Modelo de Gerações Sobrepostas_NotasI

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Marcelo de Sales Pessoa
Modelo de Gerações Sobrepostas de Allais (1947), Diamond (1958) e Samuel-
son (1965)
Bibliogra…a: Wickens (2008); Blanchard & Fischer (1989); Barro & Sala-i-
Martin (2004).
Modelo
Hipóteses
1. A vida de cada agente tem dois períodos: juventude e velhice;
2. Em cada período de tempo, há jovens e idosos;
3. Jovens e idosos tomam decisões intertemporais por dois períodos e por
um período respectivamente.
4. Jovens trabalham; idosos estão aposentados;
5. População cresce à taxa constante n.
6. Função de produção neoclássica.
De…nições
1. População:
Seja Lt = população total no tempo t: Então,
Lt = L1t + L2t
onde L1t = jovem e L2t = idoso.
obs.: Temos:
L2t = L1t�1
e
L1t = (1 + n)L1t�1
2. Consumo:
Consumo total:
Ct = C1t + C2t
Consumo per capita da geração i = 1; 2 no período t:
cit =
Cit
Lit
Então,
ct =
Ct
L1t
=
�
c1t +
c2t
(1 + n)
�
Restrição de Recursos da Economia
1
Temos a seguinte identidade:
Yt = Ct + St
Assumindo que It = St;
Yt = Ct + It (1)
Temos:
�Kt+1 = It � �Kt
) It = Kt+1 � (1� �)Kt (2)
(2) em (1):
Yt = Ct +Kt+1 � (1� �)Kt
Substituindo o consumo, temos:
Yt
L1t
=
�
c1t +
c2t
(1 + n)
�
+
Kt+1
L1t
� (1� �) Kt
L1t
De…na kt = KtL1t , capital por trabalho.
Então,
Yt
L1t
= ct + (1 + n) kt+1 � (1� �) kt
Agora,
Yt = F (Kt; L1t)
Para uma função neoclássica,
Yt
L1t
= f (kt)
Substituindo,
f (kt) = ct + (1 + n) kt+1 � (1� �) kt
Variação do Estoque de Capital
Temos:
�Kt+1 = It � �Kt
, Kt+1 = Yt � Ct + (1� �)Kt
Em equilíbrio,
2
Yt = wtL1t +RtKt
Assim,
Kt+1 = wtL1t +RtKt � Ct + (1� �)Kt
Em equilíbrio,
rt = Rt � �
Então,
Kt+1 = wtL1t � C1t � C2t + (1 + rt)Kt
Restrição orçamentária dos jovens e dos idosos
Jovens:
wtL1t � C1t = St
Idosos:
C2t+1 = (1 + rt+1)St
Substituindo na equação de movimento do capital:
Kt+1 � St = (1 + rt) [Kt � St�1]
Em equilíbrio,
Kt+1 = St 8t
Então,
st = (1 + n) kt+1
Problema dos agentes
max
c1t;c2t+1
U (c1t) + �U (c2t+1) s.a R.O.
Restrição Orçamentária per capita
Jovem:
wt = c1t + st
Idoso:
c2t+1 = (1 + rt+1) st
Restrição única:
3
c2;t+1 = (1 + rt+1) (wt � c1t)
Equação de Euler do Consumo
Temos:
max
c1t;c2t+1
U (c1t) + �U (c2t+1) s.a
c2;t+1 = (1 + rt+1) (wt � c1t)
Solução:
U 0 (c1t) = �U 0 (c2t+1) (1 + rt+1)
Equação de Euler do Consumo com utilidade CRRA/CES
Podemos escrever � = 11+� ; com � = taxa de impaciência do jovem.
Seja a função CRRA:
U (cit) =
c1�
it
1� 
Então,
c2t+1 =
�
1 + rt+1
1 + �
�1=
c1t
Efeito da Taxa de Juros sobre a Poupança
Restrição Orçamentária Intertemporal
Temos
wt = c1t +
c2;t+1
(1 + rt+1)
Poupador x Tomador
Restrições para jovem e para idoso em economia com renda do idoso:
w1t = c1t + at
(1 + rt+1) at + w2t+1 = c2t+1
Nesse caso, como há um w2t+1 > 0; podemos ter at < 0; o que signi…ca que
o jovem fez dívida ao invés de poupar.
