DISTÂNCIAS

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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
Dados os pontos 𝑃1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)𝑒 𝑃2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), a distância 𝑑 entre eles é |𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |. 
Como, 
𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑃2 − 𝑃1 = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1) 
Tem-se, 
𝑑(𝑃1, 𝑃2) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 
Exemplo: 
1. Calcular a distância entre 𝑃1(2, −1,3)𝑒 𝑃2(1,1,5). 
Solução: 
Como 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑃2 − 𝑃1 = (1,1,5) − (2,−1,3) = (−1,2,2). Assim, tem-se 
d(𝑃1, 𝑃2) = √(−1)2 + 22 + 22 = √9 = 3𝑢. 𝑐. (𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜) 
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 
Dado um ponto P do espaço e uma reta 𝑟, quer-se calcular a distância 𝑑(𝑃, 𝑟) 𝑑𝑒 𝑃 a 𝑟. 
Consideremos na reta 𝑟 um ponto 𝐴 e um vetor diretor 𝑣 e 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ que determinam um 
paralelogramo cuja altura corresponde a distância 𝑑(𝑃, 𝑟). 
A área A do paralelogramo é dada por: 
a) 𝐴 = (𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = |𝑣 |. 𝑑 ou 
também por 
b) 𝐴 = |𝑣 × 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗|. Comparando a) e b), 
vem 
𝑑 = 𝑑(𝑃, 𝑟) =
|𝑣 × 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗|
|𝑣 |
 
Exemplo: 
1. Calcular a distância do ponto P(2,1,4) à reta 
𝑟: {
𝑥 = −1 + 2𝑡
𝑦 = 2 − 𝑡
𝑧 = 3 − 2𝑡
 
 
Solução: 
A reta r passa pelo ponto A(-1,2,3) e tem direção do vetor 𝑣 = (2,−1,−2). Seja ainda o 
vetor 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃 − 𝐴 = (3,−1,1). Calculemos, 
𝑣 × 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
2 −1 −2
3 −1 1
| = (−3,−8,1) 
Agora, temos 
𝑑(𝑃, 𝑟) =
|(−3,−8,1)|
|(2, −1,−2)|
=
√74
3
 𝑢. 𝑐. 
DISTÂNCIA DE PONTO A PLANO 
Dado um ponto 𝑃0 e uma plano 𝜋, quer-
se calcular a distância 𝑑(𝑃0, 𝜋) de 𝑃0 𝑎 𝜋. Seja A 
um ponto qualquer de 𝜋 e �⃗� um vetor normal a 
𝜋. A figura, esclarece que a distância 𝑑(𝑃0, 𝜋) é 
o módulo da projeção de 𝐴𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ na direção de �⃗� . 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) = |𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗� 𝐴𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = |𝐴𝑃0.⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
�⃗� 
|�⃗� |
| 
Admitindo-se então que 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0), 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 𝑒 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ∈ 𝜋, 
como 
𝐴𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝑥0 − 𝑥1, 𝑦0 − 𝑦1, 𝑧0 − 𝑧1) 𝑒 
�⃗� 
|�⃗� |
=
(𝑎, 𝑏, 𝑐)
|(𝑎, 𝑏, 𝑐)|
 𝑝𝑜𝑟 𝑑(𝑃0, 𝜋) 𝑣𝑒𝑚, 
𝑑(𝑃0, 𝜋) = |(𝑥0 − 𝑥1, 𝑦0 − 𝑦1, 𝑧0 − 𝑧1).
(𝑎, 𝑏, 𝑐)
|(𝑎, 𝑏, 𝑐)|
| 
𝑑(𝑃0, 𝜋) = |
𝑎(𝑥0 − 𝑥1) + 𝑏(𝑦0 − 𝑦1) + 𝑐(𝑧0 − 𝑧1)
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
| 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 − 𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 − 𝑐𝑧1|
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
 
Como 𝐴 ∈ 𝜋, suas coordenadas satisfazem a equação de 𝜋, isto é, 
𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 + 𝑑 = 0 
e 
𝑑 = −𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 − 𝑐𝑧1 
Logo, 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑|
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
 
