Projeto Newton - Aula 13

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 13
Assuntos: Derivadas Parciais e Funções diferenciáveis
Palavras-chaves: derivadas, derivadas parciais, diferenciabilidade
Interpretação geométrica das derivadas parciais
Sejam f(x, y) uma função, (x0, y0) um ponto interior de Df e g(x) = f(x, y0). Temos que
∂f
∂x
(x0, y0) =
g′(x0)
g′(x0) = tanα . Portanto
∂f
∂x
(x0, y0) = tanα
Consideremos a função
f(x, y) =

xy
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Calculemos
∂f
∂x
(0, 0) e
∂f
∂y
(0, 0).
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x− 0 = limx→0
x.0
x2+02 − 0
x
= lim
x→0
0
x
= 0
Analogamente,
∂f
∂y
(0, 0) = 0. Portanto, as derivadas parciais de f(x, y) em (0, 0) existem (e são ambas
iguais a zero). Calculemos agora o lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y).
Temos que:
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
Consideremos as curvas α(t) = (t, 0) e γ(t) = (t, t). Temos que α(0) = (0, 0), γ(0) = (0, 0) e
f(α(t)) = f(t, 0) =
t.0
t2 + 02
=
0
t2
= 0
f(γ(t)) = f(t, t) =
t.t
t2 + t2
=
t2
2t2
=
1
2
Portanto lim
t→0
f(α(t)) = 0 6= 1
2
= lim
t→0
f(γ(t)). Logo, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) não existe.
Concluímos que a função f(x, y) não é contínua em (0, 0). Portanto, a função f(x, y) possui derivadas
parciais em (0, 0), mas não é contínua em (0, 0). Assim, para derivadas parciais, temos:
f tem derivadas parciais em (x0, y0) 6⇒ f é contínua em (x0, y0).
Para funções de uma variável temos:
f(x) tem derivada em x0 ⇒ f(x) é contínua em x0.
Concluímos que o conceito de derivadas parciais não é uma boa generalização do conceito de diferenciabi-
lidade para funções de uma variável.
Queremos então, agora, dar um conceito de diferenciabilidade para funções de várias variáveis que seja
uma boa generalização do conceito de diferenciabilidade para funções de uma variável.
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No que seque, usaremos as seguintes propriedades de limite de funções de uma variável.
Propriedades:
1. lim
x→x0
f(x) = L⇔ lim
x→x0
[f(x)− L] = 0
2. lim
x→x0
f(x)
x
= 0⇔ lim
x→x0
f(x)
|x| = 0
Ver a demonstração dessas propriedades no apêndice.
Uma função y = f(x) de uma variável é diferenciável em x0 se existe o limite
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
e tal limite é justamente a derivada de f em x0, isto é,
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= f ′(x0)
Uma primeira tentativa para generalizar o conceito de diferenciabilidade para funções de duas variáveis
seria dizer que f(x, y) é diferenciável em (x0, y0) se existe o limite
lim
(h,k)→(0,0)
f((x0, y0) + (h, k))− f(x0, y0)
(h, k)
Mas, esse limite não faz sentido, pois não há divisão por (h, k).
Tentaremos então dar uma versão equivalente para a definição de diferenciabilidade para f(x) que possa
ser generalizada para f(x, y). Podemos dizer que f(x) é diferenciável em x0 se existe a ∈ R, constantes, tal
que
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= a
Logo a = f ′(x0). Isso é equivalente a:
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
− a = 0
m
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah
h
= 0
m
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah
|h| = 0
Assim, podemos dizer que f(x) é diferenciável em x0 se existe uma constante a que satisfaz
3
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah
|h| = 0
Essa noção pode ser estendida para funções de duas variáveis da seguinte maneira.
Uma função f(x, y) é diferenciável em (x0, y0) se existem constante a e b tais que:
lim
(h,k)→(0,0)
f((x0, y0) + (h, k))− f(x0, y0)− ah− bk
||h, k|| = 0
Tal limite pode ser reescrito como:
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk
||h, k|| = 0
Vamos chamar de função erro relativa ao ponto (x0, y0) e as constantes a e b a função E(h, k) dada por
E(h, k) = f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk
Assim, f(x, y) é diferenciável em (x0, y0) se
lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k)
||h, k|| = 0
Isso implica que lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k) = 0. De fato,
lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k) = lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k)
||(h, k||)
||(h, k|| = lim(h,k)→(0,0)
E(h, k)
||h, k||
√
h2 + k2 = 0.0 = 0
Como E(h, k) = f(x0+h, y0+k)− [f(x0, y0)+ah+ bk] podemos entender o valor da função erro em (h, k)
como sendo o erro cometido ao aproximarmos f(x0 + h, y0 + k) por f(x0, y0) + ah+ bk. Portanto, se f(x, y)
é diferenciável em (x0, y0) então
f(x0 + h, y0 + k) ∼= f(x0, y0) + ah+ bk
em que o erro cometido nessa aproximação é E(h, k) e tal erro é tanto menor quanto maior for a proximidade
de (x0 + h, y0 + k) e (x0, y0), pois o lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k) = 0.
