RELATORIO AMORTECIMENTO

Prévia do material em texto

1 
 
 
FAHESA – Faculdade de Ciências Humanas, Econômicas e da Saúde de Araguaína 
ITPAC – Instituto Tocantinense Presidente Antônio Carlos Ltda 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS (DUAS MOLAS EM PARALELO) 
 
 
Carine Dias 
Claudio Vinicius 
Felipe Araujo 
Gabriel Barcelos Barbosa 
Halison Ribeiro Aquino 
Hianca Guedes 
Isabella Azevedo 
Jessykelly Alencar 
Kamila Silva 
Kivia Moura 
Matheus Sousa 
 
 
 
 
 
Araguaína/TO 
Out/2016 
 
2 
 
 
Carine Dias 
Claudio Vinicius 
Felipe Araujo 
Gabriel Barcelos Barbosa 
Halison Ribeiro Aquino 
Hianca Guedes 
Isabella Azevedo 
Jessykelly Alencar 
Kamila Silva 
Kivia Moura 
Matheus Sousa 
 
 
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS (DUAS MOLAS EM PARALELO) 
 
 
 
 
Relatório elaborado para 
Aquisição de nota na disciplina 
De Física II do curso de Engenharia Civil 
 
Professora – Dr. Daniele Gomes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Araguaína/TO 
Out/2016 
 
3 
 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................ 6 
1.1 OBJETIVO ........................................................................................... 6 
1.2 REFERENCIAL TEÓRICO ................................................................... 6 
1.2.1 Movimento Periódico ou Oscilações .............................................. 6 
1.2.2 Corpo em mola vertical ................................................................... 8 
1.2.3 Associação de molas em série ....................................................... 8 
1.2.4 Associação de molas em paralelo .................................................. 9 
1.2.5 Oscilações amortecidas ................................................................. 9 
2. MATERIAIS E MÉTODOS .................................................................... 11 
2.1 Descrições de Equipamento ........................................................... 11 
2.2 Métodos experimentais .................................................................... 13 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO ............................................................ 14 
4. CONCLUSÃO ........................................................................................ 20 
5. REFERÊNCIA ....................................................................................... 21 
 
 
 
4 
 
 
Lista de imagens: 
 
 
Figura 1 caracterização da lei de Hooke ........................................................... 6 
Figura 2 gráfico da posição pelo tempo ............................................................ 7 
Figura 3 massas ............................................................................................. 11 
Figura 4 dinamômetro ..................................................................................... 11 
Figura 5 haste metálica................................................................................... 11 
Figura 6 régua ................................................................................................ 11 
Figura 7 tripé universal ................................................................................... 12 
Figura 8 haste plastica .................................................................................... 12 
Figura 9 sistema com duas massas grandes .................................................. 12 
Figura 10 sistema com uma massa pequena ................................................. 12 
Figura 11 sistema com 2 grandes e 1 pequena .............................................. 12 
Figura 12 sistema com 1 grande e uma pequena ........................................... 12 
Figura 13 molas em paralelos ......................................................................... 13 
 
 
 
5 
 
 
Lista de gráficos: 
 
 
Gráfico 1 massa pequena ............................................................................... 17 
Gráfico 2 uma massa grande .......................................................................... 18 
Gráfico 3 duas massas grandes ..................................................................... 18 
Gráfico 4 uma massa grande e duas pequenas ............................................. 18 
Gráfico 5 duas massas grandes e uma pequena ........................................... 19 
 
 
6 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
1.1 OBJETIVO 
Analisar a atenuação do sistema amortecido. 
 
1.2 REFERENCIAL TEÓRICO 
1.2.1 Movimento Periódico ou Oscilações 
O movimento periódico é o movimento de um corpo que retorna regularmente 
para uma posição após um intervalo de tempo fixo. Um tipo especial de movimento 
periódico ocorre em sistemas mecânicos quando a força atuando sobre um corpo é 
proporcional à posição do corpo em relação a posição de equilíbrio, esse é o chamado 
movimento harmônico simples. (SEARS, 2008) 
Supondo um corpo de massa m, fixado na extremidade de mola que tenha a 
outra extremidade presa, a mola se distende até a posição de equilíbrio com o corpo. 
No equilíbrio, a mola não exerce força sobre o corpo. Quando o copo é deslocado a 
uma distância x a partir da posição de equilíbrio a mola exerce sobre ele uma força 
restauradora –kx, dada pela lei de Hooke: (PAUL A. TIPLER, 2009) 
𝐹𝑋 = −𝑘𝑥 
 
