ..., 99999}; c) {0, 1, 2, ..., } 
 
3. a) p(4) = 0,45; p(6) = 0,40; p(8) = 0,15, p(x) = 0 para x 4, 6, 8 
 c) p(X 6) = 0,55; p(X > 6) = 0,15 
 
4. a) p(X 2) = 1 b) p(X -2) = 7/8 c) p(-1 X 1) = 3/4 
d) p(X -1 ou X = 2) = 1/2 
 
5. a) p(X = 4) = 9/25 b) p(X 1) = 4/25 c) p(2 X 4) = 12/25 
d) p(X -10) = 1 
 
6. a) p(X 3) = 0,7; b) p(X 3) = 0,45; c) p(X 3) = 0,55; d) p(2 X 5) = 0,71; 
 e) p(2 X 4) = 0,65; f) p(X 4) = 0,45 
 
7. a) p(X 3) = 1 b) p(X 2) = 0,5 c) p(1 X 2) = 0,5 d) p(X 2) = 0,5 
 
8. a) p(X 50) = 1 b) p(X 40) = 0,75 c) p(40 X 60) = 0,25 
d) p(X 0) = 0,25 e) p(0 X 10) = 0 f) p(-10 X 10) = 0 
 
9. a) E(X) = 0,875 b) V(X) = 4,36 c) E(X – 2)2 = 5,625 d) V(3X – 4) = 39,25 
 
10. b) E(X) = 3,114 b) V(X) = 0,405 c) DP(X) = 0,636 
 
11. a) E(X2) = 32,5 b) V(X) = 7,5 c) V(X) = E[X(X – 1)] + E(X) – [E(X)]2 
 
12. E(X) = 1/4 V(X) = 0,0104 
 
13. E(X) = 565 ppm; DP(X) = 82,92 ppm 
 
14. a) E(X) = 16,38 E(X2) = 272,298 V(X) = 3,9936 
 b) 401 c) 2496 d) 13,66 
 
15. a) US$ 2,06 b) US$ 518 
 
16. E(X) = R$ 8,80 
 
17. E(X) = -59,00 
 
18. E(X) = R$ 75,00 
 
19. E(X) = 1,75; V(X) = 11/16 
 
20. a) X:{1, -1}; P (1) = 15/36 e P (-1) = 21/36 b) X:{-1, 1}; P (-1) = 21/36 e P (1) = 15/36 
 c) X:{4, -1}; P (4) = 6/36 e P (-1) = 30/36 d) E(X) = -0,167 para cada método