Observamos que a expressão 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑 se obtém substituindo x, y e z no 
primeiro membro da equação geral de 𝜋 pelas coordenadas do ponto 𝑃0. 
Exemplo: 
1. Calcular a distância do ponto 𝑃0(4,2,−3) ao plano 𝜋: 2𝑥 + 3𝑦 − 6𝑧 + 3 = 0. 
Sol.: 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
|2(4) + 3(2) − 6(−3) + 3|
√22 + 32 + (−6)2
=
|8 + 6 + 18 + 3|
√4 + 9 + 36
=
35
7
= 5 𝑢. 𝑐 
OBS.: 
A fórmula é também aplicada se tivermos dados: 
a) dois planos 𝝅𝟏 𝒆 𝝅𝟐 paralelos. 
Neste caso: 
𝑑(𝜋1, 𝜋2) = 𝑑(𝑃0, 𝜋2), com 𝑃0 ∈ 𝜋1 
Ou 
𝑑(𝜋1, 𝜋2) = 𝑑(𝑃0, 𝜋1), com 𝑃0 ∈ 𝜋2 
Exemplo: 
1) Calcular a distância entre os planos 
𝜋1: 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 5 = 0 𝑒 𝜋2 = 4𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 + 14 = 0 
Solução: 
Um ponto de 𝜋1 é 𝑃0(0,0,5) e um vetor normal a 𝜋2 é �⃗� = (4,−4,2). Portanto de 
acordo com o cálculo da distância de um ponto a um plano, tem-se 
𝑑(𝜋1, 𝜋2) = 𝑑(𝑃0, 𝜋2) =
|4(0) − 4(0) + 2(5) + 14|
√42 + (−4)2 + 22
=
|10 + 14|
√36
 
𝑑(𝜋1, 𝜋2) =
24
6
= 4 𝑢. 𝑐. 
b) uma reta e um plano 𝝅 paralelos. 
Neste caso: 
𝑑(𝑟, 𝜋) = 𝑑(𝑃, 𝜋), com 𝑃 ∈ 𝑟 
Exemplo: 
1. Calcular a distância da reta , 
𝑟: {
𝑦 = 2𝑥 + 3
𝑧 = 2𝑥 + 1
 𝑎𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝜋: 4𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0 
Solução: 
Observamos primeiramente que 𝑟//𝜋, pois 
𝑣 . �⃗� = (1,2,2). (4, −4,2) = 4 − 8 + 4 = 0 
Sendo 𝑣 vetor diretor de r e �⃗� um vetor normal a 𝜋. Então, tomando 𝑃(0,3,1) ∈ 𝑟, tem-se 
𝑑(𝑟, 𝜋) = 𝑑(𝑃, 𝜋) = 
|4(0) − 4(3) + 2(1) − 7|
√42 + (−4)2 + 22
=
|−12 + 2 − 7|
√36
=
17
6
 𝑢. 𝑐 
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS 
Dadas as retas 𝑟1e 𝑟2, quer-se calcular a distância 𝑑(𝑟1, 𝑟2). Podemos ter os seguintes casos: 
1) 𝑟1 e 𝑟2 são concorrentes. 
Neste caso: 𝑑(𝑟1, 𝑟2) = 0 
2) 𝑟1 e 𝑟2 são paralelas. 
Neste caso: 
𝑑(𝑟1, 𝑟2) = 𝑑(𝑃, 𝑟2) com 𝑃 ∈ 𝑟1 
Ou 
𝑑(𝑟1, 𝑟2) = 𝑑(𝑃, 𝑟1) com 𝑃 ∈ 𝑟2 
3) 𝑟1 e 𝑟2 são reversas. 
Seja 𝑟1 a reta definida pelo ponto 𝐴1 e pelo vetor diretor 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e a reta 𝑟2 pelo ponto 𝐴2 e 
pelo vetor diretor 𝑣2⃗⃗⃗⃗ . 
Os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ e 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , por serem não-coplanares, determinam um paralelepípedo cuja 
altura é a distância 𝑑(𝑟1, 𝑟2) que se quer calcular (a reta 𝑟2 é paralela ao plano da base do 
paralelepípedo definida por 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ). O volume V do paralelepípedo é dado por , 
a) 𝑉 = (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒). (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = |𝑣1⃗⃗⃗⃗ × 𝑣2⃗⃗⃗⃗ |. 𝑑 
Ou também por, 
b) 𝑉 = |(𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )| 
Comparando a) e b) vem, 
𝑑 = 𝑑(𝑟1, 𝑟2) =
|(𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , 𝐴1𝐴2)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |
|𝑣1⃗⃗⃗⃗ × 𝑣2⃗⃗⃗⃗ |
 (∗) 
Exemplo: 
1. Calcular a distância entre as retas 
𝑟1: {
𝑥 = −1 + 𝑡
𝑦 = 3 − 2𝑡
𝑧 = 1 − 𝑡
 𝑒 𝑟2: {
𝑦 = 𝑥 − 3
𝑧 = −𝑥 + 1
 
Solução: 
A reta 𝑟1 passa pelo ponto 𝐴1(−1,3,1) e tem a direção de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (1,−2,−1) e a reta 𝑟2 
pelo ponto 𝐴2(0, −3,1) e tem a direção de 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (1,1,−1). 
Então, 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐴2 − 𝐴1 = (1,−6,0) e 
(𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) = |
1 −2 −1
1 1 −1
1 −6 0
| = 9 
𝑣1⃗⃗⃗⃗ × 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
1 −2 −1
1 1 −1
| = (3,0,3) 
De acordo (∗) temos, 
𝑑(𝑟1, 𝑟2) =
|9|
|(3,0,3)|
=
9
√32 + 32
=
9
√18
=
3
√2
 𝑢. 𝑐