Lista 3 calculo 2

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UFPB / CCEN / Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral II
3a Lista de Exercícios - Período 2011.2
Professor:Fred
1. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
2. Calcule a área das regiões abaixo :
a) Interior do círculo de raio R.
b) Interior da elipse de equação
x2
a2
+
y2
b2
= 1 .
3. Determine o comprimento das curvas dadas abaixo :
a) x2 + y2 = R2 b) y = x2; 0 � x � 1
c) y = x
3
2 , 1 � x � 3 d) y = ex , 0 � x � 1
e) 8x2 = 27y3 ,1 � x � 8 f) (y + 1)2 = (x� 4)3 , 5 � x � 8
g) y = x2 + 2x� 1 , 0 � x � 1 h) y = 1� log (sin x) , �
6
� x � �
4
i) y =
p
x
2
� 2
p
x3
3
, 1 � x � 3 j) y = x
3
12
+
1
x
, 1 � x � 2
k) y +
1
4x
+
x3
3
= 0 , 2 � x � 3 l) y =
p
x
3
(3� x) , 0 � x � 3
m) y =
x3
2
+
1
6x
, 1 � x � 3 n) y = 2
3
(1 + x2)
3
2 , 0 � x � 3
4. Calcule o comprimento de arco das curvas dadas abaixo na forma paramétrica :
a)
8<:
x (t) = t3
y (t) = t2
1 � t � 3
b)
8<:
x (t) = et cos t
y (t) = et sin t
0 � t � 1
c)
8<:
x (t) = 2 (1� sin t)
y (t) = 2 (1� cos t)
0 � t � �
d)
8<:
x (t) = t cos t
y (t) = t sin t
0 � t � �
e)
8<:
x (t) = cos 2t
y (t) = sin2 t
0 � t � �
f)
8<:
x (t) = 1
2
t2 + t
y (t) = 1
2
t2 � t
0 � t � 1
5. Obtenha uma parametrização para o hipociclóide de equação x
2
3 + y
2
3 = a
2
3 , e em
seguida calcule o seu comprimento.
6. Localizar os seguintes pontos dados em coordenadas polares (r; �) e depois obter as
coordenadas cartesianas correspondentes :
a) (2; �=4) b) (2; 3�=2) c) (3; �=6) d) (1;��=4)
e) (2; 5�=6) f) (�1;��=4) g) (�2; 7�=6) h) (�3; 13�=6)
7. Encontre as coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas são :
a) (1=2; 1=2) b) (�=2; �=2) c)
�
�
p
2
2
;
p
2
2
�
d)
�
3; 3
p
3
�
e) (�1;�1) f) �1;p3� g) ��p3; 3� h) (0;�4)
8. Passe para a forma polar ( r = f (�) ) cada curva dada a seguir em coordenadas
cartesianas :
a) xy = 2 b) x2 + y2 � 3y = 0 c) 3x2 + 5y2 = 15
d) x = �1 e) x2 � y2 = 1 f) y2 = 4x
9. Passe para a forma cartesiana ( F (x; y) = 0 ) cada curva dada a seguir em coorde-
nadas polares. Esboce o grá…co em cada caso :
a) r = � b) r = sen2� c) r = 2sen� d) r = 5
e) r = a cos � f) r = 5 + 2 cos � g) r = 3 sec � h) r = 2tg�
i) r = 1 +
p
2 cos � j) r = 2 + sen2� l) r2 =
2a2 cos �
3
m) r =
1
�
n) � =
�
2
0) r =
4
1 + cos �
p) r =
4
1� cos �
10. Sejam (r; �) e (�; �) as coordenadas polares dos pontos P e Q , respectivamente.
Usando a lei dos cossenos, mostre que a distância entre P e Q é dada por :
dist (P;Q) =
p
r2 + �2 � 2r� cos (� � �)
11. Usando o exercício anterior, conclua que, em coordenadas polares. o circulo de
centro no ponto (�; �) e raio a > 0 , tem equação polar dada por :
r2 + �2 � 2r� cos (� � �) = a2
12. Considere a curva de equação polar r = sen� + cos � , � 2 ���
4
; �
4
�
. De duas
maneiras identi…que a curva como um arco de circunferência : primeiro passe
a equação para coordenadas cartesianas e identi…que a curva; depois coloque a
equação no contexto geral do exercício anterior.
13. Mostre que cada uma das equações abaixo representa uma reta e esboce seu grá…co
:
a) � = c b) r cos � = �a c) rsen� = �a
14. Estude a interseção entre os seguintes pares de curvas, dadas em coordenadas po-
lares :
a) r = 2 e r = 4 cos � b) r2 = 4sen2� e r = 2
p
2 cos �
c) r = 1 + cos � e r =
1
2 (1� cos �) d) � =
�
4
e r = 2 cos �
15. Calcule o comprimento das seguintes curvas, dadas na forma polar :
a) r = 3 cos � , 0 � � � � b) r = 1� cos � , 0 � � � �
2
c) r = 2 sec � , 0 � � � �
3
d) r = jsen�j , 0 � � � �
2
e) r =
1
3
� , 0 � � � �
2
f) r = 3 cos2
�
�
2
�
, 0 � � � �
2
g) r = asen3
�
�
3
�
, 0 � � � �
2
h) r = a�2 , 0 � � � �
2
i) r = sen� + cos � , 0 � � � �
2
16. Determine a área interior a cada curva dada abaixo, na forma polar :
a) r2 = a2 cos 2� b) r = a (2� cos �) c) r = a (1 + cos 2�)
d) r = 2asen� e) r2 = 1� cos � f) r2 = 2a2 cos2
�
�
2
�
17. Calcule a área das regiões descritas abaixo e esboce o grá…co.:
a) Interior ao círculo r = a e exterior à cardióide r = a (1� cos �) .
b) Interior à cardióide r = a (1 + sen�) e exterior ao círculo r = asen� .
c) Comum aos círculos r = 2asen� e r = 2a cos � .
d) Interior à Leminiscata de Bernoulli r2 = 2a2 cos 2� e exterior ao círculo r = a
.
e) Interior ao círculo r = 3a cos � e exterior à cardióide r = a (1 + cos �) .
f) Rosácea de 4 folhas r = a jsen2�j .
18. Em cada caso abaixo esboce a região limitada pelas curvas dadas, e em seguida
calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região obtida,em torno do eixo
indicado :
a) xy = 1 , x = 1 , y = 0 ; eixo de rotação : y = 0 (eixo x) .
b) y = x2 � 4x , y = 0 ; eixo de rotação : y = 0 (eixo x) .
c) y = x2 , y = 4� x2 ; eixo de rotação : y = 0 (eixo x) .
d) y =
p
x , y = 0 , x = 4 ; eixo de rotação : reta x = 4 .
e) x2 + y2 = 1 ; eixo de rotação : reta x = 2 .
f) y = x4 � 2x2 , y = 2x2 ; eixo de rotação : x = 0 (eixo y) .
g) y =
p
x , y = 0 , x = 4 ; eixo de rotação : reta y = 2 .
h) x = y , y = 0 , x = 2 ; eixo de rotação : x = 0 (eixo y) .
i) y = 0 , y = x2 , y = 2x� 1 ; eixo de rotação : y = 0 (eixo x) .