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Profª Lilian Brazile 1 FUNÇÃO DO 2º GRAU Uma função do segundo grau é uma função polinomial de grau 2 (expoente da variável 𝑥), e tem a forma 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são os coeficientes, com 𝑎 ≠ 0, 𝑥 é a variável independente e 𝑦 é a variável dependente. Podemos usar também a notação 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 . O gráfico de toda função do segundo grau é uma parábola que pode ter concavidade para cima ou para baixo, que pode cruzar o eixo 𝑥 em dois pontos, ou em um ponto ou em nenhum ponto do plano cartesiano. Para a construção gráfica da função do 2º grau, vamos utilizar os seguintes passos: Concavidade; o Se o coeficiente 𝑎 for um número positivo, a função função tem concavidade voltada para cima. 𝑎 > 0 o Se o coeficiente 𝑎 for um número negativo, a função tem concavidade voltada para baixo. 𝑎 < 0 Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 10 – FUNÇÃO DO 2º GRAU Profª Lilian Brazile Profª Lilian Brazile 2 Zero da função (pontos que cruzam o eixo 𝑥); pontos que possuem ordenadas zero, ou seja, 𝑦 = 0 . Substituindo na função, temos: 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 0 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Resolver a equação do 2º grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 utilizando a Fórmula de Bháskara: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 e 𝑥 = −𝑏±√∆ 2𝑎 O valor do discriminante ∆ indica a quantidade de zeros da função: o Se ∆ > 0 (valores positivos); a função tem dois zeros reais diferentes (a parábola cruza o eixo 𝑥 em dois pontos: 𝑥1 e 𝑥2). Pontos: (𝑥1, 0) e (𝑥2, 0). o Se ∆ = 0 (valores nulos); a função tem dois zeros reais iguais (a parábola cruza o eixo 𝑥 em um único ponto: 𝑥1 = 𝑥2). Ponto: (𝑥1 = 𝑥2, 0), o Se ∆< 0 (valores negativos); a função não tem zeros reais (a parábola não cruza o eixo 𝑥 em nenhum ponto), Profª Lilian Brazile 3 Esboço; rascunho do gráfico da função. 𝑎 > 0 𝑎 < 0 ∆> 0 𝑎 > 0 𝑎 < 0 ∆= 0 𝑎 > 0 𝑎 < 0 ∆< 0 Coordenadas do Vértice da Parábola; lembrando que o vértice é um ponto, e pode ser o valor de máximo ou de mínimo da parábola. Para calcular as coordenadas do vértice de uma parábola, temos que utilizar as seguintes fórmulas: 𝑥𝑉 = −𝑏 2𝑎 e 𝑦𝑉 = −∆ 4𝑎 sendo 𝑉 = (𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) Profª Lilian Brazile 4 o Ponto Máximo ou Ponto de Mínimo de uma Função Se o coeficiente 𝑎 for um número positivo, a função tem ponto de mínimo que é o vértice da parábola. 𝑎 > 0 ⟹ ponto de mínimo Se o coeficiente 𝑎 for um número negativo, a função tem ponto de máximo que é o vértice da parábola. 𝑎 < 0 ⟹ ponto de máximo Exemplos: 1) Construa o gráfico da função do 2º grau: 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 2. Como 𝑎 = +1 (número positivo, ou seja, 𝑎 > 0) então a função tem concavidade voltada para cima. A função cruza o eixo 𝑥 em 𝑦 = 0 : 0 = 𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 { 𝑎 = +1 𝑏 = −1 𝑐 = −2 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆= +1 + 8 ∆= +9 ∆> 0 ⟹ Dois zeros reais diferentes Profª Lilian Brazile 5 𝑥1 = +1 + 3 2 = +4 2 = +2 𝑥 = −𝑏 ± √∆ 2𝑎 = +1 ± √+9 2 = +1 ± 3 2 = 𝑥2 = +1 − 3 2 = −2 2 = −1 Logo, os zeros da função são os pontos (−1,0) e (2,0). Vamos encontrar as coordenadas do vértice: 𝑉 = (𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) 𝑥𝑉 = −𝑏 2𝑎 = −(−1) 2.1 = + 1 2 𝑦𝑉 = −∆ 4𝑎 = −(+9) 4.1 = − 9 4 𝑉 (+ 1 2 , − 9 4 ) O gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 2 é: Profª Lilian Brazile 6 2) Construa o gráfico da função 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9. Como 𝑎 = −1 (número negativo, ou seja, 𝑎 < 0) então a função tem concavidade voltada para baixo. A função cruza o eixo 𝑥 em 𝑦 = 0 : 0 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 −𝑥2 + 6𝑥 − 9 = 0 { 𝑎 = −1 𝑏 = +6 𝑐 = −9 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆= +36 − 36 ∆= 0 ∆= 0 ⟹ Dois zeros reais iguais 𝑥 = −𝑏 ± √∆ 2𝑎 = −6 ± √0 −2 = −6 ± 0 −2 𝑥1 = 𝑥2 = −6 −2 = +3 Logo, o zero da função é o ponto (3,0)., sendo este ponto também é o vértice da parábola 𝑉(3,0) Neste caso, vamos ter que encontrar outros dois pontos da parábola no plano cartesiano, para isso, vamos escolher dois valores para 𝑥. Escolhendo 𝑥 = 2 e 𝑥 = 4 , na função, temos: 𝑥 = 2 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 𝑦 = −(2)2 + 6. (2) − 9 𝑦 = −4 + 12 − 9 𝑦 = −1 𝑥 = 4 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 𝑦 = −(4)2 + 6. (4) − 9 𝑦 = −16 + 24 − 9 𝑦 = −1 𝑃1(2, −1) 𝑃2(4, −1) Logo, a parábola passa pelos pontos (2, −1) e (4, −1). Profª Lilian Brazile 7 O gráfico da função 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 é: 3) Construa o gráfico da função: 𝑦 = 3𝑥2 + 4𝑥 + 2. Como 𝑎 = +3 (número positivo, 𝑎 > 3) então a função tem concavidade voltada para cima. A função cruza o eixo 𝑥 em 𝑦 = 0 : 0 = 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 0 { 𝑎 = +3 𝑏 = +4 𝑐 = +2 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆= +16 − 24 ∆= −8 ∆< 0 ⟹ Não existem zeros reais Logo, a parábola não cruza o eixo 𝑥. Profª Lilian Brazile 8 Vamos encontrar as coordenadas do vértice: 𝑥𝑉 = −𝑏 2𝑎 = −(+4) 2.3 = −4 6 = − 2 3 𝑉 (− 2 3 , + 2 3 ) 𝑦𝑉 = −∆ 4𝑎 = −(−8) 4.3 = +8 12 = + 2 3 Neste caso, vamos ter que encontrar outros dois pontos da parábola no plano cartesiano, para isso, vamos escolher dois valores para 𝑥. Escolhendo 𝑥 = −1 e 𝑥 = 0 , substituindo na função temos: 𝑥 = −1 𝑦 = 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 𝑦 = 3. (−1)2 + 4. (−1) + 2 𝑦 = 3.1 − 4 + 2 𝑦 = 3 − 4 + 2 𝑦 = 1 𝑥 = 0 𝑦 = 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 𝑦 = 3. (0)2 + 4. (0) + 2 𝑦 = 3.0 + 0 + 2 𝑦 = 0 + 0 + 2 𝑦 = 2 Logo, a parábola passa pelos pontos (−1,1) e (0,2). O gráfico da função 𝑦 = 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 é: Profª Lilian Brazile9 EXERCÍCIOS 1) Construa o gráfico das seguintes funções do 2º grau: a) 𝑥2 − 10𝑥 + 9 = 0 b) 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 c) 𝑥2 + 𝑥 + 3 = 0 d) −𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0 e) 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0 f) 𝑥2 − 5𝑥 + 10 = 0 g) 𝑥2 + 3𝑥 + 7 = 0 h) 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0 i) 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0 j) 4𝑥2 + 8𝑥 + 4 = 0 k) 2𝑥2 − 6𝑥 − 80 = 0 l) 3𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0
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