Aula 23 Cálculo de máximos e mínimos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 23
Assunto: Máximos e mínimos
Palavras-chaves: máximos e mínimos, valores máximos e valores mínimos
Máximos e mínimos (continuação)
Sejam f(x, y) uma função de classe C2 em um aberto A e (x0, y0) um ponto crítico de f .
Nosso objetivo agora é estabelecer condições suficientes sobre as derivadas parciais de 2◦ ordem de f para
que (x0, y0) seja ou um ponto de mínimo local de f , ou um ponto de máximo local de f ou um ponto de sela de f .
Já sabemos que (x0, y0) é um ponto crítico de f , assim o plano tangente ao gráfico de f em (x0, y0, f(x0, y0))
é paralelo ao plano xy.
Para todo vetor
−→v = (h, k) 6= (0, 0) consideremos a função
g−→v (t) = (x0 + ht, y0kt)
Observemos que g−→v (0) = (x0, y0) e observemostambém que o gráfico de g−→v pode ser visto como sendo a
intersecção do gráfico de f(x, y) com o plano perpendicular ao plano xy e que contem a reta
(x, y) = (x0, y0) + t(h, k)
Como (x0, y0) ∈ A e A é aberto, a função g−→v está definida em um intervalo aberto I com 0 ∈ I. Além
disso, g−→v possui derivadas de até 2◦ ordem contínuas em I, pois, pela regra da cadeia, temos:
g′−→v (t) =
∂f
∂x
(x0 + ht, y0 + kt)h+
∂f
∂y
(x0 + ht, y0 + kt)k
e
g′′−→v (t) =
[
∂2f
∂x2
(x0 + ht, y0 + kt)h+
∂2f
∂y∂x
(x0 + ht, y0 + kt)k
]
h+
[
∂2f
∂x∂y
(x0 + ht, y0 + kt)h+
∂2f
∂y2
(x0 + ht, y0 + kt)k
]
k
Agora, usando o teorema de Schwarz, obtemos:
g′′−→v (t) =
∂2f
∂x2
(x0 + ht, y0 + kt)h
2 + 2
∂2f
∂y∂x
(x0 + ht, y0 + kt)hk +
∂2f
∂y2
(x0 + ht, y0 + kt)k
2
Como as funções
∂2f
∂x2
,
∂2f
∂y∂x
e
∂2f
∂y2
são contínuas e a curva α(t) = (x0 + ht, y0 + kt) é contínua, temos que
g′′−→v (t) é contínua em I.
Uma condição suficiente para que (x0, y0) seja um ponto de mínimo local de f(x, y) é que t = 0 seja um
ponto de mínimo local de g′′−→v , para todo vetor
−→v 6= −→0 . E uma condição suficiente para que isso aconteça é
que
g′−→v (0) = 0 e g
′′−→v (0) > 0 (∀−→v 6=
−→
0 )
Como (x0, y0) é ponto crítico de f e
g′−→v (0) =
∂f
∂x
(x0, y0)h+
∂f
∂y
(x0, y0)k
temos que g′−→v (0) = 0.Portanto, apenas a condição
g′′−→v (0) > 0 (∀−→v 6=
−→
0 )
é suficiente para que o ponto crítico (x0, y0) seja um ponto de mínimo local de f .
Graficamente isso também pode ser interpretado como segue. Como g′′−→v é contínua, pelo teorema da con-
servação do sinal, existe um intervalo aberto J para o qual g′′−→v (t) > 0, para todo t ∈ J , logo a concavidade de
g′′−→v é para cima, para todo vetor não nulo
−→v e , assim, o gráfico de f(x, y) está acima do plano tangente a
esse gráfico no ponto (x0, y0, f(x0, y0)). Portanto, (x0, y0) é ponto de mínimo de f .
De modo análogo, uma condição suficiente para (x0, y0) ser um ponto de máximo local de f(x, y) é que
g′′−→v (0) < 0 (∀−→v 6=
−→
0 )
Uma condição suficiente para (x0, y0) ser um ponto de sela de f é que existam vetores não nulos
−→v 1 e −→v 2
tais que
g−→v 1 < 0 e g−→v 2 > 0,
2
pois assim g−→v 1 terá concavidade para baixo e g−→v 2 terá concavidade para cima, de modo que o gráfico de
f , em toda vizinhança do ponto (x0, y0, f(x0, y0)) terá pontos acima e pontos abaixo do plano tangente a esse
gráfico e, portanto, (x0, y0) não será nem ponto de máximo local e nem de mínimo local de f .
