Amortecimento e Ressonância em Física

Prévia do material em texto

ESTÁCIO CAMPO GRANDE-CAMPUS TV MORENA
Física Teórica II – Prof.ª Luciane M de Barros
AMORTECIMENTO
OSCILAÇÕES FORÇADAS
RESSONÂNCIA	
Raphael Renan de Paula
25/11/2015
	
	ESTÁCIO CAMPO GRANDE-CAMPUS TV MORENA
Física Teórica II – Prof.ª Luciane M de Barros
AMORTECIMENTO 
O amortecimento, ou atrito interno, é uma das propriedades mais sensíveis de materiais e estruturas, tanto em escala macro quanto microscópica, sendo particularmente sensível a presença de trincas e micro trincas. E o fenômeno pelo qual a energia mecânica de um sistema e dissipada (principalmente pela geração de calor e/ou energia). O amortecimento determina a amplitude de vibração na ressonância e o tempo de persistência da vibração depois de cessada a excitação.
Além da aplicação clássica nos estudo de metais e em engenharia civil (devido à importância do amortecimento também vem sendo empregada no estudo de concretos para avaliação do dano).
O amortecimento de um sistema ou material pode ser classificado de três formas principais: interno, estrutural e fluídico. O interno este associado aos defeitos na microestrutura, granularidade e impurezas do material e a efeitos termo elástico causado por gradientes locais de temperatura. Já o estrutural esta associado a perdas de energia por atrito em juntas, parafusos e articulações semirrígidas. 
Por ultimo, o fluídico ocorre por resistência ao arraste em meio fluídico, por exemplo, a conversão de energia cinética de um pêndulo em energia térmica para o ar.
Existem diversos métodos para determinação do amortecimento, os quais podem ser obtidos basicamente por dois caminhos: mediante a duração da resposta do sistema a uma excitação transitória (exemplo: método do decremento logarítmico) e em função da resposta do sistema em função da frequência (exemplo: método da largura de meia banda de potencia). O método do decremento logarítmico calcula o amortecimento a partir da atenuação da resposta acústica do material ou estrutura após uma excitação por impulso. O método da largura de meia banda de potencia calcula o amortecimento através da analise da frequência do sinal oriundo da vibração, a partir da relação entre a largura de banda e a frequência central de uma ressonância. Ambos os métodos consideram um modelo para cálculos, normalmente o modelo de amortecimento visco elástico. A escolha do método depende principalmente da faixa do amortecimento e da frequência de vibração.
APLICACOES DO AMORTECIMENTO
A aplicação do amortecimento diz respeito a área de engenharia civil, no sentido de garantir a integridade das estruturas no caso de abalos sísmicos. Porem a caracterização do amortecimento e empregada também para verificação da qualidade e resistência de soldas e juntas analise de dano a maquinário industrial e motores, ajustes de salas acústicas e estudo de concretos refratários para a avaliação do dono do choque térmico. Dada a sua grande importância, apresentamos abaixo, com maiores detalhes, as aplicações mais relevantes.
Engenharia Civil: Nas Duas ultimas décadas, o uso da chamada técnica de isolamento sísmico de base em estruturas civis, para a proteção de edifícios contra eventuais terremotos, tem-se desenvolvido rapidamente e tem alcançado ampla aceitação na engenharia sísmica. As vantagens que esta tecnologia fornece no comportamento dinâmico de estruturas submetidas a acaso sísmica fazem desta técnica uma alternativa dos métodos convencionais para combater terremotos, que são baseados somente na resistência estrutural e na capacidade de dissipação de energia. Esta nova estratégia tecnológica tem como principal objetivo a prevenção de danos dos elementos estruturais e não estruturais dos edifícios, os quais podem conter pessoas, equipamentos valiosos, ou material perigoso. Desta maneira os edifícios isolados, fornecem mais seguranças do que os edifícios não isolados.