Numa restrição única, temos:
wt +
w2t+1
(1 + rt+1)
= c1t +
c2t+1
(1 + rt+1)
4
Solução Analítica
Analiticamente, temos, o sistema de equações:�
(1 + �)U 0 (c1t)� (1 + rt+1)U 0 (c2t+1) = 0
c2;t+1 + (1 + rt+1) (c1t � wt) = 0
Devemos encontrar dc1tdrt+1 :
Regra de Cramer e Matriz Jacobiana
Def.: Regra de Cramer: Seja o sistema8<: a11x1 + :::+ a1nxn = b1...
an1x1 + :::+ annxn = bn
que pode ser escrito como:264 a11 ::: a1n... . . . ...
an1 ::: ann
375
264 x1...
x2
375 =
264 b1...
bn
375
Ou seja, como Ax = b. Então, temos:
xi =
detAi
detA
onde Ai é a matriz A com a coluna i substituída pelo vetor b:
Regra de Cramer em Cálculo Diferencial
Considere duas equações implícitas F (x; y; u; v) = 0 e G (x; y; u; v) = 0, onde
u e v são variáveis independentes (exógenas) e x e y são funções dessas variáveis:
x = x (u; v) e y = y (u; v) : Nesse caso,
@x
@u
= �det Ju;x
det J
onde J é a matriz jacobiana @(F;G)@(x;y) e Ju;x é a matriz jacobiana colocando as
derivadas das equações em relação a u na coluna das derivadas em relação a x :
@(F;G)
@(u;y) :
Def.:Matriz Jacobiana: Matriz de derivadas parciais de um sistema de
equações.
Então,
@x
@u
= �
det
"
@F
@u
@F
@y
@G
@u
@G
@y
#
det
"
@F
@x
@F
@y
@G
@x
@G
@y
#
5
Consumo e Taxa de Juros
Voltando ao sistema, temos:
�
F (c1t; c2t+1; rt+1; wt) = (1 + �)U
0 (c1t)� (1 + rt+1)U 0 (c2t+1) = 0
G (c1t; c2t+1; rt+1; wt) = c2;t+1 + (1 + rt+1) (c1t � wt) = 0
Então,
@c1t
@rt+1
= �det Jr;c1t
det J
= ��U
0 (c2t+1) + (1 + rt+1)U 00 (c2t+1) (c1t � wt)
(1 + �)U 00 (c1t) + (1 + rt+1)
2
U 00 (c2t+1)
Efeito Renda e Efeito Substituição
O sinal de @c1t@rt+1 depende do numerador. Se � > 1; o jovem reduz o consumo
com o aumento da taxa de juros.
Dinâmica e Equilíbrio
Temos:
st = wt � c1t
Pela equação de Euler do consumo, temos:
c2t+1 =
�
1 + rt+1
1 + �
�1=
c1t
Então,
st = wt �
�
1 + rt+1
1 + �
��1=
c2t+1
Da restrição orçamentária dos agentes:
c2t+1 = (1 + rt+1) st
Então, "
1 +
(1 + rt+1)
1�1=
(1 + �)
�1=
#
st = wt
Pela equação de equilíbrio do capital:
st = (1 + n) kt+1
Então, "
1 +
(1 + rt+1)
1�1=
(1 + �)
�1=
#
kt+1 =
wt
1 + n
6
Do equilíbrio competitivo,
rt = f
0 (kt)� �
wt = f (kt)� ktf 0 (kt)
Substituindo,"
1 +
(1 + f 0 (kt+1)� �)1�1=
(1 + �)
�1=
#
kt+1 �
�
f (kt)� ktf 0 (kt)
1 + n
�
= 0
Caso Especí…co: Cobb-Douglas
Suponha uma função de produção Cobb-Douglas f (k) = k� e uma função
de utilidade potência com 
 = 1: Assim, temos:"
1 +
(1 + f 0 (kt+1)� �)1�1=
(1 + �)
�1=
#
kt+1 �
�
f (kt)� ktf 0 (kt)
1 + n
�
= 0
, kt+1 = (1� �)
(1 + n) (2 + �)
k�t
, kt+1 = �k�t
onde � = (1��)(1+n)(2+�) > 0
Estados Estacionários
No estado estacionário, k�t+1 = k
�
t = k
�: Analiticamente, temos:
kt+1 = �k
�
t
Então, (0; 0) é um estado estacionário.
