ATPS-CALCULO2

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Faculdade Anhanguera de Campinas
Unidade 04
ATIVIDADES PRÁTICAS
SUPERVISIONADAS
CÁLCULO II
	Nome
	R.A
	Curso
	Semestre
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Prof.: Thiago Rincão
CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO
VELOCIDADE INSTÂNTANEA
Para se introduzir velocidade instantânea é necessário que haja uma breve conceituação de trajetória, deslocamento e distância percorrida para que associada a um intervalo de tempo nos determine a velocidade. Dependendo do tipo de conceituação dos anteriores, a velocidade pode ser chamada de velocidade instantânea ou apenas velocidade média.
A velocidade possui uma aceleração, e a aceleração também pode ser média ou instantânea dependendo de suas premissas conceituais, usando o conceito de aceleração e velocidade instantânea pode obter sua fórmula em derivada.
Aaceleração média é definida a partir do conceito de velocidade. A aceleração média indica o quanto à velocidade de um corpo variou no intervalo de tempo correspondente.
Logo, define-se a aceleração média como sendo a razão entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo. O conceito de aceleração instantânea, ou simplesmente aceleração, é definido similarmente à aceleração média, com a diferença que Δt é tomado como sendo infinitamente pequeno, reduzindo-se a um instante de tempo.
Mostrando exemplos da função velocidade como derivada da função espaço, e utilizando o RA dos integrantes do grupo como exemplo, temos:
	Alunos
	RA
	Digito Final
	Cláudia Xavier
	8641258367
	7
	Jerônimo Cardoso
	8485182949
	9
	MariaKatreus
	8207847748
	8
	 
	 
	 
Somatória dos RA’s →7 + 9 + 8 =24
a
∆S = Vₒ + a ∙Vₒ = V ∙ t
Velocidade Instantânea
	
É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea ou simplesmente velocidade como sendo:
Uma rapidez instantânea, que seria o módulo do vetor velocidade em um dado instante de tempo.
Aceleração média e instantânea
Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração instantânea). Elas são definidas como:
(aceleração média)
(aceleração instantânea)
Na tabela abaixo, temos:
S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s)
	S(t)
	∆S = Vₒ + 
	S(0)
	∆S=0+24 ∙ = 0
	S(1)
	∆S = 0 + 24 ∙ 12
	S(2)
	∆S = 0 + 24 ∙ 
	S(3)
	∆S = 0 + 24 ∙ 
	S(4)
	∆S = 0 + 24 ∙ 
	S(5)
	∆S = 0 +24 ∙ 
	V(t)
	V ∙t
	V(0)
	24 ∙ 0= 0
	V(1)
	 24 ∙ 1= 24
	V(2)
	24∙2 = 48
	V(3)
	24 ∙ 3 =72
	V(4)
	24 ∙ 4= 96
	V(5)
	 24 ∙ 5= 120
Gráfico da S(m) x t(s), temos:
A tabela abaixo mostra os cálculos de V(m/s) x t(s)
	V(t)
	V ∙t
	V(0)
	24 ∙ 0= 0
	V(1)
	 24 ∙ 1= 24
	V(2)
	24∙2 = 48
	V(3)
	24 ∙ 3 =72
	V(4)
	24 ∙ 4= 96
	V(5)
	 24 ∙ 5= 120
Gráfico da V(m/s) x t(s), temos:
	
	
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA
Aaceleração instantânea é definida a partir do conceito de deslocamento, pois o espaço usado para medir a velocidade é pequeno e pode ser considerado em linha reta, o que determina como aceleração instantânea é o tempo que é pequeno e por isso é considerado um instante.
Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração instantânea).
Com isso temos a tabela abaixo onde:
	a(t)
	
	a(0)
	
	a(1)
	
	a(2)
	
	a(3)
	
	a(4)
	
	a(5)
	