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Concluímos que, se f(x, y) é diferenciável em (x0, y0), então o valor de f no entorno desse ponto pode ser
aproximado por:
f(x0, y0) + ah+ bk
e o erro cometido nessa aproximação tende para zero mais rapidamente que ||(h, k)||, pois
lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k)
||h, k|| = 0
Mostremos agora o resultado que esperávamos e que motivou essa discussão
Proposição 1 f(x, y) é diferenciável em (x0, y0)
⇒
6⇐ f(x, y) é contínua em (x0, y0)
Demonstração: Sejam f(x, y) diferenciável em (x0, y0). Temos que
E(h, k) = f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk
em que lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k) = 0. Portanto,
f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + ah+ bk + E(h, k)
Logo
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k) = lim
(h,k)→(0,0)
[f(x0, y0) + ah+ bk + E(h, k)] = f(x0, y0)
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Façamos esta mudança de variável
x = x0 + h
y = y0 + k
(h, k) → (0, 0)⇒ (x, y)→ (x0, y0)
Assim,
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0)
Portanto, f(x, y) é contpinua em (x0, y0)
Se f(x, y) é diferenciável em (x0, y0) temos que f(x, y) não é só contínua nesse ponto, mas também existem
as derivadas parciais de f(x, y) em (x0, y0).
Proposição 2 f(x, y) é diferenciável em (x0, y0)
⇒
6⇐ f(x, y) possui derivadas parciais em (x0, y0)
Demonstração: Sejam f(x, y) diferenciável em (x0, y0). Logo, existem a, b ∈ R tais que
lim
(h,k)→(0,0)
f((x0, y0) + (h, k))− f(x0, y0)− ah− bk
||h, k|| = 0
Sejam E(h, k) = f((x0, y0) + (h, k))− f(x0, y0)− ah− bk e G(h, k) = E(h, k||(h, k)|| . Temos que
lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k
||(h, k)|| = 0
Seja F um intervalo aberto contendo zero e tal que (x0+ t, y0) ∈ Df , para todo t ∈ I. Seja também a curva
α : F → R2 dada por α(t) = (t, 0). Segue do limite acima que
lim
t→0
G(α(t)) = 0
Mas,
G(α(t)) = G(t, 0) =
E(t, 0
||(t, 0)|| =
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)− at√
t2 + 02
=
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)− at
|t|
Logo,
lim
t→0
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)− at
|t| = 0
lim
t→0
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)− at
t
= 0
lim
t→0
[
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)
t
− a
]
= 0
lim
t→0
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)
t
= a
6
Portanto
∂f
∂x
(x0, y0) = a.
O que prova a existência da derivada parcial de f , em relação a x, no ponto (x0, y0). De maneira análoga
mostra-se que
∂f
∂y
(x0, y0) = b e, assim, concluímos que a derivada de f , em relação a y, no ponto (x0, y0)
também existe.
Segue dessa proposição que a função f(x, y) =
√
x2 + y2 não é diferenciável em (0, 0), pois, conforme já
vimos as derivadas parciais de f em (0, 0) não existem. O gráfico dessa função é um cone
A função f(x, y) = |x| não possui derivada parcial, em relação a x, em todos os pontos do eixo y. De fato,
consideremos o ponto (0, b), temos que:
∂f
∂x
(0, b) = lim
h→0
f(0 + h, b)− f(0, b)
h
= lim
h→0
f(h, b)− f(0, b)
h
= lim
h→0
|h| − |0|
h
= lim
h→0
|h|
h
Esse limite não existe. Logo, não existe
∂f
∂x
(0, b). Entretanto,
∂f
∂y
(0, b) = 1. Portanto, f(x, y) = |x| não é
diferenciável em todos os pontos do eixo y.
O gráfico de f(x, y) = |x| é como segue a figura abaixo:
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O gráfico de uma função diferenciável não apresenta "pontas"(como no gráfico de z =
√
x2 + y2) nem
"cantos"(comono gráfico de z = |x|) e nem descontinuidades. O gráfico de uma função diferenciável é uma
superfície "suave".
