Distancias

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CAPÍTULO 7
DISTÂNCIAS
Neste tópico, abordaremos algumas relações importantes para obtenção das distâncias
enter elementos do R
3
.
7.1 Distância entre dois pontos
Se considerarmos dois pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) do R
3
, então a distância entre
estes pontos é definida por
d(A,B) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 (7.1)
Exemplo 7.1. Qual a distância entre os pontos P (−1, 2, 0) e Q(3, 2,−1)?
Basta utilizar a relação acima
d(P,Q) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
=
√
(3 + 1)2 + (2− 2)2 + (−1− 0)2
=
√
42 + 02 + (−1)2
=
√
16 + 0 + 1
=
√
17
7.2 Distância de um ponto a uma reta
Para obter a distância entre um ponto P a uma reta r, precisamos considerar o vetor
diretor ~v da reta e um ponto A qualquer sobre a reta r. A distância entre a reta r e o ponto P será
obtida através da da seguinte relação
d(P, r) =
‖~v ×−→AP‖
‖~v‖ (7.2)
Exemplo 7.2. Determine a distância do ponto P (1, 0,−2) a reta r :


x = 3 + 4t
y = −2− t
z = 4 + t
Observe que o vetor diretor da reta r é ~v = (4,−1, 1), e ‖v‖ =
√
42 + (−1)2 + 12 =√
16 + 1 + 1 =
√
18 = 3
√
2.
36
Geometria Analítica Notas de aula
Obtenha um ponto qualquer da reta r, por exemplo para t = 0 temos o ponto A(3,−2, 4).
E então o vetor
−→
AP será
−→
AP = P −A = (−2, 2,−6).
~v ×−→AP =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k ~i ~j
4 −1 1 4 −1
−2 2 −6 −2 2
∣∣∣∣∣∣ = 4~i+ 22~j + 6
~k
E portanto temos ‖v ×−→AP‖ =
√
42 + 222 + 62 =
√
16 + 484 + 36 =
√
536 = 2
√
134
E agora, utilizando a expressão 7.2, temos d(P, r) =
‖~v ×−→AP‖
‖~v‖ =
2
√
134
3
√
2
=
4
√
67
3
.
7.3 Distância de um ponto a um plano
A distância entre o ponto P0(x0, y0, z0) e o plano π : ax+ by + cz + d = 0 é dada por:
d(P0, π) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
(7.3)
Exemplo 7.3. Obtenha a distância do ponto A(1, 2,−5) ao plano π : 12x+ 3y − 4z + 7 = 0.
Aplicando a relação acima, temos:
d(P0, π) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
d(A, π) =
|12x0 + 3y0 − 4z0 + 7|√
122 + 32 + (−4)2
=
|12 · 1 + 3 · 2− 4 · (−5) + 7|√
169
=
|12 + 6 + 20 + 7|
13
=
45
13
7.4 Distância entre duas retas
Consideremos o caso em que as duas retas r e s são reversas. Vamos considerar P um
ponto da reta r, e ~vr o seu vetor diretor. Da mesma forma, Q é um ponto da reta s e ~vs seu vetor
diretor.
Desta forma, através das propriedades do produto misto, temos:
d(r, s) =
|(~vr, ~vs,−−→PQ)|
‖~vr × ~vs‖ (7.4)
Se duas retas são paralelas, a distância entre elas é definida pela distância de um ponto
de uma delas até a outra reta. Ou seja, se resume a um problema de distância entre ponto e reta.
Exemplo 7.4. Obtenha a distância entre as retas r :
x− 2
3
= 1− z ; y = 2 e s :
{
y = 4− 2x
z = 3x+ 1
.
Na reta r temos o vetor diretor ~vr = (3, 0,−1) e escolhemos um ponto qualquer, por
exemplo, P (2, 2, 1). Na reta s temos o vetor diretor ~vs = (1,−2, 3) e escolhemos um ponto qualquer,
por exemplo, Q(2, 0, 7).
Assim, temos o vetor
−−→
PQ = Q− P = (0,−2, 6)
(~vr, ~vs,
−−→
PQ) =
∣∣∣∣∣∣
3 0 −1 3 0
1 −2 3 1 −2
0 −2 6 0 −2
∣∣∣∣∣∣ = −16
37
Geometria Analítica Notas de aula
~vr × ~vs =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k ~i ~j
3 0 −1 3 0
1 −2 3 1 −2
∣∣∣∣∣∣ = −2~i− 10~j − 6
~k
Calculamos ‖~vr × ~vs‖ =
√
(−2)2 + (−10)2 + (−6)2 = √4 + 100 + 36 =
√
140 = 2
√
35
E agora basta utilizar a relação 7.4, e obter a distância entre as retas r e s:
d(r, s) =
|(~vr, ~vs,−−→PQ)|
‖~vr × ~vs‖ =
| − 16|
2
√
35
=
8√
35
=
8
√
35
35
7.5 Distância entre uma reta e um plano
Se uma reta e um plano não forem paralelos, então a distância ente eles será 0 (zero), pois
sempre terão um ponto de interseção.
No caso de uma reta paralela a um plano, basta considerar um único ponto da reta em
questão, e calcular a distância deste ponto ao plano dado.
7.6 Distância entre dois planos
Se dois planos são paralelos, basta considerar o ponto de um dos planos, e calcular a
distância deste ponto ao outro plano.
Se os planos não são paralelos, então a distância será 0 (zero) pois os mesmos terão
interseção.
7.7 Exercícios
1. Qual a distância entre os pontos A(1, 0,−2) e B(2, 3,−5)?
2. Determine no eixo das cotas um ponto equidistantes dos pontos A(1,−3, 2) e B(2, 4,−3).
3. Determine a distância do ponto P (1,−3, 2) à reta r :
{
y = 2x− 1
z = −2x+ 3
4. Determine a distância do ponto P (1,−3, 2) ao plano π : 2x− 4y + 4z − 4 = 0.
5. Determine a distância entre as retas s : x =
y − 3
2
=
z − 2
−2 e r :
{
y = 2x− 1
z = −2x+ 3
6. Determine a distância entre o plano π : 4x+ y + 3z − 1 = 0 e a reta r :
{
y = 2x− 1
z = −2x+ 3
7. Determine a distância entre os planos π1 : 2x− y + 3z − 1 = 0 e π2 : 2x− y + 3z + 3 = 0.
Gabarito
1.
√
19
2. (0, 0,−3
2
)
3.
√
53
3
4. 3
5.
√
53
3
6.
7
√
26
26
7.
2
√
14
7
38
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