Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 20 Assunto: Derivada direcional Palavras-chaves: derivada,derivada direcional, gradiente Derivada Direcional Sejam z = f(x, y) uma função e (x0, y0) um ponto interior de Df . A derivada parcial de f , em relação a x, no ponto (x0, y0) é definida por ∂f ∂x (x0, y0) = lim t→0 f(x0 + t, y0)− f(x0, y0) t A diferença f(x0 + t, y0)− f(x0, y0) é a variação de f entre os pontos (x0, y0) e (x0+ t, y0). Tais pontos estão sobre a reta horizontal que passa por (x0, y0). A distância entre esses pontos é |t|. Diremos então que o quociente f(x0 + t, y0)− f(x0, y0) t é a taxa de variação de f entre os pontos (x0, y0) e (x0+ t, y0) e que a derivada parcial ∂f ∂x (x0, y0) é a taxa de variação de f no ponto (x0, y0). Observamos que a derivada parcial ∂f ∂x (x0, y0) leva em conta somente os valores de f ao londo da citada reta horizontal e nas proximidades do ponto (x0, y0). De maneira análoga a derivada parcial de f , em relação a y, no ponto (x0, y0) é definida por ∂f ∂y (x0, y0) = lim t→0 f(x0, y0 + t)− f(x0, y0) t A diferença f(x0, y0 + t)− f(x0, y0) é a variação da função f entre os pontos (x0, y0) e (x0, y0+ t). Esses pontos estão sobre a reta vertical que passa por (x0, y0) e a distância entre eles é |t|. O quociente f(x0, y0 + t)− f(x0, y0) t é a taxa de variação de f entre esses pontos. A derivada parcial ∂f ∂y (x0, y0) é a taxa de variação de f no ponto (x0, y0). A derivada parcial de f , em relação a y, no ponto (x0, y0) leva em conta os valores de f somente ao londo da mecionada reta vertical e no entorno do ponto (x0, y0). Queremos agora dar um conceito de derivada da função f no ponto (x0, y0), semelhante as da derivadas parciais, que leva em conta os valores de f sobre uma reta que passa por (x0, y0), mas que tal reta não seja necessariamente horizomntal ou vertical. Esse conceito será o de derivada direcional, Seja −→u = (a, b) um vetor unitário, isto é, ||−→u || = 1. Os pontos da reta que passa por (x0, y0) e tem a direção do vetor −→u são da forma. (x, y) = (x0, y0) + t(a, b) = (x0 + at, y0 + bt) −−−−−→ , t ∈ R Como −→u é un itário, a distância entre os pontos (x0, y0) e (x0 + at, y0 + bt) é |t|. Com efeito, ||(x0 + at, y0 + bt)− (x0, y0)|| = ||(at, bt)|| = ||t(a, b)|| = |t|||−→u || = |t| A diferença f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0) é a variação da função f entre os pontos (x0, y0) e (x0 + at, y0 + bt). O quociente f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0) t 2 é chamado de taxa de variação de f entre esses pontos (x0, y0) e (x0+at, y0+ bt). O limite, quando existe, ∂f ∂−→u (x0, y0) = limt→0 f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0) t é a taxa de variação de f em (x0, y0). Esse limite é principalmente conhecido por derivada direcional de f no ponto (x0, y0) e na direção do vetor−→u . É importante ressaltar que só calculamos derivadas direcionais na direção de vetores unitários. Convencionamos que a derivada direcional de f em (x0, y0) e na direção do vetor −→v não necessariamente unitário é, na verdade, a derivada direcional de f em (x0, y0) e na direção do versor do vetor −→v . Lembramos queo versor de −→u de um dado vetor −→v é o vetor que tem a mesma norma e o mesmo sentindo de −→v , mas que é unitário, ou seja, −→u = −→v ||−→v || Exemplo 1 Calcule a derivada direcional da função f(x, y) = xy no ponto (1, 2) e na direção do vetor −→u = ( 1 2 , √ 3 2 ) . Resolução: O vetor −→u é unitário, pois ||−→u || = √√√√(1 2 )2 + (√ 3 2 )2 = √ 1 4 + 3 4 = 1 Temos que 3 ∂f ∂−→u (1, 2) = limt→0 f(1 + 12 t, 2 + √ 3 2 t)− f(1, 2) t = lim t→0 (1 + t2 ).