Aula 05 - A algebra das proposicoes e o metodo dedutivo

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Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense 
 
AULA 05 
A ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES E O MÉTODO DEDUTIVO 
 
E vamos que vamos... 
E como de praxe, iniciarei resolvendo a questão da aula passada, que é, na verdade, uma 
adaptação da questão do MPOG-2003 da nossa primeira aula. Vamos a ela! 
Questão) Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é 
carioca, então Breno é bonito. Isso é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: 
a) Jorge é juiz e Breno é bonito 
b) Carlos é carioca ou Breno é bonito 
c) Breno é bonito e Ana é artista 
d) Ana não é artista e Carlos é carioca 
e) Nenhuma das alternativas anteriores 
 
Resolução 
Vocês devem estar lembrados daquela questão resolvida na aula passada, certo?! Lá, 
primeiramente montei a tabela-verdade do enunciado e, depois, fui montando a tabela-verdade de 
cada item (a, b, c, d e e). Quando terminamos toda aquela mão-de-obra, comparamos a última 
coluna da tabela-verdade do enunciado com a última coluna da tabela-verdade de cada item. 
Encontramos que a tabela-verdade do item a) era idêntica à tabela-verdade do enunciado, o que 
nos permitiu afirmar que ~ (p ^ q) era logicamente equivalente a (~p v ~q) para aquela questão. 
Deu um trabalho...! 
Agora, para resolver esta questão, podemos simplificar as coisas. Como? Vamos 
representar primeiro as proposições simples, da linguagem corrente para a linguagem simbólica: 
p: Ana é artista 
q: Carlos é carioca 
r: Jorge é juiz 
t: Breno é bonito 
 
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Escrevendo as proposições: 
p v q 
r → ~t 
q → t 
(p v q) ^ (r → ~t) ^ (q → t) 
Note que cada oração (melhor dizendo, cada período, em bom português) corresponde a 
uma proposição composta, e as mesmas proposições são relacionadas por meio do “^”. 
Sempre! Esse formato de questão nos dar condições de enxugar muito o método de resolução 
através da tabela-verdade, como vamos fazer com esta questão. 
Dando proseguimento, montaremos a tabela-verdade do enunciado: 
linha P q r t ~t p v q r → ~t q → t (p v q) ^ (r → ~t) ^ (q → t) 
1) V V V V F V F V F 
2) V V V F V V V F F 
3) V V F F V V V F F 
4) V F F F V V V V F 
5) F V V V F V F V F 
6) F F V V F F F V F 
7) F F F V F F V V F 
8) V F V V F V F V F 
9) V V F V F V V V F 
10) F F V F V F V V F 
11) F V F F V V V F F 
12) V F V F V V V V V 
13) F V F V F V V V F 
14) F V V F V V V F F 
15) V F F V F V V V F 
16) F F F F V F V V F 
 
Veja que o número de linhas é 2n, onde n é o número de proposições simples. Agora você 
deve estar convencido de que trabalhar com as tabelas-verdade, às vezes, realmente dá muito 
trabalho, não é mesmo?! 
Bem, iremos continuar, mas de maneira um pouco diferente, quer dizer, de maneira mais 
enxuta, como foi dito anteriormente. Ao invés de montar uma tabela-verdade para cada item (a, b, 
c, d e e), iremos dar uma olhada na última coluna da tabela anterior, onde existe um único V, que 
se encontra na linha 12. Nessa mesma linha, observe que (p v q), (r → ~t) e (q → t) são todas 
proposições verdadeiras. É óbvio ser essas proposições todas verdadeiras, pois, caso pelo menos 
uma fosse falsa, toda a proposição ((p v q) ^ (r → ~t) ^ (q → t)) seria falsa (regra da conjunção). 
Ops!, então na linha 12 deverão estar todos os valores lógicos das proposições simples. 
Assim: 
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linha p q r t 
12) V F V F 
 
Aí, com os valores lógicos das proposições p, q, r e t, podemos testar cada item: 
a) Jorge é juiz e Breno é bonito 
r ^ t => V ^ F = FALSIDADE 
b) Carlos é carioca ou Breno é bonito 
q v t => F v F = FALSIDADE 
c) Breno é bonito e Ana é artista 
t ^ p => F ^ V = FALSIDADE 
d) Ana não é artista e Carlos é carioca 
~t ^ q => ~F ^ F => V ^ F = FALSIDADE 
e) Nenhuma das alternativas anteriores 
Esse seria o item correto. Porém, podemos montar muitas proposições de valor lógico 
verdadeiro, tais como: 
- Ana é artista e Jorge é juiz 
- Ana é artista e Breno não é bonito 
- Carlos é carioca ou Carlos é carioca 
- Carlos é carioca ou Breno não é bonito 
Moral da história: quando se optar resolver questões por tabelas-verdade, é preferível 
verificar os valores lógicos de cada proposição simples, quando tanto a última coluna quanto suas 
proposições forem V. 
 