Temos também outro estado estacionário:
k� = �1=1��
Então,
k� =
�
(1� �)
(1 + n) (2 + �)
�1=1��
Solução Grá…ca
Estabilidade
No estados estáveis, dkt+1dkt < 1.
Consumo e Poupança nos Estados Estacionários
Após haver encontrado k�; temos:
7
s� = (1 + n) k�
então,
c�2 = (1 + r
�) s�
onde r� = f 0 (k�)� �:
Além disso,
c�1 =
�
1 + �
1 + r�
�1=
c�2
Regra de ouro e E…ciência
Temos a equação que relaciona consumo a estoque de capital:
f (kt) = ct + (1 + n) kt+1 � (1� �) kt
Em estado estacionário, temos:
c� = f (k�)� (n+ �) k�
Na regra de ouro, o consumo estacionário é máximo:
f 0
�
k�g
�
= (n+ �)
Para função Cobb-Douglas,
k�g =
�
�
n+ �
� 1
1��
Temos ine…ciência se k� > k�g :
, (1� �)
(1 + n) (2 + �)
>
�
n+ �
Outra forma de observar ine…ciência:
dc�
dk�
< 0, r� < n
Altruísmo, Herança e Horizontes In…nitos
Com herança:
Ut = U (c1t) + �U (c2t+1) + �
(1 + n)
(1 + �)
Ut+1
onde � é a taxa de egoísmo dos pais.
Substituindo a utilidade dos descendentes, temos:
8
Ut =
1X
i=0
�
�
(1 + n)
(1 + �)
�i
[U (c1t+i) + �U (c2t+1+i)]
onde �
�
(1 + n)
(1 + �)
�
< 1
Restrições:
wt + ht = c1t + st
c2t+1 + (1 + n)ht+1 = (1 + rt+1) st
Solução:
Derivando em relação a st e a ht+1 :
st :
�U 0(c1t) + � (1 + rt+1)U 0 (c2t+1) = 0
ht+1 :
�� (1 + n)U 0 (c2t+1) + � (1 + n)
(1 + �)
U 0 (c1t+1) = 0
Supondo função de utilidade potência, temos:
c2t+1 =
�
1 + rt+1
1 + �
�1=
c1t
e
c2t+1 = (1 + �)
1=
c1t+1
Então:
ct+1
ct
=
�
(1 + rt+1)
(1 + �) (1 + �)
�1=
Política Fiscal nos Modelos: Previdência
Regime de capitalização: toda a aposentadoria é paga com poupança pas-
sada.
Regime de repartição: toda a aposentadoria é paga com contribuições cor-
rentes.
Regime de Capitalização(fully funded)
Hipóteses:
1. O governo impõe uma contribuição previdenciária lump sum � t sobre os
jovens;
9
2. Essa contribuição é aplicada à taxa rt+1;
3. O resultado da aplicação pt+1 é devolvido na forma de previdência aos
jovens quando já são idosos;
Restrições orçamentárias
Jovens
wt = c1t + s
c
t + � t
onde sct é poupança numa economia com regime de capitalização forçada
pelo governo.