Figura 1 caracterização da lei de Hooke 
 
Onde a intensidade da Força é equivalente ao deslocamento a partir da posição 
de equilíbrio e o sentido é sempre oposto ao sentido do deslocamento. 
O tempo que leva para um objeto deslocado executar um ciclo completo de 
movimento oscilatório é chamado de período T. O inverso do período é a frequência 
𝑓, que é número de ciclos por unidade de tempo: (PAUL A. TIPLER, 2009) 
7 
 
 
𝑓 = 
1
𝑇
 (1.1) 
Podemos obter um gráfico de 𝑥 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑡) e a equação geral para essa 
curva é: 
𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) (1.2) 
 
Figura 2 gráfico da posição pelo tempo 
 
Onde 𝐴, 𝜔 𝑒 𝛼 são constantes. Sendo 𝐴 a amplitude do movimento e 𝜔 a 
frequência angular, e 𝛼 a fase de oscilação na origem. 
A derivada de 𝑥 em relação ao tempo nos fornece a velocidade 𝑣𝑥: 
𝑣𝑥 = 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −𝜔𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼) (1.3) 
Derivando a velocidade em relação ao tempo temos a aceleração 𝑎𝑥: 
𝑎𝑥 = 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝜔2𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼) = −𝜔2𝑥 (1.4) 
Usando a Lei fundamental da dinâmica, temos: 
𝐹 = 𝑚𝑎 
−𝑘𝑥 = 𝑚(−𝜔2)𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼) 
−𝑘𝑥 = −𝑚𝜔2𝑥 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 (1.5) 
A frequência angular do movimento relaciona-se com o período por 𝜔 = 
2𝜋
𝑇
 , 
para um corpo de massa 𝑚 temos: (PAUL A. TIPLER, 2009) 
𝑇 = 2𝜋 √
𝑚
𝑘
 (1.6) 
 
8 
 
 
1.2.2 Corpo em mola vertical 
Quando um corpo é pendurado em uma mola na vertical existe uma força 𝑚𝑔 
para baixo além da força da mola. Se escolhermos o sentido para baixo como y 
positivo, então a força da mola sobre o corpo é −𝑘𝑦, onde 𝑦 é a distensão da mola. 
A força resultante sobre o corpo é, então: (PAUL A. TIPLER, 2009) 
∑ 𝐹𝑦 = −𝑘𝑦 + 𝑚𝑔 
(1.7) 
Podemos simplificar essa equação mudando para uma nova variável 𝑦′ = 𝑦 −
 𝑦0, onde 𝑦0 = 𝑚𝑔 𝑘⁄ é o quanto a mola é distendida a partir da posição de equilíbrio. 
Substituindo fica: (PAUL A. TIPLER, 2009) 
∑ 𝐹𝑦 = −𝑘(𝑦
′ + 𝑦0) + 𝑚𝑔 
(1.8) 
 
1.2.3 Associação de molas em série 
Admitindo duas molas M1 e M2 de constantes K1 e K2, respectivamente, tais 
molas estão ligadas de modo que se designa por associação em série. 
 
Figura 3 – Associação de molas em série 
 
Para a associação de molasem série, vamos aplicar uma força de intensidade 
F. As molas M1 e M2 ficam submetidas a mesma força de intensidade e sofrem 
deformações x1 e x2, expressas por: 
𝑥1 = 
𝐹
𝑘1
 𝑥2 = 
𝐹
𝑘2
 
9 
 
 
A mola equivalente sofre uma deformação 𝑥 tal que 𝑥 = 
𝐹
𝑘𝑠
 . Sendo que 𝑥 =
 𝑥1 + 𝑥2 , vem: 
𝐹
𝑘𝑠
= 
𝐹
𝑘1
+ 
𝐹
𝑘2
; logo: 
1
𝑘𝑠
= 
1
𝑘1
+ 
1
𝑘2
 (1.9) 
 
1.2.4 Associação de molas em paralelo 
Considere duas molas M1 e M2 de constantes K1 e K2, respectivamente, 
associadas em paralelo, em que as duas molas tem as extremidades livres unidadas 
por uma barra, onde é suspenso um corpo que produz uma força de intensidade F, 
como representado na figura 4. 
 