Temos que
g′′−→v (0) =
∂2f
∂x2
(x0, y0)h
2 + 2
∂2f
∂y∂x
(x0, y0)hk +
∂2f
∂y2
(x0, y0)k
2
Para facilitar a escrita, escrevamos
a =
∂2f
∂x2
(x0, y0) , b =
∂2f
∂y∂x
(x0, y0) e c =
∂2f
∂y2
(x0, y0)
Assim,
g′′−→v (0) = ah
2 + 2bhk + ck2
Supondo que a 6= 0, temos:
g′′−→v (0) = a
[
h2 + 2h
b
a
k +
c
a
k2
]
= a
[
h2 + 2h
(
b
a
k
)
+
(
b
a
k
)2
−
(
b
a
k
)2
+
c
a
k2
]
= a
[(
h+
b
a
k
)2
+
c
a
k2 − b
2
a2
k2
]
= a
[(
h+
b
a
k
)2
+
(
c
a
− b
2
a2
)
k2
]
= a
[(
h+
b
a
k
)2
+
ac− b2
a2
k2
]
Observemos que o número ac− b2 pode ser escrito na forma de um determinante de uma matriz 2× 2
ac− b2 =
∣∣∣∣∣ a bb c
∣∣∣∣∣
Vamos usar a notação H =
∣∣∣∣∣ a bb c
∣∣∣∣∣.
Portanto,
g′′−→v (0) = a
[(
h+
b
a
k
)2
+
H
a2
k2
]
⇒ g′′−→v (0) = a
(
h+
b
a
k
)2
+
H
a
k2
3
Portanto, se H > 0 e a > 0, então g′′−→v (0) > 0. E se H > 0 e a < 0, então g
′′−→v (0) < 0. Temos então que
• H > 0 e a > 0⇒ (x0, y0) é ponto de mínimo local de f
• H > 0 e a < 0⇒ (x0, y0) é ponto de máximo local de f .
Suponhamos agora que H < 0. Consideremos os vetores −→v 1 = (1, 0) e −→v 2 = (−b, a). Temos
g′′−→v 1(0) = a e g
′′−→v 2(0) = Ha
Logo g′′−→v 1(0) e g
′′−→v 2(0) tem sinais contrários e, portanto, (x0, y0) é ponto de sela de f . Assim,
• H < 0⇒ (x0, y0) é ponto de sela de f
Lembremos que
a =
∂2f
∂x2
(x0, y0) e H =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂f2
∂x2
(x, y)
∂f2
∂y∂x
(x, y)
∂f2
∂y∂x
(x, y)
∂f2
∂y2
(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A função H(x, y) definida em A por
H(x, y) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂f2
∂x2
(x, y)
∂f2
∂y∂x
(x, y)
∂f2
∂y∂x
(x, y)
∂f2
∂y2
(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
é chamada de hessiano de f .
Temos então o seguinte teorema que fornece condições suficientes para que (x0, y0) seja extremante local
ou ponto de sela de f(x, y).
Teorema 1 Sejam f(x, y) uma função de classe C2 em um aberto A e (x0, y0) ∈ A um ponto crítico de
f(x, y).
(a) Se H(x0, y0) > 0 e
∂f2
∂x2
(x0, y0) > 0, então (x0, y0) é um ponto de mínimo local de f(x, y)
(b) Se H(x0, y0) > 0 e
∂f2
∂x2
(x0, y0) < 0, então (x0, y0) é um ponto de máximo local de f(x, y)
(c) Se H(x0, y0) < 0 então (x0, y0) é um ponto de sela de f(x, y).
Exemplo 1 Encontre os pontos críticos da função f(x, y) = (−x3+3x)(y2−1) e classifique-os como máximo
local, mínimo local ou ponto de sela.