Idosos
c2t+1 = (1 + rt+1) s
c
t + pt+1
onde
pt+1 = (1 + rt+1) � t
Assim,
c2t+1 = (1 + rt+1) (s
c
t + � t)
Problema do agente
max
c1t;c2t+1
U (c1t) + �U (c2t+1) s.a
c2;t+1 = (1 + rt+1) (wt � c1t)
Então,
U 0 (c1t) = � (1 + rt+1)U 0 (c2t+1)
Restrição de Recursos na Economia
Temos:
Kt+1 = wtL1t � C1t � C2t + (1 + rt)Kt
Agora, temos, na restrição dos jovens:
wtL1t = C1t + S
c
t +�t
Restrição dos idosos:
C2t+1 = (1 + rt+1) (S
c
t +�t)
Então,
10
Kt+1 � (Sct +�t) = (1 + rt)
�
Kt �
�
Sct�1 +�t
��
Em equilíbrio:
Kt+1 = S
c
t +�t
Em termos per capita:
sct + � t = (1 + n) kt+1
Regime de Repartição (unfunded pension / pay-as-you-go)
Restrição Orçamentária do Governo
Restrição orçamentária do governo:
� t (L1t + L2t) = ptL2t
Restrição orçamentária dos jovens e dos idosos
Jovem:
wt = c1t + s
r
t + � t
Idoso:
(1 + rt+1) s
r
t + pt+1 = c2t+1 + � t+1
Da restrição orçamentária do governo,
ptL2t = � t (L1t + L2t)
Então, a restrição do idoso é
c2t+1 = (1 + rt+1) s
r
t + (1 + n) � t+1
Equação de movimentação do capital
Temos:
Kt+1 = wtL1t � C1t � C2t + (1 + rt)Kt
Substituindo as restrições de jovens e de idosos:
Kt+1 � Srt = (1 + rt)
�
Kt � Srt�1
�� n�t
Para �t constante, essa equação é satisfeita sempre que:
Kt+1 = S
r
t
Per capita:
11
srt = (1 + n) kt+1
Problema do Agente
max
c1t;c2t+1
U (c1t) + �U (c2t+1) s.a
wt = c1t + s
r
t + � t
c2t+1 = (1 + rt+1) s
r
t + (1 + n) � t+1
Essa restrição pode ser escrita como:
c2t+1 = (1 + rt+1) (wt � c1t � � t) + (1 + n) � t+1
Então, o problema …ca:
max
c1t
U (c1t) + �U ((1 + rt+1) (wt � c1t � � t) + (1 + n) � t+1)
E a CPO:
U 0 (c1t) = � (1 + rt+1)U 0 (c2t+1)
Dinâmica do estoque de capital
Temos:
c2t+1 = (1 + rt+1) (wt � c1t � � t) + (1 + n) � t+1
Assumindo imposto constante, � t+1 = � t
c2t+1 = (1 + rt+1) (wt � c1t) + (n� rt+1) � t
Agora, da equação de Euler:
c2t+1 =
�
1 + rt+1
1 + �
�1=
c1t
Assumindo 
 = 1; para simpli…car;
c1t =
�
1 + �
1 + rt+1
�
c2t+1
Então,
Temos:
(1 + rt+1) s
r
t =
(1 + rt+1)
(2 + �)
wt +
(n� rt+1)
(2 + �)
� t � (1 + n) � t
Podemos também substituir o salário por
12
wt = (1� �) k�t
E a poupança por:
srt = (1 + n) kt+1
Então,
kt+1 =
(1� �)
(1 + n) (2 + �)
k�t �
�
(1 + �)n+ rt+1 + (2 + �)
(1 + rt+1) (1 + n) (2 + �)
�
� t
Assim,
kt+1 = �k
�
t � t� t
onde � > 0 e t > 0:
Poupança e contribuição previdenciária
Da equação de Euler:
U 0 (c1t) = � (1 + rt+1)U 0 (c2t+1)
Agora, usando as restrições:
wt = c1t + s
r
t + � t
e
c2t+1 = (1 + rt+1) s
r
t + (1 + n) � t+1
temos:
U 0 (wt � srt � � t)� � (1 + rt+1)U 0 ((1 + rt+1) srt + (1 + n) � t) = 0
Então, podemos usar o teorema da função implícita:
@srt
@� t
= ��U
00 (c1t)� � (1 + rt+1) (1 + n)U 00 (c2t+1)
�U 00 (c1t)� � (1 + rt+1)2 U 00 (c2t+1)
< 0
13