Projeto Newton - Aula 05

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 05
Assunto:Equações da reta no R2 e no R3, equações do plano, funções de uma variável real a
valores em Rn
Palavras-chaves: Equação da reta, equação do plano, curvas, trajetórias e traço.
Equação da reta
No R2
Sejam P0 = (x0, y0) um ponto fixo do R2 e −→v = (a, b) um vetor fixo e não-nulo.
Vamos denotar por r a reta que passa por P0 e tem a direção do vetor
−→v
P = (x, y) é um ponto genérico de r. Temos que
−→
P −−→P0//−→v . Assim, teremos
−→
P −−→P0 = t−→v , t ∈ R
Portanto, a equação da reta r será
P = P0 + t
−→v
Também pode ser escrita como segue
(x, y) = (x0, y0) + t(a, b)
Desenvolvendo a equação vetorial, temos (x, y) = (x0 + at, y0 + bt). Portanto,
{
x = x0 + at
y = y0 + bt
No qual, as mesmas são chamadas de equações paramétricas da reta r.
Supondo a 6= 0 e b 6= 0, temos
t =
x− x0
a
e t =
y − y0
b
Portanto,
y − y0
b
=
x− x0
a
Na qual é a equação simétrica da reta r.
Daí, temos que
ay − ay0 = bx− bx0 ⇒ bx− ay = bx0 − ay0
Escrevendo b = α,−a = β e γ = bx0 − ay0, temos a equação geral da reta dada por
αx+ βy = γ
Obs: O vetor
−→x = (α, β) = (b,−a) é perpendicular a direção da reta, pois −→x ⊥ −→v .
Isolando y em αx+ βy = γ, temos
y = −α
β
x+
γ
β
escrevendo m = −α
β
e n =
γ
β
, obtemos a seguinte equação reduzida da reta r dada por
y = mx+ n
Exemplo 1 Considere a reta r que passa pelo ponto P0 = (1, 3) e tem a direção do vetor
−→v = (4, 2). Obtenha
uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação geral para a reta r. Interprete geometricamente.
Resolução:
Equação Vetorial
2
−→
P =
−→
P0 + t
−→v , P = (x, y)
(x, y) = (1, 3) + t(4, 2)
Equações Paramétricas
(x, y) = (1 + 4t, 3 + 2t){
x = 1 + 4t
y = 3 + 2t
Equação Geral
t =
x− 1
4
, t =
y − 3
2
x− 1
4
=
y − 3
2
2x− 2 = 4y − 12
2x− 4y = −10⇒ x− 2y = −5
Interpretação Geométrica
t = 0⇒
{
x = 1
y = 3
t = 1⇒
{
x = 5
y = 5
t = 2⇒
{
x = 9
y = 7
t = −1⇒
{
x = −3
y = 1
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Equação da reta no R3
Sejam P0 = (x0, y0, z0) um ponto fixo do R3 e −→v = (a, b, c) um vetor fixo e não-nulo do R3.
Consideremos a reta r que passa por P0 e é paralela (tem a direção)ao vetor
−→v .
Seja P = (x, y, z) é um ponto genérico de r. Temos que
−→
P −−→P0//−→v . Assim, teremos
−→
P −−→P0 = t−→v , t ∈ R
Portanto, a equação vetorial da reta r será
P = P0 + t
−→v
Esta equação também pode ser apresentada por
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)
4
Desenvolvendo a equação vetorial de r, obteremos (x, y, z) = (x0 + at, y0 + bt, z0 + ct). Portanto,

x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
Essas são as equações paramétricas da reta r.
Supondo a 6= 0, b 6= 0 e c 6= 0, temos
t =
x− x0
a
t =
y − y0
b
e t =
z − z0
c
Portanto,
y − y0
b
=
x− x0
a
=
z − z0
c
Na qual é a equação simétrica da reta r.
Mesmo quando um dos números a, b ou c são nulos, é possível isolar o t. Por exemplo, se a = 0, então