(2 + √ 3t 2 )− 1.2 t = lim t→0 �2 + √ 3 2 t+ t+ √ 3 4 t 2��−2 t = lim t→0 �t( √ 3 2 + 1 + √ 3 4 t) �t = lim t→0 (√ 3 2 + 1 + √ 3 4 t ) = √ 3 2 + 1 Adiante veremos outra maneira de calcularmos a derivada direcional de uma função diferenciável. Observemos agora que as derivadas parciais são os casos particulares de derivada direcional. De fato, consideremos os vetores −→ i = (1, 0) e −→ j = (0, 1). Temos ∂f ∂ −→ i (x0, y0) = lim t→0 f(x0 + 1t, y0 + 0t)− f(x0, y0) t = lim t→0 f(x0 + t, y0)− f(x0, y0) t = ∂f ∂x (x0, y0) ∂f ∂ −→ j (x0, y0) = lim t→0 f(x0 + 0t, y0 + 1t)− f(x0, y0) t = lim t→0 f(x0, y0 + t)− f(x0, y0) t = ∂f ∂y (x0, y0) Assim, a derivada parcial de f , em relação a x, ponto (x0, y0) é a derivada direcional de f em (x0, y0) e na direção do vetor −→ i . A derivada parcial de f , em relação a y, ponto (x0, y0) é a derivada direcional de f em (x0, y0) e na direção do vetor −→ j . Vamos agora dar uma interpretação geométrica para a derivada direcional. Consideremos a função g(t) = f(x0 + at, y0 + bt) Temos que 4 g′(0) = lim t→0 g(t)− g(0) t = lim t→0 f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0) t = ∂f ∂−→u (x0, y0) A derivada direcional pode então ser vista como uma derivada ordinária. Consideremos agora a curva γ(t) = (x0 + at, y0 + bt, g(t)) Temos γ′(t) = (a, b, g′(t)) Logo, γ′(0) = (a, b, g′(0)) = ( a, b, ∂f ∂−→u (x0, y0) ) = (a, b, 0) + ( 0, 0, ∂f ∂−→u (x0, y0) ) Os vetores (a, b, 0) e ( 0, 0, ∂f ∂−→u (x0, y0) ) são ortogonais. Assim, teremos a figura Portanto tanα = ∂f ∂−→u (x0, y0) ||(a, b, 0)|| = ∂f ∂−→u (x0, y0) 1 = ∂f ∂−→u (x0, y0) Vimos que a derivada direcional de f em (x0, y0) e na direção do vetor unitário −→u = (a, b) é igual a g′(0), em que g(t) = (x0 + at, y0 + bt) Essa função g pode ser vista como a composta da função f(x, y) com a curva diferenciável α(t) = (x0 + at, y0 + bt)⇒ g(t) = f(α(t)) É claro então que, dependendo da função f envolvida, a derivada g′(0) = ∂f ∂−→u (x0, y0) pode não existir. Mas, de acordo com a regra da cadeia, se f for diferenciável em (x0, y0), então g ′(0) existe e g′(0) = ∇f(α(0)).α′(0) 5 Portanto, ∂f ∂−→u (x0, y0) = ∇f(x0, y0). −→u pois α′(0) = (a, b) = −→u . Vamos registrar esse fato na forma de teorema. Teorema 1 Sejam f(x, y) uma função definida em um conjunto aberto A, (x0, y0) ∈ A e −→u = (a, b) um vetor unitário. Se f(x, y) é diferenciável em (x0, y0), então f(x, y) tem derivada direcional em (x0, y0) e na direção do vetor −→u e, além disso, ∂f ∂−→u (x0, y0) = ∇f(x0, y0). −→u Exemplo 2 Use a fórmula do teorema anterior para calcular a derivada direcional de f(x, y) = xy no ponto (1, 2) ena direção do vetor −→u = ( 1 2 , √ 3 2 ) . Resolução: Temos que: ∇f(x, y) = ( ∂f ∂x (x, y), ∂f ∂y (x, y) ) = (y, x) Logo ∇f(1, 2) = (2, 1) Portanto ∂f ∂−→u (1, 2) = ∇f(1, 2). −→u = (2, 1). ( 1 2 , √ 3 2 ) = 1 + √ 3 2 Exemplo 3 Calcule a derivada direcional da função f(x, y) = xy2 no ponto (3,−2) ena direção do vetor −→u = (4, 3). Resolução: Como −→v não é unitário, precisamos antes determinar o seu versor. 6 −→u = −→v ||−→v || = (4, 3)√ 42 + 32 = (4, 3)√ 16 + 9 = (4, 3)√ 25 = (4, 3) 5 = ( 4 5 , 3 5 ) Sabemos que ∇f(x, y) = (y2, 2xy) Logo ∇f(3,−2) = ((−2)2, 2.3.