Ferramental Matemático_EDO_Gabarito

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Marcelo de Sales Pessoa
Ferramental Matemático
Equações Diferenciais
Gabarito
Q1.:
a) Estado estacionário: y� = ba
Dinâmica:
Estabilidade: estado estacionário instável.
b) Estado estacionário: y� = ba
Dinâmica:
Estabilidade: estado estacionário estável.
c) Estados estacionários: _y = 0 e y� =
�
�
s
� 1
��1 :
Dinâmica:
Estabilidade: y� = 0 não é um estado estacionário estável; y� =
�
�
s
� 1
��1 é
um estado estacionário estável.
1
Q2.: Encontre a solução analítica para:
a) y (t) = at+ b
b) y (t) = b+ a0t+ a1 t
2
2 + a2
t3
3 + :::+ an
tn+1
n+1
c) y (t) = �e�atINT (t) + e�atb
d) y (t) = �1 + bet
e) y (t) = et � 1
f) y (t) = et�1000 � 1
Q3:
a) Estado estacionário: (y�1 ; y
�
2) = (0; 0)
Dinâmica:
Estabilidade: instável.
b) Estado estacionário: (y�1 ; y
�
2) = (0; 0) :
Dinâmica:
Estabilidade: estável.
c) Estado estacionário: (y�1 ; y
�
2) = (0; 0) :
Dinâmica:
2
Estabilidade: Caminho-sela.
Q4: Estado estacionário:
_y1 (t) = 0:06y1 (t)� y2 (t) + 1:4
) 0 = 0:06y1 (t)� y2 (t) + 1:4
, y2 = 1:4 + 0:06y1
_y2 (t) = �0:004y1 (t) + 0:04
) 0 = �0:004y1 (t) + 0:04
, y�1 = �
0:04
0:004
= 10
y�2 = 1:4 + 0:06y1 (t) = 1:4 + 0:06� 10
= 2
(y�1 ; y
�
2) = (10; 2) :
Dinâmica:
Estabilidade: caminho-sela.
Trajetória especí…ca: Esse caminho depende das condições iniciais/…nais:
y1 (0) = 1 e limt!1
�
e�0:06ty1 (t)
�
= 0:
Segundo a condição inicial, ele vai começar em algum ponto na reta vertical
que passa pelo ponto y1 = 1:
A condição …nal diz que y1; multiplicado por um termo e�0:06t; vai a zero
com o passar do tempo. Isso acontece apenas se y1 tender a uma constante ao
longo do tempo. Então, a trajetória especí…ca é o braço estável começando em
y1 (0) = 1, pois, nesse caso,y1 tende a 10.
Q5: Estado estacionário:
3
_k (t) = k (t)
0:3 � c (t)
0 = k (t)
0:3 � c (t)
c (t) = k (t)
0:3
e
_c (t) = c (t)
h
0:3k (t)
�0:7 � 0:06
i
0 = c (t)
h
0:3k (t)
�0:7 � 0:06
i
Então, temos:
0:3k (t)
�0:7 � 0:06 = 0
k� =
�
0:06
0:3
�� 107
� 10
e
c� = k�0:3 = 9:96620:3 � 2
Dinâmica:
Estabilidade: caminho-sela
Q6: Para encontrar os autovalores, devemos usar a equação característica:
det (A� �I) = 0
) �2 � 0:06�� 0:004 = 0
então, os autovalores são �1 = 0:1 e �2 = �0:04:
Os autovetores associados a esses autovalores são encontrados por meio da
equação:
(A� �I) v = 0
4
Para �1 = 0:1, temos:� �0:04v11 � v21 = 0
�0:004v11 � 0:1v21 = 0
Essas equações são linearmente dependentes. Qualquer solução única para
as variáveis é arbitrária. Então, faça v11 = 1: Nesse caso, v21 = �0:04
E o primeiro autovetor será:�
v11
v21
�
=
�
1
�0:04
�
Agora, fazendo o mesmo para �2 = �0:04; temos:�
v12
v22
�
=
�
1
0:1
�
Q7: Esse sistema é do tipo:
_y (t) = Ay (t)
onde
A =
�
0:06 �1
�0:004 0
�
A solução desse sistema é:
y = V Eb
Da Q6, sabemos que:
V =
�
1 1
�0:04 0:1
�
e �1 = 0; 1 e �2 = �0; 04:
Então:
E =
�
e0:1t 0
0 e�0:04t
�
b =
�
b1
b2
�
Assim, temos:
y1 (t) = b1e
0:1t + b2e
�0:04t
y2 (t) = �0:04b1e0:1t + 0:1b2e�0:04t
5
Q8: Temos:
_y1 (t) = 0:06y1 (t)� y2 (t)
) 0 = 0:06y1 (t)� y2 (t)
, y2 (t) = 0:06y1 (t)
e
_y2 (t) = �0:004y1 (t)
) 0 = �0:004y1 (t)
, y�1 = 0
Então, o estado estacionário é: (y�1 ; y
�
2) = (0; 0)
Dinâmica:
Q9: Temos:
_z (t) = Dz (t)
onde
D =
�
0:1 0
0 �0:04
�
então:
_z1 (t) = 0:1z1 (t)
_z2 (t) = �0:04z2 (t)
Estado estacionário: (z�1 ; z
�
2) = (0; 0)
Dinâmica:
6
Estabilidade: tipo caminho-sela.
