Lista 3 (calculo II)

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UNIFACS - 
Cursos de Engenharia
Disciplina: 
Cálcul
o Integral
Ano: 2013
3ª Lista de Exercícios – 2013.2
1) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo Ox, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas abaixo:
a) y = x +1, x = 0 , x = 2 e y = 0 b) y = x e y = x2
c) y = x2 e y = x3 d) y = , x = 1, x = 2, e y = 0 
e) y = x3, x = -1, x = 1, e y = 0 f)y =x2 +1, x = 0, x=2 e y=0 
g) y =, x = 2, x = 5 e y = 0 h)y =cosx, y =senx , x=0 e x=
2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y = 2 da região limitada por y = ; y = 2; e x = 2 
3) Calcular o volume gerado pela rotação da região y = 3 , 1≤ x ≤ 3 , em torno da reta y =2
4) Calcular o volume gerado pela rotação da região y =1/2 x + 2 , 1≤ x ≤ 2 , em torno da reta y =1
Obs: Não confundir o cálculo acima com o do volume gerado pela rotação da região determinada por y=1, y =1/2 x + 2 , 1≤ x ≤ 2 em torno do eixo Ox. Melhor dizendo, não confundir as integrais
		
5) Considere a região R limitada pelas curvas e y = x. Dê apenas a expressão da integral( indicando os limites de integração), que permite calcular o volume do sólido obtido, nos seguintes casos:
a) R gira em torno de OY; b) R gira em torno de x = 1
6) Considere R a região limitada pela curva e a reta y = 2, no 1º quadrante. Dê a expressão da integral ( indicando os limites de integração) que permite calcular o volume gerado pela rotação de R em torno de:
a) 0Y; b) y = 3; c) x = 1
7) Considere a região R limitada pela curva as retas x = 2 e y = 2. Esboce a região R e:
a) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação deRem torno de y = 2.
b) Dê a expressão da integral ( indicando os limites de integração) que permite calcular o volume gerado pela rotação de R em torno de:
b1) y = 0; b2) y = 3; b3) x = 0; b4) x = 2 
8) Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes
a) ; b) ; c) ; 
d); e) ; f) 
9) Esboce a região e encontre a área (se a área for finita)
a) S = b) S = 
c) S = 
10) Determine os valores de p para os quais a integral converge, para os quais diverge e avalie a integral quando ela convergir .
11) A vida média M de um átomo numa substância radioativa é definida como sendo , onde k é uma constante negativa que depende da substância. Sabendo que para o isótopo radioativo do carbono, , k = 0,00012, calcule a vida média de um átomo de .	
12) Encontrar a área sob o gráfico da curva de y = para x ≥ 1.
Respostas:
1) a)b) u.v. c) u.v d)u.v e)u.v f )u.v g)u.v. h) u.v.
2) u.v. 3) 2 u.v. 4) u.v. 5) a) V= b) 
6) a) b) c) 
7) a) u.v. 
b1) b2) b3) b4) 
8) a) 1/12 ; c) 1; d) . As demais divergem 
9) a) e b) 2e c) 1 
10) converge se p e , diverge se p .; 
11) M 8.333
12) ½ 
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