Lista de exercicios_modulo 3

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38 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE
4a Lista de Exercícios de Probabilidade e Estatística
Profa : Marina Sequeiros
1. No lançamento simultâneo de dois dados, consideremos as seguintes variáveis aleató-
rias:
X = número de pontos obtidos no primeiro dado.
Y = número de pontos obtidos no segundo dado.
(a) Construir a distribuição de probabilidade através de uma tabela e gráfico das
seguintes variáveis:
i. Z = X.Y
ii. B = máximo de (X,Y )
iii. W = X + Y
(b) Construir a Função de distribuição acumulada (também chamada função de
repartição) das variáveis Z, B e W e fazer os respectivos gráficos.
(c) Aplicando as propriedades da função de repartição, calcular as seguintes proba-
bilidades:
i. P (Z 6 5.5)
ii. P (Z = 3)
iii. P (1 6 B < 4)
iv. P (20 6 Z 6 35)
v. P (B = 8)
vi. P (3.5 < Z < 34)
vii. P (W < 7)
viii. P (2 6W < 8)
(d) Determinar a média da distribuição de cada uma das variáveis Z, B e W.
(e) Determinar o desvio padrão da distribuição de cada uma das variáveis Z, B e
W.
2. Uma variável aleatória contínua X tem a seguinte densidade de probabilidade:
x < 0 f(x) = 0
0 6 x < 2 f(x) = K
2 6 x < 4 f(x) = K(x− 1)
x > 4 f(x) = 0
Pede-se:
(a) Qual o valor de K?
(b) encontre F (x) e faça o gráfico.
3. A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é propor-
cional a x(1− x) para 0 < x < 1, e é zero para outros valores de x. Pede-se:
(a) mostre que f(x) = 6x(x− 1) para 0 < x < 1.
(b) calcule a função de distribuição F (x)
(c) calcule P (X 6 12)
4. Dada a função de distribuição acumulada (repartição):
F (x) = 0 para x < −1
F (x) = x+12 para −1 6 x < 1
F (x) = 1 para 1 6 x
Esboce o gráfico de f(x) e calcule:
1.8. MOMENTOS DE UMA VA 39
(a) P
(
−12 < X 6
1
2
)
(b) P (X = 0)
(c) P (2 < x 6 3)
5. X é uma variável aleatória contínua, tal que f(x) = kx2 − kx3 para 0 6 x 6 1 e
f(x) = 0 para outros valores.
(a) determine o valor de k;
(b) calcule a esperança de X;
(c) determine a variância de X.
6. X é uma variável aleatória discreta, tal que a função repartição é dada por:
F (−2) = 0.3 F (0) = 0.5 F (1) = 0.6
F (2) = 0.8 F (5) = 1.0
(a) calcule a média de X;
(b) P (−1 6 X 6 4)?
(c) calcule a variância.
7. X é uma variável aleatória contínua, tal que a função repartição é dada por:
F (x) = 0 para x < 0
F (x) = x3 para 0 6 x < 1
F (x) = 1 para x > 1
(a) calcule a média;
(b) calcule a variância.
8. Em uma classe, há 6 homens e 3 mulheres. Sorteados 3 alunos ao acaso e sem
reposição, faça X : V.A. número de homens sorteados. Calcule a média e o desvio
padrão da distribuição.
9. O lucro unitário (L) de um produto é dado por: L = 1.2V − 0.8C − 3.5. Sabendo-se
que o preço unitário de venda (V) tem média $ 60,00 e desvio padrão $ 5,00 e que o
preço do custo unitário (C) tem uma distribuição de média $ 50,00 e desvio padrão
para $2,00, qual a média e o desvio padrão do lucro unitário?
10. Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simul-
taneamente dessa urna.
(a) Qual a distribuição de probabilidade do número de bolas brancas retiradas?
(b) Se ganharmos $2,00 por bola branca retirada e perdermos $ 1,00 por bola preta
retirada, até quanto vale a pena pagar para entrar nesse jogo?