Figura 4 - Associação de molas em paralelo 
 
Aplicando a associação de molas em paralelo temos uma força de intensidade 
F aplicada de modo que as molas sofram a mesma deformação x. Assim, a mola M1 
fica sujeita a uma força de intensidade F1, e a mola M2 fica sujeita a uma força de 
intensidade F2, tais que: 𝐹1 = 𝑘1𝑥 e 𝐹2 = 𝑘2𝑥. A mola equivalente, nesse caso, 
submetida a força de intensidade F, sofre a mesma deformação x, logo: 
𝑘𝑒 = 𝑘1 + 𝑘2 
(1.10) 
 
1.2.5 Oscilações amortecidas 
 Nos sistemas oscilantes reais sempre vai haver alguma força não 
conservativa, portanto a amplitude das oscilações vai diminuindo com o tempo. A 
diminuição da amplitude é provocada por uma força dissipativa e denomina-se 
10 
 
 
amortecimento e o movimento resultante denomina-se oscilação amortecida. 
(SEARS, 2008) 
Analisando um oscilador harmônico simples com uma força de atrito 
amortecedora diretamente proporcional à velocidade do corpo que oscila, temos que: 
𝐹𝑥 = −𝑏𝑣𝑥, onde 𝑣𝑥 = 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 é a velocidade e 𝑏 é uma constante que descreve a 
intensidade da força. O sinal negativo indica que a força possui um sentido contrario 
ao da velocidade. Portanto a força resultante sobre o corpo é dada por: 
∑ 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣𝑥 
(1.11) 
E a segunda Lei de Newton para o sistema é: 
−𝑘𝑥 − 𝑏𝑣𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 ou −𝑘𝑥 − 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑚 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 
 (1.12) 
Quando a força de amortecimento é relativamente pequena, o movimento é 
descrito por: 
𝑥 = 𝐴𝑒−(
𝑏
2𝑚
)𝑡 cos(𝜔′𝑡 + 𝜑) (1.13) 
A frequência angular 𝜔′ é dada por: 
𝜔′ = √
𝑘
𝑚
− 
𝑏2
4𝑚2
 (1.14) 
O amortecimento crítico ocorre quando o sistema não oscila mais e, ao ser 
deslocado e libertado, retorna para a posição de equilíbrio sem oscilar, nesse 𝑏: 
𝑘
𝑚
− 
𝑏2
4𝑚2
= 0 𝑜𝑢 𝑏 = √𝑘𝑚 (1.15) 
A condição 𝑏 maior que 2√𝑘𝑚, corresponde ao superamortecimento, onde o 
sistema não oscila porem retorna para a posição de equilíbrio mais lentamente que 
no caso crítico. (SEARS, 2008) 
𝑏 < 2√𝑘𝑚 Superamortecimento 
Para 𝑏 menos que 2√𝑘𝑚 denomina-se um subamortecimento, onde o sistema 
oscila com uma amplitude que diminui continuamente. 
𝑏 > 2√𝑘𝑚 Subamortecimento 
 
11 
 
 
2. MATERIAIS E MÉTODOS 
2.1 Descrições de Equipamento 
No experimento foram necessários, duas molas para ocasionar as oscilações, 
duas hastes de metal, uma régua, uma câmera que captura em câmera lenta, 3 
massas em disco, um cronômetro para ler o tempo das oscilações e um suporte para 
apoiar o sistema. 
 
Figura 3 massas 
 
Figura 4 dinamômetro 
 
Figura 5 haste metálica 
 
Figura 6 régua 
12 
 
 
 
Figura 7 tripé universal 
 
Figura 8 haste plastica 
 
Figura 9 sistema com duas massas 
grandes 
 
Figura 10 sistema com uma massa 
pequena 
 
Figura 11 sistema com 2 grandes e 1 
pequena 
 
Figura 12 sistema com 1 grande e 
uma pequena 
13 
 
 
 
Figura 13 molas em paralelos 
 
2.2 Métodos experimentais 
1º - Foram fixadas no suporte duas molas, e nas extremidades das molas preso 
uma das hastes de metal, nela a outra haste que usada para unir as massas, junto 
com combinações das mesmas. 
2º - Foram feitas combinações com as 3 massas (1; 2; 3; 1.2; 1.3; 2.3; 1.2.3) 
para analisar as oscilações. 
3º - Foi posicionada a régua ao lado das molas para poder calcular a amplitude 
do movimento das molas, e filmadas em câmera lenta durante um minuto com um 
cronômetro saindo na filmagem para fins de obter maior nível de precisão, e o tempo 
sendo marcado quando o movimento estivesse unicamente no eixo vertical. 
4º - Foi calculada a partir do sistema a frequência angular, frequência de 
oscilação, amplitude e período. 
 
14 
 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
O primeiro passo a ser feito para o início do experimento foi a pesagem das 
massas. Em seguida, com a ajuda do gráfico, pode-se encontrar o período e a partir 
destes e usando a equação da Frequência Angular pode-se encontrar a própria (W ‘). 
Deste modo o início dos cálculos fica: 
Sendo: 
h1 – haste plástica; 0,12N 
h2 – haste metálica; 0,06N 
H= (h1+h2) 0,18N 
P1 –massa grande; 0,48N 
P2 – massa pequena; 0,25N 
 
S1 = H + P1 = 0,66N = 0,0672 kg; 
S2 = H +P1 + P2 = 0,88N = 0,0897 kg; 
S3 = H + P2 = 0,41N = 0,0418 kg; 
S4 = H + 2xP1 = 1,14N = 0,116 kg; 
S5 = H +2P1 + P2 = 1,37N = 0,1397 kg 
 
Com base nas observações do gráfico é possível encontrar o período de cada 
uma das situações, como é de conhecimento de todos, o período pode-se ser 
descoberto medindo-se a distância entre uma crista a outra e de um ventre ao outro. 
Os períodos encontrados com base nos gráficos feitos foram: 
S1 - massa grande e haste 𝑇1 = 0,25𝑠 
S2 – massa pequena, pequena e haste 𝑡2 = 0,31𝑠 
S3 – massa pequena e haste 𝑇3 = 0,225𝑠 
S4 – duas massas grande e haste 𝑇4 = 0,35𝑠 
S5 – duas massas grande, uma pequena e haste 𝑇5 = 0,4𝑠 
 
O passo seguinte foi encontrar a constante (KT). Por se tratar de duas molas 
em paralelo, o correto a se fazer é somas as constantes (K1 + K2), o cálculo a seguir 
irá mostrar o motivo da soma. Depois que se encontra a constante (KT) o passo 
15 
 
 
seguinte é encontrar a constante de amortecimento, que será explicado a seguir 
também. 
Encontrando KT 
Para encontrar a KT utilizou-se o Sistema dois (S2) e com isso a deformação, 
nas molas em paralelo, foi de 0,04 metros. Na explicação abaixo cada mola obteve a 
mesma deformação. 
 
𝐹𝑒𝑙 = 𝐾1 ∙ 𝑥 
𝐹𝑒𝑙 = 𝐾2 ∙ 𝑥 
𝐹𝑒𝑙 = 𝐹𝑒𝑙 1 + 𝐹𝑒𝑙 2 
𝐾𝑇 ∙ 𝑥 = 𝐾1 ∙ 𝑥 + 𝐾𝑥 ∙ 𝑥 
𝐾𝑇 = 𝐾1 + 𝐾𝑥 
 
Atribuindo valores: 
𝐹𝑒𝑙 = 𝐾 ∙ 𝑥 → 𝑘 =
𝐹𝑒𝑙
𝑥
 
𝐾1 =
0,88 𝑁
0,04 𝑚
= 22
𝑁
𝑚
 
𝐾𝑇 = 𝐾1 + 𝐾2 = (22 + 22)
𝑁
𝑚
= 44
𝑁
𝑚
 
Logo a constante total é 44 newtons por metros. 
 
Para encontrar a Frequência Angular Amortecido deve-se: 
𝜔′ =
2𝜋
𝑇′
 
𝜔′1 =
2𝜋
0,25
= 8𝜋 𝑠−1 
𝜔′2 =
2𝜋
0,31
= 20,268 𝑠−1 
𝜔′3 =
2𝜋
0,225
= 27,925 𝑠−1 
𝜔′4 =
2𝜋
0,35
= 17,953 𝑠−1 
𝜔′5 =
2𝜋
0,04
= 5𝜋 𝑠−1 
 
16 
 
 
Encontrando a constante b: 
𝜔2 =
𝑘
𝑚
−
𝑏2
4𝑚2
 
𝑏2
4𝑚2
=
𝑘
𝑚
− 𝜔2 
𝑏2 = (
𝑘
𝑚
− 𝜔2) ∙ 4𝑚2 
𝑏 = √(
𝑘
𝑚
− 𝜔2) ∙ 2𝑚 
Sabe-se que este valor de b obrigatoriamente tem que ser menor que o 
amortecimento crítico. 
𝑏𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 = 2√𝑘𝑚 
 
Atribuindo valores: 
Massa grande 
𝑏1 = √(
44
0,0672
− (8𝜋)2) ∙ 2 ∙ 0,0672 
𝑏1 = 0,646
𝐾𝑔
𝑠
 
𝑏𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 1 = 2√44 ∙ 0,0672 = 3,349
𝐾𝑔
𝑠
 → 𝑏 < 2√𝑘𝑚 
 
Massa grande, pequena 
𝑏2 = √(
44
0,0897
− 20,2682) ∙ 2 ∙ 0,0897 
𝑏2 = 1,602
𝐾𝑔
𝑠
 
𝑏𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 2 = 2√44 ∙ 0,0897 = 3,973𝐾𝑔
𝑠
→ 𝑏 < 2√𝑘𝑚 
 
Massa pequena 
𝑏3 = √(
44
0,0418
− 27,9252) ∙ 2 ∙ 0,0418 
𝑏3 = 1,381
𝐾𝑔
𝑠
 
17 
 
 
𝑏𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 3 = 2√44 ∙ 0,0418 = 2,712
𝐾𝑔
𝑠
 → 𝑏 < 2√𝑘𝑚 
 
Duas massas grandes 
𝑏4 = √(
44
0,116
− 17,9522) ∙ 2 ∙ 0,116 
𝑏4 = 1,752
𝐾𝑔
𝑠
 
𝑏𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 4 = 2√44 ∙ 0,116 = 4,518
𝐾𝑔
𝑠
 → 𝑏 < 2√𝑘𝑚 
 
Duas massas grandes e uma pequena 
𝑏5 = √(
44
0,1397
− (5𝜋)2) ∙ 2 ∙ 0,1397 
𝑏5 = 2,308
𝐾𝑔
𝑠
 
𝑏𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 5 = 2√44 ∙ 1397 = 4,958
𝐾𝑔
𝑠
 → 𝑏 < 2√𝑘𝑚 
 
Gráfico 1 massa pequena 
 
18 
 
 
 
Gráfico 2 uma massa grande 
 
Gráfico 3 duas massas grandes 
 
Gráfico 4 uma massa grande e duas pequenas 
19 
 
 
 
Gráfico 5 duas massas grandes e uma pequena 
Observação: vale ressaltar que a amplitude no ponto mais alto e mais baixo 
tendem a ser o mesmo valor. No gráfico, porém, a amplitude no ponto inferior e o no 
superior há uma pequena divergência devido ao fato de que as molas podem ter sido 
puxadas não perfeitamente. 
Com base nas observações feitas nos gráficos, também é possível identificar a 
amplitude: 
SISTEMAS T' (s) 
ω' 
(rad/s) 
b 
(kg/s) 
b crítico 
(kg/s) Amplitude (m) 
f 
Hz 
S1 0,25 8π 0,646 3,349 0,009m 4 
S2 0,31 20,268 1,602 3,973 0,009m 3,226 
S3 0,225 27,925 1,381 2,712 0,009m 4,444 
S4 0,35 17,952 1,752 4,518 0,016m 2,857 
S5 0,4 5π 2,308 4,958 0,018m 2,5 
 
 
20 
 
 
4. CONCLUSÃO 
Com base nos dados coletados, valores definidos e resultados discutidos pode-
se concluir que o experimento cumpriu com seus objetivos. Pois a partir da análise do 
vídeo, extraímos a amplitude máxima e o período, a partir daí calculamos, frequência, 
frequência angular e por fim por meio desses dados mais a constante da mola obteve-
se a constante de amortecimento com diferentes pesos. 
 Com isso, quanto maior a massa, maior a constante de amortecimento e menor 
a frequência angular. 
 
21 
 
 
5. REFERÊNCIA 
SEARS, ZEMANSKY, Física, Vol 2,10ª Edição, Pearson, 2008. 
 
TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol 1. 5a 
ed. Rio Janeiro: LTC, 2009.