Aula 17 Funções implícitas

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 17
Assunto: Funções Implícitas, Teorema das Funções Implícitas
Palavras-chaves: funções, funções implícitas, derivação implícita
Funções implícitas
Consideremos a equação
x2 + y2 = 1
Observemos que os pontos do R2 que satisfazem essa equação constituem a circunferência de centro na
origem e raio 1.
Se isolarmos y na equação anterios, obteremos:
y2 = 1− x2 ⇒ y = ±
√
1− x2
Assim, temos
y =
√
1− x2 ou y = −
√
1− x2
Diremos que as funções f(x) =
√
1− x2 e g(x) = −√1− x2 estão definidas implicitamente pela equação
x2 + y2 = 1.
Os gráficos das funções f(x) e g(x) são mostrados a seguir
A equação x2 + y2 = 1 pode ser posta na forma x2 + y2 − 1 = 0 e as funções f(x) e g(x) satisfazem
x2 + (f(x))2 − 1 = x2 + (
√
1− x2)2 − 1 = 0
x2 + (g(x))2 − 1 = x2 + (
√
1− x2)2 − 1 = 0
No que fizemos acima consideramos x como variável independente, mas não há nada na equação x2 = y2 = 1
que indique que tinha que ser assim. Portanto, podemos considerar y como variável independente e escrevermos
x em função de y.
x2 = 1− y2 ⇒ x = ±
√
1− y2
Portanto
x =
√
1− y2 ou x = −
√
1− y2
Diremos então que as funções ϕ(y) =
√
1− y2 e ψ(y) = −
√
1− y2 estãod efinidas implicitamente pela
equação x2 = y2 = 1 (ou x2 = y2 − 1 = 0). Temos que:
ϕ(y)2 + y2 − 1 = 0, quad e
ψ(y)2 + y2 − 1 = 0
Se não mudarmos as posições dos eixos x e y do plano cartesiano, os gráficos das funções ϕ e ψ são as
seguintes
Consideramos agora o caso geral. Observemos inicialmente que toda equação nas variáveis x e y pode ser
escrita na forma F (x, y) = 0, em que F é uma função de duas variáveis.
Diremos que uma equação F (x, y) = 0 define implicitamente y como função de x se existe uma funlçaõ
y = f(x) que satisfaz F (x, f(x)) = 0, para todo x ∈ Df . Neste caso, diremos também que a função f(x) está
definida implicitamente pela equação F (x, y) = 0.
Diremos ainda que a equação F (x, y) = 0 define implicitamente cx como função de y se existe uma função
x = ϕ(y) que satisfaz F (ϕ(y), y) = 0. Também diremos neste caso que a função ϕ(y) está bem definida
implicitamente pela equação F (x, y) = 0. Observamos que uma mesma equação pode definir implicitamente
várias funções.
Voltemos ao caso da função y =
√
1− x2, que está definida implicitamente que equação x2 + y2 = 1. A
derivada
dy
dx
dessa função pode ser calculada por dois processos.
1◦ Processo:
Calculamos diretamente a derivada de y usando a expressão y =
√
1− x2.
dy
dx
=
1
2
√
1− x2 .(−2x) = −
x√
1− x2
2◦ Processo:
2
Derivamos os dois membros da equação x2 = y2 = 1, levando-see em conta que y está em função de x.
d
dx
(x2 + y2) =
d
dx
(1)
2x+ 2y
dy
dx
= 0
dy
dx
= −x
y
Dizemos que
dy
dx
está expressa em termos de x e y. Se substituirmos y por
√
1− x2, obteremos
dy
dx
= − x√
1− x2
As derivadas das outras funções implicitamente por x2 + y2 = 1 também podem ser calculadas por esses
processos.