11. Um jogo equitativo é um jogo em que o ganho esperado é nulo, ou seja, a longo prazo,
ou em média, não se espera ganhar nem perder. Se apostarmos $1,00 que certa pessoa
nasceu em determinado dia da semana, de quanto deve ser a contra-aposta para que
esse se torne um jogo equitativo?
40 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE
12. Seja a variável aleatória contínua definida pela seguinte função densidade de proba-
bilidade:
f(x) = 0 para x < 0;
f(x) = x2 para 0 6 x 6 2;
f(x) = 0 para x > 2
(a) Determinar sua função de distribuição acumulada (repartição);
(b) Calcular a média;
(c) Calcular a variância;
(d) Calcular o desvio padrão.
13. Uma variável aleatória contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade
f(x) = 0 para x < 0
f(x) = k para 0 6 x < 1
f(x) = k(2− x) para 1 6 x < 2
f(x) = 0 para x > 2
Determinar
(a) a constante k;
(b) a função de repartição;
(c) a probabilidade de se obter um valor superior a 1.5;
(d) a média;
(e) a variância e o desvio padrão.
Respostas:
1. (a) i.
z 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36
P (z) 136
2
36
2
36
3
36
2
36
4
36
2
36
1
36
2
36
4
36
2
36
1
36
2
36
2
36
2
36
1
36
2
36
1
36
ii.
b 1 2 3 4 5 6
P (b) 136
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
iii.
w 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P (w) 136
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
(b) Função de repartição de Z:
para z < 1 F (z) = 0
para 1 6 z < 2 F (z) = 136
para 2 6 z < 3 F (z) = 336
para 3 6 z < 4 F (z) = 536
para 4 6 z < 5 F (z) = 836
para 5 6 z < 6 F (z) = 1036
para 6 6 z < 8 F (z) = 1436
para 8 6 z < 9 F (z) = 1636
para 9 6 z < 10 F (z) = 1736
para 10 6 z < 12 F (z) = 1936
para 12 6 z < 15 F (z) = 2336
para 15 6 z < 16 F (z) = 2536
para 16 6 z < 18 F (z) = 2636
para 18 6 z < 20 F (z) = 2836
para 20 6 z < 24 F (z) = 3036
para 24 6 z < 25 F (z) = 3236
para 25 6 z < 30 F (z) = 3336
para 30 6 z < 36 F (z) = 3536
para z > 36 F (z) = 1
1.8. MOMENTOS DE UMA VA 41
Função de repartição de B:
para b < 1 F (b) = 0
para 1 6 b < 2 F (b) = 136
para 2 6 b < 3 F (b) = 436
para 3 6 b < 4 F (b) = 936
para 4 6 b < 5 F (b) = 1636
para 5 6 b < 6 F (b) = 2536
para b > 6 F (b) = 1
Função de repartição de W:
para w < 2 F (z) = 0
para 2 6 w < 3 F (w) = 136
para 3 6 w < 4 F (w) = 336
para 4 6 w < 5 F (w) = 636
para 5 6 w < 6 F (w) = 1036
para 6 6 w < 7 F (w) = 1536
para 7 6 w < 8 F (w) = 2136
para 8 6 w < 9 F (w) = 2636
para 9 6 w < 10 F (w) = 3036
para 10 6 w < 11 F (w) = 3336
para 11 6 w < 12 F (w) = 3536
para w > 12 F (w) = 1
(c) i. 518
ii. 118
iii. 14
iv. 736
v. 0
vi. 56
vii. 1536
viii. 2136
2. 16
3. (a) K = 6 (c) 12
4. (a) 12 (b) 0 (c) 0
5. (a) k = 12 (b) 35 (c)
1
25
6. (a) 0.9 (b) 0.5 (c) 6.29
7. (a) 34 (b)
3
80
8. µ = 2; σ = 0.71
9. µL = 28.5; σL = 6.21
10. (a)
x 0 1 2 3
P(x) 744
21
44
14
44
2
44
(b) 0.75
11. $6,00
12. (b) 43 (c)
2
9 (d) 0.4714
13. (a) k = 12
(b)
F (x) = 0 para x < 0
F (x) = 23x para 0 6 x < 1
F (x) = −x23 +
4
3x−
1
3 para 1 6 x < 2
F (x) = 1 para x > 2.
(c) 112
(d) 79
(e) 0.2284; 0.478
54 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE
5a Lista de Exercícios de Probabilidade e Estatística
Profa : Marina Sequeiros
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
Distribuição binomial
1. Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcular as seguintes probabilidades:
(a) de ocorrer 6 caras;
(b) de dar pelo menos 2 caras;
(c) de não dar nenhuma coroa;
(d) de dar pelo menos uma coroa;
(e) de não dar 5 caras e 5 coroas.
2. Admitindo-se que os nascimentos de meninos e meninas sejam iguais, calcular a
probabilidade de um casal com 6 filhos ter 4 filhos homens e 2 mulheres.
3. Em 320 famílias com 4 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem:
(a) nenhuma menina; (b) 3 meninos; (c) 4 meninos.
4. Qual a probabilidade de obter ao menos uma vez o ponto 3 em “n” jogadas de um
dado?
5. Um time X tem 23 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 partidas,
calcule a probabilidade de:
(a) X vencer exatamente 3 partidas;
(b) X vencer ao menos uma partida;
(c) X vencer mais da metade das partidas;
6. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 13 . Se ele atirar 6 vezes, qual a
probabilidade de:
(a) acertar exatamente 2 tiros? (b) não acertar nenhum tiro?
7. Num teste do tipo certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um
aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das perguntas?
8. Uma variável aleatória com distribuição binomial tem a função repartição dada por:
F (0) = 1243 F (1) =
11
243 F (2) =
51
243 F (3) =
131
243 F (4) =
211
243 F (5) = 1
Determinar:
(a) n
(b) p e q
(c) média de Y
(d) variância de Y
(e) P (Y > 1)
(f) P (2 6 Y 6 4)
9. Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que,
numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:
(a) nenhuma defeituosa; (b) 3 defeituosas; (c) mais do que 1 boa.
10. Aplique a definição de médiae variância de uma variável aleatória discreta para
provar que a média de uma binomial é np e a variância npq.
1.10. MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA 55
11. Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas defeituosas.
As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma.
(a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa?
(b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa?
(c) Se a empresa paga multa de $10,00 por caixa em que houver alguma peça
defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas?
12. Uma distribuição binomial tem média igual a 3 e variância igual a 2. Calcule P (X =
2)
13. Numa urna existem exatamente 7 bolas brancas, 2 bolas pretas e 1 bola vermelha.
São retiradas 10 bolas com reposição. Calcular a probabilidade de sair:
(a) exatamente 3 bolas brancas;
(b) no mínimo 3 bolas pretas;
(c) alguma bola vermelha.
Distribuição hipergeométrica
14. Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6
lâmpadas ao acaso para a iluminação de uma sala. Qual a probabilidade de que:
(a) exatamente duas estejam queimadas?
(b) pelo menos uma esteja boa?
(c) pelo menos duas estejam queimadas?
15. Numa urna existem 20 bolas, sendo 2 pretas. Calcule a probabilidade de, retiradas
7 bolas, sair apenas uma bola preta considerando que as bolas não são repostas na
urna após as retiradas.
Distribuição Multinomial
16. Jogue um dado 8 vezes. Calcule a probabilidade de aparecer 2 números 2; 2 números
5 e os demais números, uma vez.
17. As lâmpadas coloridas produzidas por uma fábrica são 60% verdes, 30% azuis e 10%
amarelas. Em 5 lâmpadas, encontre a probabilidade de que 2 sejam verdes, 1 azul e
2 amarelas.
18. O sangue humano foi classificado em 4 tipos: A, O, B e AB. Numa certa população,
as probabilidades destes tipos são respectivamente: 0,40; 0,45; 0,10 e 0,05. Qual a
probabilidade de que em 5 indivíduos escolhidos ao acaso haja:
(a) dois do tipo A e um de cada um dos
outros?
(b) três do tipo A e dois do tipo O?
19. Uma fábrica tem sua produção composta de 30% da máquina A, 20% da máquina B
e 50% da máquina C. Retirando-se 9 peças da produção.
(a) Qual a probabilidade de serem 4 da máquina A, 2 da máquina B e 3 da máquina
C?
(b) Qual a probabilidade de não haver nas 9 peças nenhuma da máquina B?
56 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE
Distribuição de Poisson
20. Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas, havia em média
um estouro de pneu a cada 5000 km.
(a) Qual a probabilidade de que num teste de 3000 km haja no máximo um pneu
estourado?
(b) Qual a probabilidade de que um carro ande 8000 km sem estourar nenhum
pneu?
21. Um dado é formado com chapas de plástico de 10× 10 cm. Em média aparecem 50
defeitos por metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson.
(a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente 2 defei-
tos?
(b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo 2 defeitos?
(c) Qual a probabilidade de pelo menos 5 faces serem perfeitas?
(d) Lançado o dado, qual a probabilidade de que a soma do ponto com o número
de defeitos da face obtida seja menor do que 3?
22. Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a proba-
bilidade de:
(a) receber 4 chamadas num dias; (b) receber 3 ou mais chamadas num
dia.
23. A média de chamadas telefônicas numa hora é 3. Qual a probabilidade de:
(a) receber exatamente 3 chamadas
numa hora?
(b) receber 4 ou mais chamadas em 90
minutos?
24. Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de 1 defeito por
metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de
2× 2m?
25. Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50000. Em uma
cidade de 100000 habitantes, encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha
havido:
(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 2 ou mais sui-
cídios.
26. Suponha que 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500
páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha:
(a) nenhum erro. (b) exatamente 2 erros.
27. Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma
hora:
1.10. MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA 57
(a) atender exatamente 2 clientes; (b) atender 3 clientes.
28. Aplicando as definições de média e variância, prove que a média e a variância de uma
Poisson são iguais a λt.
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA
Distribuição uniforme
1. Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [1,4]. Calcular:
(a) probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 2 e 3;
(b) entre 0,5 e 2,5;
(c) seja exatamente o 2;
(d) a média dessa distribuição;
(e) a variância dessa distribuição.
2. Calcular a expressão para a média e variância de uma variável aleatória uniforme-
mente distribuída entre a e b.
3. Suponha que X seja uniformemente distribuído entre [−α, α], em que α > 0. Quando
possível, calcular α de modo que as seguintes relações sejam satisfeitas:
(a) P (X > 1) =
1
3
(b) P (X > 1) =
1
2
(c) P (X < 12) =
0, 7
(d) P (X < 12) =
0, 3
Distribuição exponencial
4. Uma lâmpada tem a duração de acordo com a densidade de probabilidade a seguir:
f(t) =
{
0, t < 0
1
1000e
− t
1000 t > 0
Determinar:
(a) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime antes de 1000 horas;
(b) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois de sua duração
média;
(c) qual é o desvio padrão da distribuição.
5. Se as interrupções no suprimento de energia elétrica ocorrem segundo uma distribui-
ção de Poisson com a média de uma interrupção pro mês (quatro semanas), qual a
probabilidade de que entre duas interrupções consecutivas haja um intervalo de:
(a) menos de uma semana;
(b) entre dez e doze semanas;
(c) exatamente um mês;
(d) mais de três semanas.
6. Prove que f(t) é uma função densidade de probabilidade.
58 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE
7. Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial
com vida média de 100 horas. Cada fusível tem um custo de $ 10,00 e, se durar
menos de 200 horas, existe um custo adicional de $8,00.