4
Resolução:
Temos que:
∂f
∂x
(x, y) = (−3x2 + 3)(y2 − 1) = −3(x2 − 1)(y2 − 1)
∂f
∂y
(x, y) = (−x3 + 3x)2y = −2xy(x2 − 3)
De
{
−3(x2 − 1)(y2 − 1) = 0
−2xy(x 2− 3) = 0 ⇒
{
(x2 − 1)(y2 − 1) = 0
xy(x2 − 3) = 0,
teremos que
(x2 − 1)(y2 − 1) = 0⇒ x = −1, y = 1, y = −1⇒, y = 1
Assim, quando:
x = −1 ⇒ −y(−2) = 0⇒ 2y = 0⇒ y = 0 (1)
x = 1 ⇒ y(−2) = 0⇒ −2y = 0⇒ y = 0 (2)
y = −1 ⇒ −x(x2 − 3) = 0⇒ x = 0, x = −
√
3, x =
√
3 (3)
y = 1 ⇒ x(x2 − 3) = 0⇒ x = 0, x = −
√
3, x =
√
3 (4)
De (1) concluímos que (−1, 0) é ponto crítico de f . De (2), (1, 0) é ponto crítico de f . De (3), (0,−1), (−√3,−1)
e (
√
3,−1) são pontos críticos de f e de (4), (0, 1), (−√3, 1) e (√3, 1) são pontos críticos de f .
Portanto, os pontos críticos de f são:
(−1, 0) , (1, 0) , (0,−1) , (−
√
3,−1) , (
√
3,−1) , (0, 1) , (−
√
3, 1) e (
√
3, 1)
O hessiano será da forma:
∂2f
∂x2
(x, y) = −3.2x(y2 − 1) = −6x(y2 − 1)
∂2f
∂y∂x
(x, y) = −3(x2 − 1)2y = −6y(x2 − 1)
∂2f
∂y2
(x, y) = −2x(x2 − 3)
5
H(x, y) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂f2
∂x2
(x, y)
∂f2
∂y∂x
(x, y)
∂f2
∂y∂x
(x, y)
∂f2
∂y2
(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣ −6x(y2 − 1) −6y(x2 − 1)−6y(x2 − 1) −2x(x2 − 3)
∣∣∣∣∣ = 12x2(x2−3)(y2−1)−36y2(x2−1)2
• Para o ponto (−1, 0) teremos:
H(−1, 0) = 12.1.(−2)(−1) = 24 > 0
∂f2
∂x2
(−1, 0) = −6.(−1)(−1) = −6 < 0
Portanto, (−1, 0) é ponto de máximo local de f .
• Para o ponto (1, 0) teremos:
H(1, 0) = 12.1.(−2)(−1) = 24 > 0
∂f2
∂x2
(1, 0) = −6.1.(−1) = 6 > 0
• Portanto, (1, 0) é ponto de mínimo local de f .
Para o ponto (0,−1) teremos:
H(0,−1) = −36.1.1 = −36 < 0
Portanto, (0,−1) é ponto de sela de f .
De modo análogo, temos que (−√3,−1), (√3, 1), (0, 1), (−√3, 1) e (√3, 1) são pontos de sela de f .
Observando o gráfico da função f(x, y) = (−x3+3x)(y2−1) constatamos que realmente f possui um ponto
de máximo local, um ponto de mínimo local e seis pontos de sela.Exemplo 2 Determine os extremantes locais e os pontos de sela da função
f(x, y) = x3 + 2xy + y2 − 5x
Resolução:
Temos que:
6
∂f
∂x
(x, y) = 3x2 + 2y − 5
∂f
∂y
(x, y) = 2x+ 2y
Para encontrar os pontos críticos de f devemos resolver o sistema
{
3x2 + 2y − 5 = 0
2x+ 2y = 0
Segue da segunda equação que
y = −x
Substituindo essa igualdade na primeira equação, obtemos:
3x2 − 2x− 5 = 0
Portanto,
x =
2±√4− 4.3.(−5)
2.3
=
2±√4 + 60
6
=
2±√64
6
=
2± 8
6
=

2 + 8
6
=
10
6
=
5
3
2− 8
6
=
−6
6
= −1
Quando
 x =
5
3
⇒ y = −5
3
x = −1⇒ y = 1
Logo,
(
5
3
,−5
3
)
e (−1, 1) são pontos críticos de f .