(−2)) = (4,−12) Portanto ∂f ∂−→u (3,−2) = ∇f(3,−2). −→u = (4,−12). ( 4 5 , 3 5 ) = 16 5 − 36 5 = −20 5 = −4 Exemplo 4 Calcule a derivada direcional da função f(x, y) = x2 + y2 no ponto (1, 1) ena direção do vetor −→u = (−1, 1). Resolução: Perceba que o vetor −→v não é unitário, logo devemos calcular seu versor. Assim, teremos o vetor unitário dado por −→u = −→v ||−→v || = (−1, 1)√ (−1)2 + 12 = (−1, 1)√ 2 = ( − 1√ 2 , 1√2 ) Sabemos que ∇f(x, y) = (2x, 2y) Logo ∇f(1, 1) = (2, 2) Portanto ∂f ∂−→u (1, 1) = ∇f(1, 1). −→u = (2, 2). ( − 1√ 2 , 1√ 2 ) = − 2√ 2 + 2√ 2 = 0 O fato da derivada direcional ser nula, no exemplo anterior, pode ser visto como consequência de um fato geral, a saber, se −→u tem a direção da reta tangente a curva de nível de f no ponto (x0, y0), então ∂f ∂−→u (x0, y0) = 0, pois neste caso ∇f(x0, y0)⊥ −→u . 7 Esse resultado está de acordo com o fato de que a função f é constante sobre uma curva de nível e a derivada direcional é a taxa de variação da função em (x0, y0) e na direção do vetor −→u . Se −→u aponta na direção em que f é constante, essa taxa de variação deve ser nula. No exemplo anterior, o ponto (1, 1) pertence à curva x2 + y2 = 2, que é a curva de nível da função f(x, y) = x2 + y2 referente ao nível 1, e o vetor −→v = (−1, 1) é tangente a essa curva de nível. Assim, ∂f ∂−→u (1, 1) = 0 Consideremos agora a seguinte questão. Seja f(x, y) uma função definida em um conjunto aberto A e diferenciável em (x0, y0) ∈ A. Dentre todos os vetores unitários −→u . qual aquele que produzirá o maior valor para a derivada direcional ∂f ∂−→u (x0, y0) e qual é esse valor máximo? E também qual o vetor unitário −→u que produzirá o menor valor para a derivada direcional ∂f ∂−→u (x0, y0) e qual é esse valor mínimo? Para responder a essas perguntas, consideremos o ângulo entre os vetores ∇f(x0, y0) e −→u . Portanto, 0 ≤ θ ≤ pi. Temos que ∂f ∂−→u (x0, y0) = ∇f(x0, y0). −→u = ||∇f(x0, y0)||.||−→u || cos θ = ||∇f(x0, y0)|| cos θ Concluímos que ∂f ∂−→u (x0, y0) é máximo quando θ = 0, isto é, quando −→u tem a direção e sentido do vetor gradiente ∇f(x0, y0) e esse valor máximo é ||∇f(x0, y0)||. Já o valor mínimo da derivada direcional de f em (x0, y0) se dá quando θ = pi, isto é, quando −→u tem a direção de ∇f(x0, y0), mas sentido contrário a esse gradiente e tal valor mínimo é igual a −||∇f(x0, y0)||. Exemplo 5 A função T (x, y) = x3 − y2 mede a temperatura no ponto (x, y). 1. Estando-se no ponto (1, 2), qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento da temperatura nessa direção? 2. Estando-se no ponto (1, 2), qual a direção e sentido de maior decrescimento da temperatura? Qual a taxa de decrescimento da temperatura nessa direção? 3. Estando-se no ponto (1, 2), qual a direção que deve ser seguida para que ataxa de variação da temperatura seja nula? Resolução: (1) Temos que ∇T (x, y) = (3x2,−2y) Então 8 ∇T (1, 2) = (3,−4) Assim, no ponto (1, 2), o vetor −→v = (3,−4) indica a direção e sentido de maior crescimento da temperatura. A taxa de crescimento da temperatura nesta direção e sentido é 5, pois ||∇T (1, 2)|| = √ (3)2 + (−4)2 = √9 + 16 = √ 25 = 5 (2) A direção e sentido de maior decrescimento da temperatura é indicada pelo vetor −∇T (1, 2) = (−3, 4), e taxa de decrescimento da temperatura nesta direção e sentido é −5 (3) A taxa de variação da temperatura é nula na direção do vetor −→w = (4, 3) pois −→w⊥∇T (1, 2) 9
Compartilhar