(a) Qual a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas?
(b) Foi proposta a compra de uma outra marca que tem uma vida média de 200 ho-
ras e um custo de $15,00. Considerando também a incidência do custo adicional,
deve ser feita a troca de marcas?
Distribuição Normal
8. As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com
média 1.60m e desvio padrão 0.30m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:
(a) entre 1.50m e 1.80m;
(b) mais de 1.75m;
(c) menos de 1.48m.
(d) qual deve ser a medida mínima para escolhermos 10% dos mais altos?
9. Um produto pesa, em média, 10 g, com desvio-padrão de 2g. É embalado em caixas
com 50 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam 500g, com desvio padrão de 25g.
Admitindo-se uma distribuição normal dos pesos e independência entre as variáveis
dos pesos do produto e da caixa, calcular a probabilidade de uma caixa cheia pesar
mais de 1050g.
10. Seja z uma variável com distribuição normal padronizada e encontre:
(a) P (0 6 z 6 1, 44)
(b) P (−0, 85 < z < 0)
(c) P (−1, 48 < z <
2, 05)
(d) P (0, 72 < z < 1, 89)
(e) P (z > 1, 08)
(f) P (z > −0, 66)
(g) P (| z |6 0, 5)
11. A duração de certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de
45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar:
(a) entre 700 e 1000 dias;
(b) mais que 800 dias;
(c) menos que 750 dias;
(d) exatamente 1000 dias;
(e) qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor no
máximo 5% dos componentes?
12. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média de 65,3 kg e
desvio padrão de 5,5 kg. Encontre o número de alunos que pesam:
(a) entre 60 e 70 kg; (b) mais que 63,2 kg;
13. Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média de
73 e desvio padrão 15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% dosmais atrasados recebem nota F. Encontre o mínimo para receber A e o mínimo para
passar, não receber F.
14. Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e
verificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de média 48000 km e desvio
padrão 2000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:
1.10. MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA 59
(a) dure mais que 46000 km; (b) dure entre 45000 e 50000 km.
15. X é uma variável aleatória contínua, tal que X = N(12, 25). Qual a probabilidade de
uma observação ao acaso:
(a) ser menor do que -3; (b) cair entre -1 e 15.
16. O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno
de uma média de $ 180,00 com desvio padrão de $25,00. Pede-se:
(a) encontre a probabilidade de um operário ter salário mensal situado entre $150,00
e $ 178,00;
(b) dentro de que desvios de ambos os lados da média, cairão 96% dos salários?
17. Certo produto tem peso médio de 10g e desvio padrão de 0,5g. É embalado em caixas
de 120 unidades que pesam em média 150g e desvio padrão 8g. Qual a probabilidade
de que uma caixa cheia pese mais que 1370g?
18. Determinada máquina enche latas baseada no peso bruto com média 1kg e desvio
padrão 25g. As latas têm peso médio de 90g com desvio padrão 8g. Pede-se:
(a) a probabilidade de uma lata conter menos de 870g de peso líquido;
(b) a probabilidade de uma lata conter mais de 900g de peso líquido.
19. Um avião de turismo de 4 lugares pode levar uma carga útil de 350 kg. Supondo
que os passageiros têm peso médio de 70kg com distribuição normal de peso e desvio
padrão 20kg, e que a bagagem de cada passageiro pese em média 12kg, com desvio
padrão 5kg e distribuição normal do peso. Calcular a probabilidade de:
(a) haver sobrecarga se o piloto não pesar os 4 passageiros e respectiva bagagem;
(b) que o piloto tenha de tirar pelo menos 50 kg de gasolina para evitar sobrecarga.
20. Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores
a 19. Encontrar a média e a variância da distribuição.