O conceito de isolamento de base consiste em desacoplar o edifício ou a superestrutura das componentes horizontais do movimento do solo, pela interposição de elementos estruturais de baixa rigidez horizontal, entre superestrutura e a fundação. Isto permite que a frequência fundamental do edifício com isolamento de base seja inferior a frequência fundamental deste, se executado com base fixa bem como a frequência predominante de excitação sísmica. Esse tipo de isolamento vem sendo empregado em diversos países, em usinas nucleares, edifícios, pontes e plataformas de petróleo.
 RESSONÂNCIA
É o fenômeno que acontece quando um sistema físico recebe energia por meio de excitações de frequência igual a uma de suas frequências naturais de vibração. Assim, o sistema físico passa a vibrar com amplitudes cada vez maiores.
Cada sistema físico capaz de vibrar possui uma ou mais frequências naturais, isto é, que são características do sistema, mais precisamente da maneira como este é construído. Como por exemplo, um pêndulo ao ser afastado do ponto de equilíbrio, cordas de um violão ou uma ponte para a passagem de pedestres sobre uma rodovia movimentada.
Todos estes sistemas possuem sua frequência natural, que lhes é característica. Quando ocorrem excitações periódicas sobre o sistema, como quando o vento sopra com frequência constante sobre uma ponte durante uma tempestade, acontece um fenômeno de superposição de ondas que alteram a energia do sistema, modificando sua amplitude.
Conforme estudamos anteriormente, se a frequência natural de oscilação do sistema e as excitações constantes sobre ele estiverem sob a mesma frequência, a energia do sistema será aumentada, fazendo com que vibre com amplitudes cada vez maiores.
Um caso muito famoso deste fenômeno foi o rompimento da ponte Tacoma Narrows, nos Estados Unidos, em 7 de novembro de 1940. Em um determinado momento o vento começou soprar com frequência igual à natural de oscilação da ponte, fazendo com que esta começasse a aumentar a amplitude de suas vibrações até que sua estrutura não pudesse mais suportar, fazendo com que sua estrutura rompesse.
O caso da ponte Tacoma Narrows pode ser considerado uma falha humana, já que o vento que soprava no dia 7 de Novembro de 1940 tinha uma frequência característica da região onde a ponte foi construída, logo os engenheiros responsáveis por sua construção falharam na análise das características naturais da região. Por isto, atualmente é feita uma análise profunda de todas as possíveis características que possam requerer uma alteração em uma construção civil.
Em física, ressonância é a tendência de um sistema a oscilar em máxima amplitude em certas frequências conhecidas como frequências ressonantes ou frequências naturais do sistema. Nessas frequências, até mesmo forças periódicas pequenas podem produzir vibrações de grande amplitude, pois o sistema armazena energia vibracional.
Um oscilador harmônico simples possui uma frequência angular natural relacionada com as características do sistema em questão. Quando o oscilador harmônico simples está sujeito a uma força externa periódica e contínua, o denominamos de oscilador forçado. Dependendo da frequência dessa força, pode ocorrer efeito ressonante.
Interpretaremos em um primeiro momento a ressonância de maneira idealizada, ou seja, não levaremos em conta as perdas de energia ocasionadas por atrito, por exemplo. Então, de maneira simplificada, a ressonância ocorre em um sistema quando o mesmo está sujeito a uma força externa contínua e periódica cuja periodicidade está diretamente relacionada com a frequência natural do sistema. Nesse caso, o sistema produzirá grandes amplitudes.
Contudo, a realidade não é tão simples, existem algumas perdas de energia de período a período, as quais denominaram de amortecimento. Quando o amortecimento é pequeno, a frequência de ressonância do sistema é aproximadamente igual à frequência natural do sistema.
Os sistemas possuem múltiplas e distintas frequências de ressonância e esse fenômeno ocorre com todos os tipos de vibrações ou ondas; mecânicas(acústicas), eletromagnéticas, e funções de onda quântica. Sistemas ressonantes podem ser usados para gerar vibrações de uma frequência específica, ou para obter frequências específicas de uma vibração complexa contendo muitas frequências.
A ressonância foi descoberta por Galileu Galilei quando começou suas pesquisas com pêndulos e cordas musicais no começo de 1602. Outros acreditam que Pitágoras foi o pioneiro no assunto muito antes durante sua vida entre 570 - 495 anos A.C. especialmente na investigação sobre teorias musicais.
Ressonância magnética é uma técnica que permite determinar propriedades de uma substância através do correlacionamento da energia absorvida contra a frequência, na faixa de mega-hertz (MHz) do espectro magnético, caracterizando-se como sendo uma espectroscopia. Usa as transições entre níveis de energia rotacionais dos núcleos componentes das espécies (átomos ou íons) contidas na amostra. Isso se dá necessariamente sob a influência de um campo magnético e sob a concomitante irradiação de ondas de rádio na faixa de frequências acima citada.
 OSCILAÇÕES FORÇADAS
Com o intuito de apresentar uma base introdutória clara sobre ressonância, e para fins práticos, falaremos sobre ressonância no que concerne a perspectiva de osciladores harmônicos forçados. A ressonância elétrica possui a mesma equação que a ressonância em um sistema massa-mola, porém, com outras variáveis. Esse exemplo ilustra o fato de que a equação de ressonância é a mesma tanto para o caso elétrico, para o caso mecânico, quanto para os demais casos, a não ser pelas respectivas variáveis.
DESCRIÇÃO TEORICA DA RESSONANCIA EM OSCILACOES FORÇADAS
Uma criança que se diverte em um balanço sem que ninguém a empurre constitui um exemplo de oscilação livre. Contudo, se a esse movimento for acrescentado uma força externa periódica, dizemos que a criança estará executando uma oscilação forçada, e dependendo da frequência da força a amplitude do movimento pode aumentar ou diminuir. Como veremos a seguir, a amplitude aumentará quando a frequência da força externa é a mesma da frequência natural do sistema. É o caso que aplicamos uma força externa periódica - empurramos a criança toda vez que o balanço se encontrar no máximo de altura (máxima energia potencial - com a mesma frequência do movimento livre).
A um sistema que executa oscilações forçadas podemos associar duas frequências angulares (as relações matemáticas entre os termos físicos estão explicitados abaixo): uma delas está de acordo com a frequência angular das oscilações livres do sistema, ou seja, é a frequência natural do sistema adquirido a partir de uma perturbação curta; e a outra está associada com a frequência angular da força externa (contínua e periódica) que produz a oscilação forçada. Note que em um momento falamos sobre frequência angular natural e em outro apenas sobre frequência natural. Isso se deve pelo fato de que as duas grandezas estão relacionadas por uma constante , descritas a seguir:
A amplitude do sistema de oscilação forçada ideal é máxima quando a frequência angular da força externa é igual à frequência angular natural do sistema. Essa situação caracteriza um caso de ressonância, na qual o sistema passa a oscilar com uma amplitude crescente. Na verdade, como veremos na interpretação matemática, essa amplitude seria infinita. O sistema não atinge essa amplitude devido a alguns outros termos de atrito e resistência do material que não foram considerados
Para um sistema que sofre oscilação forçada com amortecimento (caso real), percebemos que o menor amortecimento está associado a um pico de ressonância mais alto. 
Apesar de termos usado o exemplo particular da criança no balanço como interpretação simplificada da ressonância pode generalizar as implicações para outros diversos casos em muitos campos diferentes, e também perceberíamos que as equações seriam as mesmas. Existem muitas situações na natureza na qual algo está oscilando e na qual o fenômeno de ressonância ocorre. Todas as estruturas mecânicas possuem uma ou mais frequências naturais de vibração. Se a estrutura é submetida a forças periódicas de mesma frequência ou próxima a frequência natural pode ocorrer o efeito de ressonância, de forma mais brusca ou não dependendo do amortecimento do sistema, e isso pode causar a ruptura da estrutura. Para efeitos de interpretação, a força externa poderia ser a força causada por um terremoto, nesse caso.
DESCRIÇÃO MATEMATICA DA RESSONANCIA EM OSCILACOES FORÇADAS
2ª Lei de Newton:
Lei de Hooke:
A frequência das oscilações será dada pela seguinte relação:
Identidades:
  : frequência natural do sistema em questão; ·: frequência da força externa;
Se definirmos , então a equação do oscilador harmônico simples poderá ser escrita do seguinte modo:
Solução homogênea da equação do oscilador harmônico simples:
A seguir discutiremos o oscilador harmônico forçado. A equação então é a seguinte:
Sabemos que a solução da parte homogênea dessa equação diferencial, ou seja, a solução (usando ) de:
É:
Precisamos descobrir qual é a solução particular referente a força externa .
A força externa pode ter diversos tipos de dependências funcionais com diferentes frequências. Tentaremos resolver a equação com uma força especial, uma força oscilante:
Note que  não é necessariamente o mesmo que . Temos  sob o nosso controle; Então devemos resolver tal equação. Com conhecimento prévio de diferenciais percebemos que uma solução particular é do tipo:
  , onde a constante é para ser determinada.
Então jogamos essa solução  na equação do oscilador harmônico forçado com  explicito. Colocamos também  e encontraremos:
Como o cosseno aparece em todos os lugares, podemos dividir a equação toda por ele e mostrar que a solução especial  é, de fato, uma solução, se escolhermos o  corretamente. A resposta é que  deve ser
Podemos, também, interpretar o caso de ressonância a partir de uma força externa periódica que já tenha a mesma frequência angular natural do sistema[3] , o que é diferente do primeiro caso, no qual consideramos que a força externa não possuía a mesma frequência angular natural do sistema, mas que a fazíamos assumir o valor ao analisarmos a solução geral. Então, a partir dessa perspectiva, podemos considerar a força externa como:
Assim, percebemos que existe uma similaridade dessa solução, com a solução que já conhecemos da parte homogênea que é:
Com o conhecimento de equações diferenciais é fácil perceber que a solução particular referente a força externa precisa ser da seguinte forma para produzirmos soluções linearmente independentes:
 , onde a constante é para ser determinada. Substituindo a equação da solução particular na equação do sistema, encontramos a seguinte constante referente a força externa:
Então, a solução geral é da forma:
E, novamente, percebemos que a força externa passa a governar o sistema se se considerar tempos sucessivos, na qual a amplitude do termo periódico na solução geral, referente à força externa, só tende a aumentar com o decorrer do tempo. Chegamos, mais uma vez, num resultado que está de acordo com a explicação teórica acima e que configura o efeito de ressonância.
CONCLUSÃO
Apresentei neste trabalho o conceito de amortecimento e os tipos de classificação nos quais ele se divide. Mostrei os métodos de determinação experimental bem como as importantes aplicações e desta forma, podemos inferir que:
O amortecimento é uma das propriedades mais sensíveis de materiais e estruturas, sendo seu conhecimento fundamental para diversas aplicações, como:
 Estudo de materiais, para as avaliações de alterações micro estruturais e ocorrência de defeitos.
Estudo de concretos refratários, para avaliação do dano por choque térmico, construção civil, a fim de evitar os desastres causados por abalos sísmicos;
Verificação da qualidade e resistência de soldas e juntas;
Ajuste de salas acústicas, etc.
Quanto as Oscilações forcadas e Ressonância afrequência angular ω, a amplitude das oscilações forçadas será tanto maior também quanto menor o atrito. Por isso, na ressonância, não se pode desprezar o atrito do sistema, mesmo que ele seja pequeno. Caso contrário, a amplitude máxima tende ao infinito e, na verdade, antes disso, o sistema já estaria destruído.
 7. BIBLIOGRAFIA 
 1 LAZAN, B.J. Damping of Materials and Members in Structural Mechanics. Oxford, USA:
Pergamon Press, 1968.
2 DIETERLE, R., BANCHMANN, H. Experiments and Models for the Damping Behaviour.
International Association for Bridge and Structural Engineering Report of the Working
Comissions, v. 34, p. 69-82, 1981.
3 SILVA, C.W. Vibration Damping, control, and design. Vancouver, Canada: Taylor & Francis Group, 2007.