aula inferência estatística

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Inferência Estatística
População
Características
Técnicas de Amostragem
Amostra
Informações 
contidas nos 
dados
Estatísticas 
Descritivas
Inferência 
EstatísticaConclusões 
sobre 
informações da 
população
Amostragem em estudos 
da área de saúde
Amostragem em estudos 
da área de saúde
• Pergunta comum em todo estudo científico �
tamanho da amostra necessário para se alcançar as 
metas estipuladas
• Idealmente � amostra grande, exaustiva
• Na prática � amostra mínima, por questões éticas, 
restrições de tempo, de recursos humanos e custo
• Cálculo apropriado do tamanho de amostra 
exigência dos protocolos de pesquisa
Amostragem em estudos de saúde
• Representatividade da população na amostra é assegurada no 
planejamento da pesquisa:
� Formulação do problema;
� Escolha do tipo de estudo (experimental, observacional);
� Escolha dos fatores que devem ser incluídos na pesquisa (hábitos 
pessoais, história da doença, etc);
� Definição de critérios de inclusão e exclusão;
� Adoção de procedimentos claros, simples e reprodutíveis
� Coleta de dados;
� Produção de resultados;
� Análise dos resultados e relatório contendo as conclusões;
� Discussão das limitações do estudo e possíveis aprimoramentos.
Amostragem em estudos de saúde
• Escolha do tipo de estudo:
� Utilização do censo (exemplo, contagem populacional)
� Amostra
� Processo de amostragem:
� 1º passo: escolha do método de seleção (aleatório, 
por sorteio, ou não)
� 2º passo: determinação do método estatístico que 
será usado na análise dos dados para cálculo do 
tamanho da amostra
Conceitos Básicos
• Esquemas amostrais
� Sorteio e métodos de obtenção das amostras:
� Amostragem Aleatória Simples
� Amostragem Sistemática
� Amostragem Estratificada
� Amostragem de Conglomerados
Amostragem aleatória simples
� Consiste em sortear de uma lista com todos os elementos da 
população, os elementos que farão parte da amostra
� Sorteio aleatório
� Vantagens: facilidade de uso, igual probabilidade de todos os 
elementos de entrar na amostra
� Desvantagens: necessidade de uma lista de todos os elementos da 
população base, completa e atualizada
� Exemplos:
1. Selecionar uma amostra de especialistas de uma lista do Conselho Regional 
para se fazer um levantamento da percepção da necessidade e do 
conhecimento desses profissionais sobre sua especialidade
Amostragem sistemática
� Opção de sorteio em que se seleciona aleatoriamente um número 
entre o total de elementos da listagem da população que será o 
primeiro elemento da amostra
� O segundo elemento será o que ocupa uma posição k (fixa) na 
seqüência do 1º elemento. O processo é repetido até completar a 
amostra
� Por exemplo, seleciona-se aleatoriamente o elemento 10 da lista e 
define-se k como 15. Logo, o segundo elemento será o número 25, o 
terceiro o número 40, o quarto o número 55...
� Vantagem: facilidade de execução, pois o trabalho pode ser realizado 
durante o trabalho de campo. Ex: Amostras de 10% do censo 
demográfico � seleciona-se a 1ª casa que será entrevistada e dão 
um intervalo de 7 casas, para a próxima entrevista
� Desvantagem: estimativas viciadas da variabilidade
Amostragem estratificada
� Utilizada quando deseja-se estimar os parâmetros de interesse 
relativos a sub grupos homogêneos da população
� Exemplo: estimativas da prevalência de doenças entre homens e 
mulheres, ou na zona urbana e rural
� Divisão da população em sub-grupos, ou estratos, é imposta por 
necessidade do estudo
� Processo: considera os estratos como populações independentes, dos 
quais se retira amostras igualmente independentes
� Dimensionamento das sub-amostras pode ser de maneira 
proporcional ao tamanho do estrato
� Vantagens: diminui a variabilidade entre os grupos
� Desvantagens: aumenta a complexidade das análises posteriores já
que elas devem levar em conta a proporção de cada estrato
Amostragem por conglomerados
� Populações humanas se agregam naturalmente em subgrupos, 
internamente homogêneos, mas heterogêneos entre si.
� Exemplo: turmas de uma mesma série escolar. Para se obter uma 
amostra dessa série, o mais prático é sortear uma turma e daí
fazer o recenseamento ou nova amostragem
� Nesse caso, os aglomerados (conglomerados) são as unidades de 
sorteio
� Exemplos comuns de conglomerados: setores censitários das 
regiões de BH, famílias, domicílios, turmas de alunos de uma 
escola, pacientes de um serviço, quarteirões de uma rua, bairros 
de uma cidade...
População e amostra
• População
� universo da análise, todos os possíveis valores de um 
determinada variável
� Ex: Todos os alunos do curso de Gestão de Serviços 
de Saúde
• Amostra
� conjunto de informações extraídas da população
� deve representar bem a população
� busca-se a partir dela, fazer inferências da população
� Ex: Alunos do 2º período do curso de Gestão
• Busca por novos métodos e novos procedimentos 
melhores que os já existentes
• Necessidade de comparar as técnicas usuais com 
os métodos alternativos
• Deve-se coletar informações e fazer inferências a 
partir de evidências experimentais ou 
observacionais
Comparando Dois Grupos
• Situação: 
Dois tratamentos utilizados para uma determinada 
doença. Qual tratamento produz melhor efeito?
• Reação a um tratamento varia de indivíduo para 
indivíduo
• Deve-se escolher o tratamento que apresenta em média
melhores resultados, ou seja, bons resultados para a 
maioria da população
Como fazer isso?????
Comparando Dois Grupos
Exemplo: Aspirina e prevenção de doença 
coronariana
• Potencial da aspirina na redução de risco de doenças 
cardiovasculares
• Estudo Physicians’ Health Study, em 1982, com o 
objetivo de comprovar esse efeito
22.071 médicos 
(40 e 84 anos)
11.037 médicos -
aspirina a cada 2 dias
11.034 médicos -
Placebo
(Steering Commitee of Physicians Healthy Study Group, 1989)
Tabela 1: Tabela de frequências dos eventos relatados pelo Steering 
Committee of Physicians’ Health Study Group em 1989
Eventos Aspirina Placebo
n % n %
Infarto 139 1,26 239 2,17
AVC 119 1,08 98 0,89
Nenhum 10779 97,66 10697 96,95
Total 11037 100,00 11034 100,00
Exemplo: Aspirina e prevenção de doença 
coronariana
Tabela 2: Tabela de frequências dos eventos relatados pelo Steering 
Committee of Physicians’ Health Study Group em 1989
Eventos Aspirina Placebo
n % n %
Infarto 139 1,26 239 2,17
AVC 119 1,08 98 0,89
Nenhum 10779 97,66 10697 96,95
Total 11037 100,00 11034 100,00
Posso afirmar que a prevalência de infarto foi 
significativamente maior no grupo que tomou o placebo 
se comparado ao grupo que tomou aspirina????
Exemplo: Aspirina e prevenção de doença 
coronariana
TESTES DE HIPÓTESE
• Usado para testar uma alegação, ou afirmação sobre uma 
propriedade de uma população a hipótese. 
• Teste estatístico depende do tipo de variável e do tipo de 
planejamento. Os mais comuns e que serão discutidos:
• Comparação de 2 variáveis categóricas independentes
Comparação de proporções
• Comparação de 2 variáveis numéricas independentes
Comparação de médias
Comparando Dois Grupos
Tabela 2: Comparação da ocorrência de infarto entre grupos 
placebo e aspirina, de acordo com Steering Committee of 
Physicians’ Health Study Group em 1989
Grupo
Infarto
TotalSim Não
n % n %
Aspirina 139 1,3 10898 98,7
11037
Placebo 239 2,2 10795 97,8 11034
Total 378 1,7 21693 98,3 22071
Comparando Dois Grupos
Teste de Hipóteses
Hipóteses a serem testadas:
• Hipótese nula (H0)
• Fixada usualmente como a inexistência de 
diferença entre os dois tratamentos 
comparados
• Hipótese alternativa (H1)
• Inexistência de igualdade entre os 
tratamentos
Teste de Hipóteses
Hipóteses a serem testadas:
• Exemplo
• H0 � proporção de infarto no grupo Aspirina =
proporção de infarto no grupo Placebo
• H1 � proporção de infarto no grupo Aspirina ≠
proporção de infarto no grupo Placebo
InfartoPInfartoA
InfartoPInfartoA
ppHppH
≠
=
:
:
1
0
Teste de Hipóteses
Critério de decisão:
• Construção de critério a partir do qual a hipótese 
nula será julgada
• Baseado na estatística de teste
• Mede a discrepância entre o que foi observado na 
amostra e o que seria espera se a hipótese nula fosse 
verdadeira
• Grandes distâncias indicam que H0 não é
verdadeira � deve ser rejeitada
Teste de Hipóteses
Erros e nível de significância:
Tabela 3: Erros possíveis associados a teste de hipóteses
Conclusão do 
teste
Situação real
H0 verdadeira H0 falsa
Não rejeitar H0
Rejeitar H0
Teste de Hipóteses
Erros e nível de significância:
Tabela 3: Erros possíveis associados a teste de hipóteses
Conclusão do 
teste
Situação real
H0 verdadeira H0 falsa
Não rejeitar H0 Decisão correta
Rejeitar H0
Teste de Hipóteses
Erros e nível de significância:
Tabela 3: Erros possíveis associados a teste de hipóteses
Conclusão do 
teste
Situação real
H0 verdadeira H0 falsa
Não rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II
Rejeitar H0
Teste de Hipóteses
Erros e nível de significância:
Tabela 3: Erros possíveis associados a teste de hipóteses
Conclusão do 
teste
Situação real
H0 verdadeira H0 falsa
Não rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II
Rejeitar H0 Erro tipo I
Teste de Hipóteses
Erros e nível de significância:
Tabela 3: Erros possíveis associados a teste de hipóteses
Conclusão do 
teste
Situação real
H0 verdadeira H0 falsa
Não rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II
Rejeitar H0 Erro tipo I Decisão correta
Teste de Hipóteses
Erros e nível de significância:
Tabela 4: Exemplo do júri
Decisão do Júri
Situação real
Inocente Culpado
Absolvido
Condenado
Teste de Hipóteses
Erros e nível de significância:
Tabela 3: Erros possíveis associados a teste de hipóteses
Decisão do Júri
Situação real
Inocente Culpado
Absolvido OK
Condenado OK
Teste de Hipóteses
Erros e nível de significância:
Tabela 3: Erros possíveis associados a teste de hipóteses
Decisão do Júri
Situação real
Inocente Culpado
Absolvido OK “Erro tipo II”
Condenado “Erro tipo I” OK
Teste de Hipóteses
Erros e nível de significância:
Tabela 3: Erros possíveis associados a teste de hipóteses
Decisão do Júri
Situação real
Inocente Culpado
Absolvido OK “Erro tipo II”
Condenado
“Erro tipo I”
(mais grave)
OK
Teste de Hipóteses
Erros e nível de significância:
Tabela 3: Erros possíveis associados a teste de hipóteses
• Erro tipo I � nível de significância do teste (α)
(No ex: Rejeitar H0 quando os dois tratamentos são iguais) 
• Erro tipo II � (β) 1- β = poder do teste
(No ex: Não rejeitar H0 quando os dois tratamentos são diferentes)
Conclusão do teste Situação real
H0 verdadeira H0 falsa
Não rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II
Rejeitar H0 Erro tipo I Decisão correta
Teste de Hipóteses
Probabilidade de significância (valor-p):
• Probabilidade de se cometer um erro ao rejeitar 
a hipótese nula, isto é, ao dizer que existe 
diferença significativa entre os grupos
• Quanto menor o valor de p maior a evidência 
para rejeitar H0 (ex.: tratamento tem efeito)
• Utilizado para variáveis contínuas
• Comparação de médias
Teste para variáveis 
contínuas
•Testa se a média de uma única variável 
difere de uma constante especificada
•Hipóteses:
• Ho: µ = algum valor
• Ha: µ ≠ algum valor 
Teste Afirmação sobre uma 
média
Teste t-Student de Afirmação 
sobre uma média
• Esse teste requer o pressuposto de que a 
população original tem distribuição 
essencialmente normal
•Porém são robustos a pequenas perdas de 
normalidade
Exemplo:
• Estudos anteriores relatam que um Serviço de Saúde 
gasta em média R$ 900,00 por semana com 
manutenção de equipamentos. 
• Um estudo realizado durante as 53 semanas do ano 
de 2008 observou um gasto médio semanal de 
R$847,00 com desvio-padrão de R$104,00. 
• Pode-se afirmar que o gasto com manutenção de 
equipamentos nesse Serviço de Saúde realmente 
diminuiu?
Teste de Afirmação sobre uma 
média – Exemplo 1
Exemplo:
Teste de Afirmação sobre uma 
média – Exemplo 1
Semana do ano 2008
Gasto com manutenção de 
equipamento
Semana 1 R$ 400,00
Semana 2 R$ 800,00
Semana 3 R$ 1000,00
Semana 4 R$ 750,00
...
Semana 53 R$750,00
n=53 Média = R$ 847,00 DP=R$104,00
•Valor de referência – R$900,00
•Hipóteses:
Ho: µ = 900
Ha: µ ≠ 900
Média de gasto com manutenção por semana = 900
Média de gasto com manutenção por semana ≠ 900
Teste Z de Afirmação sobre 
uma média – Exemplo 1
Teste de Afirmação sobre 
uma média
Estatística de teste:
Se n>30
n
s
x
t x
µ−
=
Distribuição Normal 
Padronizada
z
Teste de Afirmação sobre 
uma média
Estatística de teste:
Se n < 30
n
s
x
t x
µ−
=
Distribuição t-Student
com n-1 gl
Teste Z de Afirmação sobre 
uma média – Exemplo 1
• Hipóteses:
Ho: µ = 900
Ha: µ ≠ 900
• n=53 = 847 s = 104 
• Estatística de teste:
n
s
x
t x
µ−
=
x
71,3
53
104
900847
−=
−
=tzz
Conclusões:
• Decidir se o valor do teste (-3,71) é ou não “grande”
• Tabela Distribuição Normal Padronizada
Exemplo do Teste Z para uma média
Conclusões:
• Decidir se o valor do teste (-3,71) é ou não “grande”
• Tabela Distribuição Normal Padronizada
• Atentar para o nível de significância!!!!! � usual 5%
• Como a distribuição é bi-lateral (consideramos 
sempre α/2=0,05/2=0,025)
Exemplo do Teste Z para uma média
Exemplo do Teste Z para uma média
Exemplo do Teste Z para uma média
-3,71
Exemplo do Teste Z para uma média
-3,71
Conclusões:
Valor tabelado Z = -1,96 ou mais 1,96
Rejeito a hipótese nula
Média de gasto com manutenção por semana ≠ 900
Exemplo 2:
• Suponha agora que estudos anteriores relatam que o mesmo 
Serviço de Saúde atende em média 26 pacientes em um dia. 
• Um rápido estudo realizado durante 1 semana do mês de 
setembro do ano de 2009 observou um número médio de 
aproximadamente 25 pessoas por dia.
• Considerando que a semana selecionada é uma semana 
habitual e pode ser considerada representativa pode-se 
afirmar que o número médio de pacientes atendidos em um 
dia no Centro de Saúde diminuiu significativamente? Ou essa 
diferença ocorreu somente pelo acaso?
Teste de Afirmação sobre uma 
média – Exemplo 2
Exemplo:
Teste de Afirmação sobre uma 
média – Exemplo 2
Dias Nº pacientes atendidos
Segunda-feira 29
Terça-feira 24
Quarta-feira 24
Quinta-feira 27
Sexta-feira 28
Sábado 20
Domingo 21
n=7 Média = 24,71 DP=3,45
•Valor de referência – 26
•Hipóteses:
Ho: µ = 26
Ha: µ ≠ 26
Média de pacientes atendidos em um dia = 26
Média de pacientes atendidos em um dia ≠ 26
Teste t-Student de Afirmação 
sobre uma média – Exemplo 2
Teste t-Student de Afirmação 
sobre uma média – Exemplo 2
• Hipóteses:
Ho: µ = 26
Ha: µ ≠ 26
• n=7 = 24,71 s = 3,45
• Estatística de teste:
n
s
x
t x
µ−
=
x
767,0
7
45,3
2625
−=
−
=t
Conclusões:
• Decidir se o valor do teste (-0,767) é ou não “grande”
• Comportamento da distribuição t-Student quando as 
médias são iguais
• Tabela t-Student com n-1 graus de liberdade 
• Nível de significância de 5%
• A tabela apresentada no livro já é bilateral
Exemplo do Teste t-Student para uma 
média
Conclusões:
• Decidir se o valor do teste (-0,767) é ou não “grande”
• Comportamento da distribuição t-Student quando as 
médias são iguais
• Tabela t-Student com n-1 graus de liberdade 
• Nível de significância de 5%
• A tabela apresentada no livro já é bilateral
• Para 6 graus de liberdade (n-1) e α=0,05, temos:
Exemplo do Teste t-Student para uma 
média
Exemplo do Teste t-Student para uma 
média
t
Exemplo do Teste t-Student para uma 
média
t=-0,767
t
Exemplo do Teste t-Student para uma 
média
t=-0,767
Conclusões:
Valor tabelado t = -2,447 ou mais 2,447
Não rejeito a hipótese nula
Média de pacientes atendidos em um dia = 26
t
Teste para comparação de duas médias
• Comparação de dois grupos em relação a 
uma variável contínua, por exemplo, idade
• Testa-se igualdade demédias
• Hipóteses:
Ho: média do grupo 1 = média do grupo 2
H1: média do grupo 1 ≠ média do grupo 2
Teste para comparação de duas 
médias independentes
Teste z - para n>30
• Adequado para variáveis quantitativas com 
distribuição normal e n>30
• Dado dois grupos:
• Grupo 1 � média e desvio-padrão 
• Grupo 2 � média e desvio-padrão
• Critério de decisão
Teste para variáveis contínuas
1x
1x
2x
1s
2s
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
xxZ
+
−
=
Teste Z
• Se Z “grande” � rejeita H0
• Usa distribuição Normal Padronizada para α/2
• Se α=0,05 ���� α/2=0,025
Teste para variáveis contínuas
1x
Teste t – n de um dos grupos < 30
• Adequado para variáveis quantitativas com 
distribuição normal
• Dado dois grupos:
• Grupo 1 � média e desvio-padrão 
• Grupo 2 � média e desvio-padrão
• Critério de decisão
Teste para variáveis contínuas
1x
1x
2x
1s
2s
)( 21
21
xxDP
xx
T
−
−
=






+=−
21
2
21
11)(
nn
sxxDP p
2
)1()1(
21
2
22
2
112
−+
−+−
=
nn
snsn
s p
• Exemplo: 
Comparar as idades dos pacientes alocados nos grupos 
controle e intervenção
• Hipóteses: 
Ho: média de idade controles = média de idade intervenção 
H1: média de idade controles ≠ média de idade intervenção
Exemplo teste para variáveis 
contínuas
1x
Fonte: Dados Malone et al, MEDICAL CARE 39(2), 113–122, 2001.
Exemplo teste para variáveis 
contínuas
Teste Z – n>30
• Exemplo: 
321,0
188,0199,0
2,0
531
)0,10(
523
)2,10(
6,668,66
22
=
+
=
+
−
=z
1x
531
523
2
1
=
=
n
n
6,66
8,66
2
1
=
=
x
x
0,10
2,10
2
1
=
=
s
s
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
xxZ
+
−
=
Exemplo do Teste Z para comparação 
de duas médias
α=0,05 ���� α/2=0,025
Exemplo do Teste Z para comparação 
de duas médias
α=0,05 ���� α/2=0,025
0,321
Exemplo do Teste Z para comparação 
de duas médias
0,321
Conclusões:
Valor tabelado Z = -1,96 ou mais 1,96
Não rejeito a hipótese nula
Média de idade controles = média de idade intervenção
Exemplo do Teste Z para comparação 
de duas médias
Exemplo do Teste Z para comparação 
de duas médias – Cálculo valor-p
Exemplo do Teste Z para comparação 
de duas médias – Cálculo valor-p
Exemplo do Teste Z para comparação 
de duas médias – Cálculo valor-p
Valor-p = 0,3745 + 0,3745 = 0,749
Não rejeito a hipótese nula
Média de idade controles = média de idade intervenção
• Considerem as notas da 1ª prova de estatística da 
turma do 4º período do Curso de Medicina.
• Foi feita uma comparação por sexo e obteve-se os 
seguintes resultados:
1. Mulheres � n=30 média=11,54 DP=3,42
2. Homens � n=6 média=14 DP=3,82
• Pode-se afirmar que os homens tiveram um 
desempenho significativa diferente das mulheres 
nessa avaliação?
Exemplo do Teste t-Student
Teste t – n de um dos grupos < 30
• H0: nota média dos homens = nota média mulheres
• H1: nota média dos homens ≠ nota média mulheres
Teste t-Student comparação de 
dois grupos
1x
Teste t – n de um dos grupos < 30
1. Mulheres � n=30 média=11,54 DP=3,42
2. Homens � n=6 média=14 DP=3,82
1x
Teste t-Student comparação de 
dois grupos
Independent Samples Test
-1,579 34 ,124notas
t df p-value
t-test for Equality of Means
• Tabela t-Student com n1+n2-2 graus de liberdade 
• Nível de significância de 5%
• A tabela apresentada no livro já é bilateral
Exemplo do Teste t-Student 
comparação de dois grupos
• Tabela t-Student com n1+n2-2 graus de liberdade 
• Nível de significância de 5%
• A tabela apresentada no livro já é bilateral
• Para 34 graus de liberdade (n1+n2-2 = 30+6-2) e 
α=0,05, temos:
Exemplo do Teste t-Student para uma 
média
Exemplo do Teste t-Student para uma 
média
Obs: 30 gl – valor aproximado
Exemplo do Teste t-Student para uma 
média
Obs: 30 gl – valor aproximado
-1,57
Exemplo do Teste t-Student para uma 
média
-1,57
Conclusões:
Valor tabelado t = -2,042 ou 2,042
Não rejeito a hipótese nula
Média notas dos homens = média notas das mulheres
Exemplo do Teste t-Student para uma 
média
Valor-p = 0,062 + 0,062 = 0,124
Exemplo do Teste t-Student para uma 
média
Valor-p = 0,062 + 0,062 = 0,124
Não rejeito a hipótese nula
Média notas dos homens = média notas das mulheres
Teste para variáveis categóricas 
dicotômicas independentes
Teste Qui-quadrado (χ2)
• Comparação de duas proporções quanto à
ocorrência de um evento
• Utilizado para variáveis categóricas
• Hipóteses: H0: % evento grupo 1 = % evento no grupo 2
H1: % evento grupo 1 ≠ % evento no grupo 2
Tabela 5: Distribuição quanto à ocorrência de um evento
Grupo Ocorrência do evento Total
sim Não
1 a b a+b=n1
2 c d c+d=n2
Total m1=a+c m2=b+d N
Comparação da ocorrência de infarto entre grupos placebo e 
aspirina, de acordo com Steering Committee of Physicians’
Health Study Group em 1989
Grupo
Infarto
TotalSim Não
n n
Aspirina 139 10898
11037
Placebo 239 10795 11034
Total 378 21693 22071
Exemplo
Comparação da ocorrência de infarto entre grupos placebo e 
aspirina, de acordo com Steering Committee of Physicians’
Health Study Group em 1989
Grupo
Infarto
TotalSim Não
n n
Aspirina 139 (a) 10898 (b)
11037 (a+b=n1)
Placebo 239 (c) 10795 (d) 11034 (c+d=n2)
Total
378 
(a+c=m1)
21693 
(b+d=m2)
22071 
(a+b+c+d=N)
Exemplo
Teste para variáveis categóricas
Teste Qui-quadrado (χ2)
• Se não há diferença entre as % nos 2 grupos:
• Logo:
N
m
nn
ca
n
c
n
a 1
2121
=
+
+
==
N
nmd
N
nm
c
N
nmb
N
nm
a 22211211 ;;;
×
=
×
=
×
=
×
=
a b n1
c d n2
m1 m2 N
Teste Qui-quadrado (χ2)
• Valores observados (Oi): a, b, c, d
• Valores esperados (Ei) – se grupos iguais:
• % iguais 2 grupos � grande discrepância entre Oi e Ei
Estatística de Teste ���� Qui-quadrado de Pearson
Teste para variáveis categóricas
N
nmd
N
nm
c
N
nmb
N
nm
a EEEE
22211211 ;;;
×
=
×
=
×
=
×
=
∑
=
−
=
4
1
2
2 )(
i i
ii
E
EOχ
Distribuição 
Qui-quadrado 
com 1 grau de liberdade
Comparação da ocorrência de infarto entre grupos placebo e 
aspirina, de acordo com Steering Committee of Physicians’
Health Study Group em 1989
Grupo
Infarto
TotalSim Não
n n
Aspirina 139 (a) 10898 (b)
11037 (a+b=n1)
Placebo 239 (c) 10795 (d) 11034 (c+d=n2)
Total
378 
(a+c=m1)
21693 
(b+d=m2)
22071 
(a+b+c+d=N)
Exemplo
Grupo
Infarto
TotalSim Não
n n
Aspirina 139 (a) 10898 (b)
11037 (a+b=n1)
Placebo 239 (c) 10795 (d) 11034 (c+d=n2)
Total
378 
(a+c=m1)
21693 
(b+d=m2)
22071 
(a+b+c+d=N)
Exemplo
• H0 � proporção de infarto no grupo Aspirina =
proporção de infarto no grupo Placebo
• H1 � proporção de infarto no grupo Aspirina ≠
proporção de infarto no grupo Placebo
• Cálculo dos valores esperados:
• Estatística Qui-quadrado:
• Estatística de Teste (χ2) = 26,8
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2)
a=139 b=10898 n1=11037
C=239 d=10795 n2=11034
m1=378 m2=21693 N=22071
0,189
22071
11037378
=
×
=Ea 0,1084822071
1103721693
=
×
=Eb
0,10845
22071
1103421693
=
×
=Ed0,18922071
11034378
=
×
=Ec
8,262,02,132,02,13
10845
)1084510795(
189
)189239(
10848
)1084810898(
189
)189139( 22222
=+++=
−
+
−
+
−
+
−
=χ
Questões:
• Decidir se o valor do teste (26,8) é ou não “grande”
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2)
Questões:
• Decidir se o valor do teste (26,8) é ou não “grande”
• Comportamento da distribuição X2 quando as % são 
iguais
• Tabela Qui-quadrado
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2)
Questões:
• Decidir se o valor do teste (26,8) é ou não “grande”
• Comportamento da distribuição X2 quando as % são 
iguais
• Tabela Qui-quadrado
• Atentar para o nível de significância!!!!! � usual 5%
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2)
Questões:
• Decidir se o valor do teste (26,8) é ou não “grande”
• Comportamento da distribuição X2 quando as % são 
iguais
• Tabela Qui-quadrado
• Atentar para o nível de significância!!!!! � usual 5%
• Valor tabelado – X2 com 1 gl e 5% de significância = 3,84
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2)
Questões:
• Decidir se o valor do teste (26,8) é ounão “grande”
• Comportamento da distribuição X2 quando as % são 
iguais
• Tabela Qui-quadrado
• Atentar para o nível de significância!!!!! � usual 5%
• Valor tabelado – X2 com 1 gl e 5% de significância = 3,84
• Valor teste (26,8) > 3,84 �
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2)
Questões:
• Decidir se o valor do teste (26,8) é ou não “grande”
• Comportamento da distribuição X2 quando as % são 
iguais
• Tabela Qui-quadrado
• Atentar para o nível de significância!!!!! � usual 5%
• Valor tabelado – X2 com 1 gl e 5% de significância = 3,84
• Valor teste (26,8) > 3,84 � Rejeita a Hipóste nula
Proporção de infarto no grupo Aspirina ≠ proporção 
de infarto no grupo Placebo
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2)
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2):
• Outra possibilidade � Calcular o valor-p
� Valor-p = probabilidade de significância
� Cálculos computacionais a partir da distribuição 
de probabilidade
� Resultado dos testes usado nos artigos
� No exemplo: P(x>26,8)<<0,005 �
� valor-p<<<0,005
� Como interpretar o valor-p????????
Teste para variáveis categóricas
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2):
• Valor-p
� Probabilidade de cometer um erro ao rejeitar a 
hipótese nula
� Valor-p grande � probabilidade erro grande � não se 
deve rejeitar Ho
� Valor-p pequeno � probabilidade erro pequena �
deve-se rejeitar Ho
� Ponto de corte usual = 0,05 � 5% de significância
� No exemplo: p=<0,005 � rejeita Ho � grupos são 
diferentes .
Teste para variáveis categóricas
Teste Qui-quadrado (χ2)
• Exemplo: 
Comparar o % de homens e mulheres alocados 
em uma pesquisa nos grupos intervenção e 
controle
Exemplo 2: Teste para variáveis 
categóricas
Fonte: Dados Malone et al, MEDICAL CARE 39(2), 113–122, 2001.
Exemplo Teste Qui-quadrado (χ2)
• Hipóteses:
Ho: % homens grupo intervenção = % homens no grupo controle
H1: % homens grupo intervenção ≠ % homens no grupo controle
Teste para variáveis categóricas
Sexo Grupos Total
intervenção Controle
Masculino a=502 b=511 n1=1013
Feminino c=21 d=20 n2=41
Total m1=523 m2=521 N=1044
• Cálculo dos valores esperados:
• Estatística Qui-quadrado:
• Teste χ2 = 0,14
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2)
a=502 b=511 n1=1013
c=21 d=20 n2=41
m1=523 m2=521 N=1044
5,507
1044
1013523
=
×
=Ea 5,5051044
1013521
=
×
=Eb 5,201044
41521
=
×
=Ed5,20
1044
41523
=
×
=Ec
14,001,001,006,006,0
5,20
)5,2020(
5,20
)5,2021(
5,505
)5,505511(
5,507
)5,507502( 22222
=+++=
−
+
−
+
−
+
−
=χ
Questões:
• Decidir se o valor do teste (0,14) é ou não “grande”
• Comportamento da distribuição X2 quando as % são 
iguais
• Tabela Qui-quadrado
• Atentar para o nível de significância!!!!! � usual 5%
• Valor tabelado – X2 com 1 gl e 5% de significância = 3,84
• Valor teste (0,14) < 3,84 � não rejeita a Hipóste nula
% de homens no grupo intervenção = % homens 
grupo controle
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2)
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2):
• Outra possibilidade � Calcular o valor-p
� Valor-p = probabilidade de significância
� Cálculos computacionais a partir da distribuição 
de probabilidade
� Resultado dos testes usado nos artigos
� No exemplo: P(x>0,14)>0,75 � valor-p>0,75
� Como interpretar o valor-p????????
Teste para variáveis categóricas
Exemplo do Teste Qui-quadrado (χ2):
• Valor-p
� Probabilidade de cometer um erro ao rejeitar 
a hipótese nula
� Valor-p grande � probabilidade erro grande � não 
se deve rejeitar Ho
� Valor-p pequeno � probabilidade erro pequena �
deve-se rejeitar Ho
� Ponto de corte usual = 0,05 � 5% de significância
� No exemplo: p~0,75 � não rejeita Ho � grupos 
são iguais.
Teste para variáveis categóricas
Teste para variáveis categóricas
Fonte: Dados Malone et al, MEDICAL CARE 39(2), 113–122, 2001.
Teste Exato de Fisher
• Teste Qui-quadrado de Pearson não é
apropriado quando o valor esperado de 
alguma casela < 5.
• Pode trazer conclusões incorretas.
• Alternativa � teste exato de Fisher
• Implementado na maioria dos softwares 
estatísticos
Teste para variáveis categóricas
Intervalo de confiança
Intervalo de Confiança
• Representa um intervalo que abrange todos os possíveis 
valores assumidos por um determinado parâmetro na 
população
� Ex: Média de idade de pacientes atendidos em Centros de 
Saúde de diversas áreas de abrangência de Belo Horizonte
BH
54 
anos
66 
anos
53 
anos
Amostra de 100 pacientes 
do CS. Miramar - Barreiro
Amostra de 70 pacientes do 
CS. Santa Rita - Centro Sul
Amostra de 50 pacientes do 
CS. Amilcar Viana - Oeste
Intervalo de Confiança
• O IC agrega ao estimador pontual (ex, média) 
informação sobre sua variabilidade.
• Escolhe-se um limite inferior e um limite superior 
para a estimativa.
• Intervalo de confiança para média
� Usa-se a distribuição t-Student com n-1 graus de 
liberdade
� Deve-se considerar o nível de significância ou nível 
de confiança da estimativa
Intervalo de Confiança para média
• Exemplo: 
• Amostra de 100 pacientes atendidos em Centros de 
Saúde de BH – média de idade = 54 anos 
- desvio padrão = 6 anos






×+×−=
−−
n
s
tx
n
s
txIC xnxn αα ;1;1 ;
98,1
100
6
54
95,0,99 =
=
=
=
t
n
s
x
x
( ) )2,55;8,52(2,154;2,154
100
6
98,154;
100
698,154%95 =+−=





×+×−=IC
A idade dessa população pode variar entre 53 e 55 anos
Intervalo de Confiança para proporção
• Exemplo: 
• Amostra de 100 pacientes atendidos em 
Centros de Saúde de BH – proporção de 
adolescentes (11 a 17 anos) = 16% 
A proporção de adolescentes dessa população pode
variar entre 12% e 20%.








−
×+
−
×−=
−−
n
pp
tp
n
pp
tpIC nn
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ ;1;1 αα
( ) )20,0;12,0(04,016,0;04,016,0
100
84,016,0
98,116,0;
100
84,016,098,116,0%95 =+−=







 ×
×+
×
×−=IC
98,1
100
%16ˆ
95,0,99 =
=
=
t
n
p
Intervalo de Confiança
Exemplo de aplicação
Fonte: Almeida OP, Almeida AS. Confiabilidade da versão brasileira da escala de depressão em geriatria (GDS). 
Arq Neuropsiquiatr 1999;57(2-B): 421-426