Gráfico da função a(m/s) x t(s), dentro do intervalo acima citado na tabela:
Assim, fica claro que a velocidade instantânea v(t) é a derivada da função x(t) no ponto t. Ou seja, a velocidade instantânea é a derivada temporal da posição.
Em outras palavras, a velocidade é a taxa de variação da posição: quanto maior a velocidade, mais rápido a posição varia. Se a velocidade for positiva, a posição muda no sentido que foi definido como positivo para a posição. Se for negativa, a posição muda no sentido inverso: o que foi definido negativo para a posição.
A relação entre velocidade média e velocidade instantânea, supõe que o leitor entenda o conceito de integral. Podemos integrar os dois lados em relação a t, de modo a obterCom a condição v(0) = v0, fica claro que C = v0.
Também podemos exprimir este resultado em relação à velocidade instantânea.
Que é uma relação interessante, e expande o significado físico da velocidade média.
CONSTANTE DE EULER
O desígnio do trabalho é explicitar o número de Euler, instituído por Leonhard Euler um grandioso matemático, que desenvolveu cálculos em sua época os quais, de quão importantes, são empregados até o presente. 
O número de Euler é uma constante matemática que engloba cálculos de nível superior, empregado, a título de exemplo, em: Cálculo de diferenciais e integradas.
A constante de Euler é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.
A demonstração da existência de tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral.
As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial  para determinados valores. 
O Número EULER
O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático Suíço Leonhard Euler, é à base dos logaritmos naturais.
As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por JakobBernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):
E vale aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.
Conclui-se que o referido é de grande acuidade para com o desenvolvimento da matemática em épocas onde não existiam calculadoras, e estas, na sua grande maioria, labutam cálculos através dos logaritmos naturais. É importante ressaltar que apesar de sua idade o número de Euler é ferramenta essencial em cálculos variados, ou seja, é utilizado em várias áreas da ciência.
CONSTANTE de EULER e a SÉRIE HARMÔNICA
O fato de a série harmônica ser divergente é notável e jamais seria descoberto por meios experimentais. Foram umas das primeiras séries a se descobrir em que o termo geral pode tender a zero sem que a série seja convergente. Isso ocorreu por volta do século XIV e a descoberta foi feita por Oresme. Se fôssemos capazes de somar cada termo da série em um segundo, como um ano tem aproximadamente 31.557.600 segundos, nesse período de tempo teríamos somado os 31.557.600 primeiros termos, obtendo como resultado um valor um pouco superior a 17; em 10 anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos a pouco mais de 22. Como se vê, esses números são muito pequenos para indicar que a soma é divergente (tende a infinito). Mas não paremos por aqui. Suponha que exista um computador que pode fazer uma soma em 10−23 segundos, que é o tempo gasto pela luz para percorrer a distância igual ao diâmetro de um elétron. 
Tal Se tal computador fosse somar todas as partes que pudesse da série harmônica em um ano, teria somado 315.576x1025 termos; em mil anos 315.576x1028; e emum bilhão de anos 315.576x1034 termos! Os resultados aproximados que obteríamos, em cada um dos casos, respectivamente seria: 70,804 ; 77,712 e 91,527. Imagine agora que esse computador estivesse ligado desde a origem do universo, há cerca de 15 bilhões de anos. Ele estaria hoje obtendo o valor aproximado de 94,235 para a soma da série harmônica, o computador seria o mais rápido do universo, pois a velocidade da luz é a máxima neste.
Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Também podem ser utilizadas outras ferramentas de análise matemática para estudar este fenômeno, tais como as transformadas de Fourier e as séries de Fourier.
Emmatemática, a série harmônica é asérie infinita definida como:
Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da freqüência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta freqüência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos (tais como motores e geradores elétricos) e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros.O conhecimento da série harmônica é importante para a construção de instrumentos musicais, principalmente aqueles baseados na vibração de colunas de ar (instrumentos de sopro ou aerofones). Nestes instrumentos, o ar vibra dentro de tubos. Cada tubo possui uma freqüência fundamental derivada do comprimento do tubo. Somente as notas da série harmônica derivada desta fundamental podem ser executadas em cada comprimento de tubo. Para permitir a utilização destes instrumentos para executar músicas em qualquer escala, é preciso utilizar algum meio para alterar a freqüênciafundamental do tubo e possibilitar a execução das notas que faltam na sua tessitura originaeletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada.
CRESCIMENTO POPULACIONAL (Thomas Malthus)
A “Teoria da População” de Thomas Malthus publicada em 1798 demonstra sua preocupação diante da questão social agravada pela miséria crescente do operariado na Inglaterra. Segundo ele, a população crescia em progressão geométrica, enquanto os meios de subsistência cresciam em progressão aritmética, o que resultava em miséria e pobreza. Malthus era contrário a qualquer intervenção do Estado para tentar resolver o problema e afirmava que isso serviria apenas para estimular o aumento da população e o agravamento da questão. Para ele, a própria natureza seria incumbida de resolver tal problema, pois aumentaria a mortalidade devido à fome.
Ele considerou N = N(t) como sendo o número de indivíduos em certa população no instante t.
N(t) = Nₒ ∙ , onde:
t = 0 no instante inicial
r = uma constante que varia com a espécie da população
Nₒ = a população existente/presente no instante inicial.
Calculando:
N(t) = Nₒ ∙ Nₒ ∙ 
N(0) = Nₒ ∙ln ln 3
N(8) = 3 ∙ Nₒr ∙ 8 ∙ ln = ln
N(8) = Nₒ ∙ r ∙ 8 = 1,0986122887
r= = 0,1773265361
N(t)= Nₒ ∙
N(48) = Nₒ ∙ 
N(48)= 6,591673732 
 N(48)= 729 ∙ Nₒ
A tabela abaixo mostra o crescimento populacional que ocorre a cada 4 horas, e logo abaixo o gráfico que representa a constante variação desse crescimento:
	CRESCIMENTO POPULACIONAL
	t
	N(t)
	
	4
	1.73
	
	8
	2.99
	
	12
	5.19
	
	16
	8.99
	
	20
	15.58
	
	24
	26.99
	
	28
	46.76
	
	32
	80.99
	
	36
	140.29
	
	40
	242.99
	
	44
	420.88
	
	48
	728.99
	CRESCIMENTO POPULACIONAL
	N(t)
	Nₒ
	
	1
	2.488.832
	
	5
	2.593.742
	
	10
	2.681.588
	
	50
	2.704.813
	
	100
	2.715.568
	
	500
	2.716.923
	
	1000
	2.718.010
	
	5000
	2.718.145
	
	10000
	2.718.268
	
	100000
	2.718.280
Concluindo
Preocupado com o crescimento populacional acelerado, Malthus publica uma série de idéias alertando a importância do controle da natalidade, afirmando que o bem-estar populacional estaria intimamente relacionado com o crescimento demográfico do planeta. Ele acreditava que o crescimento desordenado acarretaria a falta de recursos alimentícios para a população gerando, como conseqüência, a miséria e a fome. 
BIBLIOGRAFIA:
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert.Física I. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAFekAA/n-euler
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_harm%C3%B3nica_%28matem%C3%A1tica%29
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni
G.Ávila, Introdução á Análise Matemática.Editora EDGAR BLÜCHER,1973.