x = x0
y = y0 + bt
z = z0 + ct
Portanto, neste caso, as equações simétricas será
x = x0 ;
y − y0
b
=
z − z0
c
5
Exemplo 2 Determine as equações vetorial, paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto (4, 3, 5)
e tem a direção do vetor
−→v = (2, 4, 3).
Resolução:
Equação Vetorial
−→
P =
−→
P0 + t
−→v , P = (x, y, z)
(x, y) = (4, 3, 5) + t(2, 4, 3)
Equações Paramétricas
(x, y, z) = (4 + 2t, 3 + 4t, 5 + 3t)
x = 4 + 2t
y = 3 + 4t
z = 5 + 3t
Equações Simétricas
t =
x− 4
2
, t =
y − 3
4
, t =
z − 5
3
x− 4
2
=
y − 3
4
=
z − 5
3
Como serão as equações de retas no Rn;n ≥ 4?
Equação do plano
Sejam P0 = (x0, y0, z0) um ponto fixo do R3 e −→n = (a, b, c) um vetor fixo e não nulo do R3.
Vamos denotar por pi o plano que passa por P0 e é perpendicular ao vetor
−→n . Neste caso, −→n é chamado
de vetor normal ao plano pi.
6
Seja P = (x, y, z) um ponto genérico do plano pi. Assim, temos que,
−→
P − −→P0 ⊥ −→n . Portanto, a equação
vetorial do plano pi é dada por
−→n .(−→P −−→p0) = 0
Outro modo de expressar a equação vetorial é
(a, b, c).[(x, y, z)− (x0, y0, z0)] = 0
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Assim, teremos que
(a, b, c).(x− x0, y − y0, z − z0) = 0
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
A qual é chamada de equação escalar do plano pi.
Desenvolvendo a equação, teremos
ax− ax0 + by − by0 + cz − cz0 = 0
ax+ by + cz = ax0 + by0 + cz0︸ ︷︷ ︸
d
Logo, a equação geral do plano pi (também chamada de equação linear do plano pi) é dada por
ax+ by + cz = d
Exemplo 3 Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P0 = (1, 2, 3) e é perpendicular ao vetor−→n = (2, 1, 4).
Resolução:
A equação geral do plano é dada por
ax+ by + cz = d
Temos que
−→n = (a, b, c) = (2, 1, 4). Logo,
2x+ y + 4z = d
Precisamos do valor de d. Como P0 pertence ao plano,então, teremos
2.1 + 2 + 4.3 = d⇒ d = 2 + 2 + 12 = 16
Portanto,
2x+ y + 4z = 16
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Funções de R em Rn (curvas)
Estudaremos agora funções definidas em um subconjunto A de R (podendo A ser o próprio R) e que tomam
valores em Rn, com n ≥ 2.
α : A ⊂ R −→ Rn
Por exemplo,
1. α(t) = (t, t2), onde α é uma função de R em R2. Portanto,
α : R −→ R2
t 7−→ (t, t2)
2. α(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2pi, onde α é uma função do intervalo [0, 2pi] em R2. Portanto,
α : [0, 2pi] −→ R2
t 7−→ (cos t, sin t)
3. α(t) =
(
cos t, sin t, t4
)
, t ≥ 0, onde α é uma função do intervalo [0,+∞] em R3. Portanto,
α : [0,+∞] −→ R3
t 7−→
(
cos t, sin t,
t
4
)
4. γ(t) = (t, 2t, t+ 1, t2), onde γ é uma função do R em R4. Portanto,
γ : R −→ R4
t 7−→ (t, 2t, t+ 1, t2)
Dada uma função α : A ⊂ R −→ Rn definida por
α(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)).
As funções xi, i = 1, 2, ..., n, são funções de A em R, isto é, x1 : A −→ R e são chamadas de funções
componentes de α.
Quando n = 2, as funções componentes são, em geral, denotadas por x(t) e y(t). Assim,
α(t) = (x(t), y(t))
9
Quando n = 3, as funções componentes são, em geral, denotadas por x(t), y(t) e z(t). Assim,
α(t) = (x(t), y(t), z(t))
Por exemplo,
1. α(t) = (2 cos t, 3 sin t).
As funções componentes são:
x(t) = 2 cos t e y(t) = 3 sin t
2. α(t) =
(
2 cos t, 3 sin t,
t
4
)
.
As funções componentes são:
x(t) = 2 cos t , y(t) = 3 sin t e z(t) =
t
4
3. γ(t) =
(√
t, ln(2− t), 1
t− 1 , e
t
)
.
As funções componentes são:
x1(t) =
√
t , x2(t) = ln(2− t) , x3(t) = 1
t− 1 , x4 = e
t
Uma função α : A ⊂ R −→ Rn pode ser interpretada como uma "função vetorial"que associa a cada
t ∈ A o vetor −−→α(t).
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