Q10:
a) Nesse caso, temos:�
_y1 (t)
_y2 (t)
�
=
�
0:06 �1
�0:004 0
� �
y1 (t)
y2 (t)
�
+
�
1:4
0:04
�
ou seja:
_y (t) = Ay (t) + x (t)
Das questões anteriores, temos:
D =
�
0:1 0
0 �0:04
�
V =
�
1 1
�0:04 0:1
�
Além disso,
V �1 =
�
10
14 � 10014
4
14
100
14
�
Agora, se de…nirmos:
z � V �1y
O novo sistema será:
_z = Dz + V �1x
�
_z1 (t)
_z2 (t)
�
=
�
0:1 0
0 �0:04
� �
z1 (t)
z2 (t)
�
+
�
10
14 � 10014
4
14
100
14
� �
1:4
0:04
�
Então:
7
_z1 (t) = 0:1z1 (t) + 10=14
_z2 (t) = �0:04z2 (t) + 9:6=14
A solução desse sistema é :
z1 (t) = �100
14
+ b1e
0:1t
z2 (t) =
240
14
+ b2e
�0:04t
Então, �
z1 (t)
z2 (t)
�
=
� � 10014 + b1e0:1t
240
14 + b2e
�0:04t
�
Agora, podemos transformar z de volta em y: Sabemos que: z = V �1y:
Então, basta pré-multiplicar por V :
y = V z�
y1 (t)
y2 (t)
�
=
�
1 1
�0:04 0:1
� � � 10014 + b1e0:1t
240
14 + b2e
�0:04t
�
Então,
y1 (t) = 10 + b1e
0:1t + b2e
�0:04t
y2 (t) = 2� 0:04b1e0:1t + 0:1b2e�0:04t
Agora, devemos determinar b1 e b2 :
Temos:
y1 (0) = 1
) 1 = 10 + b1e0:1�0 + b2e�0:04�0
, b1 + b2 = �9
e também:
lim
t!1
�
e�0:06ty1 (t)
�
= 0
) lim
t!1
�
e�0:06t
�
10 + b1e
0:1t + b2e
�0:04t�� = 0
, lim
t!1
�
e�0:06t10 + b1e0:04t + b2e�0:1t
�
= 0
8
Esse limite será igual a zero se b1 = 0, caso contrário, o termo com b1 iria
para o in…nito:
Então,
b2 = �9 e b1 = 0
Assim, temos as trajetórias exatas:
y1 (t) = 10� 9e�0:04t
y2 (t) = 2� 0:9e�0:04t
b) Serão:
y1 (0) = 10� 9e�0:04�0 = 1
y2 (0) = 2� 0:9e�0:04�0 = 1:1
c) Temos os valores iniciais (y1 (0) ; y2 (0)) = (1; 1:1) e o estado estacionário
(y�1 ; y
�
2) = (10; 2) : Então:
d) Temos:
_z1 = 0, z�1 (t) = �
10
14
� 1
0:1
' �7
_z2 (t) = 0, z�2 (t) = �
9:6
14
� 1�0:04 ' 17
Estado estacionário: (z�1 ; z
�
2) = (�7; 17)
Dinâmica:
Estabilidade: caminho-sela.
9
Q11: Esse sistema já foi analisado gra…camente em Q5. Seus estados esta-
cionários eram: k� = 10 e c� = 2:
Podemos linearizá-lo usando a expansão de Taylor em torno do estado esta-
cionário:
_k = 0:3k��0:7 (k � k�)� (c� c�)
= 0:3� 10�0:7 (k � 10)� (c� 2)
= 0:06k � c+ 1:4
e
_c = c� � 0:3��0:7� k��1:7 (k � k�) + (0:3k��0:7 � 0:06) (c� c�)
= 2� 0:3��0:7� 10�1:7 (k � 10) + �0:3� 10�0:7 � 0:06� (c� 2)
= �0:008k + 0:08
Então, o sistema linearizado é:
_k = 0:06k � c+ 1:4
_c = �0:008k + 0:08
Esse sistema linear já foi resolvido na questão Q10 a). A dinâmica era:
y1 (t) = 10� 9e�0:04t
y2 (t) = 2� 0:9e�0:04t
Q12: Nesse caso, a EDO é do tipo:
_y (t) + a (t) y (t) + x (t) = 0
com a (t) = 2t e x (t) = �t+ 1� 1t e y (1) = 1=2
A solução é dada pelos seguintes passos:
1o:
_y +
2
t
y = t� 1 + 1
t
2o: multiplicar os dois lados da equação por:
e
R t
1
a(�)d� = e
R t
1
2
� d�
pois, nesse problema, o valor inicial de t não é 0, mas 1.
Sabemos que:
10
Z t
1
2
�
d� = 2 (ln t� ln 1 + b0) = 2 ln t+ b0
Então,
e
R t
1
2
� d� = e2 ln t+b0 = eln t
2+b0
= t2eb0 = t2b1
Assim, basta multiplicar os dois lados da equação por t2b1 : (aqui, vemos
que não precisávamos da constante de integração nesse caso)
t2b1
�
_y +
2
t
y
�
= t2b1
�
t� 1 + 1
t
�
t2
�
_y +
2
t
y
�
= t2
�
t� 1 + 1
t
�
t2 _y + 2ty = t3 � t2 + t
d
�
t2y
�
dt
= t3 � t2 + t
Integrando: Z
d
�
t2y
�
dt
=
Z �
t3 � t2 + t�
t2y =
t4
4
� t
3
3
+
t2
2
+ b
) y (t) = t
2
4
� t
3
+
1
2
+
b
t2
3o: como y (1) = 12 ; temos:
y (1) =
12
4
� 1
3
+
1
2
+
b
12
=
1
2
b =
1
12
Então,
y (t) =
t2
4
� t
3
+
1
2
+
1
12t2
11