Há situações nas quais são conseguimos obter a expressão explícita de y como função de x. Quando isso
acontece não podemos calcular a derivada
dy
dx
pelo primeiro processo. É o caso, por exemplo, da equação
y + y3 + sin(x+ y) = 0
Conforme veremos adiante, essa equação define implicitamente y como função de x, mas não é possível
isolar o y em termos de x. Em todo caso, podemos aplicar o 2◦ processo do exemplo anterios para calcularmos
dy
dx
.
d
dx
(y + y3 + sin(x+ y)) =
d
dx
(0)
y′ + 3y2y′ + [cos(x+ y)].(1 + y′) = 0
y′ + 3y2y′ + cos(x+ y) + y′ cos(x+ y) = 0
y′(1 + 3y2 + cos(x+ y)) = − cos(x+ y)
y′ =
− cos(x+ y)
1 + 3y2 + cos(x+ y)
ou, usando a notação de Leibniz,
dy
dx
=
− cos(x+ y)
1 + 3y2 + cos(x+ y)
No caso geral, se a função y = f(x) está definida implicitamente pela equação F (x, y) = 0, então
F (x, f(x)) = 0. Aplicando a regra da cadeia, para calcularmos a derivada de ambos os membros dessa
equação, obtemos
3
d
dx
(F (x, f(x))) =
d
dx
(0)
∂
∂x
F (x, f(x)).
dx
dx
+
∂
∂y
F (x, f(x)).
dy
dx
= 0
∂
∂x
F (x, f(x)) +
∂
∂y
F (x, f(x)).
dy
dx
= 0
Portanto
dy
dx
= −
∂
∂x
F (x, f(x))
∂
∂y
F (x, f(x))
Estamos supondo que
∂
∂y
F (x, f(x)) 6= 0. Lembrando que f(x) = y, podemos escrever essa fórmula como
dy
dx
= −
∂
∂x
F (x, y)
∂
∂y
F (x, y)
O que nos dá uma maneira de expressar
dy
dx
em termos de x e y.
Consideremos agora o caso em que a equação F (x, y) = 0 define implicitamente x como função de y, isto
é, x = ϕ(y) e F (ϕ(y), y) = 0.Assim teremos
d
dy
(F (ϕ(y), y)) =
d
dy
(0)
∂
∂x
(F (ϕ(y), y))
dx
dy
+
∂
∂y
(F (ϕ(y), y))
dy
dy
= 0
Supondo que
∂
∂x
(F (ϕ(y), y))
dx
dy
6= 0, temos:
dx
dy
= −
∂
∂y
F (ϕ(y), y)
∂
∂x
F (ϕ(y), y)
Como ϕ(y) = x, podemos escrever da forma
dx
dy
= −
∂
∂y
F (x, y)
∂
∂x
F (x, y)
4
Exemplo 1 Sabendo que a equação dada define implicitamente y como função de x e também define implici-
tamente x como função de y, use as fórmulas anteriores para expressar
dy
dx
e
dx
dy
em termos de x e y.
1. x2 + y2 = 1
Neste caso escrevemos
x2 + y2 − 1 = 0 e F (x, y) = x2 + y2 − 1
Portanto
dy
dx
= −
∂
∂x
F (x, y)
∂
∂y
F (x, y)
= −2x
2y
= −x
y
dx
dy
= −
∂
∂y
F (x, y)
∂
∂x
F (x, y)
= −2y
2x
= −y
x
2. y + y3 + sin(x+ y) = 0
Escrevemos
F (x, y) = y + y3 + sin(x+ y)
Logo
dy
dx
= −
∂
∂x
F (x, y)
∂
∂y
F (x, y)
= − cos(x+ y)
1 + 3y2 + cos(x+ y)
dx
dy
= −
∂
∂y
F (x, y)
∂
∂x
F (x, y)
= −1 + 3y
2 + cos(x+ y)
cos(x+ y)
Ao aplicarmos esses processos devemos tomar cuidado com o significado das notações
dy
dx
,
dx
dy
,
∂F
∂x
e
∂F
∂y
.
Por exemplo
1.
d
dx
y3 = 3y2y′
2.
∂
∂x
y3 = 0
3.
∂
∂y
y3 = 3y2
5
Existem equações que não definem implicitamente nenhuma função. é o caso, por exemplo, da equação
x2 + y2 = −1
Essa equação não define implicitamente nenhuma função, pois não existe uma expressão y = f(x) que
substituída no lugar de y que produzirá −1, visto que o primeiro membro da equação é sempre negativo.
Observamos que, neste caso, podemos calcular pelo 2◦ processo
dy
dx
, mas essa derivada não tem razão de
haver, pois a função não existe.
A seguir temos mais duas equações que não definem implicitamente nenhuma função.