Mostramos que, se uma função f(x, y) é diferenciável e (x0, y0), então f admite derivadas parciais em
(x0, y0) e tais derivadas parciais são justamente as constantes a e b que aparecem na função erro. Segue daí
o seguinte corolário.
Corolário 1 :f(x, y) é diferenciável em (x0, y0) ⇔
 f(x, y) tem derivadas parciais em (x0, y0)lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k)
||(h, k)|| = 0
em que
E(h, k) = f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ∂f
∂x
(x0, y0)h− ∂f
∂y
(x0, y0)k
Exemplo 1 Consideremos a seguinte função
f(x, y) =

y3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Temos que f(x, y) é contpinua em (0, 0), pois
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
y3
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
tende a zero︷︸︸︷
y
y2
x2 + y2︸ ︷︷ ︸
limitada
= 0 = f(0, 0)
f(x, y) admite derivadas parciais em (0, 0). De fato,
8
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x− 0 = limx→0
03
x2+02 − 0
x
= lim
x→0
0
x
= 0
∂f
∂y
(0, 0) = lim
x→0
f(0, y)− f(0, 0)
y − 0 = limx→0
y3
02+y2 − 0
y
= lim
x→0
y
y
= lim
x→0
1 = 1
f(x, y) é diferenciável em (0, 0)?
A função erro é dada por
E(h, k) = f(0 + h, 0 + k)−
= 0
f(0, 0) −
= 0
∂f
∂x
(0, 0)h −
= 1
∂f
∂y
(0, 0) k
= f(h, k)− k = k
3
h2 + k2
− k
= �
�k3 − h2k −��k3
h2 + k2
= − h
2k
h2 + k2
Portanto
lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k)
||(h, k)|| = lim(h,k)→(0,0)
− h2kh2+k2√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
−h2k
(h2 + k2)
√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
G(h, k)
em que G(h, k) =
−h2k
(h2 + k2)
√
h2 + k2
Considerando a curva α(t) = (t, t), temos que α(0) = (0, 0) e
G(α(t)) =
−t2t
(t2 + t2)
√
t2 + t2
=
−t3
2t2
√
2t2
= − 1
2
√
2
t
|t|
e lim
t→0
G(α(t)) = lim
t→0
− 1
2
√
2
t
|t| não existe.
Portanto lim
(h,k)→(0,0
G(h, k) não existe. Logo, f(x, y) não é diferenciável em (0,0).
Observamos que, embora f(x, y) seja contínua em (0, 0) e admita derivadas parciais nesse ponto, não é
diferenciável em (0, 0).
Apêndice
Propriedades:
1. lim
x→x0
f(x) = L⇔ lim
x→x0
[f(x)− L] = 0
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Resolução: Suponhamos que lim
x→x0
f(x) = L. Então:
lim
x→x0
(f(x)− L) = lim
x→x0
f(x)− lim
x→x0
L = L− L = 0
Suponhamos agora que lim
x→x0
(f(x)− L) = 0. Portanto, dado � > 0, existe δ > 0 tal que
x ∈ Df e 0 < |x− x0| < δ ⇒ |(f(x)− L)− 0| < �⇒ |f(x)− L| < �
Portanto lim
x→x0
f(x) = L
2. lim
x→x0
f(x)
x
= 0⇔ lim
x→x0
f(x)
|x| = 0
Resolução: Temos que
∣∣∣∣∣f(x)x
∣∣∣∣∣ = |f(x)||x| = |f(x)|||x|| =
∣∣∣∣∣f(x)|x|
∣∣∣∣∣
Se lim
x→x0
f(x)
x
= 0, então dado � > 0, existe δ > 0 tal que
x ∈ Df e 0 < |x− x0| < δ ⇒
∣∣∣∣∣f(x)x − 0
∣∣∣∣∣ < �⇒
∣∣∣∣∣f(x)x
∣∣∣∣∣ < �⇒
∣∣∣∣∣f(x)|x|
∣∣∣∣∣ < �⇒
∣∣∣∣∣f(x)|x| − 0
∣∣∣∣∣ < �
Portanto lim
x→x0
f(x)
|x| = 0
Por outro lado, se lim
x→x0
f(x)
|x| = 0, então dado dado � > 0, existe δ > 0 tal que
x ∈ Df e 0 < |x− x0| < δ ⇒
∣∣∣∣∣f(x)|x| − 0
∣∣∣∣∣ < �⇒
∣∣∣∣∣f(x)|x|
∣∣∣∣∣ < �⇒
∣∣∣∣∣f(x)x
∣∣∣∣∣ < �⇒
∣∣∣∣∣f(x)x − 0
∣∣∣∣∣ < �
Logo lim
x→x0
f(x)
x
= 0
10