Determinemos o hessiano de f
7
∂2f
∂x2
(x, y) = 6x
∂2f
∂y∂x
(x, y) = 2
∂2f
∂y2
(x, y) = 2
H(x, y) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂f2
∂x2
(x, y)
∂f2
∂y∂x
(x, y)
∂f2
∂y∂x
(x, y)
∂f2
∂y2
(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣ 6x 22 2
∣∣∣∣∣ = 12x− 4
Analisaremos o ponto
(
5
3
,−5
3
)
H
(
5
3
,−5
3
)
= 12.
5
3
− 4 = 20− 4 = 16 > 0
∂f2
∂x2
(
5
3
,−5
3
)
= 6.
5
3
= 10 > 0
Concluímos que
(
5
3
,−5
3
)
é um ponto de mínim o local de f .
Quanto ao ponto (−1, 1), temos
H(−1, 1) = 12.(−1)− 4 = −12− 4 = −16 < 0
Portanto, (−1, 1) é um ponto de sela de f .
Observando o gráfico da função f(x, y) = x3+2xy+y2−5x nas duas posições mostradas abaixo, fica claro
que f tem um ponto de mínimo local e um ponto de sela.
Método dos Multiplicadores de Lagrange
Estamos interessados agora em determinar os extremantes locais de uma função diferenciável f(x, y) em
um conjunto A da forma A = {(x, y) ∈ Df ; g(x, y) = 0}, em que g é uma função de classe C1 com ∇g(x, y) 6= 0
em A. Pelo teorema da funções implícitas os pontos de A constituem uma curva. Em termos geométricos
temos a situação a seguir na qual estão desenhadas a curva g(x, y) = 0 e curvas de nível de f correspondentes
aos níveis c1, c2, c3, c4 com c1 < c2 < c3 < c4.
Se (x0, y0) é extremante local de f em A, então a reta tangente à curva de nível de f nesse ponto coincide
com a reta tangente à curva g(x, y) = 0 nesse ponto. Logo os vetores gradientes ∇f(x0, y0) e ∇g(x0, y0) são
paralelos. Assim, (x0, y0) satisfazem o sistema
8
{
∇g(x, y) = λ∇f(x, y)
g(x, y) = 0
De fato, a esse respeito, temos o seguinte teorema
Teorema 2 Seja f(x, y) diferenciável em um aberto B e seja A = {(x, y) ∈ B; g(x, y) = 0} em que g é de
classe C1 e ∇g(x, y) 6= (0, 0) em A. Se (x0, y0) é um extremante local de f em A, então existe λ ∈ R tal que
∇g(x0, y0) = λ∇f(x0, y0)
Exemplo 3 Determine os extremante locais de f(x, y) = x2 + y2 sujeita a restrição x2 +
y2
4
= 1.
Resolução:
Neste caso, queremos determinar os pontos de máximo e os de mínimos locais de f no conjunto A ={
(x, y) ∈ R2;x2 + y
2
4
= 1
}
. Escrevamos g(x, y) = x2 +
y2
4
= 1. Temos que
∇g(x, y) = (2x, y
2
)
Portanto ∇g(x, y) 6= (0, 0), para todo (x, y) em A. Devemos resolver o sistema
 ∇g(x, y) = λ∇f(x, y)x2 + y2
4
= 1
⇒
 (2x,
y
2
) = λ(2x, 2y)
x2 +
y2
4
= 1
Portanto

2x = λ2x
y
2
= λ2y
x2 +
y2
4
= 1
⇒

λx− x = 0
4λy − y = 0
x2 +
y2
4
= 1
⇒

x(λ− 1) = 0
y(4λ− 1) = 0
x2 +
y2
4
= 1
Segue da primeira equação que x = 0 ou λ = 1. Fazendo x = 0 na terceira equação obtemos y± 2. Assim,
(0, 2) e (0,−2) são candidatos a extremantes.
Fazendo λ = 1 na segunda equação, obtemos y = 0 e, segue daí que x ± 1. Portanto, (1, 0) e (−1, 0) são
também candidatos a extremantes de f .
Como f(0, 2) = f(0,−2) = 4 e f(1, 0) = f(−1, 0) = 1, temos que (0, 2) e (0,−2) são pontos de máximo
local de f e (1, 0) e (−1, 0) são pontos de mínimo local de f .
As figuras a seguir descrevem a situação estudada neste exemplo em termos do gráfico da f e de suas
curvas de nível.
9