Exemplo 2 Mostre que a equação dada não define implicitamente nenhuma função
1.
x2
x2 + y2
+ sin(x+ y) = 3
Temos que
∣∣∣∣∣ x2x2 + y2 + sin(x+ y)
∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣ x2x2 + y2
∣∣∣∣∣+ | sin(x+ y)| ≤ 1 + 1 = 2
Portanto, o máximo que a soma de
x2
x2 + y2
com sin(x+ y) pode atingir é 2. Logo sempre teremos
x2
x2 + y2
+ sin(x+ y) 6= 3
2. xy = x2 + y2
O único pra (x, y) que é satisfeito por essa equação é o par (0, 0), pois se existisse y 6= 0(ou x 6= 0) tal
que xy = x2 + y2, teríamos
xy
x2 + y2
= 1,
mas sabemos que
∣∣∣∣∣ xyx2 + y2
∣∣∣∣∣ ≤ 12
Outro Processo:
Se existissem x e y ambos não nulos tais que
xy = x2 + y2
então xy > 0. Logo, ou x ou y são positivos ou são negativos. Temos que
6
x2 − xy + y2 = 0⇒ x2 − 2xy + y2 = −xy ⇒ (x− y)2 = −xy
O que é uma contradição, pois o primeiro membro é positivo e o segundo é negativo.
Neste ponto, devemos superar estas duas questões:
• Quando uma equação F (x, y) = 0 define implicitamente funções (y = f(x) ou x = ϕ(y))?
• Se F (x, y) = 0 define implicitamente funções, quando tais funções são diferenciáveis?
As respostas para essas perguntas devem ser provenientes da própria equação e tasi respostas são fornecidas
pelo teorema das funções implícitas.
Teorema1 (Teorema das funções implícitas. Caso F (x, y) = 0)
Sejam F (x, y) uma função definida em um conjunto aberto A e (x0, y0) ∈ A. Se
1. F (x, y) é de classe C1 em A,
2. F (x0, y0) = 0 e
3.
∂F
∂y
(x0, y0) 6= 0,
então existem intervalos abertos I e J com x0 ∈ I e y0 ∈ J e uma função diferenciável f : I → J que
satisfaz F (x, f(x)) = 0, para todo x ∈ I e
f ′(x) = −
∂F
∂x
(x, f(x))
∂F
∂y
(x, f(x))
Se no teorema anterior substituirmos a terceira hipótese por
∂F
∂x
(x0, y0) 6= 0, concluiremos que existirão
intervalos abertos I e J com x0 ∈ I e y0 ∈ J e uma função ϕ : J → I diferenciável que satisfaz F (ϕ(y), y) = 0,
para todo y ∈ J e
ϕ′(y) = −
∂F
∂y
(ϕ(y), y)
∂F
∂x
(ϕ(y), y)
Exemplo 3 Mostre que a equação dada define implicitamente y como função de x e que tal função é diferen-
ciável. Além disso, expresse
dy
dx
em termos de x e y
1. y + y3 + sin(x+ y) = 0
Escrevemos
F (x, y) = y + y3 + sin(x+ y)
7
Assim teremos
∂F
∂x
(x, y) = cos(x+ y)
∂F
∂y
(x, y) = 1 + 3y2 + cos(x+ y)
Portanto F (x, y) é de classe C1 em R2. Temos também que
F (0, 0) = 0 e
∂F
∂y
(0, 0) = 1 6= 0
Portanto, a equação define implicitamente uma função diferenciável y = f(x)
2. x4 + 2xy + y5 = 11
Escrevemos
F (x, y) = x4 + 2xy + y5 − 11
Logo
∂F
∂x
(x, y) = 4x3 + 2y
∂F
∂y
(x, y) = 2y + 5y4
Portanto F (x, y) é de classe C1 em R2.E também que:
F (2,−1) = 24 + 2.2.(−1) + (−1)5 − 11 = 16− 4− 1− 11 = 0
e
∂F
∂y
(2,−1) = 2.(−1) + 5.(−1)4 = −2 + 5 = 3 6= 0
Portanto essa função define implicitamente uma função diferenciável y = f(x) e
dy
dx
= −
∂F
∂x
(x, y)
∂F
∂y
(x, y)
= −4x
3 + 2y
2y + 5y4
8