21. Seja Y uma função tal que Y = X1 + X2 + X3 e as variáveis Xi são independentes
com as seguintes distribuições: X1 = N(10; 9);X2 = N(−2, 4);X3 = N(5, 25). Qual
é a distribuição de Y ?
22. Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fábrica é de 0,25
polegadas, e o desvio padrão 0,02 polegada. Um parafuso é considerado defeituoso
se seu diâmetro é maior que 0,28 polegadas ou menor que 0,20 polegadas.
(a) Encontre a porcentagem de parafusos defeituosos.
(b) Qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo 12% de parafusos
defeituosos?
23. Suponha que a duração de vida de dois equipamentos E1 e E2 tenham respectiva-
mente distribuições: N(45;9) e N(40,36). Se o equipamento tiver que ser usado por
um período de 45 horas, qual deles deve ser preferido?
24. Certa máquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso com
desvio padrão de 20g. Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para
que 10% tenham menos que 400g?
60 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE
25. Uma variável com distribuição normal é tal que 90% dos valores estão simetricamente
distribuídos entre 40 e 70. Qual a proporção de valores abaixo de 35?
Respostas:
1. (a) 105
512
(b) 1013
1024
(c) 1
1024
(d) 1023
1024
(e) 193
256
2. 15
64
3. (a) 20
(b) 80
(c) 20
4. 1−
(
5
6
)n
5. (a) 80
243
(b) 242
243
(c) 64
81
6. (a) 80
243
(b) 64
729
7.
(100
70
) (
1
2
)100
8. (a) 5
(b) 2
3
e 1
3
(c) 10
3
(d) 10
9
(e) 242
243
9. (a) (0, 95)100
(b) (100
3
)
(0, 05)3(0, 95)97
(c) 1 −
(0, 05)100 −
100(0, 95)(0, 05)99
10. demonstração
11. (a) 0,0081
(b) 0,0815
(c) $ 4095,00
12. 512
2187
13. (a) 0,0090
(b) 0,3222
(c) 0,6513
14. (a) 0,7576
(b) 1
(c) 0,8788
15. 0,479
16. 35
5832
17. 0,0324
18. (a) 0,0216
(b) 0,1296
19. (a) 0,0510
(b) 0,1678
20. (a) 0,8781
(b) 0,2019
21. (a) 0,0758
(b) 0,8008
(c) 0,2436
(d) 0,2527
22. (a) 0,168
(b) 0,5768
23. (a) 0,2241
(b) 0,658
24. 0,1954
25. (a) 0,0183
(b) 0,0733
(c) 0,1465
(d) 0,9085
26. (a) 0,449
(b) 0,1438
27. (a) 0,2707
(b) 0,180
1. (a) 1
3
(b) 1
2
(c) 0
(d) 2,5
(e) 3
4
2. demonstração
3. (a) 3
(c) 5
4
4. (a) 0,6321
(b) 0,3679
(c) 1000
5. (a) 0,2212
(b) 0,0323
(c) 0
(d) 0,4724
6. demonstração.
7. (a) 0,223
(b) 20,057
8. (a) 0,3747
(b) 0,3085
(c) 0,3446
(d) 1,98
9. 0,0409
10. (a) 0,4251
(b) 0,3023
(c) 0,9104
(d) 0,2064
(e) 0,1401
(f) 0,7454
(g) 0,3830
11. (a) 1
(b) 0,8665
(c) 0,0132
(d) 0
(e) 776 dias
12. (a) 380
(b) 389
13. 88,5 e 55
14. (a) 0,8413
(b) 0,7745
15. (a) 0,0013
(b) 0,7210
16. (a) 0,3530
(b) 128, 75 6
X 6 231, 25
17. 0,0197
18. (a) 0,0643
(b) 0,6480
19. (a) 0,2981
(b) 0,0401
20. µ = 29, 03;σ2 =
73, 44
21. Y = N(13; 38)
22. (a) 7,3%
(b) 0,2266
23. E1
24. (a) 425,60
(b) 0,1112
25. 1,43%