Pronto... indo para o assunto de hoje: a álgebra das proposições e o método dedutivo. 
Em aula última, eu disse que seria mais racional usarmos, por motivos já expostos, o 
método dedutivo em questões de concursos, através da álgebra das proposições. A grande valia 
do uso deste método é a facilidade de se encontrar uma equivalente para uma dada proposição 
composta. 
Sem mais arrodeios, segue abaixo as principais propriedades da álgebra das proposições 
(não se assustem, esse negócio só tem tamanho, pode crer!): 
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1) p ^ p <=> p (idempotente) 
2) p ^ q <=> q ^ p 
3) p v q <=> q v p 
4) (p ^ q) ^ r <=> p ^ (q ^ r) 
5) (p v q) v r <=> p v (q v r) 
6) p ^ q <=> p (identidade) 
7) p v p <=> p 
8) p ^ (q v r) <=> (p ^ q) v (p ^ r) (distributiva) 
9) p v (q ^ r) <=> (p v q) ^ (p v r) 
10) p ^ (p v q) <=> p 
11) p v (p ^ q) <=> p 
12) ~(p ^ q) <=> ~p v ~q (Morgan) 
13) ~(p v q) <=> ~p ^ ~q (Morgan) 
14) p ↔ q <=> (p → q) ^ (q → p) 
 
Todas essas equivalências podem ser demonstradas através de tabelas-verdade. O que 
nos importa, no entanto, é conhecer tais equivalências. 
Vamos resolver a questão da aula passada e vermos a aplicação dessa álgebra das 
proposições. Como prometido, usarei apenas uma linha. Vou transcrevê-la aqui: 
(AFC-2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente 
a dizer que é verdade que: 
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. 
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. 
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. 
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. 
se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 
 
Resolução 
Já sabemos que a proposição do nosso enunciado é ~(p ^ q). Destrinchando pelo método dedutivo: 
 
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~ (p ^ q) (Aplicando a regra de Morgan) 
~p v ~q 
Observando esta proposição, lemos que “Pedro não é pobre ou Alberto não é alto”. Pronto, já 
encontramos a nossa resposta em apenas uma linha: letra a). 
Vamos pegar agora a questão do MPOG-2003, da nossa primeira aula: 
Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, 
então Breno é bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo: 
 
a) Jorge é juiz e Breno é bonito 
b) Carlos é carioca ou Breno é bonito 
c) Breno é bonito e Ana é artista 
d) Ana não é artista e Carlos é carioca 
e) Ana é artista e Carlos não é carioca 
Resolução 
 
p: Ana é artista 
q: Carlos é carioca 
r: Jorge é juiz 
t: Breno é bonito 
 
Já encontramos a proposição para a questão dada no início desta aula: 
 
(p v q) ^ (r → ~t) ^ (q → t) 
 
Usando o método dedutivo: 
 
(p v q) ^ (r → ~t) ^ (q → t) (substituindo a 3ª proposição por uma equivalente) 
(p v q) ^ (r → ~t) ^ (~t → ~q) (Silogismo hipotético da 2ª e 3ª proprosições) 
(p v q) ^ (r → ~q) (substituindo a 2ª por uma equivalente) 
(p v q) ^ (~r v ~q) (dando valor lógico verdadeiro a proposição r, como manda o enunciado) 
(p v q) ^ (~V v ~q) (negação da verdade é uma falsidade) 
(p v q) ^ (F v ~q) (disjunção) 
(p v q) ^ ~q (distributiva) 
(p ^ ~q) v (q ^ ~q) (conjunção) 
(p ^ ~q) v F (disjunção) 
p ^ ~q 
 
Assim, temos que Ana é artista e Carlos não é carioca, sendo nossa resposta o item e). 
 
Sacou?! Para você aprender é só praticar bastante. Outra então... 
 
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(MPOG-2001) Dizerque “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente eqüivalente 
a dizer que: 
 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro 
 
Resolução 
 
 
Representando as proposições simples: 
 
p: André é artista 
q: Bernardo é engenheiro 
 
Escrevendo em linguagem simbólica: 
 
p v ~q 
 
Vemos que, de cara, o item a) é descartado, pois se trata de uma bicondicional (p ↔ ~q), e sua 
equivalente é (p → ~q) ^ (~q → p), o que nos leva a dizer que não existe nenhuma equivalência 
entre (p v ~q) e (p ↔ ~q). 
 
Os itens b, c e d trazem a condicional. Então escrevendo uma proposição equivalente a (p v ~q): 
 
(p v ~q) <=> (~p → ~q) 
 
Podemos, ainda, substituir (~p → ~q) por outra equivalente: 
 
(~p → ~q) <=> (q → p) 
 
Aí, lemos “se Bernardo é engenheiro, então André é artista”, onde marcaríamos o item d) como 
verdadeiro. 
 
O item e) é apenas a negação da proposição (p v ~q) do enunciado. Assim: 
 
~(p v ~q) 
 
Aplicando a regra de Morgan, teríamos: 
~p ^ q 
 
Que se lê “André não é artista e Bernardo é engenheiro”, conteúdo este do item e). Porém, o item 
e) estaria errado porque estamos atrás de uma proposição equivalente a (p v ~q), e não de uma 
resultante negativa. 
 
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Acho que com todas essas minhas observações, você já pode andar sozinho e solucionar alguns 
problemas pelo método dedutivo, usando a álgebra das proposições. Deixarei os próximos cinco 
para serem destrinchados no próximo encontro. 
 
Vou lá, que a minha namorada está me chamando.... 
 
Fui! 
 
 
 
Exercícios 
 
 
(TCE/RN-2000) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é 
careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo: 
 
a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo 
b) Bernardo é barrigudo ou César é careca 
c) César é careca e Maria é magra 
d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo 
e) Lúcia é linda e César é careca 
 
(Engenheiro do Trabalho-1998) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto 
de vista lógico, o mesmo que dizer que: 
 
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista 
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro 
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista 
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista 
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 
 
(Engenheiro do Trabalho-1998) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo 
o guarda-chuva" é: 
 
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva 
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva 
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva 
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 
 
(Engenheiro do Trabalho-1998) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, 
então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: 
 
a) o jardim é florido e o gato mia 
b) o jardim é florido e o gato não mia 
c) o jardim não é florido e o gato mia 
d) o jardim não é florido e o gato não mia 
e) se o passarinho canta, então o gato não mia 
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(Engenheiro do Trabalho-1998) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, 
independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: 
 
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo 
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo 
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo 
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo 
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo