Ressonância em ondas

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Introdução
Vimos que nas oscilações amortecidas, o sistema dissipa energia continuamente. A fim de manter um sistema amortecido oscilando, é necessário injetar energia no sistema. Se a energia for injetada numa taxa maior do que a energia estiver sendo dissipada, há um aumento na amplitude de oscilação. Se a energia for injetada na mesma taxa de dissipação, a amplitude permanece constante com o tempo. Nesse último caso, dizemos que o sistema está no estado permanente. A amplitude de um sistema no estado permanente depende não apenas da amplitude da fonte excitadora mas também de sua frequência. Quando o sistema não está sujeito a uma força excitadora e não há amortecimento, o sistema oscila numa frequência chamada frequência natural. Se a frequência de excitação for igual à frequência natural do sistema, ele passa a oscilar com amplitude muito maior do que a amplitude da força excitadora. Esse fenômeno é chamado de ressonância. No caso do pêndulo de Pohl, o sistema é forçado a oscilar por um motor de frequência . 
Objetivos
 estudar a variação da amplitude do oscilador forçado com a frequência e determinar afrequência de ressonância.
Oscilações forçadas e ressonância
Para manter um sistema amortecido oscilando indefinidamente, energia mecânica deve ser injectada no sistema. Quando isto é feito, o oscilador é dito excitado ou forçado. Quem mantém uma criança oscilando, no balanço de jardim, empurrando-a pelo menos uma vez cada ciclo, esta forçando uma oscilador. Se o mecanismo de excitação injecta energia no sistema a uma taxa maior do que com a taxa com que ela é dissipada, a energia mecânica do sistema aumenta com o tempo e a amplitude aumenta. Se o mecanismo de excitação injecta energia a mesma taxa com que ela é dissipada, a amplitude permanece constante no tempo. Neste caso o movimento do oscilador é estacionário.
Portanto, com energia constante, em regime estacionário, a energia injectada no sistema pela força de excitação, a cada ciclo, é igual a energia dissipada pelo amortecimento em cada ciclo. 
A amplitude, e portanto a energia, de um sistema em regime estacionário não depende a pernas da amplitude de força de excitação, mas também depende de sua frequência. Frequência natural de um oscilador, é a sua frequência quando não há nem forças de excitação e nem força de amortecimento em presentes (no caso de uma mola, por exemplo ). Se a frequência de excitação é suficientemente próxima da frequência natural do sistema, o sistema oscilara com uma amplitude relativamente grande. 
Quando a frequência de excitação é igual a frequência natural do oscilador, a energia por ciclo transferida ao oscilador é máxima. A frequência natural do sistema é, então chamada de frequência de ressonância. Quando amortecimento é fraco (grande Q), a largura do pico de ressonância correspondente é pequena, e dizemos que a ressonância é estreita. Para amortecimento forte, a curva de ressonância é larga. A largura de cada curva de ressonância, , é largura na metade da altura máxima. Pode se mostrar que, para amortecimento fraco, a razão entre a largura de ressonância e frequência de ressonância é igual ao inverso do factor.
Ressonância em ondas estacionárias
Para um sistema que sofre oscilação forçada com amortecimento (caso real), percebemos que o menor amortecimento está associado a um pico de ressonância mais alto. 
Apesar de termos usado o exemplo particular da criança no balanço como interpretação simplificada da ressonância, podemos generalizar as implicações para outros diversos casos em muitos campos diferentes, e também perceberíamos que as equações seriam as mesmas. Existem muitas situações na natureza na qual algo está oscilando e na qual o fenômeno de ressonância ocorre. Todas as estruturas mecânicas possuem uma ou mais frequências naturais de vibração. Se a estrutura é submetida a forças periódicas de mesma frequência ou próxima a frequência natural pode ocorrer o efeito de ressonância, de forma mais brusca ou não dependendo do amortecimento do sistema, e isso pode causar a ruptura da estrutura. Para efeitos de interpretação, a força externa poderia ser a força causada por um terremoto, nesse caso.
Descrição matemática da ressonância em oscilações forçadas
Requisitos
2ª Lei de Newton 
Aplicada, de um corpo de massa preso a uma mola com constante de força e sujeito a uma força amortecimento e uma força externa fornece
 = 
Onde usamos substituindo por : termos +
Lei de Hooke:
.
A frequência das oscilações será dada pela seguinte relação:
Identidades:
 : frequência natural do sistema em questão; : frequência da força externa;
Se definirmos, então a a equação do oscilador harmônico simples poderá ser escrita do seguinte modo:
Solução homogênea da equação do oscilador harmônico simples:
Descrição matemática 1
A seguir discutiremos o oscilador harmônico forçado. A equação então é a seguinte:
Sabemos que a solução da parte homogênea dessa equação diferencial, ou seja, a solução (usando) de:
é:
Precisamos descobrir qual é a solução particular referente a força externa .
A força externa pode ter diversos tipos de dependências funcionais com diferentes frequências. Tentaremos resolver a equação com uma força especial, uma força oscilante:
.
Note que não é necessariamente o mesmo que . Temos sob o nosso controle; Então devemos resolver tal equação. Com conhecimento prévio de equações diferenciais percebemos que uma solução particular é do tipo:
onde a constante é para ser determinada.
Então jogamos essa solução na equação do oscilador harmônico forçado com explicito. Colocamos também e encontraremos:
Como o cosseno aparece em todos os lugares, podemos dividir a equação toda por ele e mostrar que a solução especial é, de fato, uma solução, se escolhermos o corretamente. A resposta é que deve ser
Ressonância
Então a solução particular é:
De fato, a solução geral do oscilador harmônico forçado será a soma da solução particular com a solução da equação homogênea:
.
Notemos, então, que quando a frequência angular da força externa se aproxima do valor da frequência angular natural do sistema sob oscilação livre, teremos um fator periódico com uma amplitude que tende ao infinito. Sabemos que não existe nenhum sistema que chegaria a esse ponto, pois além dele se partir antes, existem outros termos de atrito e outras forças que não consideramos por fins práticos mas que acontecem no tempo real. Ao somarmos a solução particular com a solução do caso homogêneo, percebemos que existe a concordância com o Princípio da Superposição das Ondas. Podemos interpretar essa situação, em que o sistema não pode atingir uma amplitude infinita, pela perspectiva do Princípio da Superposição das Ondas: só pode existir a sobreposição de ondas até o momento que o sistema em questão permitir, ou seja, o quanto a estrutura do material suporta, por exemplo. De fato estamos interessados no resultado qualitativo de tal equação. Chegamos num resultado que está de acordo com a explicação teórica acima e que configura o efeito de ressonância.
Descrição matemática 2
Podemos, também, interpretar o caso de ressonância a partir de uma força externa periódica que já tenha a mesma frequência angular natural do sistema, o que é diferente do primeiro caso, no qual consideramos que a força externa não possuía a mesma frequência angular natural do sistema, mas que a fazíamos assumir o valor ao analisarmos a solução geral. Então, a partir dessa perspectiva, podemos considerar a força externa como:
.
Assim, percebemos que existe uma similaridade dessa solução, com a solução que já conhecemos da parte homogênea que é:
.
Com o conhecimento de equações diferenciais é fácil perceber que a solução particular referente a força externa precisa ser da seguinte forma para produzirmos soluções linearmente independentes:
 onde a constante é para ser determinada. Substituindo a equação da solução particular na equação do sistema, encontramos a seguinteconstante referente a força externa:
Então, a solução geral é da forma:
E, novamente, percebemos que a força externa passa a governar o sistema se se considerar tempos sucessivos, na qual a amplitude do termo periódico na solução geral, referente a força externa, só tende a aumentar com o decorrer do tempo. Chegamos, mais uma vez, num resultado que está de acordo com a explicação teórica acima e que configura o efeito de ressonância.
Posição para um oscilador forçado
Onde a frequência angular é a mesma da força de excitação. A amplitude A é dado por 
Amplitude para um corpo oscilador forçado
E a constante de fase é dada por 
Constante de fase para um oscilador forçados
Comparando com as equações anteriores, podemos ver que o deslocamento e a forca de excitação oscilam com a mesma frequência, mas diferentes por na fase. Quando a frequência de excitação se a próxima de zero, se a próxima de zero como pode ser visto da equação (14-56) na ressonância, e é igual a e, quando é muito maior do que , se aproxima de . 
Se você mantém o movimento de sua mão a uma frequência várias vezes maior do que a frequência natural do pêndulo, o regime estacionário da régua será desfasado de quase em relação a sua mão. 
A velocidade do corpo em regime estacionário é obtida derivando-se em relação a :
Na ressonância, e a velocidade esta em fase com força de excitação 
 .
Assim, na ressonância o corpo será sempre se movendo no sentido da força de excitação como, é de se esperar com injecção máxima de potência. A amplitude da velocidade é máxima quando 
As oscilações amortecidas tomando como modelam uma partícula de massa unida a uma mola elástica de constante que experimenta uma força de atrito proporcional a velocidade. Como aplicação prática descrevemos um modelo simplificado que explica a deformação de um balão quando choca contra uma parede rígida.
Oscilações amortecidas
A experiência nos mostra que a amplitude de um corpo vibrante tal como uma mola ou um pêndulo, decresce gradualmente até que pare. 
Para explicar o amortecimento, podemos supor que além da força elástica F=-kx, atua outra força oposta a velocidade Fr=-bv, onde é uma constante que depende do sistema físico particular. Todo corpo que se move no seio de um fluído viscoso em regime laminar experimenta uma força de atrito proporcional a velocidade e de sentido contrário a esta.
A equação do movimento é escrita
Expressamos a equação do movimento na forma de uma equação diferencial, tendo em conta que a aceleração é a derivada segunda da posição x, e a velocidade é a derivada primeira de x.
 
A solução da equação diferencial tem a seguinte expressão
 
 (-)
As características essenciais das oscilações amortecidas:
A amplitude da oscilação diminui com o tempo. 
A energia do oscilador também diminui, devido ao trabalho da força Fr de atrito viscoso oposta a velocidade. 
No espaço de fases (v-x) o móvel descreve uma espiral que converge para a origem.
Se o amortecimento é grande, pode ser maior que , pode chegar a ser zero (oscilações críticas) ou imaginária (oscilações sobreamortecidas). Em ambos os casos, não há oscilações e a partícula se aproxima gradualmente da posição de equilíbrio. A energia que perde a partícula que experimenta uma oscilação amortecida é absorvida pelo meio que a rodeia.
Condições iniciais
A posição inicial x0 e a velocidade inicial v0 determinam a amplitude A e a fase inicial  . Para t=0, 
 
Neste sistema de duas equações é explicitada A e  a partir dos dados de x0   e v0
Exemplo: 
Seja uma oscilação amortecida de freqüência angular própria ω0=100 rad/s, e cuja constante de amortecimento γ=7.0 s-1. Sabendo que a partícula parte da posição x0=5 com velocidade inicial nula, v0=0, escrever a equação da oscilação amortecida.
A freqüência angular da oscilação amortecida ω é
-
.
A equação da oscilação amortecida é
Como vemos a amplitude não é 5 nem a fase inicial é , como nas oscilações livres.
Posição de retorno
As posições de máximo deslocamento, são aquelas nas quais a velocidade do móvel é zero. Na expressão da velocidade coloquemos e explicitamos o argumento 
.
 
As posições dos pontos de retorno são
Se o móvel parte da posição com velocidade , a fase vale , e 
 
A energia do oscilador amortecido
A energia da partícula que descreve uma oscilação amortecida é a soma da energia cinética da partícula e da energia potencial da mola elástica deformada.
Introduzimos as expressões da posição e da velocidade da partícula em função do tempo 
Se a constante de amortecimento é pequena, como foi visto no exemplo do tópico anterior 
A energia decresce exponencialmente com o tempo, porém com uma pequena ondulação devida ao segundo termo entre parênteses, tal como vemos na figura
 
Atividades
Introduza 
A posição inicial x0, no controle de edição titulado Posição
A velocidade inicial do móvel v0, no controle de edição titulado Velocidade.
A constante de amortecimento γ, no controle de edição titulado Cte. Amortecimento
A frequência angular natural do oscilador não pode ser modificada.
Conclusão 
Chegado até aqui, o grupo conclui que, para um sistema que sofre oscilação forçada com amortecimento (caso real), percebemos que o menor amortecimento está associado a um pico de ressonância mais alto. Apesar de termos usado o exemplo particular da criança no balanço como interpretação simplificada da ressonância, podemos generalizar as implicações para outros diversos casos em muitos campos diferentes, e também perceberíamos que as equações seriam as mesmas. Existem muitas situações na natureza na qual algo está oscilando e na qual o fenômeno de ressonância ocorre. Todas as estruturas mecânicas possuem uma ou mais frequências naturais de vibração.
Bibliografia
USP – Prof. Antônio Roque Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica aula 9
Halliday.Resnick volume2 Gravitação, Ondas e Termodinâmica Digitalizado por Restrito www.universorestrito.com 
Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Física, 4ª edição.
Paul A. Tipler Gene Mosca Vol1 mecanica, oscilaçoes e ondas termodinamica, 6a ediçao.